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Kommentare
Dieser Artikel ist im Verzeichnis der 
| " Mathematik: Geometrie in der Teetasse" | 15 Kommentare |
| Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich. |
Re: Geometrie in der Teetasse |
| Hallo Norbert,
endlich ein Artikel, der Studenten die sphärische Aberration, vor allem mathematisch durchleuchtet, näher bringt (siehe Aufgabe 1.5). Ich werde ihn wärmstens zum Selbststudium empfehlen. Gruß Eckard |
Re: Geometrie in der Teetasse |
| Hallo, Norbert!
Du hast einen wirklich schönen Artikel geschrieben. Von nun an werde ich meinen Tee noch mehr geniessen können. :-) |
Re: Geometrie in der Teetasse |
| Hi Splendour,
das ist eine tolle Tasse! Die Kurve ist doch auch als Kardioide bekannt, stimmts? Hier habe ich noch eine fedgeo-Konstruktion dieser Kurve beizusteuern: \fedon\geo ebene(400,400) xy(-2,2) nolabel() replace() p(0,0,O,hide) name(Kardioide) c(gray)k(O,1.5,K)c() for(xx,0,360,6, \ konst(bb,xx*(-2)) \ konst(cc,-1*xx) \ p(K,bb,pk,hide) \ p(K,cc,pkc,hide) \ s(pk,pkc) \ ) \geooff geoprint(Kardioide,Kardioide) \fedoff Gratuliere zu dieser Story, es war Zeit, darüber zu schreiben. Gruß Matroid |
Re: Geometrie in der Teetasse |
| Nein Matroid, es ist keine Kardioide, sondern eine
Nephroide. Mich hat sie auch erst an die Kardioide erinnert und ich googelte danach, doch zum Glück klärte mich bereits die erste Fundstelle darüber auf, dass man eine Kardioide erhält, wenn alle Strahlen von einem Punkt am Tassenrand ausgehen, jedoch eine Nephroide, wenn der Lichteinfall parallel ist. Daher erscheint die Kurve auch nur auf einer Seite der Tasse. Ich hätte gerne ein "richtiges" Photo von der Lichterscheinung in der Tasse, konnte aber keines auftreiben. Könnte jemand eins beisteuern und es dann schicken, ich bin mit dieser Lösung nicht ganz zufrieden. Gruß Norbert |
Re: Geometrie in der Teetasse |
| Hallo Norbert,
Dein Artikel gefällt mir sehr. Bisher dachte auch ich, die "Teetassenkurve" sei eine Kardioide. Ein schönes Katakaustikfoto findet man hier. Herzliche Grüße, Hans-Jürgen |
Re: Geometrie in der Teetasse |
| Hi,
ich füge noch eine Katakaustik-Graphik für parallel einfallende Lichtstrahlen hinzu: 
MfG Hans-Jürgen |
Re: Geometrie in der Teetasse |
| Danke, Hans-Jürgen! |
Re: Geometrie in der Teetasse |
| Hallo Norbert,
schöner Artikel. Allerdings verstehe ich die Physik die dahinter steckt nicht. Wie kommt es, dass die Hüllkurve der reflektierten Strahlen gerade dieser helle Bereich in der Teetasse ist? Und warum nimmt man nur die Hüllkürve von einer Seite der Symmetrieachse? Gruß Plex. |
Re: Geometrie in der Teetasse |
| Hi Plex,
wie Du selbst sagst: Das Modell ist symmetrisch zu der Geraden, die durch den Tassenmittelpunkt geht und parallel zum Lichteinfall ist. Also ist auch die linke Seite der Hülkurve symmetrisch zur rechten. Ich betrachte die Hüllkurve als die Grenze des Bereiches, durch den die reflektierten Strahlen verlaufen. Dass die Kurve heller ist als dieser Bereich, hat damit zu tun, dass in der Grenzzone die Strahlendichte höher ist. Darüber wollte ich hier nicht schreiben, da man die Gleichung der Kurve auch mit elementaren Mitteln (Analytische Geometrie und Differentialrechnung) bestimmen kann, für die Strahlendichte wäre es jedoch wohl ein Ausflug in die Integralrechnung geworden. Gruß Norbert |
Re: Geometrie in der Teetasse |
| Hi Norbert,
danke für deine Antwort, aber die Hüllkurve begrenzt doch nur die Strahlen die auf einer Seite der Symmetrieachse auftreffen. Wenn man nämlich mal Hans-Jürgens Skizze betrachtet, sieht man dass die reflektierten Strahlen ja an der Symmetrieachse praktisch abgeschnitten werden. Wenn man sie weiterlaufen läßt, ragen sie jedoch noch in den anderen Bereich hinein. Also muß es irgendeinen physikalischen Grund dafür geben, dass man nur die Hüllkurve der Strahlen, die auf einer Seite auftreffen, nimmt und diese dann spiegelt. Hat das auch mit der Strahlendichte zu tun? Gruß Plex. |
Re: Geometrie in der Teetasse |
| Ich habe die Strahlen, die von der anderen Seite der Tasse her
reflektiert werden, genauso vernachlässigt wie diejenigen, die mehrfach an der Tassenwand reflektiert werden. Liest man sich durch die Fachartikel, so spielt die Zahl der Reflexionen, die ein Strahl macht, bevor er auf die Flüssigkeitsoberfläche trifft, eine Rolle. So kann man Zwischendinge zwischen Nephroide und Kardioide erhalten. Das wollte ich hier aber alles nicht thematisieren, da es mir hier nur um die "klassische" Kurve ging. Ich gebe Dir und allen aber gern einige Links mit Aufsätzen zum Thema: diesen, diesen und diesen Gruß Norbert |
Re: Geometrie in der Teetasse |
| Hi!
Toller Artikel, das muss ich schon sagen. Interessieren würde es mich jetzt noch, wie man auf die (zum Schluß erwähnten) Parameterdarstellungen kommt :-) nette grüße, cryptonomicon |
Re: Geometrie in der Teetasse |
| Ich habe dies schon in einem Forum geschrieben, aber es passt
hier auch ganz gut als Ergänzung hinein. Einen guten oder sogar einzigen Weg, die Parameterdarstellung aus der algebraischen Gleichung zu entwickeln, gibt es nicht. Man kann die Kurve schließlich mit so unterschiedlichen Geschwindigkeiten durchlaufen, dass man keinen Zusammenhang sieht. Ich werde daher die algebraische Gleichung aus der Parameterform entwickeln. Woher die Parameterdarstellung kommt, kann ich nicht sagen, möglicherweise gibt es ein geometrisches Argument oder es ist Zufall gewesen, dass jemand die Identität dieser Katakaustik mit einer anderen Kurve aufdeckte: \fedon\mixonDie Nephroide ist eine spezielle Epizykloide, die man erhält, wenn man an einem Kreis mit Radius r außen einen anderen mit halbem Radius ohne Gleiten abrollen läßt und der Spur eines Punktes auf der äußeren Kreislinie folgt. \geo e(300,300) punkt(2,2,M) punkt(3.2,2.9,Z) color(blue) kreis(M,1,innerer Kreis) kreis(Z,0.5,äußerer Kreis) punkt(3.2,3.4,P) punkt(2.8,2.6,B) \geooff geoprint() Der Pfeil vom Mittelpunkt Z des äußeren Kreises zu dem Punkt P auf dessen Rand macht die Drehung des Berührpunktes von 0 bis \phi um den inneren Kreis mit, zusätzlich dreht er sich beim Abrollen von 0 bis \phi um 2*\phi - gleiche Rollstrecke führt zu doppeltem Drehwinkel wegen des halben Radius. Also ist seine Winkelgeschwindigkeit 3-mal so groß wie die des Pfeils vom Mittelpunkt M des inneren Kreises zum Berührpunkt B an dessen Rand. Daher läßt sich der Ortsvektor seiner Spitze als (x;y)=r*(cos(\phi);sin(\phi))+r/2*(cos(\phi);sin(\phi))+r/2*(cos(3*\phi);sin(3*\phi)) =r/2*(3*cos(\phi)+cos(3*\phi);3*sin(\phi)+sin(3*\phi)) beschreiben. Der Rest ist Skalierung, so dass die Kurve genau in den Einheitskreis passt, wir können daher setzen: r=1/2. (x;y)=(3/4*cos(\phi)+1/4*cos(3*\phi);3/4*sin(\phi)+1/4*sin(3*\phi)) Nun muss man noch einsehen, dass die Nephroide gleich dieser Epizykloide ist. Der Weg ist hier, die Gleichung für x=x(\phi) nach \phi zu \phi(x) (oder einer Funktion davon) umzustellen und dieses dann in y einzusetzen. Dazu formen wir zunächst die trigonometrischen Ausdrücke um: es ist cos(3*\phi)=4*cos^3(\phi)-3*cos(\phi) und sin(3*\phi)=3*sin(\phi)-4*sin^3(\phi). (Additionstheoreme und Trigonometrische Eins) So erhält man x=cos^3(\phi), also sin(\phi(x))=sqrt(1-cos^2(\phi(x)))=sqrt(1-x^(2/3)). Das führt eingesetzt zu y(x)=3/4*sin(\phi(x))+1/4*sin(3*\phi(x)) =3/4*sqrt(1-x^(2/3))+1/4*(3*sqrt(1-x^(2/3))-4*sqrt(1-x^(2/3))^3) =3/2*sqrt(1-x^(2/3))-sqrt(1-x^(2/3))^3 =3/2*(sqrt(1-x^(2/3))*(1-2/3*(1-x^(2/3))) =3/2*(sqrt(1-x^(2/3))*(1/3+2/3*x^(2/3))) =1/2*(sqrt(1-x^(2/3))*(2*x^(2/3)+1)) Das Vorzeichen ist hier positiv, weil wir hier den oberen \fedoffstatt den unteren Nephroidenbogen betrachtet haben (\phi>0). |
Re: Geometrie in der Teetasse |
| hallo,
ich kann nicht behaupten diesen artikel von der mathematischen seite wirklich verstanden zu haben. aber heute morgen hab ich mich an ihn erinnert als ich zufaellig das hier gesehen habe: www.loonanet.de/bild.bmp das passt hier gut rein, hoffe ihr koennt es erkennen. auf der entgegengesetzten seite steht ein weiterer block, vermutlich wird das licht von einer viereckigen scheibe reflektiert. fuer mich sieht das so aus als waere da ein kreuz, aus vielen geraden, und im zentrum ein kreis. |
Re: Geometrie in der Teetasse |
| Hallo,
auch wenn dieser Artikel inzwischen schon etwas in die Jahre gekommen ist, möchte ich noch einen weiteren Weg zur Erzeugung der Kurve angeben: \fedon\mixon Dazu betrachtet man die nichtlineare PDE erster Ordnung F(x__, u, q) = 1/2*(q_1^2 + q_2^2 - c^2) = 0 mit c > 0, x__ = (x_1, x_2), und skalarem u, q_i = u_(x_i), mit der Randbedingung u(x__) = 0 für x = E(\xi) = (cos\xi, sin\xi)^T, 0 <= \xi < 2\pi \fedoff Die Kurve ensteht dann durch die Schnittpunkte der Projektionen der Charakteristiken in die Grundebene. --Andi. |
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Mathematik: Geometrie in der Teetasse
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