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Rätsel und Spiele: Magische Quadrate
Freigegeben von matroid am Do. 15. April 2004 19:41:18
Verfasst von stolzi -   23126 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Spiele+Rätsel


Hallo!
Hier möchte ich mal meinen Teil über magische Quadrate loswerden. Vielen mögen sie bekannt sein, aber ich denke es gibt einige Dinge die nicht jeder weiß, es kann ganz unterhaltsam sein, sich mit solchen Dingen zu beschäftigen.

Dürers magisches Quadrat der Ordnung 4
Magisches Quadrat aus Dürers Melancholia von 1514.


WAS IST EIN MAGISCHES QUADRAT?


Ein Magisches Quadrat ist eine wiederholungsfreie Anordnung positiver ganzer Zahlen von 1 bis n², bei der jede Reihe, Spalte und Diagonale dieselbe Summe bilden. (Dabei ist n die Ordnung, Basis, Modul oder Wurzel des Quadrats)

Gleiche Summe in jeder Zeile, Spalte und Diagonalen
Gleiche Summe in jeder Zeile, Spalte und Diagonalen


ETWAS ZUR GESCHICHTE

Schon in der Antike waren díe Mathematiker von magischen Quadraten fasziniert. Viele glaubten an eine magische Wirkung. Magische Quadrate waren schon in Indien bekannt, von dort her gelangten sie nach Westen. Schon in der Renaissance beschäftigten sich Mathematiker mit der Kontruktion magischer Quadrate mit einer höheren Ordnung als 2. Die Menschen gaben den Quadraten auch astronomische Bedeutungen, zum Beispiel die damals sieben bekannten Planeten.

ZUR KONSTRUKTION

Bisher konnte noch nicht geklärt werden, nach welche mathematischen Gesetzen sich die Zahlen in magischen Quadraten verteilen. Das heißt also, Lösungen entstanden nur durch Zufall und Versuch.

QUADRATE HÖHERER ORDNUNG

Wenn man Quadrate kleinerer Ordnung betrachtet, so stellt man fest das es nur wenige Lösungen gibt (spiegeln, drehen, multiplizieren). Bei Quadraten höherer Ordnung gibt es viele viele Lösungen. Zum Beispiel eines Quadrates mit Ordnung 5. Wieviele Lösungen hat ein solches Quadrat. Man schätzte auf 13.000.000 Lösungen. Später errechnete man es gibt für Quadrate 5. Ordnung (ohne drehen, spiegeln, ...) 275.305.224 Lösungen!!

BESONDERE QUADRATE

Natürlich gibt es bei magischen Quadraten (wie sollte es anders sein) Sonderfälle. Sogenannte diabolische Quadrate. Sie haben noch zusätzliche Eigenschaften, zum Beispiel die Summe der zentralen Kästchen. Oder dasselbe Ergebniss bei der Addition der vier Ecken. Ein gutes Beispiel ist Dürers Quadrat. In dem Bild "Melancholie" (siehe oben).

ANDERE FORMEN

Es gibt nicht nur magische Quadrate sondern auch andere magischen Formen. Wíe zum Beispiel magische Sterne oder Kreise.

BERECHNUNG DER SEITENSUMME

Eíne einfache Formel ist doch schon über magische Quadrate bekannt. Man kann mit Hilfe dieser Formel die Summe der Seiten (Diagonalen, ...) errechnen. Und zwar wie folgt: Man ermittel die Summe der Zahlen, die in die Felder des Quadrates sollen und teilt diese Summe durch die Ordnung. Also zum Beispiel: 3.Ordnung, Zahlen 1 bis 9: 1+2+...+9=45; 45/3=15 -> Summe = 15.


Könnt ihr ein Quadrat der Ordnung 5 oder 6 konstruieren?

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Magische Quadrate [von stolzi]  
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" Rätsel und Spiele: Magische Quadrate" | 19 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Magische Quadrate
von Martin_Infinite am Fr. 16. April 2004 00:53:26


Also Programmieren wird kaum was bringen, da es (n^2)! Quadrate der Ordnung n gibt, also für n=5 zB

15.511.210.043.330.985.984.000.000

Du hast erwähnt, dass die Summe der Seiten (die ja konstant) bei einem magischen Quadrat n-ter Ordnung gleich

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ist. Wie beweist man das?

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Re: Magische Quadrate
von Martin_Infinite am Fr. 16. April 2004 00:55:53


Ich meinte
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Re: Magische Quadrate
von viertel am Fr. 16. April 2004 01:19:01


@Martin
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Re: Magische Quadrate
von viertel am Fr. 16. April 2004 01:28:50


@stolzi
Quadrate ungerader Ordnung sind leicht zu konstruieren.
Oben in der Mitte mit 1 beginnen. Und dann immer nach schräg rechts oben die Folgezahlen eintragen.
Liegt das nächste Feld außerhalb des Quadrates, dann im Feld auf der gegenüberliegenden Seite weiter machen (wie beim verrückten Labyrinth, wenn der Spielstein rausgeschoben wird).
Ist das Feld rechts oberhalb schon besetzt, dann stattdessen ein Feld nach unten gehen.
Das ergibt für 5x5:
17 24  1  8 15
23  5  7 14 16
4  6 13 20 22
10 12 19 21  3
11 18 25  2  9

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Re: Magische Quadrate
von stolzi am Fr. 16. April 2004 08:48:22


ok danke leute ja das stimmt so alles
matroid hat da noch tolle links seht einmal nach

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Re: Magische Quadrate
von huepfer am So. 18. April 2004 20:51:18


@all,

eine weitere Möglichkeit bei Quadraten ungerader Ordnung ist es, im mittleren Feld mit der Zahl (n+1)/2 zu beginnen. Nach rechts unten steigen die Zahlen auf. Ist das nächste Feld auf diesem Weg schon besetzt geht man eins nach oben.
Analog geht man in die andere Richtung vor: nach links oben sinken die Zahlen, ist ein Feld besetzt, geht man eins unten.
Diese Vorgehensweise erzeugt Dietmars Variante gespiegelt.

Gruß
  Huepfer

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Re: Magische Quadrate
von huepfer am So. 18. April 2004 20:53:04


[Edit:] Da war oben ein Tippfehler. Man beginnt natürlich nicht mit (n+1)/2 sondern mit (n^2+1)/2, wobei n die Zahl der Felder pro Reihe bzw. Zeile ist.

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Re: Magische Quadrate
von Ex_Mitglied_40174 am Sa. 04. Februar 2006 16:15:56


echt cool

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Re: Magische Quadrate
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 10. März 2006 19:08:51


Wer kann mir helfen? Wer kann ein magisches 9 x 9 mit den Zahlen 1 bis 81 konstruieren. Startzahl ist die 1 und sie soll im Zentrum des Quadrats stehen.

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Re: Magische Quadrate
von needle am Fr. 30. Juni 2006 16:03:58


Ich hab mal ein 9x9 - Quadrat zusammen gebaut. Ich denke, es ist auch korrekt. Hab es allerdings nicht alles kontrolliert.

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Re: Magische Quadrate
von Bernhard am Do. 12. Oktober 2006 12:55:01


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31692215
20821142
72513119
24125186
114171023

Ich habe das jetzt am Beispiel n=5 gezeigt, das sollte aber bei allen ungeraden n funktionieren!
Viel Spaß mit dem Ausprobieren...
Bernhard

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Re: Magische Quadrate
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 25. Juni 2007 10:57:42


ich würde sagen....

summe aller zahlen durch 3^^ razz

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Re: Magische Quadrate
von Ex_Mitglied_40174 am Sa. 21. Juli 2007 10:31:35


Hallo,

diese Version dürfte auch nicht sehr bekannt sein, denn hier kann man ein 'perfektes' magisches Quadtat online erzeugen:

 www.doermann.com


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Re: Magische Quadrate
von Hans-Juergen am So. 22. Juli 2007 19:51:44


Hi Anonymus,

das Verfahren von Dörmann liefert keine magischen Quadrate.
Die eingetragenen Zahlen dürfen nicht doppelt vorkommen,
was aber hier zum Teil der Fall ist:
Bild

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Re: Magische Quadrate
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 25. September 2007 17:25:35


Hey, ich bin echt kein Mathe Genie, nun wollte ich Fragen ob ihr vielleicht einer Lösung habt zu einem Magischen Quadrat 3x3 mit den Zahlen 2-10. Bei 1-9  habe ich überall die selbe Lösung gefunden, gibts da sonst keine ?

Ich hoffe auf euer Genie  wink

Lg Karina  razz

Antworten bitte per Mail an cyberfoxxy1210@hotmail.com [könnt mich auch im MSN Adden, ich brauch immer ein gescheites MAthe-hirn ;)]

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Re: Magische Quadrate
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 17. Dezember 2007 12:37:20


Hat jemand eine Lösung um magische Quadrate ausgehend von der Summe der Zeilen/Spalten zu erzeugen, wenn diese nicht durch die Anzahl der Spalten teilbar ist? also: wie erzeuge ich ein 5x5 magisches Quadrat mit der Zeilensumme 248. Gruß Dirk

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Re: Magische Quadrate
von ripley am So. 31. August 2008 12:41:55


bin grad auf den artikel gestoßen und wollte noch ergänzen, dass mitleweile sogar ein magischer würfel gefunden wurde.


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Re: Magische Quadrate
von PeterTheMaster am Fr. 14. August 2009 20:48:08


needle, bei dir stimme die eine diagonale doch nicht.

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Re: Magische Quadrate
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 28. Februar 2011 14:31:14


hihi habe das magische quadrat vom albrecht dürer gerade in der schule (5.klasse)
Ist colll aber wir haben des nur ganz ganz kurz  

                                                         

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