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Mathematik: Was ist ein Punkt?
Freigegeben von matroid am Mo. 01. September 2003 10:58:14
Verfasst von Hans-Juergen -   10893 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik


Punkte weisen ein paar Besonderheiten auf, an die man nicht immer denkt. Sie sind Gegenstand der folgenden Überlegungen. Bei einigem rechne ich mit Widerspruch.

Zeichnet man einen Punkt auf Papier oder an die Tafel, entsteht in Wirklichkeit eine kleine Fläche oder ein kleiner "Kreidehaufen". Punkte sind Gedankendinge und lassen sich weder sehen noch zeichnen. Manchmal werden sie "unendlich klein" genannt.

Bei Euklid heißt es: "Ein Punkt ist, was keine Teile hat." Um besser zu verstehen, was hiermit gemeint ist, gehen wir von etwas Größerem, Handlichem aus, von einer Fläche oder einem Körper.

Diese zerteilen wir fortlaufend, zuerst physisch, später nur noch in Gedanken. Bei Euklid findet dieser Teilungsprozeß ein Ende, denn wenn er sagt, daß der Punkt keine Teile hat, muß es nach dieser Auffassung etwas Kleinstes geben, das sich nicht mehr weiter zerlegen läßt. Ein "Geometrie-Atom", sozusagen, von gr. átomos=unteilbar, ähnlich wie in der Physik und Chemie, wo der aus der Antike stammende Begriff Atom inzwischen nicht mehr sachgerecht ist und nur noch aus Tradition beibehalten wird. Nach Euklid ist, so scheint mir, ein Punkt etwas sehr Kleines, behält aber eine endliche Größe. Wo sie liegt, bleibt offen.

Der Gegensatz hierzu ist, daß der Teilungsprozeß immer weiter fortgesetzt wird, ohne jemals an eine Grenze zu stoßen. Dann bekommt der Punkt asymptotischen Charakter. Wer sagt, ein Punkt sei unendlich klein, redet nicht von einem feststehenden Objekt, sondern von einem, das immer noch im Werden ist. "Fertige" Punkte dürfte es dabei, streng genommen, gar nicht geben.

Auf diese beiden Möglichkeiten komme ich später zurück und wende mich jetzt etwas anderem zu.

Obwohl Punkte und Zahlen zunächst nichts miteinander zu tun haben, wird zwischen ihnen eine Verbindung hergestellt, indem man auf einer Geraden oder Strecke bestimmte Punkte durch Zahlen markiert. Das geschieht zuerst mit den natürlichen Zahlen; dann kommen die Null und die negativen ganzen Zahlen hinzu. Auch Punkte innerhalb der Intervalle zwischen zwei ganzen Zahlen lassen sich so markieren: der dem Bruch 51/3=16/3 entsprechende Punkt zum Beispiel findet auf der Zahlengeraden ebenso seinen Platz wie jeder andere, der zu einer rationalen Zahl m/n gehört, wobei m und n ganze Zahlen sind (n ungleich null). Man spricht dabei auch kurz von "rationalen Punkten".

Stets kann man von zwei Brüchen das arithmetische Mittel bilden, welches selber wieder rational ist und somit einen weiteren rationalen Punkt ergibt, gleichgültig, wie eng die beiden, ihnen entsprechenden Ausgangspunkte benachbart sind. Oder anders ausgedrückt: in jedem noch so kleinen Intervall der Zahlengerade gibt es unendlich viele rationale Punkte. Man sagt deshalb auch, daß sie auf ihr dicht liegen.

Diese Ausdrucksweise suggeriert, daß die rationalen Punkte unmittelbar ohne Zwischenräume aufeinander folgen, doch ist sie, so verstanden, falsch. Nimmt man nur die rationalen Punkte, bleiben Lücken auf der Zahlengerade, sogar unendlich viele. Sie werden von Punkten ausgefüllt, die irrationalen Zahlen entsprechen, d. h. solchen, die sich nicht als Brüche mit ganzzahligem Zähler und Nenner darstellen lassen. In einfachen Fällen, bei Quadratwurzeln, kann man ihren Ort auf der Zahlengerade nach dem Satz von Pythagoras mit Zirkel und Lineal konstruieren, wie das folgende Beispiel zeigt:
Bild

In der nächsten Figur
Bild
entspricht jedem, mit einem Doppelpfeil versehenen Punkt des inneren Kreises ein Punkt auf dem äußeren und umgekehrt. Da alle Kreispunkte (nicht nur die eingezeichneten) einen Pfeil aussenden und empfangen, ergibt sich zwangsläufig, daß beide Kreise aus gleich vielen Punkten bestehen, obwohl ihre Umfänge verschieden groß sind. Dies ist im ersten Moment sicherlich überraschend. Ohne die Zuordnungsfigur würde man eher denken, daß die äußere Kreislinie mehr Punkte enthält als die innere. Hierbei spielt offenbar die in der euklidischen Definition enthaltene Vorstellung eine Rolle, daß ein Punkt zwar etwas sehr Kleines, aber trotzdem Endliches ist.

Um dies noch ein wenig näher auszuführen, betrachten wir als Beispiel zwei konzentrische Kreise, deren Umfänge 10 und 12 cm lang sind. Die Größe eines "Punktes" wählen wir sehr gering: 1 "Mikromillimeter" = 1 nm. Dann besteht der kleinere Kreis aus 10 Milliarden und der größere aus 12 Mrd. solcher "Punkte". Am Anzahlverhältnis 1,2:1 ändert sich nichts, wenn wir die "Punktgröße" weiter verringern: auf 0,1 nm, 0,01 nm usw. Es ist auf diese Weise nicht möglich, daß daraus das Verhältnis 1:1 wird, wie es die obige Pfeilfigur nahelegt. Erst wenn die Punkte als unendlich klein angenommen werden (und dadurch ihre Anzahl bei beiden Kreisen ins Unendliche ansteigt), "verschwimmt" der Unterschied nach dem Motto: das 1,2-fache von Unendlich ist ebenfalls (nur) Unendlich.

Solche Überlegungen, bei denen alles auf den etwas unbestimmten Begriff des Unendlichen abgedrängt wird, sind nicht sehr erfreulich und hinterlassen leicht ein ungutes Gefühl. Deshalb ist es auch nicht verwunderlich, daß die eingangs gestellte Frage Was ist ein Punkt? in Büchern und im Internet nicht oder nur spärlich behandelt wird. Wenn dies der Fall ist, wird, soweit ich sehe, kommentarlos Euklid zitiert, oder man rechnet den Punkt zu gewissen "Grundbegriffen", die sich nicht weiter erklären lassen.

Hans-Jürgen


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Was ist ein Punkt? [von Hans-Juergen]  
Punkte weisen ein paar Besonderheiten auf, an die man nicht immer denkt. Sie sind Gegenstand der folgenden Überlegungen. Bei einigem rechne ich mit Widerspruch. Zeichnet man einen Punkt auf Papier oder an die Tafel, entsteht in Wirklichkeit eine kleine Fläche oder ein kleiner Kreidehaufen.
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" Mathematik: Was ist ein Punkt?" | 24 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Was ist ein Punkt?
von thefish am Mo. 01. September 2003 11:17:36


Also so hab ich mir eigentlich meine Lebensphilosophie eklärt.

Nicht wie viele Mathematiker z.B. von natürlichen Zahlen als Basis ausgehen und dann auf die reellen Zahlen oder die komplexen schließen. Ich denk da eher wie die Minderheit, dass alles aus dem unendlich Kleinsten entstanden ist, dass also |N nur eine unendlich große Einschränkung ist.

Mit solchen Begriffen, wie unendlich klein oder groß sollte man lieber nicht hantieren, weil sie noch nicht vollständig und eindeutig definiert worden sind, also auch noch keine Basis geschaffen wurde.

Ich denk eher so, dass die Basis 2 Wahrheitswerte hat: wahr oder falsch. Geometrisch zu deuten wahrscheinlich mit den beiden Eigenschaften eines Punktes: entweder er existiert oder nicht. Aus der unendlichen Aufsummierung diese Wahrheitswerte (ähnlich wie im PC mit der Spannung, das Funktionieren des PCs ist nur eine Abbildung dieser Theorie) ergibt sich laut den Integralregeln unendlich viele Kombinationen, sprich Geraden oder sogar nur Strecken. Aus der unendlichen Aufsummierung aller dieser Geraden entsteht eine unendliche Anzahl an Flächen im dreidimensional beschränktem Raum, aus den unendlichen Flächen bilden sich dann unendlich viele Räume im vierdimensionalem Raum.
Es ist an sich nur eine unendliche Anhäufung von diesen Wahrheitswerten zu einem Gebilde.
So denke ich, ist auch die Welt entstanden, denn physikalisch gesehen, haben für mich die Wahrheitswerte keine physikalischen Eigenschaften, sondern nur durch ihre Aufsummierung entstehen welche.

gruß sascha.

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Re: Was ist ein Punkt?
von matroid am Mo. 01. September 2003 14:34:38


1.

'Zeichnet man einen Punkt auf ein Blatt Papier ...'
Wir sind uns ja einig, daß man dann keinen Punkt zeichnet, sondern versucht einen Gedankengang zu visualisieren bzw. eine Überlegung dadurch zu unterstützen.
Jede graphische Darstellung ist ein Symbol. Schreibt man das Wort 'Fisch' auf ein Blatt Papier, dann sieht es einem Fisch nicht ähnlich. Aber gleichartig ausgebildete Betrachter erkennen die Bedeutung.
Somit ist der 'Punkt' nicht die Ausnahme, sondern die Regel. Man kann Begriff nicht wesensrichtig auf Papier darstellen.

2.

Ein Punkt ist was man darunter verstehen will.
In der Euklidischen Geometrie ist ein Punkt atomar. Eine Gerade ist eine Menge von Punkten. Ein Punkt ist eine Menge von Dingen, die nur genau 2 Teilmengen hat, wahlweise auch: ein Punkt ist eine Menge, die genau ein Element enthält.

Das genügt nun aber nicht, denn ein Punkt ist auch das, was man mit ihm machen kann. Ein Punkt ist, was wie ein Punkt funktioniert.
Ein Punkt kann der Schnittpunkt zweier Geraden sein. Zwei Punkte bestimmen eindeutig eine Gerade. Drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, bestimmen einen Kreis.

Punkte bestimmen andere Objekte (Gerade, Kreis), und umgekehrt bestimmen diese anderen Objekte, was ein Punkt ist.
Ein Punkt ist, was der Schnittpunkt zweier Geraden sein kann.

Derart erklärt man das Einfache mit dem Komplexeren (Schnittpunkt? Gerade? Was ist das nun wieder?) und Euklids Anspruch war, das hier auftretende Henne-Ei-Problem zu ordnen.
Das ist ihm mit seinen Propositionen hervoragend gelungen. Er hat Entscheidungen getroffen, daß das Ei zuerst war, dann erst die Henne, und auf dieser angenommenen Grundlage Folgerungen entwickelt.
Euklids genialer Gedanke war die Erkennnis, daß man eine sprachliche Definition für einen Punkt einfach nicht benötigt. Geometrie funktioniert auch ohne das, und solange man sich mit der Definition müht, kommt man zu nichts anderem.
Ich gehe davon aus, daß Euklid sich lange mit der Definitionsfrage beschäftigt hat, aber als er erkannte, daß er diese Frage nicht würde lösen können, hat er die Probleme und Fragen zu lösen begonnen, die er lösen konnte.

Euklids Denken bezeichne ich als 'objektorientiert'. Ein Objekt, das sind Daten mit Methoden - untrennbar sind die Methoden und Daten.

--
Gruß
Matroid

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Re: Was ist ein Punkt?
von zev am Mo. 01. September 2003 19:09:46


In "Lehr- und Übungsbuch Mathematik Band II" (Harri Deutscher Verlag) steht folgende Definition eines Punktes:

"Der Mathematische Punkt hat als einfachstes geometrisches Element keine Ausdehnung. Man sagt, er ist dimensionslos oder nulldimensional."

/gruss

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Re: Was ist ein Punkt?
von DaMenge am Di. 02. September 2003 06:56:25


Hi ich schließe mich Matroids Argumentation an und will noch etwas bemerken :

(Zitat von Matroid) : Euklids genialer Gedanke war die Erkennnis, daß man eine sprachliche Definition für einen Punkt einfach nicht benötigt.

Ganz genau - ein Punkt ist, was keine Teile hat.
Das heißt nicht, das man etwa eine Strecke nehmen kann und diese endlich mal teilt um dann zu behaupten, dass der Rest keine Teile mehr hat.
(also IMHO kein geometrisches Atom)

Ich glaube das wusste auch Euklid, aber zu der Zeit war der Gedanke des unendlich Kleinen wohl nicht wirklich greifbar oder formulierbar.
Deshalb denke man sich, was keine Teile hat (was auch immer das in Euklids Kopf gewesen sein mag) und nenne es einen Punkt.
Dann kann man, wie Matroid schon erwähnt, einfach weiter machen (mit Geraden ,etc)

MFG
DaMenge

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Re: Was ist ein Punkt?
von matroid am Di. 02. September 2003 08:20:47


@DaMenge: Ich bin aber nicht der Meinung, daß "was kein Teil hat" als "was unendlich klein ist" interpretiert werden muß oder soll.

Wenn ein Ding sich aus Teilen zusammensetzt, dann kann man das Ding durch Aufzählung von Art und Anzahl der Teile beschreiben.

Was kein Teil hat, ist etwas, das inhaltlich nichts enthält, was beschrieben werden könnte.
(Ich weiß aber nicht, ob sich das einer kritischen Quellenanalyse standhält.)


3.

Was ist eine Zahl?
Eine Zahl ist, womit man rechnen kann, also addieren, subtrahieren, multiplizieren,... und Zahlen können geordnet werden.
Hat eine Zahl mehr Inhalt als ein Punkt?

Gruß
Matroid

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Re: Was ist ein Punkt?
von tbeirau am Di. 02. September 2003 08:51:31


@Matroid
ich gebe Dir recht, doch glaube ich man muss da unterscheiden:

a)ein Zahl ist mit einem Punkt vergleichbar, wenn es um den Vergleich des "Inhaltes" geht (genau wie ein Punkt ist eine Zahl etwas elementares der Mathematik)
b)sieht man sich die Zahl jedoch bildlich an, dann besteht ein Zahl doch aus einer Aneinanderreihung von Punkten

MfG Tino

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Re: Was ist ein Punkt?
von tbeirau am Di. 02. September 2003 09:25:00


Zahlen geben der Mathematik eine "natürliche" Struktur.
Doch ist es sehr schwierig überhaupt einen abstrakten Zahlbegriff zu definieren!


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Re: Was ist ein Punkt?
von Hans-Juergen am Di. 02. September 2003 10:25:03


In der griechischen Antike gab es hinsichtlich des Aufbaus der Materie unter den Philosophen einen zum Teil heftig ausgefochtenen Meinungsstreit, der sich mit Unterbrechungen bis in die Neuzeit fortsetzte. Man bezeichnete die beiden einander entgegengesetzten Denkrichtungen rückblickend als Atomismus und Plenismus. Anhänger des Atomismus, die behaupteten, alle Gegenstände seien aus kleinsten, unteilbaren Körperchen (Korpuskeln) aufgebaut, waren Demokrit (ca. 460-371 v. Chr.) und Leukipp (5. Jh. v. Chr.). Vertreter des Plenismus waren  Plato (427-347 v. Chr.) und Aristoteles (384-322 v. Chr.). Sie behaupteten den kontinuierlichen Aufbau der Materie. Ich nehme an, daß Euklid (ca. 330-275) diesen Meinungsstreit kannte und sehr genau wußte, was er meinte, als er bei seiner Punkt-Definition von etwas sprach, das keine Teile hat. Es scheint, als ob er in der Mathematik ein Anhänger des Atomismus war.

Hans-Jürgen





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Re: Was ist ein Punkt?
von DaMenge am Di. 02. September 2003 14:09:33


@matroid ich wollte auch nicht sagen, dass Euklid mit dem Punkt etwas unendlich Kleines meint, sondern das er genau diese Fragestellung, was er *genau* damit meint außen vor lässt.

Ein Punkt ist, was keine Teile hat.
Diesen Satz kann (im Wesentlichen) auf zwei Arten interpretieren :

1.) Ein Punkt ist, was keine kleineren Teile hat [das entspricht also der atomaren Interpretation]

2.) Ein Punkt ist, was gar keine Teile hat (also, was Nichts ist - zwei Punkte zusammen dürften also zusammen auch gar kein Teil haben)
[das entspricht *heute* der unendlich-klein-Interpretation]

Ich glaube, dass Euklid sich über beide Interpretationen sehr wohl bewusst war und auch die Probleme, die beide liefern, nämlich :

zu 1.) wie Hans-Jürgen schon schreibt, hätte man ein geometrisches Atom, wäre es auch für Euklid leicht gewesen, es zu teilen.
[btw : der Anfang und Ende einer Strecke sind Punkte (3.Definition) und eine Linie ist breitenlos(2.Definition) das schließt meiner Meinung nach schon aus, das ein Punkt eine Breite haben könnte]

zu 2.) wenn man etwas unendlich Kleines zu der damaligen Zeit wirklich in Betracht gezogen hätte, müsste man sich sofort wieder mit Zenonschen Paradoxone ärgern, denn ohne die heutigen formalen Mittel mit der Unendlichkeit zu hantieren, sind solche Gedankenspiele mit der Schildkröte nicht mehr zu beantworten.
[man kann von Euklid nicht erwarten, dass er diese Form von Problemen damals lösen konnte]

Und weil Euklid beide Probleme gesehen hat, hat er sich absichtlich für die Mitte entschieden, nämlich : sich nicht zu entscheiden und statt dessen eine schwammige Interpretation zu liefern.

[Aber das können nur Historiker wirklich beantworten, deshalb möge man das nur als meine Meinung ansehen]

zu der Zahlen-Geschichte :
Eine Zahl ist kein Punkt !
Zwei unterschiedliche Zahlen sind vielmehr durch ihren Abstand zum Nullpunkt bestimmt, d.h. eine Zahl besteht aus dem Nullpunkt, dem "Zahlenpunkt" (den man auf der Zahlengerade einzeichnet) und der Verbindung. Also ist eine Zahl IMHO vielmehr eine Strecke als ein Punkt.
(Die Zahlen haben ja auch Teile, wie die Primfaktorenzerlegung zeigt)

D.h. die Null ist die einzige Zahl, die tatsächlich den Charackter eines Punktes trägt und auch für die Null gilt : 0 ist, was keine Teile hat wink

MFG
DaMenge

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Re: Was ist ein Punkt?
von Hans-Juergen am Di. 02. September 2003 20:17:37


@ DaMenge
"Eine Zahl ist kein Punkt!" – Glücklicherweise hat das, soweit ich sehe, in diesem thread auch niemand behauptet. Ich selber schrieb, daß man zwischen Punkten und Zahlen, die zunächst nichts miteinander zu tun haben, eine Verbindung herstellte, indem man Punkte auf einer Geraden mit Zahlen markierte. Dann kam als bequeme Sprechweise hinzu, daß diejenigen Punkte, die durch rationale Zahlen markiert werden, rationale Punkte genannt wurden, entsprechend bei den irrationalen Zahlen.

Um noch einmal auf den Punkt als mathematisches "Atom" (mit sehr geringer, aber endlicher Ausdehnung) zurückzukommen: dieses Bild hat den Vorteil, daß es die – vielleicht naive – Vorstellung unterstützt, daß eine längere Strecke aus mehr Punkten besteht als eine kürzere, ebenso bei Kreisbögen oder anderen Kurven. Es kollidiert jedoch mit der eindeutig-umkehrbaren Zuordnung, wie sie durch die obige Pfeilfigur angedeutet wird und auch auf andere Weise veranschaulicht werden kann. Durch sie schließt man auf gleiche Punktanzahlen auch bei verschiedener Länge. Das Problem scheint zu Zeiten Euklids nicht bekannt gewesen zu sein. Gewissen Berichten zufolge haben sich erstmalig scholastische Mönche im Mittelalter damit beschäftigt. Dabei entstand auch die heute vielbelächelte, damals zeitweise heiß diskutierte Frage, wieviele Engel auf einer Nadelspitze Platz finden, die man sich in diesem Zusammenhang als körperlose – wir würden vielleicht sagen: dimensionslose – Wesen vorstellte.

Herzliche Grüße,
Hans-Jürgen




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Re: Was ist ein Punkt?
von Filip am Do. 04. September 2003 13:00:42


Hallo,

ich glaube das Kernproblem ist doch was man sich unter unendlich vorzustellen hat/tut.

Diese Kreise besitzen ja "gleich" viele Punkte, weil wir ihrer beiden Anzahl in Zahlen nicht anzugeben vermögen. Wir wissen nur, dass wenn wir bei beiden zählen, wir immer einen draufsetzen könnten. Und da beide Abzählmethoden gleich sind - die Kreise eindeutig auf einander abgebildet werden können - müssen sie ja eine gleich große Anzahl an Punkten besitzen. Nun brauchen wir noch ein neue Formulierung für ihre Anzahl, die endlos ist: "unendlich". Das "Ende" von unendlich ist also wie ein fahrendes Auto, dem man ewig hinterherläuft, es jedoch nie erreicht ;).

Lassen wir doch den Punkt ein Nichts und ohne Ausdehnung sein. Die natürlichen Zahlen können doch auch mit Nichts (Nullmenge) aufgebaut werden, wieso dann nicht Geraden, Strecken, Flächen und Körper auch? Es kommt doch schliesslich immer nur auf die Interpretation des Nichts an. Was ist denn Nichts überhaupt?

In unserer physikalischen Welt passierte doch das Gleiche. Einmal war es Welle und hatte etwas mit Energietransport zu tun, andrerseits war es Teilchen und irgendwie greifbar fest. Wie nannte man es? Einfach Quant.

Bei beiden, Punkt und Quant, kommt es zu Übergängen. Beim Quant ist dies Materie/Energie,
beim Punkt vom Nichts zur Form, die wir nicht "Nichts", sondern als "Etwas" bezeichnen und symbolisch dafür Graphithäufchen aufs Papier plazieren :). Wie immer ist also alles eine Frage der Vorstellung. Wenn das "Nichts" bei einem auch als "Etwas" gilt, so kann man aus unendlich vielen Punkten Geraden bilden.

mfg Filip

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Re: Was ist ein Punkt?
von l9 am Sa. 06. September 2003 10:26:56


Strich von vorn?

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Re: Was ist ein Punkt?
von Josef_Bauer am So. 07. September 2003 18:40:01


Ein idealer Punkt ist zweidimensional gesehen ein Kreis und dreidimensional gesehen eine Kugel. Ist doch klar! Der gedachte Punkt liegt exakt in der Mitte und ist real genau so groß wie die Linienstärke ihn erzeugt.
Eine Linie ist die Verbindung zweier Punkte. Wenn ein Punkt keine Größe hätte wäre es unmöglich eine Linie herzustellen.
Die Linienbreite entspricht exakt dem Durchmesser der Punkte gleicher Größe.
Die Ideallinie ist demgemäß immer ein Rechteck.
Ein idealer Punkt kann aber auch ein Quadrat oder ein Rhombus sein, wenn sich zwei Linien gleicher Stärke kreuzen.
Für Konstruktionen und rechnerisch gesehen ist es aber völlig unerheblich wie groß ein Punkt ist, sofern die Durchmesser der Linienstärke entsprechen.

Darum glaube ich, daß der Punkt ein Produkt von sich kreuzenden zwei oder mehreren Linien ist. Die Punktgröße ergibt sich aus der Linienstärke.
Das aber würde bedeuten, daß ein idealer Punkt kein Kreis sein könnte, sondern vielmehr ein Vieleck, bestehend aus der Anzahl der sich kreuzenden Linien.
Punkt.

PS: Ein Punkt kann nicht 0 sein. Das Verbinden zweier Punkte wäre dann unmöglich.

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Re: Was ist ein Punkt?
von Ex_Mitglied_40174 am So. 14. September 2003 21:22:24


PUNKTE!!Damit wird ein weiterer Zustand beschrieben, den man weder sehn noch ergreifen kann.Aber zur besseren Vorstellung aller Dinge die uns umgeben...

Wer kann denn schon Pixel anfassen??? MUHAHAHA ....
Viel Spass beim weiteren philosophieren über den Sinn des Lebens...

greetz/Peeze

BCO

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Re: Was ist ein Punkt?
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 22. September 2003 02:37:35


thefish: "Aus der unendlichen Aufsummierung dieser [Punkte] [...] ergibt sich laut den Integralregeln unendlich viele Kombinationen, sprich Geraden oder sogar nur Strecken."

DaMenge: "[...] die Null ist die einzige Zahl, die tatsächlich den Charackter eines Punktes trägt [...]"

Somit ergäben sich also aus der unendlichen Aufsummierung der Zahl Null unendlich viele Kombinationen, Strecken auf der Zahlengeraden, sprich Zahlen.

Null * Unendlich = x

<=> x / Null = Unendlich

Womit die Aussage meiner Mathelehrerin in der Grundschule damals wiederlegt wäre, bzgl x/0 wäre nicht definiert ;o)
Lustige Angelegenheit, die Sache mit dem Punkt. Nur weiter so!

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Re: Was ist ein Punkt?
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 30. September 2003 16:07:23


Ich schreibe gerade an einem Artikel über eine neue Theorie des Punktes. Was haltet Du davon, einen Punkt als Fraktal zu betrachten, das wiederum in einem Punkt endet. Bei größerem Maßstab ist der letzte Punkt wiederum der nächste Fraktalausschnitt. Als Fraktal wähle ich das Quadrat mit eingeschriebenem Kreis - eingeschr. Quadrat ... vise versa (oder ein Dreieck).

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Re: Was ist ein Punkt?
von Hogl am Do. 18. Januar 2007 18:54:04


Um die Diskussion zu bereichern: Selbstverständlich gibt es quadratische und sogar runde Punkte.
Der Graph der Relation |x|+|y|= r (r>0) ist ein Quadrat mit den Spitzen (r/0); (0/r); (-r/0) und (0/-r).
Demzufolge ist der Graph der Relation |x|+|y|= 0 ein quadratischer Punkt.
Entsprechend erzeugt die Relation x² + y² = 0 einen kreisrunden Punkt.(;-)

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Re: Was ist ein Punkt?
von Ex_Mitglied_40174 am So. 17. Juni 2007 16:22:12


Den Anmerkungen gemäß zur griechischen Übersetzung der wissenschaftlichen Bücherreihe Darmstadt zu Euklid soll die Definition Nr. 1 auch übersetzbar sein mit: "Ein Punkt ist, dessen Teil Nichts." Meiner Auffassung nach ist dies die grundlegende definitorische Aussage, dass kein "Teil" den Grenzpunkt kennzeichnen kann aber es genau um diesen Punkt und keinen anderen geht, in dem etwas endet.  
 Nur dadurch eine Linie breitenlos ist. Nur dadurch eine Figur begrenzt ist in der sie endet:  
 
 Man also einerseits Größen hat, auch Zahlen, selbst Zählzeichen so geartet sind, dass sie ihre Teile umfassen, jedoch der Witz des Logos bei alledem ist, dass das worin alles endet und keinerlei Ausbreitung ins "Nachbarliche" hat, also demnach die Foderung nach Schärfe, Genauigkeit, Richtigkeit und damit "Gerechtigkeit" (MA, gerechte Gründe) erfüllbar werden läßt, die "Notwendigkeit" zur Abkehr von der "Unschärfe" erfüllt, den Geist erfüllt, der selbst die Zahl, das Maß, die Proportion ist auf die vom Plan her abzuzielen ist. Das stellt die "conditio sine qua non" im Anfang von 15 Bänden des Euklid unmißverständlich voran und verkettet sich fortlaufend mit allen weiten Definitionen, Axiomen, Postulaten und Beweisen, die selbst wiederum den Umfang zeigen der im Weiteren d.h. im Fortgang dem Logos des sklavischen Nachvollzugs ohne "Königsweg" der Vereinfachungen abverlangt werden muss, damit sich alle Bedingungen dieser ernsthaften "Definition" erfüllen können, die das gesamte Werk Euklids durchdringt.  
 
 Wie sich erst nach Nachvollzug dieser "Definition" erweist, bekommt also die Aussage: "Ein Punkt ist, dessen Teil "Nichts"!" genau die Schärfe des Logos aller Bezüge dieser strengen griechischen Forderungen, was eine Definition ist und nicht sein kann - vor Allem nicht rückbezüglich selbstbeweisend zirkelschlüssig - was naturgemäß ein Euklid nicht zur Definition erhebend in den Anfang seiner 15 Bände stellen durfte - es hätte ihn sogleich erledigt!  
 
 Dass es naturgemäß nicht sein kann, Euklid zu verdächtigen, er hätte Aussagen über eine wie auch immer geartete "Ausbreitung" abgrenzend treffen wollen ist demnach totaler gegenständlicher Teile - Unsinn! Sowohl sein Begriff: "Ein Punkt ist", als auch der Ausschluss "der Punkt", wodurch er auch immer sei (LOGOS) könne als "Grenze" sowohl Teile des einen, als auch Teile des Anderen haben, stellt die wesentlichste Forderung an den nachvollziehenden Geist voran, der erläutert haben möchte, auf welchen Weg er sich zu bewegen hat, wenn er nachvollziehen will was er eigentlich zu denken hat - bereits dann, wenn er es mit der Idee der Zahl zu tun hat.  
 
 Auch die Zahl hat dieselbe geistige Struktur, von einer Zahl als Einheit und Maß garnicht kommensurabel oder inkommensurabel zu reden!  
 
 In so weit regelt Euklid bereits mit seiner Definition No.: 1 den gesamten sich öffnenden Verkehr mit seiner "Sammlung" des Mathematischen und gibt ihm den Überbau mit einem "schlagenden Satz", der keinerlei schrägen Verdächtigung ausgesetzt werden kann. Eine abstrakte Höchstleistung, nicht zu verquicken mit gegenständlichen unscharfen Vorstellungen!  
 
 Darum handelt es sich bei Euklid auch nicht um eine Art von "Geometrie", die er dadurch sogleich abwürgt, also nicht um physikalisches Messen! Im Mittelalter (MA) betont Meister Eckard darum auch, das darum niemals wirkliches wahres richtiges Messen erreichbar ist.  
 
 Das Absonderliche zur Moderne ist die Erkenntnis über die demgegenüber auftretende Erkenntnis über die vom Geist, vom Logos "beabsichtigte" Zielsetzung der Schärfe, Richtigkeit und Genauigkeit bis in die Gerechtigkeit weit weg vom "Handwerk" des Könnens und des Vergleichens mit Maßgaben aus oberflächlichen Verabredungen heraus, die zeitweiligem "Zufriedensein" in Spielräumen gleichkommen (Normen).  
 
 Das Erstaunliche ist aber bei alle dem, dass immer schon voher das Zählzeichen ein Finger oder mehr ein Kamel eine Kuh oder ein Mann gleichgesetzt sein konnte und der Verstand über die Grenzen dazwischen "Nichts" nicht extra bemerkt werden mußte und vernachlässigbar gewesen ist.  
 
 Genau aber das zeichnet erstmals Euklid aus, dass er definiert, was und wie diese Grenze einzig zu denken ist, was vorher bereits ewige Praxis gewesen ist und keinerlei Philosophie bedurfte - nicht einmal bei der Quadratdiagonalen und ihren Grenzen.  
 
 Was danach einsetzt, mit der Irrationalität dieser mit dem Ziffern- Zählwerk nicht erreichbaren "Ausrechnungen", ohne Nachvollzug bereits im Anfang der Verschiedenheit der Dimensionen nur dann nicht zu scheitern, wenn man sich anmaßt kommensurabel arbeiten zu können bildet den Widerspruch per se, den bereits der Geist des Zahlensystems in sich trägt, dass es insgesamt auf festen "Verabredungen" basiert, die garkeine Praktikabilität, sondern nur Suggestionen aus Verabredungen beinhaltete. Bereits das Anlegen eines Maßes an Anderes bleibt "unscharf"!  
 
 Nicht einmal Proklos fällt bei seiner These der "unendlichen Leistungsfähigkeit der Zahl" signifikant auf, wie die Zahl selbst als Idee der Figur beschaffen sein muß, wie sie Euklid bereits mit seiner Definition No.: 1. zutreffend erfasst und dies mit Prktikabilität nichts gemein hat.  
 
 Euklid erschafft keine pragmatische Hilfswissenschaft sondern die Mathematik dessen was wahrhaft zutrifft. Von Kreidebergen zu reden erübrigt sich darum bei ihm.  
 
 Aber wie es immer bei aller Klarheit ist: Es gibt praktisch Nichts, was sich nicht doch noch verunklaren ließe...  

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Re: Was ist ein Punkt?
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 30. November 2009 08:27:11


Wenn man sich über dem Begriff des Punktes Gedanken macht, sollte man sich auch für den Begriff des Unendlichen, eigentlich für die unterschiedlichen Begriffe des Unendlichen interessieren.

Erste Frage: Was ist ein unendlicher Prozess. Was versteht man z.B. unter "Grenzwert"? Denn der Punkt entsteht nur dank einem solchen Grenzverfahren.

Ein Prozess (Verfahren) kann vollendet oder unvollendet (besser als endlich oder unendlich) sein, stetig oder diskret.
Denken wir zuerst an Beispiele aus dem Alltag. Die Handlungen marschieren, atmen, sind Beispiele für unvollendete Verfahren. Die Vollendung von marschieren wäre nämlich anhalten und die von atmen wäre aufhören zu atmen. Dagegen ist z.B. springen eine vollendeter Prozess. Denn springen besteht aus "sich in die Luft empor werfen" und "landen", wobei "landen" beide ein Bestandteil der Handlung "springen" und ihre Vollendung ist. Fliegen ist dagegen kein vollendentes Verfahren, denn landen kein Bestandteil von fliegen ist. Konzeptuell versteht man "fliegen" und "landen" als zwei unterschiedliche Sachen.

Ein Iterativer Prozess ist ein diskretes unvollendetes Verfahren. Der Grenzwert (wenn es einen gibt) dieses Prozesses ist zu verstehen als seine METAPHORISCHE VOLLENDUNG. Der Begriff der (Konzeptuellen) Metapher ist im Sinne der Neurowissenschaft zu verstehen (G. Lakoff) und ist unentbehrlich, um die Unendlichkeit aus der Perspektive einer Analyse der Ideen in der Mathematik zu verstehen.
(siehe "Where Mathematics comes from?", George Lakoff/Raphaël Nuñez).

Kommen wir wieder zum Punkt. Der Punkt entsteht aus einem Grenzprozess. Ein zweidimensionaler Punkt ist z.B. die Vollendung folgendes iterativen Prozesses:
- man gebe sich eine Scheibe von Radius 1;
- der Radius wird halbiert.

Die Vollendung dieses Prozesses ist der Punkt als DIMENSIONSLOSER Punkt.

Wenn man aber folgender leicht modifizierter iterativer Prozess betrachtet:
- man gebe sich eine Scheibe von Radius 1 und der Radius ist steng positiv;
- der Radius wird halbiert und ist streng positiv,

erhält man eine wesentlich andere Vollendung, den INFINITESIMALEN Punkt.
Dabei weise ich auf den Begriff des Infinitesimalen hin, Zahlen welche sich mit den reellen Zahlen additiv und multiplikativ kombinieren lassen, die aber obwohl streng grösser Null, kleiner als JEDE reelle Zahl. Die Grundidee kommt von Leibniz.

Diese zwei metaphorischen Vollendungen eines Grenzprozesses sind ganz unterschiedlich im Begriff.


Jedenfalls ist der Punkt nicht nur eine Sache "immer im Werden" (gemäss Jürgen). Die Vollendung setzt eben einen Punkt an die unendliche Weiderholung des Iterationsschrittes "Radius halbieren". Diese Vollendung kann nur metaphorisch existieren, d.h. ist ein Konstrukt in unseren Köpfen und ist nicht in der Welt zu finden.


Der Begriff des Punktes ist auch deswegen schwierig zu verstehen, weil er logisch inkonsistant ist. Dies merkt man wohl bei der Betrachtung der Punkten auf einer Gerade mit der Frage, ob sich die Punkte berühren. Mehr über dieses Thema bei Lakoff/Nuñez.

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Re: Was ist ein Punkt?
von Harry007 am Do. 18. November 2010 13:27:13


Daher hat man sich in der modernen Mathematik von der Euklidischen Geometrie verabschiedet.
Hilbert hat die euklidische Geometrie neu definiert:
de.wikipedia.org/wiki/Euklidische_Geometrie#Geometrie_und_Wirklichkeit_bei_Hilbert
Danach sind die Euklidischen Definitionen aus den Beziehungen untereinander definiert und nicht mehr Apriori.

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Re: Was ist ein Punkt?
von huepfer am Do. 18. November 2010 18:51:44


Hallo Harry,

ich würde ja nicht sagen, dass sich die moderne Mathematik von der Euklidischen Geometrie verabschiedet hat. Es gibt nur diverse andere Geometrien die ebenfalls ihre Daseinsberechtigung haben und durchaus in der aktuellen Forschung eine wichtigere Rolle spielen als die Euklidische. Diese ist aber zweifelslos weiter "aktuell".
Bei Deiner zweiten Aussage würde ich mit einem entschiedenen "vielleicht" antworten. In erster Linie ist bei Hilbert die Realisierung der Axiome durch konkrete Objekte irrelevant, das Ziel bleibt aber, die bis dato schon bekannte Euklidische Geometrie zu konkretisieren und das altbekannte Modell zu formalisieren. Und in sofern ist dann auch das bei Euklid vorgegebene der Punkte doch irgendwie wieder extrinisch und nicht nur durch die Beziehungen untereinander bestimmt.

Gruß,
   Felix

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Re: Was ist ein Punkt?
von Georg8 am Fr. 17. Mai 2013 20:05:52


Schreibe gerade eine Arbeit, in der ich die ART und die Quantenmechanik in Einklang bringe. Für die bei der ART auftretenden Singularitäten (Urknall-Singularität) ist die mathematische Punktdefinition bedeutsam. Man spricht in der Physik von einem Punkt unendlicher Dichte, ohne Ausdehnung. Ich habe nun den mathematischen Punkt physikalisch definiert als Vollkugel unendlicher (Informations)dichte, auf die sich der Begriff "Größe" nicht anwenden lässt, denn es gilt: unendlich/beliebig groß = unendlich/beliebig klein (das heißt "groß" und "klein" konvergieren im Unendlichen). Daraus folgt, dass das Universum beliebig groß bzw. klein SEIN (nicht werden!) kann. Weiters möchte ich zeigen, dass die reelle Zahl eins im Gleichgewicht steht mit dem aktual Unendlichen, denn es besteht folgender Zusammenhang: (Diese) eine Vollkugel unendlicher (Informations)dichte (auf die sich der Begriff Größe nicht anwenden läßt), ist äquivalent unendlich/beliebig vielen Voll- bzw. Hohlkugeln bzw. einer nulldimensionalen Hohlkugel. Die aktuale Unendlichkeit als unendlich Gesamtheit gilt es noch exakt zu definieren; klar ist, dass sie alle (Zahlen) umfassen UND enthalten muß.

Was sagen die Forumsmitglieder dazu?


 




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Re: Was ist ein Punkt?
von Ex_Mitglied_40174 am Sa. 31. Januar 2015 15:11:45


ad Georg8

Wenn unendlich groß gleich unendlich klein ist, bedeutet das, dass groß und klein ineinander existieren müssen.
Eine nulldimensionale Hohlkugel wäre dann die Kugeloberfläche einer Vollkugel mit unendlichem Volumen?
 

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Re: Was ist ein Punkt?
von matroid am Sa. 31. Januar 2015 20:21:35


Das Große und das Kleine:
www.youtube.com/watch?v=0fKBhvDjuy0

Gruß
Matroid

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