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Mathematik: Das Hornerschema und andere Tricks
Freigegeben von matroid am So. 27. Juli 2003 13:02:59
Verfasst von Martin_Infinite -   56683 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

Das Hornerschema und andere Tricks,
um Nullstellen von Polynomen zu finden.


Polynomdivision

Die Polynomdivision, auch Divisionsalgorithmus genannt, dient dazu,
zwei Polynome f(x) und g(x) (g(x) darf nicht Null sein) durch einander
zu teilen. Man löst die Gleichung f(x)=q(x)*g(x)+r(x) nach q(x) auf.
Dabei geht man wie beim schriftlichen Dividieren vor:

Beispiel mit quadratischem g(x):





Beispiel mit linearem g(x):




Die Theorie der Polynomdivision interessiert nicht weiter, weil sie für die
Bestimmung der Nullstellen eines Polynoms zu allgemein ist.

Zielsetzung des Horner Schemas

Man verfolgt das Ziel der Berechnung von Funktionswerten, die durch
Einsetzen von Hand zu kompliziert wird. Später dient das Horner Schema
aber nur dazu, Linearfaktoren abzuspalten, also ein Polynom als Produkt
eines Linearfaktors wie zB (x-2) und eines anderen Polynoms zu schreiben,
und dabei die ohnehin aufwändige Polynomdivision, weil man nämlich gerade
für g(x) nur Linearfaktoren und nicht Polynome höheren Grades hat, in diesem
Fall zu ersetzen. Diese beiden Vorteile stehen in einem engen Zusammenhang
zueinander und werden die Nullstellensuche bei Polynomen erheblich erleichtern.
Mit nur drei Sätzen kann man schon Gewaltiges
vollbringen (siehe letztes Beispiel).

Herleitung des Horner Schemas


Sei f(x) erst einmal ein Polynom dritten Grades. Um f(x0) zu
berechnen, kann man mit der Umformung

rekursiv folgende Werte berechnen:

Um das allgemein für ein Polynom n-ten Grades zu zeigen, setzen wir

Wir wenden das nun gleich auf das Polynom oben an, wo die
komplizierte Polynomdivision durchgeführt wurde.


Gesetz bei ganzzahligen Koeffizienten und Nullstellen

Multipliziert man die Produktdarstellung von Polynomen:

(insb. mit ganzen Nullstellen) aus, so kommt man empirisch auf folgendenden Satz:





BEISPIELE

Man ermittle alle Nullstellen von

Die Koeffizientensumme 7 hat die Teiler
. Plus 1 ergibt
Das Absolutglied 18 hat die Teiler
.
Der Durchschnitt dieser Mengen ist


Man ermittle alle Nullstellen von


Bei diesen x schneidet also der Graph von f die x-Achse:

Dass wir folgendes mit so wenig Vorkenntnissen schaffen, ist
einfach unglaublich. Die Schlüssel sind das Horner-Schema und das
konsequente Abspalten der Linearfaktoren, das er erlaubt.







Hier ein paar Graphen von f mit a=1, a=-7/2, a=2 bzw. a=-1.





 



Ist euch gar nichts aufgefallen? Nein? Satz 4 gilt nur für ganzzahlige Koeffizienten !
Obwohl das bei letztem Polynom nicht der Fall ist, hat die Nullstellensuche geklappt!

Das kommt bestimmt, weil ich mir das Polynom nicht so wie in der Aufgabenstellung
ausdachte, sondern die faktorisierte Form ausmultiplizierte. Aber der Satz soll ja auch
nur das Raten ersetzen, was bei solchen Botzen wohl erst mal sehr planlos wird.




Übrigens, dieser Artikel sollte erst (ohne Übertreibung ) mehr als zehn mal so lang werden,
bloß je mehr ich schrieb und sammelte, je mehr merkte ich, dass ich den Artikel auf
das kleine Herzstück beschränken sollte und die Formeln von Cardano, Näherungs-
verfahren und die endlose Beispielsammlung wieder rausnehmen sollte.




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: Schüler aufwärts :: Analysis :: Polynome :: Leicht verständlich :: Mathematik :
Das Horner-Schema und andere Tricks [von Martin_Infinite]  
Hier wird das Horner-Schema beschrieben, mit dem man einfach Funktionswerte berechnen, Poylnomdivisionen durchführen und Nullstellen erraten kann
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" Mathematik: Das Hornerschema und andere Tricks" | 19 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Das Hornerschema und andere Tricks
von Gockel am Sa. 01. Mai 2004 16:13:06


Hi martin.

Warum hat eigentlich noch nie jemand einen Kommentar zu diesem tollen Artikel geschrieben?
Irgendwer muss dir doch gratulieren. Und besser spät als nie, wie ich finde. Also:

Glückwunsch zu so einem tollen Artikel, Martin. Der war sehr aufschlussreich.

mfg Gockel.

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Re: Das Hornerschema und andere Tricks
von Martin_Infinite am Sa. 01. Mai 2004 22:38:47


Juhu, endlich ein Kommentar nach 10 Monaten wink

Danke Gockel biggrin

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Re: Das Hornerschema und andere Tricks
von Gockel am Sa. 01. Mai 2004 23:04:04


Und soll ich dir was sagen, martin: Nach 10 Monaten findet auch jemand den Fehler, der sich in deinen Artikel eingeschlichen hat. smile

Dort wo du die Funktion
fed-Code einblenden
faktorisierst, da hast beim ersten Abspalten des Linearfaktors du geschrieben:
fed-Code einblenden
Da muss die 96 aber durch eine 48 ersetzt werden. Ich nehm an, dass du einfach in der Zeile verrutscht bist.

mfg Gockel.

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Re: Das Hornerschema und andere Tricks
von viertel am Sa. 01. Mai 2004 23:50:06


@Gockel
Hmm, die anderen haben den Artikel wohl nur gesehen, DU hast ihn GELESEN.

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Re: Das Hornerschema und andere Tricks
von Martin_Infinite am So. 02. Mai 2004 00:27:09


@Gockel: Stimmt. Zum Glück habe ich im Folgenden den richtigen Wert benutzt.
@Viertel: Das zeigt mir jetzt, dass da oben

1676 x gelesen

unberechtigt steht. Es sollte wirklich

1676 x gesehen

heißen wink

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Re: Das Hornerschema und andere Tricks
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 10. Februar 2006 16:43:24


Sorry, aber ich hab immer noch nich gecheckt, wie dieses schema funktioniert bzw den anfang schon aber ich weiß nicht wie ich damit nullstellen bestimmen kann oder linearfaktoren abspalten kann. Wie komm ich denn auf des ergebnis? ohman...ich muss des meiner klasse erklären...toll

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Re: Das Hornerschema und andere Tricks
von Martin_Infinite am Sa. 11. Februar 2006 01:57:06


Hi,
 
da gibt es jetzt zwei Möglichkeiten.

a) Du erklärst mir, was du oben im Artikel nicht verstehst. Dann können wir ja weitersehen.

b) Du schaust dir eine andere Erklärung an, zB diese:

de.wikipedia.org/wiki/Horner-Schema
 
 Gruß
Martin

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Re: Das Hornerschema und andere Tricks
von da_bounce am Sa. 07. Oktober 2006 12:51:57


Hey Martin,

ein wirklich schöner Artikel sehr lesenswert und hilfreich.

mfg george

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Nullstellenberechnung
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 03. November 2006 14:28:36


Kann mir víelleicht jemand helfen? Und zwar hab ich schwierigkeiten mit einer Aufgabe. Ich muss die Nullstellen berechenen von folgender Gleichung f(x)= 1/4x^4-2x²+3

gruß tina

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Re: Das Hornerschema und andere Tricks
von fru am Fr. 03. November 2006 15:22:47


Hi Tina!

Hier bei den Artikelkommentaren ist nicht der richtige Ort dafür.
Melde Dich bitte an und stelle Deine Frage im Mathematikforum.
Dort wirst Du sicherlich rasch Hilfe bekommen.

Liebe Grüße, Franz

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Horner schema Herleitung
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 23. Januar 2007 20:17:44


Hi, ich hätte mal ne Frage! Ich muss ein Fachreferat über das Horner Schema halten. Ich versteh aber nicht ganz wie und warum beim Ergebnis das x reduziert wird.
Bitte um Hilfe!!!!
Vielen Dank schno mal im Vorraus!
mfg Tulinh

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Re: Das Hornerschema und andere Tricks
von Qlivion am Mo. 19. März 2007 17:50:27


Grüß dich Martin_Infinite,

habe zwar keinen Prof in Mathematik, aber ich glaub' bei 2. Man ermittle alle.. hast du in den 2 Sätzen nach der "Tabelle" bei 10x^2 das falsche Vorzeichen, dann aber mit dem richtigen weitergerechnet.

Kann das sein?

Ansonsten klasse Arbeit!!

Gruß, Qlivion

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Re: Das Hornerschema und andere Tricks
von Ex_Mitglied_40174 am Sa. 28. April 2007 20:25:48


Klasse Artikel smile
ich bin plötzlich der Schnellste in Sachen Polynom Nullstellen berechnen im Kurs biggrin
Frage: gibt es weitere 'Trick' dieser Art ?
mach bitte weiter so smile

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Re: Das Hornerschema und andere Tricks
von Ex_Mitglied_40174 am So. 29. April 2007 15:04:34


super sache martin,
haste gut gemacht smile
jetzt feht nur noch einer zum thema "grenzwerte bestimmen" von dir smile

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Re: Das Hornerschema und andere Tricks
von respicio am So. 10. Januar 2010 11:56:48


Toller Artikel, aber ein Verständnisproblem habe ich. Im Beweis für das Polynom n-ten Grades heisst es in der 7. Zeile von unten (gerechnet von q.e.d): A(n-1), in der 6. Zeile von unten wird dies zu A(n+1). Genau hier liegt mein Problem: ich kann das A(n+1) nicht nachvollziehen.

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Re: Das Hornerschema und andere Tricks
von John-Doe am Di. 24. August 2010 10:05:54


Genau das gleiche Problem habe ich auch. Wenn mir das jemand erläutern könnte bitte.

lg Johnny

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Re: Das Hornerschema und andere Tricks
von John-Doe am Di. 24. August 2010 10:58:53


Versteh schon. Martin hat nur ab und zu A_(n+1) statt dem richtigen A_(n-1) geschrieben. Alles andere hätte mich auch gewundert, weil A_(n+1) ja nicht einmal definiert ist.

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Re: Das Hornerschema und andere Tricks
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 18. Oktober 2011 11:35:13


Liege ich mit der Annahme, dass die Menge A im Beispiel 3 (auf die das Hornerschema angewandt wird) willkürlich ist ("probieren")? Denn ich sehe beim besten Willen keinen Zusammenhang mit der Gleichung, es kommt mir so vor, als wäre es bei dieser (natürlich von dir konstruierten Gleichung) ein "Glücksfall" dass man dort zwei Nullstellen findet. Habe ich es also richtig verstanden, dass man als Vorraussetzung für das Abspalten der Linearfaktoren Nullstellen "durchprobieren" oder "sehen" muss?

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Re: Das Hornerschema und andere Tricks
von Martin_Infinite am Di. 18. Oktober 2011 11:44:29


@Anonymus: Das sind die Teiler des Absolutgliedes; vergleiche dazu auch Gesetz (4). Es handelt sich also um systematisches Ausprobieren.

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