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Mathematik: Über Kettenbrüche
Freigegeben von matroid am Di. 16. März 2004 21:12:07
Verfasst von Hans-Juergen -   11294 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

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Darüber hinaus sind Kettenbrüche von Lösungen quadratischer Gleichungen
periodisch, wie das folgende Beispiel zeigt:
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Mit dem von buri zitierten Kettenbruch-Generator kann man sich
weitere Quadratwurzeln als Kettenbrüche zeigen lassen.
fed-Code einblenden
Wir sahen, daß ein periodischer Kettenbruch auf eine quadratische
Gleichung führt. Geht man umgekehrt von einer solchen aus,
z. B. von ax²-bx-c=0, dann ist dies gleichbedeutend mit
x²=(b/a)x+c/a, und durch beiderseitiges Dividieren durch x≠0
ergibt sich:
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Keinen Hinweis fand ich darauf, wie man Kubikwurzeln als Kettenbruch
schreiben kann. Dabei muß so etwas möglich sein, fragt sich nur, wie.

In dem Buch "Zahlentheoretische Kostproben" von T. Kempermann
steht ohne Begründung der Anfang für die Kubikwurzel von 3:
[1;2,3,1,4,1,5,...].

Dieser Kettenbruch ist unperiodisch wie bei allen Kubikwurzeln (wird gesagt),
und die letzten angegebenen fünf Ziffern sehen aus wie der Anfang
von Pi: 3,1415... (Welche Ziffer mag wohl als nächste kommen?)

Pi selber, als Kettenbruch geschrieben, ist unregelmäßig: [3;7,15,1,292,1,1,1,2],
im Gegensatz zur Eulerschen Zahl, für die gilt:
e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,...].

Die unregelmäßige Kettenbruchdarstellung von Pi ergibt sich nur, wenn
die "Zähler" der Teilbrüche wie in den obigen Beispielen alle gleich 1
sind. Hebt man diese Beschränkung auf, gibt es für Pi mehrere schöne
und regelmäßige Kettenbruchentwicklungen wie z. B. diese:
fed-Code einblenden
Sie stammt wie die für e von Euler. "Empirisch", so heißt es in der einschlägigen
Literatur, wurde sie bereits von Lord Brouncker (1630-1684) gefunden; Euler
begründete sie hundert Jahre später mit Hilfe der Arkustangensfunktion.
(Brouncker war kein Mathematiker, sondern vor allem Politiker und Gründer
sowie erster Präsident der Royal Society. Er war befreundet mit John Wallis,
dem wir die Darstellung von Pi durch ein unendliches Produkt verdanken.)

Hans-Jürgen
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: Mathematik :: Kettenbrüche :: Pi :: Schüler aufwärts :
Über Kettenbrüche [von Hans-Juergen]  
Das Folgende enthält Bekanntes zu diesem Thema mit Stoff zum weiteren Nachdenken. Kettenbrüche sind eine besondere Darstellungsform rationaler und irrationaler Zahlen.
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" Mathematik: Über Kettenbrüche" | 9 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Über Kettenbrüche
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 16. März 2004 21:51:17


Vielen Dank für den Artikel, Hans-Jürgen!

Zwei Anmerkungen:
1. Zu jeder algebraischen Zahl 2. Grades, also zu jeder Lösung einer quadratischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten, kann man eine periodische Kettenbruchentwicklung angeben; umgekehrt gehört auch zu jedem periodischen Kettenbruch eine algebraische Zahl 2. Grades. Dies beweist, dass Kubikwurzeln (algebraische Zahlen 3. Grades, da sie die Gleichung x³=r lösen) keine periodische Kettenbruchentwicklung haben.

2. Jede als Dezimalbruch gegebene Zahl kann man in einen Kettenbruch entwickeln; die Vorgehensweise ist evident. Durch das iterierte Übergehen vom Bruchanteil einer gemischten Zahl zu dessen Kehrwert und von dort wieder zur gemischten Darstellung hat man die Garantie, beim Abbruch der Entwicklung einen sehr handlichen rationalen Näherungswert, i. A. den bestmöglichen bei vorgegebener Höchstgrenze für den Nenner, zur Hand zu haben. Dieses Prinzip wurde etwa von Christiaan Huygens zur Konstruktion eines extrem präzisen Modells des Sonnensystems verwendet, bei dem er auch die Verhältnisse der Umlaufzeiten der Planeten, die über Zahnkränze angetrieben wurden, so annäherte, dass die Zahnkränze nicht mehr als 1000 Zähne haben mussten. Der Fehler bei seinem Modell war dabei nicht größer als 2 Promille, also 2 Tausendstel.

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Re: Über Kettenbrüche
von Hans-Juergen am Di. 16. März 2004 21:59:20


Das sind interessante Hinweise,
und bei wem darf ich mich dafür
bedanken?

Hans-Jürgen

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Re: Über Kettenbrüche
von Friedel am Mi. 17. März 2004 07:07:59


@Anonymous: Deine erste Anmerkung halte ich für falsch. Sie wäre nur dann richtig, wenn Zahlen 3. Grades nicht gleichzeitih Zahlen 2. Grades sein könnten. einfaches Gegenbeispiel:
0,25³= 0,125²

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Re: Über Kettenbrüche
von shadowking am Mi. 17. März 2004 10:10:52



Nein, Friedel, eine Zahl 3. Grades kann nicht auch eine Zahl 2. Grades sein. Der Grad ist nämlich der kleinstmögliche Grad eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten, dessen Nullstelle diese Zahl ist.
Außerdem sind in Deinem Beispiel sowohl 0,25 als auch 0,125 selbst schon rational, also "algebraische Zahlen 1. Grades".

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Re: Über Kettenbrüche
von weserus am Mi. 17. März 2004 20:29:42


lieber hans-jürgen,
danke für diesen artikel, der auch nur wieder
zeigt, wie interessant Zahlen und in kombination
kettenbrüche sind und sein können. meine "Erdössche Zahl" heisst oder ist unendlich und gerade deshalb staune ich gerne.
mfg hans-peter

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Re: Über Kettenbrüche
von Friedel am Mi. 17. März 2004 20:42:00


Ich glaub jetzt hab ich kapiert was der Grad einer Zahl bedeutet. Ich erinnere mich dunkel sowas vor 25 Jahren mal gelernt zu haben. In dem Fall ist meine Vermutung von Mi. 17. März 2004 07:07:59 natürlich sinnlos.

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Re: Über Kettenbrüche
von Hans-Juergen am Do. 18. März 2004 19:03:33


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Re: Über Kettenbrüche
von Ex_Mitglied_40174 am So. 03. Dezember 2006 22:16:32


Was mich interessieren würde ist, wie aus irrationalen Zahlen genaue Kettenbrüche erzeugt werden können. Das Verfahren mit der Bildung von kehrwerten habe ich mit PHP mal realisiert:

ausgehend von einer Zahl Z nehme ich den ganzzahligen Teil als Koeffizient a0, vom Nachkommateil bilde ich den Kehrwert. Der Ganzzahlige Teil wiederum bildet den nächsten Koeffizienten a1 usw.

Wie oben bereits erwähnt spielen dabei die Rundungsfehler nach der 10.  Stelle eine immer größere Rolle, so dass Periodizität z.B. bei Wurzeln nicht eintreten.

Gibt es Algorithmen, die Wurzeln, Logarithmen oder Kehrwerte mit beliebiger Genauigkeit berechnen können ? Kennt jemand Literatur dazu? Die 16 Stellen Genauigkeit die ich bei PHP zur Verfügung habe, reichen bei weitem nicht aus - oder ich benutz den falschen Ansatz.

CU Sven

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Re: Über Kettenbrüche
von Hans-Juergen am Mo. 04. Dezember 2006 00:44:37


Hi Sven,

für die Kehrwertbildung kann man das schriftliche Dividieren
nachmachen (mit dem Zähler 1); das geht für beliebig viele
Nachkommastellen. Ich erklär's 'mal ein bißchen altmodisch und
hoffe, Du verstehst mich:

input a,b,n // a Zähler, b Nenner, n gewünschte Stellenanzahl
x=a;y=b
for i=1 to n do
q=int(x/y)
d=x-y*q
x=10*d
print q,  // das Komma soll andeuten, daß die ausgegebenen Ziffern
endfor i  // unmittelbar, ohne Leertaste, aufeinander folgen.

Um zu sehen, daß das funktioniert, kannst Du zum Beispiel
a=8, b=119 und n=200 wählen. Dann ergibt sich ohne das Komma
hinter der ersten Null:

0067226890756302521008403361344537815126050420168
  067226890756302521008403361344537815126050420168
  067226890756302521008403361344537815126050420168
  067226890756302521008403361344537815126050420168
  0672268

Viele Grüße,
Hans-Jürgen

 

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