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Rätsel und Spiele: Zwischen Quadraten und Kuben
Freigegeben von matroid am Mo. 08. September 2003 23:23:28
Verfasst von n-te -   9272 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Spiele+Rätsel


Hallo ihr Planetarier,

Wo ist das Quadrat?ist euch schon mal aufgefallen, dass 26 genau zwischen 5*5=25
und 3*3*3=27 liegt.
Sie liegt somit zwischen einer Quadrat- und einer Kubikzahl.
Meine Frage ist nun,ob dies die einzige Zahl ist, die diese Eigenschaft erfüllt.
Ansonsten würde mich interessieren, wieviele solcher Zahlen es gibt und ob ihre Anzahl endlich oder unendlich ist.

gruß eu[er,re] n-te


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Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
: Spiele+Rätsel :: Zahlentheorie :: Diophantische Gleichungen :: Sonstige Mathematik :
Zwischen Quadraten und Kuben [von n-te]  
Ist euch schon mal aufgefallen, dass 26 genau zwischen 5*5=25 und 3*3*3=27 liegt. Sie liegt somit zwischen einer Quadrat- und einer Kubikzahl. Meine Frage ist nun,ob dies die einzige Zahl ist, die diese Eigenschaft erfüllt. Ansonsten würde mich interessieren, wieviele ...
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" Rätsel und Spiele: Zwischen Quadraten und Kuben" | 14 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Zwischen Quadraten und Kuben
von viertel am Mo. 08. September 2003 23:58:22


Hi n-te,
das wurde hier auf dem MP schon mal bearbeitet.
Sorry.
1/4

 [Bearbeiten]

Re: Zwischen Quadraten und Kuben
von viertel am Di. 09. September 2003 00:09:04


Oh krass,
hab gerade gemerkt, daß der Link, auf den in dem von mir angegebenen Link verwiesen wird, tot ist.
Ich kann dort leider auch nix Vergleichbares finden

 [Bearbeiten]

Re: Zwischen Quadraten und Kuben
von matroid am Di. 09. September 2003 06:43:31


Unter dem Link war u.a. dies zu lesen:


In der Einleitung des Buchs "Rational Points on Elliptic Curves" von Joseph H. Silverman und John Tate (Springer-Verlag 1992) habe ich zufällig das Folgende gefunden. (Schreibfehler stammen durch Scanfehler oder durch falsches Abtippen. Ich hoffe, die meisten sind raus.)

The theory of Diophantine equations is that branch of number theory which deals with the solution of polynomial equations in either integers or rational numbers. The subject itself is named after one of thc greatest of the ancient Greek algebraists, Diophantus of Alexandria, who formulated and solved many such problems.

Fußnote: Diophantus lived sometime before the 3rd century A.D. He wrote the Arithmetica, a treatise on algebra and number theory in 13 volumes, of which 6 volumes have survived.

Most readers will undoubtedly be familiar with Fermat's Last Theorem.

Fußnote: Fermat's Last "Theorem" is really a conjecture, because it is still unsolved after more than 350 years.
Fermat stated his "Theorem" as a marginal note in his copy of Diophantus' Arithmetica; unfortunately, the margin was too small for him to write down bis proof!

Anmerkung: Das Buch ist von 1992!

This theorem says that if n > 3 is an integer, then the equation

fed-Code einblenden

has no solutions in non-zero integers X, Y, Z. Equivalently, the only solutions in rational numbers to the equation

fed-Code einblenden

are those with either x = 0 or y = 0. Fermat's Theorem is now known to be true for all exponents n

fed-Code einblenden

Fußnote: This equation is often called Bachet's equation, after the 17th century mathematician who originally discovered the duplication formula. lt is also sometimes called Mordell's equation, in honor of the 20th century mathematician L. J. Mordell, who made a fundamental contribution to the solution of this and many similar Diophantine equations. We still be proving a special case of Mordell's theorem in Chapter III.

Suppose wo are interested in solutions in rational numbers x, y. An amazing property of this equation is the existence of a duplication fomula, discovered by Bachet in 1621. If (x,y) is a solution with x and y rational, then it is easy
to check that

((x^4 - 8cx)/(4y^2),(-x^6 - 20cx^3 + 8c^2)/(8y^3))

is a solution in rational numbers to the same equation. Further, it is possible to prove (although Bachet was not able to) that if the original solution has xy != 0 and if c!= 1, -432, then repeating this process leads to infinitely many distinct solutions. So if an integer can be expressed as the difference of a square and a cube of non-zero rational numbers, then it can be so expressed in infinitely many ways. For example, if we start with the solution (3,5)
to the equation

fed-Code einblenden

and apply Bachet's duplication formula, we find a sequence of solutions, that starts

(3 , 5),  (129/102 , -383/103), (2340922881/76602 ,
113259286337292/76603), ...

As you can see, the numbers rapidly get extremely large.

Next we'll take the same equation

fed-Code einblenden

and ask for solutions in integers x, y. In the 1650's Fermat posed as a challenge to the English mathematical community the problem of showing that the equation y^2 - x^3 = -2 has only two solutions in integers, namely (3, +/-5). This is in marked contrast to the question of solutions in rational numbers, since we have just seen there are infinitely many of those. None of Fermat's contemporaries appears to have solved the problem, which was solved incorrectly by Euler in the 1730's, and given a correct proof 150 years later! Then in 1908, Axel Thue made a tremendous breakthrough; he showed that for any non-zero integer c, the equation y^2 - x^3 = c
can have only a finite number of solutions in integers x, y.

Fußnote: Axel Thue made important contributions to the theory of Diophantine equations, especially to the problem of showing that certain equations have only finitely many solutions in integers. These theorems about integer solutions were generalized by C. L. Siegel during the 1920's
and 1930's. We will prove a version of the Thue-Siegel theorem (actually a special case of Thue's original result) in Chapter V.

This is a tremendous (qualitative) generalization of Fermat's challenge problem; among the infinitely many solutions in rational numbers, there can be but finitely many integer solutions.

The 17th century witnessed Descartes' introduction of coordinates into geometry, a revolutionary development which allowed geometric problems to be solved algebraically and algebraic problems to be studied geometrically. For example,
if n is even, then the real solutions to Fermat's equation x^n + y^n = 1 in the xy plane form a geometric object that looks like a squashed circle. Fermat's Theorem is then equivalent to the assertion that the only points on that squashed circle having rational coordinates are the four points (+/-l, 0) and (0, +/-1). The Fermat equations with odd exponents look a bit different. We have illustrated the Fermat curves with exponents 4 and 5 in Figure 0.1.

[ Bachet ]
Figure 0.1 The Fermat Curves x^4 + y^4 = 1 and x^5 + y^5 = 1

Similarly, we can look at Bachet's equation y^2 - x^3 = c, which we have graphed in Figure 0.2.

[ Bachet ]
Figure 0.2 Bachet's Equation y^2 - x^3 = c

Recall that Bachet discovered a duplication formula which allows us to take a given rational solution and produce a new rational solution. Bachet's formula is rather complicated, and one might wonder where it comes from. The answer is, it comes from geometry! Thus, suppose we let P = (x, y) be our original solution, so P is a point on the curve (as illustrated in Figure 0.2). Next we draw the tangent line to the curve at the point P, an easy exercise suitable for a first semester calculus course.

Fußnote: Of course, Bachet had neither calculus nor analytic geometry, so he probably discovered his formula by clever manipulation.

This tangent line will intersect the curve at one further point, which we have labeled Q. Then, if you work out the algebra to calculate the coordinates of Q, you will find Bachet's duplication formula. So Bachet's complicated
algebraic formula has a simple geometric interpretation in terms of the intersection of a tangent line with a curve.
This is our first intimation of the fruitful interplay that is possible among algebra, number theory, and geometry.

Am Ende von Kapitel 1 kommt dann noch eine Aufgabe:

Beweise, dass Bachets Gleichung für c = 17 genau acht ganzzahlige Lösungen mit y > 0 besitzt.

Versehen mit der Warnung:

This is an extremly difficult problem, and you will almost certainly not be able to do it with the tools we have developed. But it is also an extremly interesting problem which is well worth thinking about.



Gruß
Matroid

 [Bearbeiten]

Re: Zwischen Quadraten und Kuben
von SchuBi am Di. 09. September 2003 09:09:47


@Matroid
Das istWahnsinn, welche Schätze du an den Tag bringst.

 [Bearbeiten]

Re: Zwischen Quadraten und Kuben
von matroid am Di. 09. September 2003 22:54:10


fed-Code einblenden

Zusammenfassung: Ich muß es heute aufgeben.

Gruß
Matroid

 [Bearbeiten]

Re: Zwischen Quadraten und Kuben
von sastra am Mi. 10. September 2003 23:56:10


Hi Matroid,

Aus Gleichung (1) folgt sofort
fed-Code einblenden

Noch ein Detail:
Bei der Folgerung
fed-Code einblenden
benutzt Du, dass
fed-Code einblenden
teilerfremd sind.
Dies wäre noch zu zeigen
(sollte aber nicht schwer sein)

Gruss, Sastra


 [Bearbeiten]

Re: Zwischen Quadraten und Kuben
von matroid am Mi. 10. September 2003 23:59:44


Hi Sastra,

ich hatte es mir gewünscht, daß es sofort folgt, aber mir ist der Grund dafür nicht plausibel geworden.
Warum kommen für u und v nur ganze Zahlen in Frage?

Gruß
Matroid

 [Bearbeiten]

Re: Zwischen Quadraten und Kuben
von sastra am Do. 11. September 2003 00:16:41


Hi Matroid,

Berechtigter Einwand !
Man müsste zeigen, dass in
fed-Code einblenden
eine eindeutige Primfaktorzerlegung existiert,
und dass jedes Element dieses Ringes von der Form
fed-Code einblenden
ist (mit a,b in Z)

Die Tatsache, dass die Norm
fed-Code einblenden
multiplikativ ist, könnte auch nützlich sein...

Gruss, Sastra

 [Bearbeiten]

Re: Zwischen Quadraten und Kuben
von matroid am Do. 11. September 2003 10:58:50


@Sastra: Daß das ein ZPE-Ring ist, ist gewiß richtig.
Aber indem man die Faktorzerlegung in diesem Ring betrachtet, hat man sich doch schon auf ganzzahlige u und v beschränkt. Steckt man dann nicht das hinein, was man folgern möchte.

Es ist ja leicht andere u und v zu finden. Setze z.B. v = 2, dann wird u=17/12.

Die Tatsache, daß man ganze Zahlen für x und y sucht, berechtigt doch nicht anzunehmen, daß auch u und v ganzzeilig sein müssen.

Mir fehlt da noch was.

Gruß
Matroid

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Re: Zwischen Quadraten und Kuben
von sastra am Do. 11. September 2003 13:18:52


Hi Matroid,

so müsste es doch gehen:

1) Zeige, dass x und y ungerade sein müssen

2) Zeige, dass
fed-Code einblenden
teilerfremd sind

Die Existenz einer eindeutigen Primfaktorzerlegung
können wir nun folgendermassen ausnutzen:
Da das Produkt der beiden teilerfremden Faktoren
fed-Code einblenden
eine 3te Potenz ist, so müssen beide Faktoren
schon eine 3te Potenz sein (bis auf 'Vorzeichen')
Also ist zum Beispiel
fed-Code einblenden
für ein
fed-Code einblenden

Gruss, Sastra




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Re: Zwischen Quadraten und Kuben
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 11. September 2003 17:25:30


die antwort is ganz einfach habs gelesen:

es gibt endlich viele Zahlen. Welche schaut einfach auf www.hypermathe.de nach

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Re: Zwischen Quadraten und Kuben
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 12. September 2003 15:39:18


Was ist i?

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Re: Zwischen Quadraten und Kuben
von Martin_Infinite am Sa. 27. September 2003 20:40:40


@Matroid: Ist die Lösung der kubischen Gleichung
noch von Interesse?

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Re: Zwischen Quadraten und Kuben
von matroid am So. 28. September 2003 14:13:58


@MI: Warum nicht? Nur ob das zu etwas führt, das weiß ich nicht, muß es sogar bezweifeln.

Gruß
Matroid

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