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Einführung in die Vektoranalysis, Teil 1
Freigegeben von matroid am Mo. 24. November 2003 18:43:28
Verfasst von eckard -   54189 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

Einführung in die Vektoranalysis Teil 1

Studenten strömen seit einigen Wochen wieder in die Hörsäle und vernehmen dieses furchteinflößende Wort: Vektoranalysis. Bei Anfängern (insbesondere bei Physik-Studenten im 1. Semester) ruft es Angstzustände hervor, vor allem dann, wenn sie Übungsaufgaben vorgelegt bekommen, in denen zum Beispiel der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten benutzt werden soll. Kennern der Materie bereitet dieses Gebiet mitunter Vergnügen. Woran liegt das?


Zum einen prallen hier für den Neustudenten zwei Welten aufeinander: Vektorrechnung und Analysis (sprich Differential- und Integralrechnung, zusammen auch kurz Infinitesimalrechnung genannt). Von beidem muss er nicht unbedingt während des Abiturs oder der Matura gehört haben - jedes Gebiet ist für sich genommen schon anspruchsvoll genug. Er mag zwar von einem Paar Vektoren das Skalar- und Vektorprodukt berechnet haben und beherrscht einfache Grundintegrale; doch jetzt soll er mit beiden vereint klar kommen. Zum anderen klafft gerade für junge Physikstudenten die Schere zwischen physikalischen Anwendungen der Vektoranalysis in der Mechanik oder Elektrodynamik und den bereit stehenden mathematischen Grundlagen oft weit auseinander (meine Beobachtung ist, dass die Mathematikvorlesung meist hinterher hinkt). Hier hilft nur ein möglichst frühzeitiges intensives Einarbeiten in die Grundlagen beider Gebiete, damit der Rückstand im Verständnis der Vorlesungen nicht allzu groß wird. Dieser Artikel versucht daher, etwas Licht ins vermeintliche Dunkel der Vektoranalysis zu bringen.

Skalare Felder und Vektorfelder, Koordinatensysteme

Zunächst muss man sich an die Vorstellung gewöhnen, dass es sich bei den Objekten, um die es hier geht, durchweg um Funktionen der räumlichen Koordinaten x, y, z handelt, und zwar um skalare Funktionen (die wir im Folgenden immer mit psi(x,y,z) bezeichnen wollen) oder um Vektorfunktionen (entsprechend F(x,y,z) - wir verwenden - wie in Büchern üblich - fette Buchstaben für Vektoren im Text bzw. überstrichene Buchstaben in Formeln); oft spricht man auch von skalaren Feldern bzw. Vektorfeldern. Typische Beispiele für skalare Felder sind Temperatur- oder Potentialfelder, dagegen sind Kraft-, Feldstärke- oder Geschwindigkeitsfelder von Hause aus stets Vektorfelder.

Bleiben wir gleich bei letzteren: Wie schreiben wir ein Vektorfeld eigentlich auf? Dazu müssen wir zunächst eine geeignete Basis finden, was uns zu dem Begriff Koordinatensystem führt. Jeder kennt die am häufigsten verwendeten kartesischen Koordinaten, in denen der Ortsvektor r vom Ursprung zu einem beliebigen Punkt P(x,y,z) die Darstellung
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- oder oft abkürzend als
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geschrieben - hat. (Die Schreibweise der Vektorkomponenten untereinander und in runden Klammern eingeschlossen verwenden wir im Folgenden nur im Falle kartesischer Koordinaten.) Die Einheitsvektoren e_x, e_y, e_z (welche synonym mit den ebenfalls häufig benutzten i, j, k sind) bilden eine orthonormale Basis, was nichts weiter bedeutet, dass diese Vektoren paarweise senkrecht aufeinander stehen ("ortho") und die Länge 1 haben ("normal" - von "normiert").

Orthonormale Basen oder Koordinatensysteme, mit denen wir uns gleich beschäftigen, werden gern und besonders häufig verwendet, da sie einen entscheidenden Vorteil gegenüber nicht-orthogonalen Koordinaten haben: die Skalarprodukte der Basisvektoren untereinander verschwinden:
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Und das hat wesentliche Vereinfachungen in den Rechnungen zur Folge, wie wir noch sehen werden.

Wie sieht nun unser Vektorfeld F(x,y,z) bzw. F(r) aus? Natürlich so:
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Die Vektorkomponenten F_x*e_x, F_y*e_y, F_z*e_z geben also die Komponenten von F in Richtung der kartesischen Koordinatenachsen x, y, z an (die skalaren Funktionen F_x, F_y, F_z - also ohne die Einheitsvektoren - werden oft auch als Koordinaten des Vektors F bezeichnet; wir nennen sie hier ungeachtet dessen auch Komponenten). Zwischenfrage: Wie berechnen wir die Komponenten F_x, F_y, F_z aus dem gegebenen F bei Bedarf? Antwort: Wir müssen F lediglich einzeln mit den Einheitsvektoren skalar multiplizieren, also so:
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Geometrisch gesehen, ist dies eine Projektion von F auf die Koordinatenachsen. Was hier vielleicht noch trivial und sofort einleuchtend anmutet, muss später nicht mehr unbedingt so sein; wir kommen darauf zurück.

Gradient, Richtungsableitung

Jetzt wagen wir einen ersten Schritt in die Vektoranalysis, indem wir uns mit dem Gradienten einer skalaren Funktion psi(x,y,z) befassen; oft spricht man hier auch vom Nabla-Operator. Er ist (in kartesischen Koordinaten) definiert als
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Wir sehen hieran sofort: Er ist ein Vektor und seine Komponenten sind die (partiellen) Ableitungen der Funktion nach x, y, z. Seine Richtung ist stets diejenige des stärksten Anstiegs von psi und sein Betrag
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gibt die Ableitung des Feldes in diese Richtung an. Somit wird aus dem skalaren Feld psi(r) durch Anwendung des Gradienten ein Vektorfeld grad psi(r) erzeugt.

Eine anschauliche Interpretation dieses etwas gewöhnungsbedürftigen Objekts gibt es (im Zweidimensionalen) auch: Wir stellen uns psi(x,y) einfach als Höhenprofil h(x,y) eines Gebirges vor. Dann besitzt grad psi in jedem Punkt P(x,y) die Richtung des Normalenvektors zu der durch P gehenden Niveaulinie, die ihrerseits durch h(x,y)=const bestimmt ist. Je stärker h wächst oder fällt (je dichter also die Niveaulinien liegen), desto größer ist |grad psi|.

Wie groß ist nun aber die Ableitung des Feldes in andere Richtungen? Da grad psi schon in Richtung des größten Anstiegs zeigt, kann die Ableitung in andere Richtungen betragsmäßig nur kleiner als |grad psi| sein. Wie leicht zu vermuten ist, handelt es sich bei der sog. Richtungsableitung lediglich um die Projektion des Gradienten auf den Einheitsvektor n in diese Richtung, also um das Skalarprodukt aus n und grad psi:
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Der Operator grad kann ebenso auf Vektorfelder angewendet werden; man nennt diese Größe Vektorgradient, worauf wir jedoch erst später eingehen.

Zylinderkoordinaten

Nun wenden wir uns anderen gebräuchlichen Koordinatensystemen zu und berechnen den Gradienten in diesen Systemen. Das neben dem kartesischen Koordinatensystem wohl am häufigsten benutzte ist das zylindrische (Polar-)Koordinatensystem (auch räumliche Polarkoordinaten oder kurz Zylinderkoordinaten genannt). Es ist das Koordinatensystem erster Wahl bei axialsymmetrischen Problemen. In ihm drücken wir den Ortsvektor r eines beliebigen Punktes P nicht mehr durch x, y, z aus, sondern durch drei andere Koordinaten: r, phi, z (die beiden z's sind hier haargenau gleich, also sind es eigentlich bloß zwei andere Koordinaten).

Um die neuen Koordinaten und damit auch die Transformationsbeziehungen zwischen (x, y, z) und (r, phi, z) besser verstehen zu können, projizieren wir unseren Punkt P(x,y,z) noch in die xy-Ebene (d. h. wir fällen das Lot) und nennen diesen Punkt P'. Dann ist r der Abstand des Punktes P' vom Ursprung O und phi derjenige Winkel, den der Strahl OP' mit der positiven x-Achse bildet. Daraus lesen wir nun folgende Transformationsformeln ab (jeweils links stehen die kartesischen Koordinaten, rechts die Zylinderkoordinaten):
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bzw.
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Wie machen wir uns am besten ein Bild von einem unbekannten, nicht vertrauten Koordinatensystem? Wir versuchen, uns die Flächen r=const, phi=const und z=const, die sog. Koordinatenflächen vorzustellen. Dazu müssen wir erst die sog. inversen Transformationsformeln ausrechnen, d. h. wir müssen obiges Gleichungssystem nach r, phi und z auflösen. Das geht hier relativ einfach, weil einerseits durch Quadrieren der Gleichungen für x und y und anschließendes Addieren das phi herausfällt ("trigonometrischer Pythagoras") und andererseits durch gegenseitige Division von y und x das r eliminiert wird. Wir gelangen so zu:
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r=const oder äquivalent r^2=x^2+y^2 - lehrt uns die analytische Geometrie - sind Kreise mit dem Radius r, im Raum also Zylinder mit dem Radius r (aha, daher also der Name!), phi=const - gleichbedeutend mit y/x=const - sind Geraden, die durch den Ursprung gehen, im Raum also ein entsprechendes Ebenenbündel und schließlich z=const (wie im kartesischen Koordinatensystem auch) sind Ebenen parallel zur xy-Ebene.

Auf eines müssen wir hierbei stets achten, nämlich auf die Bedingungen, unter denen die Transformation regulär ist. Damit ist gemeint, ob sich die Transformationsbeziehungen eineindeutig umkehren lassen. Hierfür gibt es ein einfaches Kriterium: die sog. Jakobische Funktionaldeterminante det(J) (auf die später näher eingegangen wird) darf bei Regularität nicht verschwinden. (Die Schreibweise det(J) für die Determinante ist hier besser geeignet, da sie nicht zu Verwechslungen mit dem absoluten Betrag |J| führt.) Bei den Zylinderkoordinaten - können wir uns merken - ist die Transformation nur für r=0 (also im Ursprung) nicht regulär.

Jetzt wird es Zeit, die Basisvektoren in unserem Zylinderkoordinatensystem auszurechnen; nennen wir sie in Anlehnung an die wohlbekannten e_x, e_y, e_z ruhig e_r, e_phi, e_z. Dafür gibt es eine einfache Vorschrift, nämlich diese:
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Also rechnen wir mit (9)
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Tangentenvektoren

Anschaulich können wir uns die Basisvektoren als Tangentenvektoren an die Koordinatenlinien durch einen bestimmten Punkt vorstellen; letztere entstehen, wenn zwei Koordinaten fest gewählt werden und die dritte veränderlich ist, also z. B.
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Jeweils zwei dieser Basisvektoren spannen demzufolge eine der Tangentialebenen auf.

Überprüfen wir sogleich, ob unsere neuen Basisvektoren ebenfalls ein Orthonormalsystem bilden:
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(orthogonal sind sie hiermit schon), und nochmals zur Kontrolle
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(damit sind sie tatsächlich orthonormal). Im Gegensatz zu den ortsunabhängigen e_x, e_y, e_z sind die Basisvektoren krummliniger Koordinaten von Punkt zu Punkt verschieden; man spricht in diesem Zusammenhang auch vom begleitenden Dreibein.

Jacobische Funktionalmatrix

Wer sich etwas mit Matrizenrechnung auskennt, sieht schnell ein, dass die Vektoren dr/dr, dr/dphi und dr/dz auch spaltenweise zu einer Matrix zusammengefasst werden können. Diese Matrix ist die sog. Jacobische Funktionalmatrix J:
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Diese Matrix enthält die Transformationsvorschrift für die Differentiale dx, dy, dz, die wir später benötigen, wenn wir Integrale in krummlinigen Koordinatensystemen berechnen wollen:
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Wer dieses Produkt "Matrix mal Vektor" ausführlich hinschreibt, sieht, dass es sich hierbei gerade um die Kettenregel handelt. Die Determinante det(J)=r heißt dementsprechend Jacobische Funktionaldeterminante und spielt bei Gebietsintegralen eine große Rolle. Wegen det(J)=r>=0 bilden die Tangentenvektoren in dieser Reihenfolge stets ein Rechtssystem.

Wenn wir schon beim Thema Jacobi sind, muss gleichzeitig gesagt werden, dass J auch eine inverse Matrix J-1 hat; natürlich nur dann, wenn det(J) ungleich null, d. h. die Transformation regulär und damit eineindeutig, ist. Wie sieht die Inverse aus? Zunächst können wir sie als Transformationsmatrix der inversen Transformation, also der Abbildung P(r,phi,z) -> P(x,y,z), einführen. So gesehen gilt:
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Die letzte Form erhalten wir, wenn wir die inversen Transformationsformeln (10) benutzen. Andererseits transformieren sich die Differentiale gemäß
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Setzen wir nun die Gleichung (22) in obige inverse Gleichung (20) ein, folgt
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was unsere Schreibweise als inverse Matrix letztendlich rechtfertigt. Zur Übung multipliziere der geneigte Leser beide Matrizen miteinander und überzeuge sich, dass das Produkt tatsächlich die Einheitsmatrix ist.

Auf analoge Weise, wie wir eingangs J aus drei Vektoren zusammengefügt haben, können wir die Transponierte von J-1 (warum?) auch in drei Spaltenvektoren zerlegen. Normieren wir diese Vektoren noch zuvor, geben sie uns die Darstellung der Einheitsvektoren e_x, e_y, e_z im Dreibein e_r, e_phi, e_z an:
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Schließlich bleibt noch zu klären, wie wir aus gegebenen Komponenten F_x, F_y, F_z eines beliebigen Vektors F in kartesischen Koordinaten die entsprechende Darstellung in Zylinderkoordinaten gewinnen. Nun, hier gilt einfach: Die Komponenten F_r, F_phi, F_z berechnen sich analog (5) durch Projektion; also gemäß
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Mit den Gleichungen (12) bis (14) wird daraus
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Für die Umkehrung gilt dagegen mit (24) bis (26):
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Hieran ist eine wichtige Eigenschaft im Hinblick auf Tensoren zu erkennen: die Vektorkomponenten transformieren sich genauso wie die Basisvektoren (24) bis (26).


Gradient in Zylinderkoordinaten

Nun kommen wir zum Finale des ersten Teils dieser Artikelserie, indem wir endlich den Gradienten in Zylinderkoordinaten ausrechnen. Wie wir oben gesehen haben, ist er ein Vektor (6), für den wir jetzt die Transformationsformeln (21) einsetzen:
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Gleichung (34) ist noch die Darstellung in kartesischen Komponenten; zu den Komponenten in "echter" Zylinderkoordinatendarstellung gelangen wir, indem wir diesen Vektor jeweils mit e_r, e_phi, e_z (12) bis (14) skalar multiplizieren (der Leser möge dieses bitte für sich nachrechnen - ähnlich wir bei der Ableitung der Gleichungen (28) bis (30)):
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Im nächsten Teil werden wir uns der Divergenz, der Rotation, dem Nabla-Kalkül sowie Kugelkoordinaten zuwenden.

Eine druckbare Version dieses Artikels als PDF-File ist ebenfalls erhältlich.
Das pdf-Dokument ist seit 2003 überarbeitet und wesentlich ergänzt worden:

§1. Einleitung
§2. Skalare Felder und Vektorfelder, Koordinatensysteme
§3. Gradient, Richtungsableitung
§4. Zylinderkoordinaten
§5. Tangentenvektoren
§6. Geschwindigkeit und Beschleunigung in Zylinderkoordinaten
§7. Jacobische Funktionalmatrix
§8. Gradient in Zylinderkoordinaten
§9. Beispiele
§10. Divergenz – allgemein und in Zylinderkoordinaten
§11. Rotation – allgemein und in Zylinderkoordinaten
§12. Allgemeine Rechenregeln, Nabla-Kalkül
§13. Vektorgradient. Richtungsableitung eines Vektorfeldes
§14. Doppelte Nabla-Anwendungen
§15. Kugelkoordinaten
§16. Geschwindigkeit und Beschleunigung in Kugelkoordinaten
§17. Jacobische Funktionalmatrix in Kugelkoordinaten
§18. Gradient, Divergenz und Rotation in Kugelkoordinaten
§19. Beispiele
§20. Laplace-Operator in Zylinder- und Kugelkoordinaten

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: Analysis :: Vektoranalysis :: Grundstudium Mathematik :: Mathematik :: für Physikstudenten :
Einführung in die Vektoranalysis-Teil 1 [von Eckard]  
Vektoranalysis --Vektorrechnung und Analysis,Übersichtliche Einführung für Anfangssemester der Physik.
Was ist Divergenz, Rotation, Gradient?
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" Einführung in die Vektoranalysis, Teil 1" | 18 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Einführung in die Vektoranalysis, Teil 1
von Hans-Juergen am Di. 25. November 2003 09:46:40


Hallo Eckard,

ein sehr schöner, pädagogisch einfühlsamer
Artikel! Auf die Fortsetzung bin ich gespannt.

Viele Grüße,
Hans-Jürgen

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Re: Einführung in die Vektoranalysis, Teil 1
von Spock am Di. 25. November 2003 11:18:44


Hallo Eckard,

da kann ich mich Hans-Jürgen nur anschließen. Und sicherlich auch sinnvoll und wichtig, fliegen doch schon in den Änfängervorlesungen der Experimentalphysik solche schrecklichen Dinge wie "Nabla", "grad", "div" und "rot" durch den Hörsaal, smile

Gruß
Juergen

 [Bearbeiten]

Re: Einführung in die Vektoranalysis, Teil 1
von DaMenge am Mi. 26. November 2003 08:02:20


Hi Eckard,

das ist eine sehr schöne Einführung und wenn es auch in diesem Sinne fortgesetzt wird, kann ich dir nur dazu gratulieren !!

Aber als Anmerkung wäre noch ein kleiner Absatz zu Richtungsableitungen in beliebige Richtungen schön gewesen, also die Darstellung
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ein wenig mehr erläutert.
(Es hat bei mir nämlich etwas gedauert, bis ich diesen Zusammenhang begriffen hatte, wenn er denn jetzt überhaupt richtig dargestellt ist ..)

viele Grüße
Andreas

 [Bearbeiten]

Re: Einführung in die Vektoranalysis, Teil 1
von Eckard am Mi. 26. November 2003 08:22:39


Hi Andreas,

ja, das stimmt. Ich habe an der Stelle auch überlegt, ob die Richtungsableitungen erwähnt werden sollten. Jetzt, wo du es sagst, werde ich sie in die Papierversion des Artikels (das PDF-File, welches immer die aktuelle Version ist) in der kommenden Ausgabe mit einbauen.

Danke für den Tip!

Gruß Eckard

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Re: Einführung in die Vektoranalysis, Teil 1
von murmelbaerchen am Do. 27. November 2003 08:05:32


Guten Morgen,

ich muss auch ein grosses Lob aussprechen. Dein Artikel ist mit minimalen Vorraussetzungen gut zu
verstehen!!
Klasse, hab ihn schon ausgedruckt und in die
Eckard-Vektoranalysis-Teil1bisTeilweissnicht-Sammelmappe
geheftet.

Weiter so und einen herzlichen Gruss
vom Murmelbärchen

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Re: Einführung in die Vektoranalysis, Teil 1
von jack am Sa. 29. November 2003 13:16:36


In diesem Semester habe ich das Thema Vektoranalysis und ich finde diesen Artikel hier sehr hilfreich.

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Re: Einführung in die Vektoranalysis, Teil 1
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 05. Dezember 2003 18:44:09


Super Artikel !!!
DANKE !

LG BG

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Re: Einführung in die Vektoranalysis, Teil 1
von Ex_Mitglied_40174 am Sa. 13. Dezember 2003 13:41:10


toller Artikel und PDF-Datei zum Ausdrucken, super, dankeschön

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Re: Einführung in die Vektoranalysis, Teil 1
von Dirk_Broemme am Mo. 29. Dezember 2003 10:19:09


Hübsch, hübsch....
Wann ist denn mit Teil 2 zu rechnen???

gruß dirk

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Re: Einführung in die Vektoranalysis, Teil 1
von Eckard am Mo. 29. Dezember 2003 14:27:30


Hi Dirk,

ich sage mal: am 12. Januar 2004. Dann fangen bei uns auch die Studenten wieder an.

Gruß Eckard

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Re: Einführung in die Vektoranalysis, Teil 1
von Eckard am Sa. 10. Januar 2004 19:48:03


Ob ich den Termin am Montag halte, ist ungewiss. Hab schon kräftig weitergemacht und dabei sogar den ersten Teil etwas "runderneuert". Bin aber im Moment nur an der Papierversion dabei (die m.E. wohl wichtiger als die online-Version ist). Letztere möchte aber auch kommen, ist klar.

Also bitte noch etwas Geduld; ich bin am Ball ...

Gruß Eckard

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Re: Einführung in die Vektoranalysis, Teil 1
von Eckard am Do. 15. Januar 2004 21:04:43


PDF ist fertig, jetzt muss nur noch per fed eingetippt werden. Gebt mir noch die kommende Woche.

Gruß Eckard

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Re: Einführung in die Vektoranalysis, Teil 1
von sunshine82 am So. 09. Mai 2004 11:12:30


das ist ja echt super ausgearbeitet!!!!
irgendwo stand, dass der Teil 2 und 3 in Bearbeitung sind. gibts den mittlerweile irgendwo?
das wäre echt super.

auf jeden Fall total viel Mühe begeben und es ist vor allem verständlich!!!
Danke!
Grüße maren

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Re: Einführung in die Vektoranalysis, Teil 1
von FlorianM am Do. 21. Juli 2005 10:56:52


Folgt der weitere Teil?

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Re: Einführung in die Vektoranalysis, Teil 1
von Ex_Mitglied_40174 am So. 18. Februar 2007 00:03:13


ehrlich gesagt finde ich es an einigen stellen etwas oberflächlich.
hingegen wurde bei anderem was eher sofort verständlich ist nicht an der ausführung gespart.
ansonsten inhaltlich ganz gut.
klar das ist kein buch, aber ich würde mir das ganze detaillierter wünschen. wobei das vielleicht daran liegt, dass ich schon einigermassen damit vertraut bin. ich bin zwar  studienanfänger, aber wahrscheinlich bin ich nicht der durchschnittsstudent, der alpträume von grad div und rot hat.
die einleitung ist auch schön und gut aber ich finde das etwas überspitzt. ich mag das einfach nicht wenn wenn man auf "lehrstoff" rumhackt, das ist doch nix unmenschliches. naja
8 von 10 von mir =)

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Re: Einführung in die Vektoranalysis, Teil 1
von Ernie am Mi. 06. Juni 2007 15:17:21


Klasse, habe mir gleich die pdf Datei des Artikels gesichert.

Weiter so. biggrin

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Re: Einführung in die Vektoranalysis, Teil 1
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 29. Juni 2007 22:59:35


frage; wie kommt er bei der transformation bei (34) des gradienten in zylinderkoordinaten auf diese transofmation, er sagt mit den transforationsregeln (33). aber die matrixmultilikation mit J inverse liefert ganz was anderes.
gruss
bruno

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Re: Einführung in die Vektoranalysis, Teil 1
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 29. Juni 2007 23:00:43


ach ja, ansonsten echt tolles skript

gruss bruno

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