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Mathematik: Kapitel 5: Diagonalisierbarkeit
Freigegeben von matroid am Do. 22. April 2004 20:06:01
Verfasst von Siah -   83820 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Lineare Algebra


Lineare Algebra für Dumme, Kap. 5

Kapitel 5 Diagonalisierbarkeit



In diesem Artikel soll es rund ums 'Diagonalisieren’ von Linearen Abbildungen und Matrizen gehen. Dabei werden uns Begriffe wie 'Eigenwerte’, 'Eigenvektoren’ und 'charakteristisches Polynom’ begegnen, welche sich als sehr hilfreich für diese Theorie herausstellen werden.



Inhalt






Diagonalisieren: Was ist das?

Um dieser Frage einigermaßen gerecht zu werden bedarf es leider einer etwas längeren Vorrede. Als erstes sei gesagt, der Begriff des Diagonalisierens bezieht sich grundsätzlich nur auf quadratische Matrizen. Eine quadratische (n,n)-Matrix mit Einträgen aus einem Körper K kann als Darstellung einer Linearen Abbildung f: V -> V aufgefasst werden, wenn man zwei Basen des Vektorraums V auszeichnet, wobei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum ist; Das wissen wir bereits aus Kapitel 2. Eine solche Lineare Abbildung, also eine Abbildung eines Vektorraums in sich, nennt man auch 'Endomorphismus’. Hat man also eine (n,n)-Matrix A als Darstellungsmatrix eines Endomorphismus gegeben, wobei B die im Quell- und Zielvektorraum ausgezeichnete Basis ist (das geht, denn Quell- und Zielvektorraum sind ja gleich), so schreibt man bekanntlich
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Wie wir schon wissen, kann eine Lineare Abbildung mehrere Darstellungsmatrizen besitzen, ganz nach Wahl der Basen im Quell- und Zielvektorraum. Nun kommt die für dieses Kapitel grundlegende Frage:

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Um diese Frage zu beantworten muss man sich erstmal darüber einig werden, was unter 'möglichst einfacher Gestalt’ zu verstehen ist. Wann hat eine Matrix eine einfache Gestalt? Wenn ihre Einträge alle Null sind sieht sie sicherlich einfach aus, jedoch ist sie dann auch ziemlich nutzlos. Vernünftiger ist es eine Matrix von einfacher Gestalt zu nennen, wenn sie lediglich auf der Hauptdiagonalen von Null verschiedene Einträge besitzt. Eine solche Matrix nennt man 'Diagonalmatrix’:

fed-Code einblenden

wobei die Lambdas beliebige Elemente aus dem Körper K sind.
Aber warum ist das vernünftig?

Ein direkter Vorteil bietet sich beispielsweise für das Multiplizieren von Matrizen an:
Das Produkt zweier Diagonalmatrizen sieht dann einfach so aus:

fed-Code einblenden
Also man muss lediglich die Produkte der Diagonalelemente bilden.
Des weiteren kann man einige Eigenschaften einer durch eine Diagonalmatrix beschriebenen Abbildung einfach ablesen ohne groß zu rechnen, wie zum Beispiel den Rang. Eine Matrix in Diagonalgestalt vorliegen zu haben bietet noch einige weitere Vorzüge, welche hier natürlich jetzt nicht alle genannt werden können. Interessant ist vielleicht, dass die Idee bzw die Theorie der Diagonalisierung ursprünglich aus der Theorie der Kegelschnitte kommt.

Jetzt haben wir beschrieben, was wir unter 'möglichst einfacher Gestalt’ einer Matrix verstehen. Die oben angesprochene und für dieses Kapitel grundlegende Frage lautet nun etwas präziser:

fed-Code einblenden

Falls dies möglich ist, so nennt man die Abbildung f 'diagonalisierbar’, wobei das hier noch nicht die Definition ist, wie sie in Lehrbüchern allgemein gehandhabt wird, aber zu dieser kommen wir noch.

Nun aber genug der Vorrede, wir machen uns auf den Weg zu genaueren Definitionen
und wir wollen herausfinden, wann eine Lineare Abbildung eines Vektorraums in sich
überhaupt diagonalisierbar ist.



Eigenwerte und Eigenvektoren

Auf dem Weg zur Diagonalform benötigen wir folgende Begriffe:


fed-Code einblenden

fed-Code einblenden
Wir haben in der obigen Definition nicht vorausgesetzt, dass V endlich-dimensional ist. Im Folgenden möchten wir uns aber auf diesen Fall beschränken, weil es nur dann Sinn macht Lineare Abbildungen mit Matrizen zu identifizieren.


Eigenräume


fed-Code einblenden

Nun wollen wir diesen Untervektorraum etwas genauer beschreiben:

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(vgl Kap II und Kap. IV).

Eigentlich ist jetzt ein guter Zeitpunkt, um ein praktisches Beispiel durchzuführen,
also betrachten wir folgenden Endomorphismus:

fed-Code einblenden
Wie man ein LGS löst und alles drumherum wurde in Kap. IV behandelt.


In diesem Beispiel mussten wir einen Eigenwert schon kennen, sonst hätten wir schlechte Karten gehabt. Aber bevor wir uns ansehen, wie man Eigenwerte systematisch berechnen kann, machen wir noch eine wichtige Beobachtung:


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Berechnung von Eigenwerten


Wir wissen nun, wie man die Menge der zugehörigen Eigenvektoren bestimmt, wenn man die Eigenwerte schon kennt. Aber wie gelangt man zu den Eigenwerten eines gegebenen Endomorphismus? Hier kommt uns das Werkzeug der Determinante sehr gelegen(vgl Kap III):

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Fassen wir dieses Ergebnis nochmal in Form eines Satzes zusammen, dessen Beweisskizze in der obigen Herleitung steckt:

fed-Code einblenden

Aber wie hilft uns dieser Satz? Na, ganz einfach so:

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Um das etwas zu verdeutlichen schauen wir uns ein Beispiel an:

fed-Code einblenden

Das Ausrechnen der Determinante macht man in diesem Fall am Besten mit der Regel von Sarrus (vgl Kap III) und nach ein wenig Rechnerei kommt man auf die faktorisierte Form.
Hier kann man die Nullstellen schon ablesen, offenbar gibt es die zwei Eigenwerte 1 und 2.

Den Eigenraum zum Eigenwert 1 haben wir oben ja schon bestimmt, und das ganze geht analog mit dem zweiten Eigenwert.



Geometrische und algebraische Vielfachheiten


Jetzt wollen wir noch zwei weitere Begriffe einführen:

fed-Code einblenden

Aus dieser Definition folgt, dass die Summe der geometrischen Vielfachheiten aller Eigenwerte eines Endomorphismus kleiner-gleich der Dimension des Vektorraums sein muss, denn da die Eigenräume bis auf den Nullvektor disjunkt sind, kann die Summe ihrer Dimensionen ja nicht die Dimension des Vektorraums in dem sie liegen übersteigen.

Ausserdem wissen wir aus der Algebra, dass auch die Summer der algebraischen Vielfachheiten aller Eigenwerte kleiner-gleich der Dimension des Vektorraums sein muss.


Bevor wir uns einen entscheidenden Schritt der Diagonalform nähern, schauen wir uns noch eine wichtige Beziehung zwischen den Vielfachheiten an:

fed-Code einblenden


Der Beweis ist nicht schwer, wir wollen ihn auch lediglich kurz skizzieren:

Man betrachtet eine Basis des Eigenraums von Lamda und ergänzt diese zu einer Basis B des n-dimensionalen Vektorraums über K. Nun stellt man die Darstellungsmatrix bezüglich B von f auf und berechnet das charakteristische Polynom, unter Verwendung der Laplace’schen Entwicklung einer Determinante, woran man die Behauptung dann ablesen kann.




Diagonalform




Verbindung Eigenvektoren und Diagonalform



Nun folgt ein entscheidender Schritt und die Antwort auf die Frage, warum wir die ganze Theorie der Eigenwerte und Eigenvektoren überhaupt betrachtet haben. Rufen wir uns die ursprüngliche Frage noch mal in Erinnerung:

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Existiert eine Basis aus Eigenvektoren von f ?


Aber warum diese Fragen gleichwertig sind, das müssen wir uns klarmachen:

Wenn die Antwort auf die erste Frage 'Ja' ist, dann ist auch die zweite Frage mit 'Ja’ zu beantworten, und das sehen wir so:

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Jetzt wollen wir noch sehen, dass die Antwort auf die erste Frage 'Ja’ ist, wenn man die zweite Frage mit 'Ja’ beantwortet:

Dafür nehmen wir an, wir hätten eine Basis B aus Eigenvektoren zur Verfügung und müssen uns nur noch klarmachen, dass die Darstellungsmatrix von f bezüglich dieser Basis tatsächlich auch Diagonalgestalt besitzt. Dazu stellen wir einfach diese Matrix auf:

Die Einträge der ersten Spalte sind die Koeffizienten derjenigen Linearkombination aus den Basisvektoren, welche das Bild des ersten Basisvektors darstellt. Nochmal ganz langsam:

Wir stellen das Bild des ersten Basisvektors, also f(b1), als Linearkombination der Basisvektoren aus B dar, und die Koeffizienten dieser Linearkombination bilden dann die erste Spalte unserer gesuchten Darstellungsmatrix. Klingt komplizierter als es tatsächlich ist:

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Entsprechend läuft das auch für die zweite bis n-te Spalte, sodass unsere Matrix wirklich Diagonalgestalt besitzt.



Damit reduziert sich die Frage nach einer möglichen Diagonalform eines Endomorphismus auf die Suche nach n linear unabhängigen Eigenvektoren und damit kommen wir zu der zugegebenermaßen späten, aber erst jetzt verständlichen Definition der Diagonalisierbarkeit, wie sie in weiten Teilen der Literatur gehandhabt wird:


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Ist ein Endomorphismus diagonalisierbar, und stellt man ihn bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren dar, so ist diese Matrix also eine Diagonalmatrix und der Diagonal-Eintrag in der k-ten Zeile ist genau derjenige Eigenwert, zu welchem der k-te Basisvektor ein Eigenvektor ist.



Kriterien zur Diagonalisierbarkeit und 5-Schritt-Verfahren




Jetzt widmen wir uns der Frage, wann Lineare Abbildungen eines Vektorraums in sich (also Endomorphismen) überhaupt diagonalisierbar sind. Dass dem nicht immer so ist, das sehen wir am Beispiel der schon oben erwähnten Drehung des IR^2 um den Ursprung, um einen Winkel echt zwischen 0 und 360 Grad. Diese besitzt nämlich keine Eigenwerte und damit auch keine Eigenvektoren, und damit lässt sich natürlich auch keine Basis aus Eigenvektoren finden. Also ist diese Lineare Abbildung nicht diagonalisierbar.

Aber welche Voraussetzungen müssen für Diagonalisierbarkeit erfüllt sein?


Betrachten wir wieder unseren Endomorphismus f eines n-dimensionalen K-Vektorraums.

Diese Abbildung f ist nach Definition diagonalisierbar, wenn eine Basis aus Eigenvektoren existiert, das heisst, falls n linear unabhängige Eigenvektoren existieren. Anders formuliert:
Die Summe der Dimensionen aller Eigenräume muss gleich n sein, denn sonst findet man keine n linear unabhängige Eigenvektoren. Man könnte auch sagen, dass die Summe aller geometrischen Vielfachheiten gleich n sein muss, da dies ja gerade die Dimensionen der Eigenräume sind. Noch einmal zusammengefasst haben war damit:


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Einen einfachen Spezialfall haben wir damit schon mal: Besitzt f n paarweise verschiedene Eigenwerte, so ist f diagonalisierbar, denn:
f besitzt n paarweise verschiedene Eigenwerte

=> Die Dimension jedes Eigenraums ist 1, denn jeder Eigenraum hat mindestens die Dimension 1, und da es n verschiedene Eigenräume gibt, welche immer bis auf den Nullvektor disjunkt sind, kann kein Eigenraum eine größere Dimension als 1 haben.

=> Die Summe der geometrischen Vielfachheiten ist gleich n.

=> f ist diagonalisierbar.

Wir haben aber nicht nur diesen Spezialfall behandeln können, sondern sind nun auch in der Lage ein erstes Verfahren anzugeben, mit dem man einen gegebenen Endomorphismus auf Diagonalisierbarkeit hin überprüfen kann:
  1. Eine Darstellungsmatrix aufstellen, wenn f nicht schon als solche gegeben ist
  2. Das charakteristische Polynom bestimmen
  3. Die Nullstellen dieses Polynoms bestimmen, diese sind die Eigenwerte von f
  4. Die zugehörigen Eigenräume bestimmen und damit auch ihre Dimensionen.
  5. Prüfen, ob die Summe der geometrischen Vielfachheiten gleich der Dimension des Vektorraums ist.


Falls die Antwort im Schritt 5) positiv ausfällt, dann wissen wir, dass f diagonalisierbar ist. Im anderen Fall tritt eben genau das Gegenteil ein.

Der theoretisch schwierigste Schritt ist der dritte, denn die Nullstellen eines beliebigen Polynoms lassen sich im Allgemeinen nur mit Werkzeugen der Numerik näherungsweise ermitteln, was jedoch bei praktischen Übungsaufgaben oft kein Problem darstellt.


Wir führen dieses Verfahren an unserem obigen Beispiel durch, das lautete folgendermaßen:

fed-Code einblenden

Dieses Verfahren erfordert stets die Bestimmung aller Eigenräume, was meist auf das Lösen von mehreren Linearen Gleichungssystemen hinausläuft, um festzustellen, ob ein gegebener Endomorphismus diagonalisierbar ist, oder nicht. Schön wäre es, wenn wir vielleicht Merkmale finden könnten, welche uns erlaubten eventuelle Schlüsse schon früher zu ziehen. Dazu betrachten wir folgenden Satz:


fed-Code einblenden

Damit können wir unser 5-Schritt-Verfahren insofern verbessern, dass wir in manchen Fällen schon früher erkennen, dass ein Endomorphismus nicht diagonalisierbar ist:

1) Eine Darstellungsmatrix aufstellen, wenn f nicht schon als solche gegeben ist

2) Das charakteristische Polynom bestimmen

3) Die Nullstellen dieses Polynoms bestimmen, diese sind die Eigenwerte von f. Wenn das charakteristische Polynom dabei nicht vollständig in Linearfaktoren zerfällt, dann wissen wir an dieser Stelle schon, dass f nicht diagonalisierbar ist.

4) Die zugehörigen Eigenräume bestimmen und damit auch ihre Dimensionen

5) Entweder prüfen, ob alle geometrischen und algebraischen Vielfachheiten übereinstimmen, oder ob die Summe der geometrischen Vielfachheiten n ergibt.



Ein Beispiel, bei dem dieses Verfahren schneller zum Ziel führt, als unser vorheriges, wäre dieses hier:

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Bis jetzt haben wir aber nur Abbildungen kennen gelernt, die nicht diagonalisierbar waren, nun mal ein schöneres Beispiel:


fed-Code einblenden
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Bevor wir zu einer kleinen praktischen Anwendung der Diagonalisierung kommen, folgt noch ein kurzer aber wichtiger Abschnitt:




Übertragung der Begriffe von Endomorphismen auf Matrizen


Im bisherigen Abschnitt haben wir die grundlegenden Begriffe und Definitionen formal für Endomorphismen erklärt. In vielen praktischen Anwendungen heisst es jedoch 'Diagonalisiere folgende Matrix…’, 'Berechne die Eigenräume der Matrix A…’ oder ähnliches, und wir haben eine Matrix gegeben, jedoch keine Basis, bezüglich derer unsere Matrix erst eindeutig mit einem Endomorphismus zu identifizieren wäre. Eine Matrix ohne Angabe einer zugehörigen Basis kann Darstellung vieler Endomorphismen sein, wie soll man da wissen, welchen genau man jetzt bearbeiten soll?
Die Antwort darauf ist ganz einfach, dass es egal ist. Man kann sich eine beliebige Basis auszeichnen, und sich vorstellen die gegebene Matrix sei die Darstellung bezüglich dieser Basis, denn alle Endomorphismen, die diese Matrix als mögliche Darstellung besitzen, haben sowieso das gleiche charakteristische Polynom, und somit die gleichen Eigenwerte. Berechnet man dann die Eigenräume, so muss man die berechneten Vektoren lediglich als Koordinatenvektoren bezüglich der gewählten Basis ansehen.
Am einfachsten und am praktischsten ist es vielleicht, zu einer gegebenen Matrix für sich insgeheim die Standardbasis auszuzeichnen, und die Matrix dann mit demjenigen Endomorphismus zu identifizieren, der diese Matrix als Darstellung bezüglich der Standardbasis besitzt.
In diesem Sinne macht es grundsätzlich keine Schwierigkeiten alle hier behandelten Begriffe von den Objekten 'Endomorphismen’ auf die Objekte 'Matrizen’ zu übertragen.




Eine praktische Anwendung


Nehmen wir an, wir hätten eine quadratische Matrix A gegeben, von welcher wir die 100. Potenz berechnen wollten. Hundert Matrix-Multiplikationen sind sehr aufwendig, aber wenn die Matrix diagonalisierbar ist, dann haben wir Glück:

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Damit beenden wir diesen Abschnitt, ich hoffe es konnte etwas helfen!

Beste Grüße
Thorsten


 
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" Mathematik: Kapitel 5: Diagonalisierbarkeit" | 21 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Kapitel 5: Diagonalisierbarkeit
von scorp am Do. 22. April 2004 20:26:19


Hi Thorsten.
Ich betrachte mein LA-Uebungsblatt von dieser Woche und sehe, dass es genau um dieses Thema geht. Ich danke dir fuer diesen Artikel! smile

 [Bearbeiten]

Re: Kapitel 5: Diagonalisierbarkeit
von Martin_Infinite am Do. 22. April 2004 21:41:24


Einen super LA-Artikel hast du da wieder konzepiert, Thorsten! smile

 [Bearbeiten]

Re: Kapitel 5: Diagonalisierbarkeit
von arthur am Do. 22. April 2004 22:06:22


ja, da kann man sich nur anschließen...große klasse. du hast es geschafft, diese thematik ausführlich und dennoch verständlich rüberzubringen. ich wünschte, mein prof hätte das ähnlich gemacht und nicht so verkompliziert.
also, dickes lob auch von mir. smile

gruß arthur

 [Bearbeiten]

Re: Kapitel 5: Diagonalisierbarkeit
von matroid am Fr. 23. April 2004 10:05:20


Hi Thorsten,

das ist wirklich wieder eine sehr gute Arbeit -  Du verwöhnst Deine Anhänger - und gewinnst neue. Super!

Gruß
Matroid

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Re: Kapitel 5: Diagonalisierbarkeit
von anderl am Mi. 28. April 2004 10:17:19


Danke! Jetzt sollte ich keine Probleme mit meinem Uebungsblatt haben...

gruss,
anderl

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Re: Kapitel 5: Diagonalisierbarkeit
von BorisK am Fr. 30. April 2004 14:15:18


Ich hab mal ne Frage an Matroid oder den Verfasser der "linearen algebra für dummköpfe" wär es ein großer aufwand vielleicht in einer download ecke die gesamte bisher erschienen kapitel als pdf dokument zum download bereit zu stellen denn ich denke es könnte für den ein oder anderen ganz hilfreich sein dies als nachschlagewerk zu verwenden (auch für mich)

gruss boris

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Re: Kapitel 5: Diagonalisierbarkeit 1.Lemma
von CKone am Sa. 01. Mai 2004 13:19:12


Hallo!

Ein toller Artikel, hat mir wirklich weitergeholfen, aber...

beim ersten Lemma steht, dass bei der Drehung um einen Winkel zw. 0 und 360 GRad kein Vektor auf ein Vielfaches von sich selber abgebildet wird. Stimmt das? Bei einer Drehung um 180 GRad wird doch jeder Vektor v auf -v abgebildet?

Hab ich die Definition nicht richtig verstanden?

Bitte mach so weiter,

Christoph

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Re: Kapitel 5: Diagonalisierbarkeit
von Siah am Sa. 01. Mai 2004 13:36:24


Hallo, erstmal freue ich mich, dass der Artikel Anklang findet!

@Boris: Da kann ich Dir leider nicht weiterhelfen, vielleicht kann Matro da was machen, aber ich vermute, dass die Artikel einfach nicht in diesem Format vorliegen...

@CKone: Dankeschön, es sollte natürlich "echt zwischen 0 und 180 Grad" heissen, da hast du recht.

beste Grüße
Siah

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Re: Kapitel 5: Diagonalisierbarkeit
von hans_fakie am Sa. 19. Juni 2004 22:33:59


Hallo Thorsten,

danke für diesen guten Artikel. Ich kann immer noch nicht glauben
das ich die Diagonalisierbarkeit verstanden habe. Du hast genau
die richtige Mischung gefunden. Einfach cool.
by fakie

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Re: Kapitel 5: Diagonalisierbarkeit
von Sirod am Sa. 18. September 2004 23:38:47


Danke!!!

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Re: Kapitel 5: Diagonalisierbarkeit
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 01. Februar 2006 21:17:12


wow danke! Super Bestätigung dass man es doch verstanden hat :>

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Re: Kapitel 5: Diagonalisierbarkeit
von Fenti am Mo. 15. Mai 2006 12:21:25



Dieser Artikel ist wirklich einsame Spitzenklasse! Da laufe ich seit einigen Wochen in verschiedenen Buchhandlungen umher, um ein geeignetes Nachschlagewerk zu finden, welches mir (2. Semester Physik) die Matrix-Rechnung etwas näher zu bringen vermag - und nun finde ich diesen grandiosen Beitrag! Vielen Dank. *verbeug*

Fenti

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Re: Kapitel 5: Diagonalisierbarkeit
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 16. Februar 2007 17:23:08


einfach nur ein großes dankeschön. gruß sergej

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Re: Kapitel 5: Diagonalisierbarkeit
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 26. März 2007 19:16:21


Ja da kann man dem Meister der Erklärkunst nur wieder einmal gratulieren. Deine Beiträge sind wirklich hilfreich. Nur einmal hast du glaub ich beim charakteristischen Polynom ein - vergessen, und zwar bei (x-2)^2(x-1), aber ändert ja nichts an den Nullstellen :). Also nochmal vielen Dank. Lg Manuel

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Re: Kapitel 5: Diagonalisierbarkeit
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 14. Mai 2007 22:45:14


Ein beispielhafter Artikel. Ohne viel sinnloses Gelaber und direkt und zeilstrebig auf den Punkt gebracht..Weiter so!!

GRüße
ElCommandôre

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Re: Kapitel 5: Diagonalisierbarkeit
von Ernie am Mi. 06. Juni 2007 14:51:27


eek  eek

Danke!! Sehr schöner Artikel. Hab vorher nicht ganz durchgeblickt, aber jetzt ist mir alles klar.

Weiter so und beglücke uns mit weiteren Artikeln solcher Art.


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Re: Kapitel 5: Diagonalisierbarkeit
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 09. August 2007 15:01:34


Dank dir für dei schöne Darstellung, hat mir sehr geholfen!

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Re: Kapitel 5: Diagonalisierbarkeit
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 27. Mai 2008 17:26:46


Hallo,
sehr hilfreicher Artikel, aber hat nicht eine Drehung um 180° den Eigenwert -1?
(Im Artikel:"...zum Beispiel muss man sich nur eine Drehung des IR^2 um den Ursprung um einen Winkel echt zwischen 0 und 360 Grad vorstellen. Da wird kein vom Nullvektor verschiedener Vektor auf ein Vielfaches von sich abgebildet.")

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Re: Kapitel 5: Diagonalisierbarkeit
von Siah am Di. 27. Mai 2008 19:45:03


Hallo,

vielen Dank für das Lob, der Fehler ist schon damals oben in dem Kommentar vom Sa. 01. Mai 2004 13:19:12 aufgefallen, wurde leider bis jetzt noch nicht korrigiert.

Gruß Siah

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Re: Kapitel 5: Diagonalisierbarkeit
von Scav am Mi. 13. August 2008 12:32:20


Diese Artikelreihe hat mir sehr gut bei LA 1+2 geholfen. Besonders den Basiswechsel finde ich sehr gut erklärt. Ich hab das für schwer gehalten, bis ich deinen Artikel gefunden habe. wink

Danke!

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Re: Kapitel 5: Diagonalisierbarkeit
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 29. April 2014 22:32:18


Dieser Artikel hat mir sehr geholfen, vielen Dank an den Verfasser!


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