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Stern Mathematik: Kategorientheorie
Freigegeben von matroid am Mo. 15. März 2004 22:07:42
Verfasst von Zaos -   18021 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

\(\begingroup\)
Im Laufe eines Mathematikstudiums begegnen einem Studenten viele, zum Teil verschiedenartige Strukturen: Gruppen, Körper und Vektorräume in der Linearen Algebra, Stetigkeit und Konvergenz (in metrischen Räumen), differenzierbare Strukturen (in normierten Vektorräumen) in der Analysis. Später begegnen einem noch weitere algebraische Strukturen wie Ringe und Moduln, und andere haben mit Sigma Algebren und Maßräumen in der Stochastik zu tun.
Die Kategorientheorie ist ein Gebiet der Mathematik, das die Gemeinsamkeiten all dieser Strukturen in Worte fasst und die strukturellen Unterschiede anhand der Wechselwirkungen unter diesen Strukturen (Kategorien genannt) zu erfassen versucht.
Vom Wesen her ist sie sehr abstrakt, aber wie viele abstrakte Theorien, ist auch diese meiner Meinung nach höchst elegant.

Mit diesem Artikel will Ich einen Einblick in die Sprache der Kategorientheorie geben.



Nun, was ist eine Kategorie? Ich könnte jetzt die Definition angeben, aber so unmotiviert und trocken ist das nicht leicht verdaulich. Salopp gesagt ist eine Kategorie eine Ansammlung von Objekten, an denen wir interessiert sind (z.B reelle Vektorräume). Und wie wir im Laufe unserer Beschäftigung mit der Mathematik gelernt haben ist der Begriff der Abbildung fundamental. Am besten sollten die Abbildungen, die wir zur Untersuchung unserer Objekte (an denen wir ja immernoch interessiert sind, denn ein Mathematiker gibt nie auf) benutzen, strukturerhaltend sein! Nun was bedeutet das? Bei Vektorräumen würde vielleicht der eine oder andere wie aus der Pistole geschossen "lineare Abbildungen!" rufen...
nun... er hat Recht, aber wieso? Eine lineare Abbildung (auch üblicherweise Homomorphismus genannt) überträgt die Vektorraumstruktur: Das Bild einer Summe von Vektoren ist die Summe deren Bilder und das Vielfache eines Bildes eines Vektors ist das Bild dessen Vielfachen.
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Hm, das leuchtet ein...Was gilt noch? Achja, in der Linearen Algebra haben wir ja gelernt: Die Verknüpfung linearer Abbildungen ist linear, und die Komposition von linearen Abbildungen ist assoziativ (wie bei beliebigen Abbildungen). Außerdem besitzt jeder Vektorraum ein "Neutralelement" (Die Identität), welches auch eine lineare Abbildung ist.
Spätestens jetzt sollte der eine oder andere gemerkt haben "Moment mal, solche strukturerhaltende Abbildungen kenne ich auch woanders her!"
Sicher, sie treten überall in der Mathematik auf. Richtig gehört: überall. Bevor Ich endlich zur Definition gelange, noch ein Beispiel:
Kategorie der metrischen Räume mit den stetigen Abbildungen. Warum dies wirklich eine Kategorie ist, wird am Ende der Definition evident sein.

Bemerkung: In der Definition fällt unter anderem der Begriff der Klasse. Klassen sind gewisse Verallgemeinerungen von Mengen. Bekanntlich existiert nicht die Menge aller Mengen, dies führt zu den bekannten Antinomien, jedoch die Klasse aller Mengen existiert. Für die Kategorientheorie ist jedoch (zunächst, wie etwa in dem Umfang dieser Einleitung) nicht wichtig zu wissen, wie genau eine Klasse definiert ist und wie man mit ihnen umgehen darf (zum Beispiel in wie weit man von Zuordnungen zwischen Klassen sprechen kann). Wichtig für uns im Moment ist, dass wir sinnvoll von Zusammenfassungen von gewissen Objekten reden können, wovon wir wissen, wie sie definiert sind. Etwa die Klasse aller Vektorräume, oder die Klasse aller Körper, aller metrischen Räume, Ringe oder die Klasse aller Mengen etc.

Nun endlich:
fed-Code einblenden
Weitere Definitionen:
Ein umkehrbarer Morphismus heißt Isomorphismus. Ein Isomorphismus
X->X heißt Automorphimus. Die Menge Aut(X) der Automorphismen von X ist eine Gruppe (die Verknüpfung ist die selbe wie in der Definition oben).
[ Bemerkung: Aut(X) wirkt auf die Menge der Morphismen K(X,Y) bzw K(Z,X) ]

Nun einige Beispiele für Kategorien:
1) (a) Objekte: Mengen, (b) Morphismen: Abbildungen
2) (a) topologische Räume (b) stetige Abbildungen
3) (a) metrische Räume (b) stetige Abbildungen (ist eine Unterkategorie von 2) )
4) (a) Gruppen (b) Gruppenhomomorphismen
5) (a) Ringe (b) Ringhomomorphismen
6) (a) K-Vektorräume (b) K-Homomorphismen ( K ein Körper)
6) (a) differenzierbare Mannigfaltigkeiten (b) differenzierbare Abbildungen
7) (a) Sigma-Algebren (b) meßbare Abbildungen
8) (a) Graphen (b) Abbildungen zwischen den Ecken zweier Graphen, die so beschaffen sind, dass die Ecken einer Kante in Ecken einer (anderen) Kante abgebildet werden.

Auch wenn diese Beispiele (und auch die Notationen) suggerieren, dass Morphismen stets Abbildungen sind, sei hier bemerkt, dass dies nur ein Spezialfall ist. Ein Beispiel einer Kategorie, deren Morphismen keine Abbildungen sind ist die Homotopie-Kategorie: Die Objekte sind topologische Räume und die Morphismen Homotopieklassen von Abbildungen. In der Algebra kommt es auch sehr häufig vor, dass Objekte (unter anderem auch komplizierte) kommutative Diagramme sind und Morphismen Abbildungen die diese Diagramme zu einem größeren kommutativen Diagramm erweitern. Auf diese Weise kann man zum Beispiel ganz elegant das Tensorprodukt definieren.

Nun, wir haben gelernt, dass Kategorien Objekte und Morphismen beinhalten, die die Strukturen zwischen Objekten erhalten. Nun kann man einen Schritt weiter gehen: Besitzen Kategorien selbst Strukturen? Gibt es unter ihnen auch strukturerhaltende "Abbildungen"? Ok, man sollte vorsichtig mit dem Begriff der Abbildung sein, schließlich sollen Klassen und nicht Mengen zueinander in Beziehung stehen. Ohne weiter auf das Problem der Begrifflichkeit einer Klasse einzugehen sprechen wir von gewissen Zuordnungen. Dann hat die obige Frage eine Antwort:
Ja, es gibt "strukturerhaltende Zuordnungen" Funktoren genannt:

fed-Code einblenden

Was sich vorzüglich als ein weiteres Beispiel anbietet ist die folgende Frage:

Was ist algebraische Topologie?

Lange Antwort: Erhält man nur, wenn man dieses Fach studiert.
Ok, gibt es eine kurze? Ja da gibt es eine: Die algebraische Topologie ist das Studium von Funktoren von topologischen in algebraischen Kategorien.
... und wieso...was hat man davon?
Nun, die Topologie ist unter anderem an folgender Frage interessiert: Wann sind zwei Räume homöomorph?
Zwei Räume heißen homöomorph, wenn eine bijektive, stetige Abbildung mit stetiger Umkehrung zwischen ihnen existiert.
(Eine solche Abbildung heißt Homöomorphismus.)
Mit der Kategoriensprache ist das äquivalent zum Satz: "Es exisitiert ein Isomorphismus in K(X,Y) in der Kategorie der topologischen Räume und den stetigen Abbildungen. (Diese Kategorie heiße jetzt C). Sei nun A eine algebraische Kategorie, zum Beispiel die der Gruppen und Gruppenhomomorphismen.
Wenn nun ein Funktor F:C->A existiert, kann man leicht(er) zeigen, dass zwei Räume NICHT homöomorph sind. Denn man ordnet dann den beiden Räumen X und Y die Gruppen F(X) und F(Y) zu. Wenn diese beiden Gruppen nicht isomorph sind, können die Räume X und Y nicht homöomorph sein. (Denn Angenommen sie sind es. Funktoren ordnen Isomorphismen Isomorphismen zu, Widerspruch, da die Gruppen ja nicht isomorph waren). Die andere Richtung (Aus der Isomorphie der Gruppen die Isomorphie der Räume folgern) funktioniert leider nicht, da der Funktor ja nur in die eine Richtung zuordnet.
Die wichtigsten Algebraisch-Topologischen Funktoren sind:
(singuläre) Homologie, (singuläre) Kohomologie und Homotopie (z.B. Fundamentalgruppe).
Schließlich sei bemerkt, dass die Algebraische Topologie der Ursprung der Kategorientheorie ist.





Paul Klee: Zeichen in Gelb, 1937


Artikel zur Kategorientheorie
Teil 1: Kategorientheorie
Teil 2: Kategorien und Diagrammjagd
Teil 3: Ja Mono Epi Iso
Teil 4: Universelle Eigenschaften
Teil 5: Limites und Kolimites
Teil 6: Wie universelle Eigenschaften einem das Leben erleichtern
Teil 7: Fixpunkte in der Kategorientheorie
Teil 8: Adjunktionen: Wie man zwischen zwei Kategorien eine Brücke baut
Teil 9: Koenden ohne Ende - Integrale in der Kategorientheorie
Teil 10: 2-Kategorien - Einstieg in die höhere Kategorientheorie
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Kategorientheorie [von Zaos]  
Im Laufe eines Mathematikstudiums begegnen einem Studenten viele, zum Teil verschiedenartige Strukturen: Gruppen, Körper und Vektorräume in der Linearen Algebra, Stetigkeit und Konvergenz (in metrischen Räumen), differenzierbare Strukturen (in normierten Vektorräumen) in der Analysis. Später begegne
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" Stern Mathematik: Kategorientheorie" | 22 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Kategorientheorie
von Martin_Infinite am Mo. 15. März 2004 22:51:28

\(\begingroup\)
Hi Zaos!

Das hatten wir doch schon mal im Chat razz

Schön, dass du dir mal die Mühe gemacht hast, das alles sorgfältig aufzuschreiben. Das war aber jetzt nur ein Ausblick auf eine riesige Theorie, oder?

Sag mal, du schreibst

wenn eine bijektive, stetige Abbildung zwischen ihnen existiert.

Imho muss man noch die Stetigkeit der inversen Bijektion fordern.

Gruß
Martin\(\endgroup\)

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Re: Kategorientheorie
von matroid am Mo. 15. März 2004 23:01:29

\(\begingroup\)
@MI: Habe ich vor wenigen Minuten nach seinem Diktat schon eingefügt.

Gruß
Matroid
\(\endgroup\)

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Re: Kategorientheorie
von Zaos am Mo. 15. März 2004 23:04:01

\(\begingroup\)
@Martin

Ja den Fehler hab ich auch schon entdeckt und ist bereits berichtigt, danke!

Und nochmals ja: Auch in dieser Theorie kann man sich beliebig weit vertiefen... Die Frage ist nur, ob das nicht ZU trocken ist, wenn man ausnamslos sich in diesen Höhen befindet. Geschmäcker sind verschieden. Für mich persönlich macht das ganze Spaß, und wie gesagt sehr elegant, aber es ist kein Bereich, in dem ich mich weiter vertiefen will...(oder wer weiß?)

Gruß
Zaos\(\endgroup\)

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Re: Kategorientheorie
von wasseralm am Mo. 22. März 2004 21:28:16

\(\begingroup\)
Also ich findes es gut, dass dieses Thema hier auf dem Matheplaneten wenigstens einmal angeschnitten wurde.

Ich habe in meinem Mathe -Studium bereits im Grundstudium Begriffsbildungen der Kategorientheorie kennengelernt, und ich muss sagen, dass mir diese "Übertheorie" immer recht geholfen hat, um gewisse Konzepte zu verstehen (z. B. Produkt und Coprodukt). Kategorientheorie "der Theorie willen" gibt mir auch nicht viel, aber man braucht halt zunächst einige allgemeine Begriffe, um sie anwenden zu können.

In der theoretischen Informatik kommt man (soweit ich mich erinnere) an Kategorien sowieso nicht vorbei.

Der oben dargestellte Zugang zu Kategorien über Strukturen und strukturerhaltende Abbildungen ist sicher der gängigste. Einer meiner Lehrer hat Kategorien einmal so charakterisiert: "Gemeinsame Verallgemeinerung von partiellen Ordnungen und Monoiden".

In der Tat:
1. eine partielle Ordnung als Kategorie: Die Objekte sind die Elemente der p. O., ein Morphismus von x nach y ist dadurch gegeben, dass x<= y gilt.
2. ein Monoid (Halbgruppe mit 1) als Kategorie: Es gibt genau ein Objekt, und die Morphismen sind die Elemente des Monoids.

Gruß von Helmut

\(\endgroup\)

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Re: Kategorientheorie
von hirngeschwandter am So. 28. März 2004 18:16:43

\(\begingroup\)
Hallo,
gefällt mir. Ich habe nur noch einen Kommentar zu natürlichen Transformationen vermißt, m.M. ein in der "Praxis" sehr häufig anzutreffendes Konzept.
Bzgl. Anwendung der Kategorientheorie - schöne Bsp. gibt es auch bei der "Sinngebung" von moderneren beweistheoretisch motivierten Logiken (z.B. lineare Logik), die teilweise eine unattraktive Modelltheorie haben aber schön griffige kategorielle Semantiken.

Gruss
Enno\(\endgroup\)

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Re: Kategorientheorie
von primatenmann am So. 28. März 2004 23:31:21

\(\begingroup\)
Hallo!

Ich hab eine Frage zu dem Neutralelement, das jeder Vektorraum hat. Wie sieht dieses denn im R3 aus, mit dem man schon in der Schule rechnet? Besteht der R3 ueberhaupt aus linearen Abbildungen?

Tschuess\(\endgroup\)

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Re: Kategorientheorie
von Zaos am Mo. 29. März 2004 01:40:19

\(\begingroup\)
@wasseralm
dein Beispiel, partielle Ordnung als Kategorie, ist mir neu. Habe das nie so gesehen. Gefällt mir.

@hirngeschwandter
Der Grund, warum ich keine Bemerkung zu den natürlichen Transformationen gemacht habe, ist der, dass man sie am besten durch kommutative Diagramme erklärt, und ich nicht weiß, wie man in fed sowas bewrkstelligen könnte. Mit der rein formalen Definition "sieht" da meiner Meinung nach nicht sofort, was dahinter steckt.
Aber wenn Interesse besteht, könnte man an dieser Stelle ja irgendwo anknüpfen weiter ausführem. (Zum Beispiel bin ich auf den Begriff des universellen Objekts auch nicht eingegangen, auch aus dem selben Grund wie bei den natürlichen Transformationen, obwohl Ich das sehr interessant finde.

@piratenmann
Selbstverständlich gilt das ganze auch im R^3, welcher ja auch ein Vektorraum ist. Hier kann man die linearen Abbildungen als 3x3 Matrizen darstellen, so wie man das aus der Schule kennt. Aus der Schule kennt man übrigens auch noch eine sehr anschauliche Kategorie: Die Kategorie der affinen Räume mit den affinen Abbildungen. Zu dieser gehört auch der R^3 mit seinen affinen Abbildungen.

Gruß
Zaos\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Ach so.
von primatenmann am Mo. 29. März 2004 11:18:53

\(\begingroup\)
Ich dachte, die lineare Abbildung ZWISCHEN Elementen des R3 sind Tensoren 2. Stufe, oder eben wenn koordinatenabhängig Matritzen (Einsmatrix). Die Frage ist nur: gehören Tensoren nter Stufe zum R3?
Wir haben mal gelernt das nur Tensoren mit gradzahliger Stufenzahl ein Neutralelement haben. Der R3 selbst enthält daher kein Neutralelement, meiner Auffassung nach, wenn man die Tensoren höherer Stufe nicht mit in ihn einbezieht. Kann mir wer sagen ob Tensoren 2ter Stufe in nem Extra-Raum leben oder ob alles was auf dem R3 aufbaut im R3 ist.  Danke\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Kategorientheorie
von Zaos am Mo. 29. März 2004 18:03:51

\(\begingroup\)
Hi @primatenmann

Ich glaube wir reden aneinander vorbei. Ich gehe mal davon aus, dass Du mit R3 den üblichen Raum der reellen 3-Tupeln (x,y,z) meinst. Dann verstehe Ich Deine Aussage nicht, dass eine lineare Abbildung oder ein Tensor ein Element von R^3 sein soll. Schließlich sind die Elemente von diesem Raum Vektoren.
Und Ich verstehe auch nicht den Bezug zum Thema Kategorien, es wäre nett, wenn Du ihn näher erläutern würdest. smile

Gruß
Zaos\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Kategorientheorie
von primatenmann am Mo. 29. März 2004 22:18:47

\(\begingroup\)
Ich verstehe immer noch nicht. Ist denn die eine lineare Abbildung wie die Identität zwischen Vektoren nicht etwas anderes aus einem Raum über dem Vektorraum? Dann kann man doch nicht sagen, dass jeder Vektorraum ein Neutralelement besitzt, oder? Ich denke du meinst das die linearen Abbildungen zwischen Vektoren mit zum R3 gehören. Ich weiss es wirklich nicht, darum frage ich.

Tschüss, Primat\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Kategorientheorie
von Zaos am Di. 30. März 2004 19:19:39

\(\begingroup\)
Hi @Primatenmann

Du hast es, glaube Ich, falsch verstanden. Es ist so gemeint: Für jeden Vektorraum V exisitiert eine lineare Abbildung id : V -> V so dass
id * f =f und g*id = g.
Das heißt id ist die Identität des Vektorraumes (und es ist nicht das Neutralelement von V, welches ja eigentlich der Nullvektor ist)
Die Identität ist zwar auch ein Neutralelement, aber nur von dem Raum Mor(V,V), also im Falle der Vektorräume ist das der Raum der Endomorphismen von V.
Noch spezieller: Für R^3 ist die Identität die Einheitsmatrix. Diese ist das Neutralelement (bezüglich der Matrizenmultiplikation) des Matrizenraumes R^(3x3) und nicht von R^3.

Gruß
Zaos\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Kategorientheorie
von primatenmann am Mi. 31. März 2004 23:08:44

\(\begingroup\)
@Zaos:OK, Danke.\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Kategorientheorie
von Martin_Infinite am Mo. 28. März 2005 10:54:43

\(\begingroup\)
Hi,
 
Helmut schreibt oben:
 
1. eine partielle Ordnung als Kategorie: Die Objekte sind die Elemente der p. O., ein Morphismus von x nach y ist dadurch gegeben, dass x<= y gilt.
 
Wie ist das denn zu verstehen? Wie definiert man denn hier Mor(x,y)? Das sollte eine Menge, und keine Aussage sein.

 Gruß
Martin
\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Kategorientheorie
von Zaos am Mo. 28. März 2005 11:47:41

\(\begingroup\)
@Martin
Die partielle Ordnung ist als Teilmenge R c AxA definiert. Mor(x,y) ist dann die Menge {(x,y)} c R. (Man sieht hier auch, dass partielle Ordnungen kleine Kategorien sind).
Gruß
Zaos\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Kategorientheorie
von Martin_Infinite am Mo. 28. März 2005 11:57:34

\(\begingroup\)
Hi Zaos,
 
warum sollte (x,y) in R liegen? Das würde ja bedeuten, dass man Morphismen nur zwischen in Relation stehenden Elementen definiert. Aber dies soll für alle Elemente geschehen.
 
 Gruß
Martin\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Kategorientheorie
von Zaos am Mo. 28. März 2005 11:59:36

\(\begingroup\)
Nein, du hast es falsch verstanden. Man will nur einen Morphismus x -> y haben, wenn x <= y gilt. Das heißt man definiert Mor(x,y) als {(x,y)} wenn (x,y) in R liegt bzw wenn x <= y gilt. Ansonsten ist Mor(x,y) die leere Menge.\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Kategorientheorie
von Martin_Infinite am Mo. 28. März 2005 12:19:17

\(\begingroup\)
Hi Zaosm

Also mE habe ich es nicht falsch verstanden. Schließlich sagst du selbst
 
fed-Code einblenden
 
 Gruß
Martin
 
\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Kategorientheorie
von Zaos am Mo. 28. März 2005 13:44:11

\(\begingroup\)
Hm ok, wir haben aneinander vorbei geredet, bzw ich habe dich falsch verstanden. Nun ist es ja geklärt. Zur Komposition: Man braucht sie nur zu definieren, wenn die Morphismenmengen nichtleer sind. Wenn x <= y und y<= z gilt, so gilt aufgrund der Transitivität x <= z und es gibt genau eine Abbildung
Mor(x,y) x Mor(y,z) -> Mor(x,z)
die wir dann als Komposition definieren.\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Kategorientheorie
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 19. Dezember 2008 14:25:41

\(\begingroup\)
Hallo,

bei einem kontravarianten Funktor ist F(f):F(Y)-->F(X)\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Kategorientheorie
von cis am Mi. 25. März 2015 20:12:39

\(\begingroup\)
Aha! Es gibt hier also doch eine Grundeinführung.
Dann tu ich mir das vll. doch mal an, was das sein soll, worüber sich hier immer alle zanken. Guuuuttt.\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Kategorientheorie
von Ex_Mitglied_43988 am Do. 25. Juni 2015 16:37:25

\(\begingroup\)
[Der Kommentar kann gelöscht werden, Frage habe ich mir beantwortet/beantworten lassen]\(\endgroup\)

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Re: Kategorientheorie
von Ex_Mitglied_43988 am Do. 25. Juni 2015 17:17:51

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[Der Kommentar kann gelöscht werden, Frage habe ich mir beantwortet/beantworten lassen]\(\endgroup\)

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