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Physik: Seltsames Verhalten zweier Kondensatoren
Freigegeben von matroid am Sa. 01. November 2003 15:53:57
Verfasst von Hans-Juergen -   8700 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Physik

\(\begingroup\)

Seltsames Verhalten zweier Kondensatoren

Die in einem Kondensator gespeicherte Ladung Q ist der angelegten Spannung U proportional: Q=CU. C heißt die Kapazität des Kondensators. Bei einem Plattenkondensator ist C proportional der Plattenfläche und umgekehrt proportional zum Plattenabstand. Das bedeutet: schaltet man zwei gleich gebaute Plattenkondensatoren der Kapazität C parallel, hat der dadurch entstehende neue Kondensator die Kapazität 2C, denn die Plattenfläche hat sich bei ihm verdoppelt, während der Plattenabstand gleich geblieben ist.


Ein Kondensator ist nicht nur ein Ladungs-, sondern auch ein Energiespeicher. Für die in ihm enthaltene Energie gilt:
W=½CU².    (*)

Wird einem geladenen Kondensator ein gleichartiger, aber ungeladener Kondensator parallel geschaltet, verteilt sich die Ladung gleichmäßig auf beide, d. h. jeder hat dann die Ladung Q/2. Insgesamt bleibt Q konstant, denn beim Zusammenschalten der beiden Kondensatoren geht Ladung nicht verloren. Da nach dem Vorstehenden der zusammengesetzte Kondensator die Kapazität 2C hat, muß, damit das Produkt "Kapazität mal Spannung" gleich bleibt, die Spannung auf die Hälfte ihres ursprünglichen Wertes absinken: Q=(2C)·(U/2). Zwischen den Platten des zusammengesetzten Kondensators besteht jetzt die Spannung U/2.

Damit erhält man für die in dem zusammengesetzten Kondensator gespeicherte Energie: ½·(2C)·(U/2)²=½CU²/2. Dieses Ergebnis ist überraschend: die beiden Kondensatoren enthalten zusammen nur die Hälfte der Energie ½CU², die der ursprüngliche, geladene Einzelkondensator besaß. Wo ist die andere Hälfte geblieben? Das Problem gehört zu physikalischen Denksportaufgaben, die manchmal gestellt werden.

Der scheinbare Energieverlust ergibt sich mit Hilfe der Formel (*). Sie wurde nicht begründet, was jetzt nachgeholt werden soll.

Dazu betrachten wir eine andere Schaltung mit nur einem Kondensator. Auch er soll ursprünglich geladen sein und sich dann über einen angeschlossenen Widerstand R entladen. Die Spannung U ist am Kondensator und am Widerstand gleich groß, und der durch den Widerstand fließende Strom I ist nach dem Ohmschen Gesetz gleich U/R. Außerdem ist die Stromstärke nicht wie bei konstantem Gleichstrom einfach gleich Q/t, d. h. fließende Ladung durch Zeit, sondern gleich der Ableitung der Ladung nach der Zeit. Genauer gilt, weil die Ladung des Kondensators abnimmt, Q· also negativ ist (und U und R beide positiv sind) : I = -Q·. Wegen Q=CU kann man dafür auch schreiben: I = -CU ·, und das soll gleich U/R sein.

Die so entstehende Differentialgleichung
U ·= - U/(RC)
hat die Lösung
U=Uo e-t/(RC),
wobei Uo die Anfangsspannung des Kondensators ist, der sich theoretisch erst nach unendlich langer Zeit vollständig entlädt.

Für die im Widerstand umgesetzte elektrische Leistung P=UI=U²/R erhält man
P = Uo² e-2t/(RC) /R,
woraus durch zeitliche Integration von 0 bis Unendlich die gesamte, im Widerstand umgesetzte Energie folgt:

Diese Energie muß vorher im Kondensator gespeichert gewesen sein, so daß Gl. (*) hiermit begründet ist. In den Physikbüchern wird sie gewöhnlich auf andere Weise hergeleitet.

Hans-Jürgen

\(\endgroup\)

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Seltsames Verhalten zweier Kondensatoren [von Hans-Juergen]  
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" Physik: Seltsames Verhalten zweier Kondensatoren" | 10 Kommentare
 
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Re: Seltsames Verhalten zweier Kondensatoren
von Ollie am Sa. 01. November 2003 18:22:45

\(\begingroup\)
Hallo Hans-Jürgen, interessanter Beitrag.

Vielleicht sollte man jetzt noch herausstellen, daß die fehlende Energie in den Zuleitungen durch ohmsche Verluste in Wärme umgewandelt wird.

mfg Oliver\(\endgroup\)

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Re: Seltsames Verhalten zweier Kondensatoren
von Hans-Juergen am Mo. 03. November 2003 09:31:34

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Hallo Oliver,

in der Aufgabe wird vom Leitungswiderstand abgesehen; er kommt in der Rechnung nicht vor bzw. hat dort den Wert 0. Technisch ließe sich das dadurch realisieren, daß man die Leitungen (wie übrigens auch die Kondensatorplatten) supraleitend macht. Da in ihnen keine Umwandlung von elektrischer in Wärmeenergie stattfindet, bleibt die Frage, wo der paradoxe, scheinbare Energieverlust herrührt, offen.

MfG Hans-Jürgen\(\endgroup\)

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Re: Seltsames Verhalten zweier Kondensatoren
von Ollie am Mo. 03. November 2003 10:55:15

\(\begingroup\)
Hallo Hans-Jürgen,
ich habe hier zwei links dazu gefunden, der erste ist recht ausführlich und beim zweiten ist die Hausaugabe 1 interessant, die weiter unten auf der Seite gelöst wird.

http://www.hcrs.at/KOND.HTM

http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/gk3b-2002-2003/ueb/ue03/

viele Grüße,
Oliver
\(\endgroup\)

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Re: Seltsames Verhalten zweier Kondensatoren
von FriedrichLaher am Mo. 03. November 2003 12:13:05

\(\begingroup\)
Ich bin, wenn ich das schreibe, dem Link noch nicht
gefolgt,
und erkläre den Energieabfluss so:

ein "Stromkreis" enthält immer auch eine Induktivität;
verbindet man einen Geladenen Kondensator mit einem
ungeladenen ( oder mit anderer Spannung geladenen ),
ensteht ein Schwingkreis und damit ein Wechselstrom;
wird
die Energie des EM-Wechselfeldes nicht durch einen
idealen magnetischen Kreis "gefangen gehalten"
so
wird sie als EM-Welle in den Raum abgestahlt
und
geht damit verloren, selbst wenn der Ohmsche Wiederstand des Stromkreises 0 ist.\(\endgroup\)

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Re: Seltsames Verhalten zweier Kondensatoren
von Hans-Juergen am Mo. 03. November 2003 18:43:00

\(\begingroup\)
Hallo Oliver und Friedrich,



H. Smelna und R. Smetana untersuchen in www.hcrs.at/ELMAIN.HTM das Problem experimentell und finden dabei gedämpfte Schwingungen. Ihre Darstellung enthält auch eine Bemerkung über die Möglichkeit der Energieabstrahlung sowie den Satz: "Ladung selbst ist noch keine Energie; erst ihre Bewegung von einem Kondensator zum anderen erzeugt Energie."



MfG Hans-Jürgen
\(\endgroup\)

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Re: Seltsames Verhalten zweier Kondensatoren
von FriedrichLaher am Di. 04. November 2003 13:21:05

\(\begingroup\)
naja, Einstein würde wohl widersprechen;
aber
in der Ladungsdichte steckt potentielle Energie,
und,
im Feld stekckt welche,
in
"Isolierte" Ladung auch, da sie ja irgenwo
ionisierte Atome hinterlassen haben muss,
und
sie denen zu entreissen, Energie kostete.\(\endgroup\)

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Re: Seltsames Verhalten zweier Kondensatoren
von Ex_Mitglied_40174 am So. 30. November 2003 01:03:11

\(\begingroup\)
Dazu hätte ich eine Frage.
Sicherlich ist es technisch möglich, dass man die Leiter und Platten supraleitend macht.
Und es spielt wohl auch für die Überlegung an sich keine Rolle.
Aber auf den Einwand von Ollie kam mir folgende Überlegung.

Im supraleitenden Fall hätten sie keinen Widerstand und für einen quasi unendlich kurzen Zeitraum (eher punkt *G*) würde ein quasi unendlich großer Strom fließen.
Dadurch würde aber das entstehende Magnetfeld, was in diesem Fall auch gegen unendlich läuft, die Supraleitfähigkeit zerstören.
Soweit mir bekannt ist kann man auch durch einen Supraleiter mit endlichem Querschnitt keinen beliebig großen Strom schicken.

Wo mache ich den Gedankenfehler?
Danke im Voraus.\(\endgroup\)

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Re: Seltsames Verhalten zweier Kondensatoren
von Site am Di. 04. Mai 2004 18:23:09

\(\begingroup\)
Hi,

ein interessantes Problem!

Die Wärmeentwicklung ist nur eine Folge, keine Ursache. Denn die Materialeigenschaften der Platte sind in keiner der Herleitungen berücksichtigt. Es könnte sich theoretisch um ein Vakuum handeln, in dem den Elektronen nur bestimmte Aufenthaltsbereiche erlaubt wären. So wäre jeglicher Widerstand verschwunden, die Formeln besäßen aber noch Gültigkeit.

Durch Zuschalten des zweiten Kondensators (vereinfacht könnte man sich sogar vorstellen, man schiebe zwei weitere, ungeladene Platten an die anderen bis zur Berührung heran, wodurch ein größerer Kondensator entstünde), erhalten die Elektronen kinetische Energie, da sie sich gegenseitig abstoßen und einen neuen, unbesetzten Bereich gefunden haben. Ursache hierfür ist, daß der andere Zustand (alle Platten gleichmäßig besetzt) energetisch günstiger ist, geringere potentielle Energie besitzt. Es wird also potentielle Energie umgewandelt. Ist ein Widerstand vorhanden, so endet es in Wärme, ist keine vorhanden, so muß ein Hertzscher Dipol entstehen, der seine Energie über elektromagnetische Wellen abgibt.\(\endgroup\)

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Re: Seltsames Verhalten zweier Kondensatoren
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 07. Juni 2006 05:35:33

\(\begingroup\)
Energie = Fähigkeit Arbeit zu leisten. Sinkt die Spannung, sinkt auch diese Fähigkeit und somit Energie.\(\endgroup\)

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Re: Seltsames Verhalten zweier Kondensatoren
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 05. Januar 2007 13:46:45

\(\begingroup\)
Wie legt man das ganze aus, wenn die Kondensatoren verschiedene Kapazitäten haben?
Dazu hab ich leider noch nichts gefunden:(\(\endgroup\)

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