 
Kapitel 5
Diagonalisierbarkeit
In diesem Artikel soll es rund ums 'Diagonalisieren’ von Linearen Abbildungen und Matrizen gehen. Dabei werden uns Begriffe wie 'Eigenwerte’, 'Eigenvektoren’ und 'charakteristisches Polynom’ begegnen, welche sich als sehr hilfreich für diese Theorie herausstellen werden.
Inhalt
Diagonalisieren: Was ist das?
Um dieser Frage einigermaßen gerecht zu werden bedarf es leider einer etwas längeren Vorrede. Als erstes sei gesagt, der Begriff des Diagonalisierens bezieht sich grundsätzlich nur auf quadratische Matrizen. Eine quadratische (n,n)-Matrix mit Einträgen aus einem Körper K kann als Darstellung einer Linearen Abbildung f: V -> V aufgefasst werden, wenn man zwei Basen des Vektorraums V auszeichnet, wobei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum ist; Das wissen wir bereits aus Kapitel 2. Eine solche Lineare Abbildung, also eine Abbildung eines Vektorraums in sich, nennt man auch 'Endomorphismus’. Hat man also eine (n,n)-Matrix A als Darstellungsmatrix eines Endomorphismus gegeben, wobei B die im Quell- und Zielvektorraum ausgezeichnete Basis ist (das geht, denn Quell- und Zielvektorraum sind ja gleich), so schreibt man bekanntlich
\fed\mixonA=$_B|M_ B (f)
Wie wir schon wissen, kann eine Lineare Abbildung mehrere Darstellungsmatrizen besitzen, ganz nach Wahl der Basen im Quell- und Zielvektorraum. Nun kommt die für dieses Kapitel grundlegende Frage:
\fedon\mixonKann man eine Basis B von K^n finden, sodass die Darstellungsmatrix
$_B|M_ B (f) einer gegebenen Linearen Abbildung f: K^n-> K^n möglichst einfache Gestalt besitzt?
Nochmal anders formuliert: Sei der Endomorphismus f: K^n->K^n gegeben.
Kann man eine Basis B von k^n finden, sodass die Darstellungsmatrix
\fedoff$_B|M_ B (f) von f bezüglich dieser Basis möglichst einfach aussieht?
Um diese Frage zu beantworten muss man sich erstmal darüber einig werden, was unter 'möglichst einfacher Gestalt’ zu verstehen ist. Wann hat eine Matrix eine einfache Gestalt? Wenn ihre Einträge alle Null sind sieht sie sicherlich einfach aus, jedoch ist sie dann auch ziemlich nutzlos. Vernünftiger ist es eine Matrix von einfacher Gestalt zu nennen, wenn sie lediglich auf der Hauptdiagonalen von Null verschiedene Einträge besitzt. Eine solche Matrix nennt man 'Diagonalmatrix’:
\fed\mixonD= matrix(\l_1,0,0,...,0;0,\l_2,0,...,0;0,0,\l_3,...,0;.,.,.,...,.;.,.,.,...,.;0,0,0,...,\l_n)
wobei die Lambdas beliebige Elemente aus dem Körper K sind.
Aber warum ist das vernünftig?
Ein direkter Vorteil bietet sich beispielsweise für das Multiplizieren von Matrizen an:
Das Produkt zweier Diagonalmatrizen sieht dann einfach so aus:
\fedon\mixonmatrix(\l_1,0,0,...,0;0,\l_2,0,...,0;0,0,\l_3,...,0;.,.,.,...,.;.,.,.,...,.;0,0,0,...,\l_n)*matrix(\m_1,0,0,...,0;0,\m_2,0,...,0;0,0,\m_3,...,0;.,.,.,...,.;.,.,.,...,.;0,0,0,...,\m_n)
\ =matrix(\l_1*\m_1,0,0,...,0;0,\l_2*\m_2,0,...,0;0,0,\l_3*\m_3,...,0;.,.,.,...,.;.,.,.,...,.;0,0,0,...,\l_n*\m_n)
\fedoff
Also man muss lediglich die Produkte der Diagonalelemente bilden.
Des weiteren kann man einige Eigenschaften einer durch eine Diagonalmatrix beschriebenen Abbildung einfach ablesen ohne groß zu rechnen, wie zum Beispiel den Rang. Eine Matrix in Diagonalgestalt vorliegen zu haben bietet noch einige weitere Vorzüge, welche hier natürlich jetzt nicht alle genannt werden können. Interessant ist vielleicht, dass die Idee bzw die Theorie der Diagonalisierung ursprünglich aus der Theorie der Kegelschnitte kommt.
Jetzt haben wir beschrieben, was wir unter 'möglichst einfacher Gestalt’ einer Matrix verstehen. Die oben angesprochene und für dieses Kapitel grundlegende Frage lautet nun etwas präziser:
\fedon\mixonSei der Endomorphismus f: K^n->K^n gegeben.
Kann man eine Basis B von K^n finden, sodass die Darstellungsmatrix
$_B|M_ B (f) von f bezüglich dieser Basis eine Diagonalmatrix ist?
\fedoff
Falls dies möglich ist, so nennt man die Abbildung f 'diagonalisierbar’, wobei das hier noch nicht die Definition ist, wie sie in Lehrbüchern allgemein gehandhabt wird, aber zu dieser kommen wir noch.
Nun aber genug der Vorrede, wir machen uns auf den Weg zu genaueren Definitionen
und wir wollen herausfinden, wann eine Lineare Abbildung eines Vektorraums in sich
überhaupt diagonalisierbar ist.
Eigenwerte und Eigenvektoren
Auf dem Weg zur Diagonalform benötigen wir folgende Begriffe:
\fedon\mixonDefinition__
Betrachten wir eine Lineare Abbildung f: V->V, so nennen wir einen Vektor
x\el\ V \\ menge(0) Eigenvektor__ zum Eigenwert__ \l\el\ K von f, wenn gilt:
\fedofff(x)=\l x
\fedon\mixonMit anderen Worten: Ein vom Nullvektor verschiedener Vektor x\el\ V
heisst Eigenvektor zum Eigenwert \l\el\ K von f, wenn er auf sein \l\-faches abgebildet wird.
\fedoff
Wir haben in der obigen Definition nicht vorausgesetzt, dass V endlich-dimensional ist. Im Folgenden möchten wir uns aber auf diesen Fall beschränken, weil es nur dann Sinn macht Lineare Abbildungen mit Matrizen zu identifizieren.
Eigenräume
\fedon\mixonWissen wir von einem \l\el\ K, dass es ein Eigenwert des Endomorphismus
f: K^n->K^n ist, so muss es also ein x\el\ K^n \\ menge(0) geben
mit f(x)=\l x. Betrachten wir nun ein skalares Vielfaches dieses
Eigenvektors, so gilt: f(ax)=af(x)=a\l x=\l ax, für ein a\el\ K.
Das heisst, dass ax ebenfalls ein Eigenvektor zum Eigenwert \l ist.
Sind nun x und y zwei Eigenvektoren zum Eigenwert \l, dann gilt:
f(x+y)=f(x)+f(y)=\l x+\l y=\l (x+y), was bedeutet,
dass die Summe zweier Eigenvektoren zum gleichen Eigenwert wieder
ein Eigenvektor zu diesem Eigenwert ist.
Damit haben wir gezeigt, dass die Menge aller Eigenvektoren aus K^n
zum Eigenwert \l ein Untervektorraum von K^n ist, wenn wir den
Nullvektor noch künstlich hinzufügen. Diesen Unterraum bezeichnen
wir mit "Eig_f (\l)".
\fedoff
Nun wollen wir diesen Untervektorraum etwas genauer beschreiben:
\fedon\mixonFür x\el\ Eig_f (\l) gilt:
f(x)=\l x
<=> f(x)=\l id_(K^n)(x)
<=> f(x)-\l id_(K^n)(x)=0
<=> (f-\l id_(K^n))(x)=0
<=> x\el\ Kern(f-\l id_(K^n))
Der Trick im ersten Schritt besteht darin, den Vektor x als Bild
der identischen Abbildung id: K^n->K^n\, x->x aufzufassen.
Daraus folgt: x\el\ Eig_f (\l)<=> x\el\ Kern(f-\l id),
mit anderen Worten: Eig_f(\l)=Kern(f-\l\ id).
Um die Menge Eig_f(\l) explizit anzugeben, muss man also lediglich
die Lösungsmenge des Linearen Gleichungssystems (A-\l E_n)x=0
bestimmen, wobei A die Darstellungsmatrix von f bezüglich der
Standardbasis ist. Nimmt man eine Darstellungsmatrix bezüglich
einer anderen Basis, so bekommt man natürlich auch die Eigen\-
vektoren, jedoch als Koordinatenvektoren bezüglich der gewählten
\fedoffBasis.
(vgl Kap II und Kap. IV).
Eigentlich ist jetzt ein guter Zeitpunkt, um ein praktisches Beispiel durchzuführen,
also betrachten wir folgenden Endomorphismus:
\fedon\mixonSei f: IR^3->IR^3 gegeben durch
f(matrix(x_1;x_2;x_3))=matrix(3x_1+4x_2-3x_3;2x_1+7x_2-4x_3;3x_1+9x_2-5x_3)
Wir wissen schon irgendwoher, dass \l=1 ein Eigenwert ist.
Nun möchten wir den zugehörigen Eigenraum bestimmen.
Die Darstellungsmatrix bezüglich der Standardbasis können wir ablesen:
$_S M_ S (f)=matrix(3,4,-3;2,7,-4;3,9,-5)
Nach obigen Überlegungen müssen wir jetzt das folgende LGS lösen:
(matrix(3,4,-3;2,7,-4;3,9,-5)-\l*matrix(1,0,0;0,1,0;0,0,1))*(x_1;x_2;x_3)=(0;0;0)
Das schreiben wir erstmal in eine andere Form, denn
matrix(3,4,-3;2,7,-4;3,9,-5)-\l*matrix(1,0,0;0,1,0;0,0,1)
\ =matrix(3,4,-3;2,7,-4;3,9,-5)-matrix(\l,0,0;0,\l,0;0,0,\l)
\ =matrix(3-\l,4 ,-3;2,7-\l,-4;3,9,-5-\l)
Damit lautet das zu lösende LGS:
matrix(3-\l,4,-3;2,7-\l,-4;3,9,-5-\l)*(x_1;x_2;x_3)=(0;0;0)
Jetzt wissen wir ja, dass wir den Eigenraum zum Eigenwert \l=1 haben
wollen, also setzen wir für \l die Zahl 1 ein, und lösen das LGS:
matrix(2,4,-3;2,6,-4;3,9,-6)*(x_1;x_2;x_3)=(0;0;0)
\fedoff
Wie man ein LGS löst und alles drumherum wurde in Kap. IV behandelt.
In diesem Beispiel mussten wir einen Eigenwert schon kennen, sonst hätten wir schlechte Karten gehabt. Aber bevor wir uns ansehen, wie man Eigenwerte systematisch berechnen kann, machen wir noch eine wichtige Beobachtung:
\fedon\mixonLemma__
Eigenvektoren zu paarweise verschiedenen Eigenwerten sind stets linear unabhängig.
Den Beweis dieses Lemmas kann man beispielsweise über Induktion führen, was wir aber hier nicht machen, weil das nicht im Vordergrund steht.
Aus dieser Beobachtung folgt aber, dass ein Endomorphismus eines
n\-dimensionalen Vektorraums höchstens n verschiedene Eigenwerte besitzen kann. Es gibt jedoch auch Endomorphismen, die keinen Eigenwert besitzen, zum Beispiel muss man sich nur eine Drehung des IR^2 um den Ursprung um einen Winkel echt zwischen 0 und 360 Grad vorstellen. Da wird kein vom Nullvektor verschiedener Vektor auf ein Vielfaches von sich abgebildet.
Klar und wichtig ist auch, dass verschiedene Eigenräume nur den Nullvektor gemeinsam haben können.
\fedoff
Berechnung von Eigenwerten
Wir wissen nun, wie man die Menge der zugehörigen Eigenvektoren bestimmt, wenn man die Eigenwerte schon kennt. Aber wie gelangt man zu den Eigenwerten eines gegebenen Endomorphismus? Hier kommt uns das Werkzeug der Determinante sehr gelegen(vgl Kap III):
\fedon\mixonSei f:K^n->K^n ein Endomorphismus. Wir suchen alle Eigenwerte \l\el\ K.
Dazu überlegen wir uns folgendes:
Ein \l\el\ K ist Eigenwert von f genau dann, wenn ein x\el\ K^n \\ menge(0)
existiert mit f(x)=\l x.
Das ist gerade genau dann der Fall, wenn Eig_f(\l)=Kern(f-\l id)
nicht nur aus dem Nullvektor besteht. Dies wiederum ist gleichbedeutend
damit, dass die Lineare Abbildung f-\l id nicht injektiv ist, und das
bedeutet, dass die die Determinante jeder Darstellungsmatrix von
f-\l id Null ist. Um eine solche Darstellungsmatrix zu erhalten suchen
wir einfach eine Darstellungsmatrix von f, nennen wir sie A, und
\fedoffbilden die Matrix A-\l E_n .
Fassen wir dieses Ergebnis nochmal in Form eines Satzes zusammen, dessen Beweisskizze in der obigen Herleitung steckt:
\fedon\mixonSatz__
Sei f:K^n->K^n eine Lineare Abbildung und A eine beliebige
Darstellungsmatrix von f. Dann gilt:
\exists x\el\K^n \\ menge(0) mit f(x)=\l x für ein \l\el\ K
\fedoff<=>\det(A-\l E_n)=0
Aber wie hilft uns dieser Satz? Na, ganz einfach so:
\fedon\mixonUm die Eigenwerte eines Endomorphismus herauszufinden müssen wir also
prüfen, für welche \l \el K die Determinante von A-\l E_n Null wird.
Es stellt sich heraus, dass \det(A-\l E_n) ein Polynom n-ten Grades
in der Unbestimmten \l ist, welches auch charakteristisches__ Polynom__
der Abbildung f genannt wird. Der Name dieses Polynoms erklärt sich
dadurch, dass es unabhängig von der Wahl der Darstellungsmatrix immer
gleich ist, nämlich für die Abbildung f "charakteristisch".
Damit offenbart sich eine interessante Brücke zwischen der Theorie
der Linearen Abbildungen und der Theorie der Nullstellenberechnung
von Polynomen.
\fedoff
Um das etwas zu verdeutlichen schauen wir uns ein Beispiel an:
\fedon\mixonSei f: IR^3->IR^3 wieder gegeben durch
f(matrix(x_1;x_2;x_3))=matrix(3x_1+4x_2-3x_3;2x_1+7x_2-4x_3;3x_1+9x_2-5x_3)
Nun suchen wir alle Eigenwerte der Abbildung. Dafür wählen wir eine
Darstellungsmatrix, und diejenige die wir schon haben ist uns recht:
M=$_S M_ S (f)=matrix(3,4,-3;2,7,-4;3,9,-5)
Wir suchen also alle \l\el\ IR, für welche die Determinante von
M-\l E_n Null wird. Also setzen wir an:
\det(M-\l E_n)=\det(matrix(3,4,-3;2,7,-4;3,9,-5)-matrix(\l,0,0;0,\l,0;0,0,\l)
\fedoff= \det(matrix(3-\l,4,-3;2,7-\l,-4;3,9,-5-\l))=(\l -2)(\l -2)(\l -1)
Das Ausrechnen der Determinante macht man in diesem Fall am Besten mit der Regel von Sarrus (vgl Kap III) und nach ein wenig Rechnerei kommt man auf die faktorisierte Form.
Hier kann man die Nullstellen schon ablesen, offenbar gibt es die zwei Eigenwerte 1 und 2.
Den Eigenraum zum Eigenwert 1 haben wir oben ja schon bestimmt, und das ganze geht analog mit dem zweiten Eigenwert.
Geometrische und algebraische Vielfachheiten
Jetzt wollen wir noch zwei weitere Begriffe einführen:
\fedon\mixon Definition__
Ist \l\el\ K ein Eigenwert eines Endomorphismus, so nennt man die
Dimension des zugehörigen Eigenraums geometrische__ Vielfachheit__
von \l. Darüberhinaus ist \l damit auch eine Nullstelle des
charakteristischen Polynoms, und deren Vielfachheit nennt man
algebraische__ Vielfachheit__ von \l.
\fedoff
Aus dieser Definition folgt, dass die Summe der geometrischen Vielfachheiten aller Eigenwerte eines Endomorphismus kleiner-gleich der Dimension des Vektorraums sein muss, denn da die Eigenräume bis auf den Nullvektor disjunkt sind, kann die Summe ihrer Dimensionen ja nicht die Dimension des Vektorraums in dem sie liegen übersteigen.
Ausserdem wissen wir aus der Algebra, dass auch die Summer der algebraischen Vielfachheiten aller Eigenwerte kleiner-gleich der Dimension des Vektorraums sein muss.
Bevor wir uns einen entscheidenden Schritt der Diagonalform nähern, schauen wir uns noch eine wichtige Beziehung zwischen den Vielfachheiten an:
\fedon\mixonLemma__
Ist f:K^n->K^n ein Endomorphismus und \l\el\ K ein Eigenwert, so gilt:
\fedoff\ geom. Vielfachheit von \l<=algebr. Vielfacheit von \l
Der Beweis ist nicht schwer, wir wollen ihn auch lediglich kurz skizzieren:
Man betrachtet eine Basis des Eigenraums von Lamda und ergänzt diese zu einer Basis B des n-dimensionalen Vektorraums über K. Nun stellt man die Darstellungsmatrix bezüglich B von f auf und berechnet das charakteristische Polynom, unter Verwendung der Laplace’schen Entwicklung einer Determinante, woran man die Behauptung dann ablesen kann.
Diagonalform
Verbindung Eigenvektoren und Diagonalform
Nun folgt ein entscheidender Schritt und die Antwort auf die Frage, warum wir die ganze Theorie der Eigenwerte und Eigenvektoren überhaupt betrachtet haben. Rufen wir uns die ursprüngliche Frage noch mal in Erinnerung:
\fedon\mixonSei der Endomorphismus f: K^n->K^n gegeben.
Kann man eine Basis B von K^n finden, sodass die Darstellungsmatrix
$_B|M_ B (f) von f bezüglich dieser Basis eine Diagonalmatrix ist?
\fedoffDas Wichtigste dieses Kapitels, sozusagen der 'Plot', ist es einzusehen, dass diese Frage mit der folgenden Frage völlig gleichwertig ist:
Existiert eine Basis aus Eigenvektoren von f ?
Aber warum diese Fragen gleichwertig sind, das müssen wir uns klarmachen:
Wenn die Antwort auf die erste Frage 'Ja' ist, dann ist auch die zweite Frage mit 'Ja’ zu beantworten, und das sehen wir so:
\fedon\mixonSei dafür der Endomorphismus f:K^n->K^n gegeben. Wir nehmen an,
dass es eine Basis B={b_1 ,...,b_n } von K^n gibt, sodass $_B M _B (f)
eine Diagonalmatrix ist, also so:
$_B M _B (f)=matrix(\l_1,0,0,...,0;0,\l_2,0,...,0;0,0,\l_3,...,0;.,.,.,...,.;.,.,.,...,.;0,0,0,...,\l_n)
Wir müssen zeigen, dass alle Basisvektoren Eigenvektoren sind,
also auf ein Vielfaches von sich selber abgebildet werden. Aus
Kapitel II wissen wir, wie eine solche Darstellungsmatrix funk\-
tioniert, es gilt:
f(b_1)=\l_1 b_1+0 b_2+...+0 b_n=\l_1 b_1
f(b_2)=0 b_1+\l_2 b_2+...+0 b_n=\l_2 b_2
...
f(b_n)=0 b_1+0 b_2+...+\l_n b_n=\l_n b_n
Die Basis B besteht also ausnahmslos aus Eigenvektoren zu den
\fedoffentsprechenden Eigenwerten \l_i mit i\el menge(1,...,n).
Jetzt wollen wir noch sehen, dass die Antwort auf die erste Frage 'Ja’ ist, wenn man die zweite Frage mit 'Ja’ beantwortet:
Dafür nehmen wir an, wir hätten eine Basis B aus Eigenvektoren zur Verfügung und müssen uns nur noch klarmachen, dass die Darstellungsmatrix von f bezüglich dieser Basis tatsächlich auch Diagonalgestalt besitzt. Dazu stellen wir einfach diese Matrix auf:
Die Einträge der ersten Spalte sind die Koeffizienten derjenigen Linearkombination aus den Basisvektoren, welche das Bild des ersten Basisvektors darstellt. Nochmal ganz langsam:
Wir stellen das Bild des ersten Basisvektors, also f(b1), als Linearkombination der Basisvektoren aus B dar, und die Koeffizienten dieser Linearkombination bilden dann die erste Spalte unserer gesuchten Darstellungsmatrix. Klingt komplizierter als es tatsächlich ist:
\fedon\mixonf(b_1)=\l_1 b_1=\l_1 b_1+0 b_2+...+0 b_n .
\fedoffDaraus folgt, dass die erste Spalte so aussieht: (\l_1;0;.;.;0)
Entsprechend läuft das auch für die zweite bis n-te Spalte, sodass unsere Matrix wirklich Diagonalgestalt besitzt.
Damit reduziert sich die Frage nach einer möglichen Diagonalform eines Endomorphismus auf die Suche nach n linear unabhängigen Eigenvektoren und damit kommen wir zu der zugegebenermaßen späten, aber erst jetzt verständlichen Definition der Diagonalisierbarkeit, wie sie in weiten Teilen der Literatur gehandhabt wird:
\fedon\mixonDefinition__
Ein Endomorphismus heisst diagonalisierbar__, wenn eine Basis aus
Eigenvektoren existiert.
\fedoff
Ist ein Endomorphismus diagonalisierbar, und stellt man ihn bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren dar, so ist diese Matrix also eine Diagonalmatrix und der Diagonal-Eintrag in der k-ten Zeile ist genau derjenige Eigenwert, zu welchem der k-te Basisvektor ein Eigenvektor ist.
Kriterien zur Diagonalisierbarkeit und 5-Schritt-Verfahren
Jetzt widmen wir uns der Frage, wann Lineare Abbildungen eines Vektorraums in sich (also Endomorphismen) überhaupt diagonalisierbar sind. Dass dem nicht immer so ist, das sehen wir am Beispiel der schon oben erwähnten Drehung des IR^2 um den Ursprung, um einen Winkel echt zwischen 0 und 360 Grad. Diese besitzt nämlich keine Eigenwerte und damit auch keine Eigenvektoren, und damit lässt sich natürlich auch keine Basis aus Eigenvektoren finden. Also ist diese Lineare Abbildung nicht diagonalisierbar.
Aber welche Voraussetzungen müssen für Diagonalisierbarkeit erfüllt sein?
Betrachten wir wieder unseren Endomorphismus f eines n-dimensionalen K-Vektorraums.
Diese Abbildung f ist nach Definition diagonalisierbar, wenn eine Basis aus Eigenvektoren existiert, das heisst, falls n linear unabhängige Eigenvektoren existieren. Anders formuliert:
Die Summe der Dimensionen aller Eigenräume muss gleich n sein, denn sonst findet man keine n linear unabhängige Eigenvektoren. Man könnte auch sagen, dass die Summe aller geometrischen Vielfachheiten gleich n sein muss, da dies ja gerade die Dimensionen der Eigenräume sind. Noch einmal zusammengefasst haben war damit:
\fedon\mixon\stress\ f ist diagonalisierbar, genau dann, wenn die Summe aller geometrischen
\fedoff\stress\Vielfachheiten der Eigenwerte gleich n ist.
Einen einfachen Spezialfall haben wir damit schon mal: Besitzt f n paarweise verschiedene Eigenwerte, so ist f diagonalisierbar, denn:
f besitzt n paarweise verschiedene Eigenwerte
=> Die Dimension jedes Eigenraums ist 1, denn jeder Eigenraum hat mindestens die Dimension 1, und da es n verschiedene Eigenräume gibt, welche immer bis auf den Nullvektor disjunkt sind, kann kein Eigenraum eine größere Dimension als 1 haben.
=> Die Summe der geometrischen Vielfachheiten ist gleich n.
=> f ist diagonalisierbar.
Wir haben aber nicht nur diesen Spezialfall behandeln können, sondern sind nun auch in der Lage ein erstes Verfahren anzugeben, mit dem man einen gegebenen Endomorphismus auf Diagonalisierbarkeit hin überprüfen kann:
- Eine Darstellungsmatrix aufstellen, wenn f nicht schon als solche gegeben ist
- Das charakteristische Polynom bestimmen
- Die Nullstellen dieses Polynoms bestimmen, diese sind die Eigenwerte von f
- Die zugehörigen Eigenräume bestimmen und damit auch ihre Dimensionen.
- Prüfen, ob die Summe der geometrischen Vielfachheiten gleich der Dimension des Vektorraums ist.
Falls die Antwort im Schritt 5) positiv ausfällt, dann wissen wir, dass f diagonalisierbar ist. Im anderen Fall tritt eben genau das Gegenteil ein.
Der theoretisch schwierigste Schritt ist der dritte, denn die Nullstellen eines beliebigen Polynoms lassen sich im Allgemeinen nur mit Werkzeugen der Numerik näherungsweise ermitteln, was jedoch bei praktischen Übungsaufgaben oft kein Problem darstellt.
Wir führen dieses Verfahren an unserem obigen Beispiel durch, das lautete folgendermaßen:
\fedon\mixonSei f: IR^3->IR^3 gegeben durch
f(matrix(x_1;x_2;x_3))=matrix(3x_1+4x_2-3x_3;2x_1+7x_2-4x_3;3x_1+9x_2-5x_3)
1) Den ersten Schritt haben wir schon längst, wir lesen die
Darstellungsmatrix bezüglich der Standardbasis einfach ab:
$_S M_ S (f)=matrix(3,4,-3;2,7,-4;3,9,-5)
2) und 3) Den zweiten und den dritten Schritt haben wir auch
schon bewerkstelligt, das charakteristische Polynom lautet
(\l -2)^2 (\l -1), und die Eigenwerte sind 2 und 1.
4) Die Eigenräume haben wir noch nicht explizit bestimmt, das holen wir nach:
Eig_f (1)=set(x\el IR^3 : (x_1;x_2;x_3)=r*(1;1;2), r\el\ IR) und
Eig_f (2)=set(x\el IR^3 : (x_1;x_2;x_3)=s*(1;2;3), s\el\ IR)
Die Dimensionen sind also jeweils 1.
5) Der Vektorraum IR^3 hat offenbar die Dimension 3, jedoch ist die
Summe der geometrischen Vielfachheiten kleiner als 3, und somit
\fedoffkommen wir zu dem Ergebnis, dass f nicht diagonalisierbar ist.
Dieses Verfahren erfordert stets die Bestimmung aller Eigenräume, was meist auf das Lösen von mehreren Linearen Gleichungssystemen hinausläuft, um festzustellen, ob ein gegebener Endomorphismus diagonalisierbar ist, oder nicht. Schön wäre es, wenn wir vielleicht Merkmale finden könnten, welche uns erlaubten eventuelle Schlüsse schon früher zu ziehen.
Dazu betrachten wir folgenden Satz:
\fedon\mixonSatz__
Ein Endomorphismus ist genau dann diagonalisierbar, wenn gilt:
1) Das charakteristische Polynom zerfällt vollständig in Linearfaktoren und
2) Für jeden Eigenwert gilt, dass die geometrische Vielfachheit
\ gleich der algebraischen Vielfachheit ist.
Beweis__: Sei f ein Endomorphismus eines n\-dimensionalen K\-Vektorraums.
'=>' f diagonalisierbar
=> Die Summe der geometrischen Vielfachheiten ergibt n
=> Die Summe der algebraischen Vielfachheiten ergibt auch n, denn sie ist mindestens n aufgrund der Tatsache, dass jede algebraische Viel\-
fachheit größer gleich der entsprechenden geometrischen Vielfachheit ist, und wir wissen auch schon, dass sie nicht größer als n sein kann.
Daraus folgen zwei Dinge:
1) Das charakteristische Polynom zerfällt vollständig in Linearfaktoren, denn wäre das nicht der Fall, dann käme als Summe aller algebraischen Vielfachheiten nicht n heraus.
2) Die geometrische und algebraische Vielfachheit jedes Eigenwerts
stimmen überein, denn angenommen, es gäbe einen Eigenwert, dessen alge\-
braische Vielfachheit größer als seine geometrische Vielfachheit wäre. Dann ergäbe die Summe der algebraischen Vielfachheiten etwas größeres als n,
was einen Widerspruch darstellt.
'<==' Nach Voraussetzung zerfällt das charakteristische Polynom in
Linearfaktoren
=> Die Summe der algebraischen Vielfachheiten ergibt n, und da die
algebraischen Vielfachheiten mit den geometrischen übereinstimmen
nach Voraussetzung, ergibt die Summe der geometrischen Vielfachheiten
auch n.
=> Es existiert eine Basis aus Eigenvektoren
=> f ist diagonalisierbar.
\fedoff
Damit können wir unser 5-Schritt-Verfahren insofern verbessern, dass wir in manchen Fällen schon früher erkennen, dass ein Endomorphismus nicht diagonalisierbar ist:
1) Eine Darstellungsmatrix aufstellen, wenn f nicht schon als solche gegeben ist
2) Das charakteristische Polynom bestimmen
3) Die Nullstellen dieses Polynoms bestimmen, diese sind die Eigenwerte von f. Wenn das charakteristische Polynom dabei nicht vollständig in Linearfaktoren zerfällt, dann wissen wir an dieser Stelle schon, dass f nicht diagonalisierbar ist.
4) Die zugehörigen Eigenräume bestimmen und damit auch ihre Dimensionen
5) Entweder prüfen, ob alle geometrischen und algebraischen Vielfachheiten übereinstimmen, oder ob die Summe der geometrischen Vielfachheiten n ergibt.
Ein Beispiel, bei dem dieses Verfahren schneller zum Ziel führt, als unser vorheriges, wäre dieses hier:
\fedon\mixonSei f:IR^3->IR^3 gegeben durch folgende Darstellungsmatrix bezüglich
der Standardbasis:
$_S M _S (f)=matrix(1,-sqrt(3),0;sqrt(3),-1,0;0,0,1).
Wir bestimmen das charakteristische Polynom:
\det(matrix(1-\l,-sqrt(3),0;sqrt(3),-1-\l,0;0,0,1-\l))=(\l^2 +2)(1-\l)
Wir sehen, dass (\l^2 +2) keine reellen Nullstellen besitzt, sich
das charakteristische Polynom also nicht vollständig in Linear\-
faktoren zerlegen lässt. Damit wissen wir, dass die Abbildung nicht
\fedoffdiagonalisierbar ist.
Bis jetzt haben wir aber nur Abbildungen kennen gelernt, die nicht diagonalisierbar waren, nun mal ein schöneres Beispiel:
\fedon\mixonSei f:IR^3->IR^3 wieder gegeben durch folgende Darstellung
bezüglich der Standardbasis:
$_S M _S (f)=matrix(5,-6,-6;-1,4,2;3,-6,-4).
Wir bestimmen das charakteristische Polynom über die übliche Formel
und erhalten:
\det(matrix(5-\l,-6,-6;-1,4-\l,2;3,-6,-4-\l))=(\l-2)(\l-2)(\l-1)
Es lässt sich also vollständig in Linearfaktoren zerlegen, und wir
bekommen die zwei Eigenwerte 2 und 1. Nun bestimmen wir die Eigenräume
und erhalten:
Eig_f (1)=set(x\el IR^3 : (x_1;x_2;x_3)=r*(3;-1;3), r\el\ IR) und
Eig_f (2)=set(x\el\ IR^3 : (x_1;x_2;x_3)=s*(2;1;0)+t*(2;0;1), s,t\el\ IR)
\fedoff
\fedon\mixonDie Summe der geometrischen Vielfachheiten ist gleich 3, und somit
ist unsere Abbildung diagonalisierbar. Wie sieht nun eine geeignete
Basis aus Eigenvektoren aus? Na, wir bilden sie aus den Basen der
Eigenräume, die wir ja schon bestimmt haben, und bekommen:
B=matrix((2;1;0),(2;0;1),(3;-1;3))
Wenn wir also f bezüglich dieser Basis B darstellen, so erhalten wir
die folgende Matrix:
$_B M _B (f)=matrix(2,0,0;0,2,0;0,0,1).
Dass dies tatsächlich der Fall ist, das können wir überprüfen,
indem wir die Matrix bezüglich der Standardbasis mithilfe von
Basistransformationsmatrizen (vgl Kap II 1/2) in die Matrix
bezüglich der Basis B überführen, es gilt:
$_B M _B (f)=($_B|T _S)^(-1)| _S M _S (f)| _B T _S
Wie man die Transformationsmatrizen aufstellt, das wissen wir aus
Kap II, und wir bekommen:
$_B T _S =matrix(2,2,3;1,0,-1;0,1,3)
Damit folgt:
$_B M _B (f)=matrix(2,2,3;1,0,-1;0,1,3)^(-1) matrix(5,-6,-6;-1,4,2;3,-6,-4) matrix(2,2,3;1,0,-1;0,1,3)
\fedoffwas tatsächlich als Ergebnis die obige Diagonalmatrix besitzt.
Bevor wir zu einer kleinen praktischen Anwendung der Diagonalisierung kommen, folgt noch ein kurzer aber wichtiger Abschnitt:
Übertragung der Begriffe von Endomorphismen auf Matrizen
Im bisherigen Abschnitt haben wir die grundlegenden Begriffe und Definitionen formal für Endomorphismen erklärt. In vielen praktischen Anwendungen heisst es jedoch 'Diagonalisiere folgende Matrix…’, 'Berechne die Eigenräume der Matrix A…’ oder ähnliches, und wir haben eine Matrix gegeben, jedoch keine Basis, bezüglich derer unsere Matrix erst eindeutig mit einem Endomorphismus zu identifizieren wäre. Eine Matrix ohne Angabe einer zugehörigen Basis kann Darstellung vieler Endomorphismen sein, wie soll man da wissen, welchen genau man jetzt bearbeiten soll?
Die Antwort darauf ist ganz einfach, dass es egal ist. Man kann sich eine beliebige Basis auszeichnen, und sich vorstellen die gegebene Matrix sei die Darstellung bezüglich dieser Basis, denn alle Endomorphismen, die diese Matrix als mögliche Darstellung besitzen, haben sowieso das gleiche charakteristische Polynom, und somit die gleichen Eigenwerte. Berechnet man dann die Eigenräume, so muss man die berechneten Vektoren lediglich als Koordinatenvektoren bezüglich der gewählten Basis ansehen.
Am einfachsten und am praktischsten ist es vielleicht, zu einer gegebenen Matrix für sich insgeheim die Standardbasis auszuzeichnen, und die Matrix dann mit demjenigen Endomorphismus zu identifizieren, der diese Matrix als Darstellung bezüglich der Standardbasis besitzt.
In diesem Sinne macht es grundsätzlich keine Schwierigkeiten alle hier behandelten Begriffe von den Objekten 'Endomorphismen’ auf die Objekte 'Matrizen’ zu übertragen.
Eine praktische Anwendung
Nehmen wir an, wir hätten eine quadratische Matrix A gegeben, von welcher wir die 100. Potenz berechnen wollten. Hundert Matrix-Multiplikationen sind sehr aufwendig, aber wenn die Matrix diagonalisierbar ist, dann haben wir Glück:
\fedon\mixonA diagonalisierbar
<=> Es existiert eine Basistransformationsmatrix T, sodass gilt:
\ D=T^(-1) A T
wobei D eine Diagonalmatrix ist.
Stellen wir das nach A um, dann bekommen wir:
A=T D T^(-1)
Nun setzen wir an:
A^100=(T D T^(-1))^100=(T D T^(-1))(T D T^(-1))...(T D T^(-1)) (100 mal)
Wegen der Assoziativität der Matrix-Multiplikation können die Klammern
weggelassen werden:
A^100=T D T^(-1) T D T^(-1) ...T D T^(-1)
wobei sich nun die Matrizen T^(-1) T sich jeweils zur Einheitsmatrix bilden,
und es bleibt übrig:
A^100=T D^100 T^(-1)
Die 100\-fache Potenz der Diagonalmatrix läst sich offensichtlich leicht
berechnen, indem man jeden Diagonaleintrag mit 100 potenziert, und
so hat man auf elegante Art und Weise die 100. Potenz der Matrix A
\fedoffberechnet.
Damit beenden wir diesen Abschnitt, ich hoffe es konnte etwas helfen!
Beste Grüße
Thorsten
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