Die Mathe-Redaktion - 23.05.2017 02:59 - Registrieren/Login
Auswahl
Schwarzes Brett
Fragensteller hat Anwort gelesen, aber bisher nicht weiter reagiert2017-05-22 20:50 bb
Duale Polyeder
Fragensteller hat Anwort gelesen, aber bisher nicht weiter reagiert2017-05-22 17:30 bb
Fahren zum MPCT
Wartet auf Antwort2017-05-21 17:41 bb ?
Rechnung auf den Linien
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden oder den Newsletter bestellen.

Der Newsletter Apr. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 422 Gäste und 5 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Stern Mathematik: Geometrie in der Teetasse
Freigegeben von matroid am So. 30. Mai 2004 16:35:23
Verfasst von shadowking -   15431 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

Geometrie in der Teetasse




Manchmal erwischt einen die Mathematik im unpassendsten Moment.
Da sitzt man völlig arglos mit seiner Familie an einem sonnigen
Tag draußen am Teetisch und freut sich des Lebens.
Wie durch Zufall fällt der Blick in die Teetasse - und es ist
um die Harmonie geschehen. Was erblickt man dort?



Teetasse
Aus: Ucke/Engelhardt, Physik in unserer Zeit 29 (1998), 120-122


Eine interessante Kurve!





Zur pdf-Version dieses Artikels:
hier

Sie tritt noch an vielen anderen Stellen auf, immer dort, wo
näherungsweise parallel einfallendes Licht an einer kreisrund
konkav gewölbten Fläche reflektiert und  auf eine ebene Fläche
projiziert wird. Sie begleitet das rollende Fahrrad als
Lichterscheinung auf dem Radweg genauso wie den Fensterputzer
in seinem Wassereimer und scheint doch nichttrivial genug, um
schlichte Gemüter völlig abzuschrecken, frei nach dem Motto:
"Wer noch beim Sonntagstee an Mathematik denkt, der kann nicht
mehr ganz normal sein."  

fed-Code einblenden

Damit haben wir schon alle Zutaten für ein Modell zusammen, und
auch ein Rezept, um die Gleichung der Teetassenkurve zu finden.

Bild


fed-Code einblenden

Bild

fed-Code einblenden

Der Name dieser Kurve ist übrigens Nephroide, das heißt
soviel wie "Nierenkurve".


Genaugenommen handelt es sich um eine halbe Nephroide,
da die Lichtstrahlen nur an der sonnenabgewandten
Innenseite der Tasse reflektiert werden.
Aus der Funktionsgleichung läßt sich nun auch noch eine
"schönere" algebraische Beschreibung herleiten:

fed-Code einblenden
Damit entlarvt die Teetassenkurve ihr wahres Gesicht
als algebraische Kurve 6. Grades.

Zum Schluss sei noch erwähnt, dass es für diese Kurve
die Parameterdarstellung

fed-Code einblenden

gibt, und dass sie genau den achten Teil der
Tee-Oberfläche einschließt.



Dieser Artikel ist in unserem Buch enthalten:

Mathematisch für Anfänger
Mathematisch für Anfänger


Link auf diesen Artikel Link auf diesen Artikel  Druckbare Version Druckerfreundliche Version  Einen Freund auf diesen Artikel aufmerksam machen Weitersagen Kommentare zeigen Kommentare  
pdfFür diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei


Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
: Mathematik :: Geometrie :: Algebraische Kurven :: Sonstige Mathematik :
Geometrie in der Teetasse [von shadowking]  
Manchmal erwischt einen die Mathematik im unpassendsten Moment. Da sitzt man völlig arglos mit seiner Familie an einem sonnigen Tag draußen am Teetisch und freut sich des Lebens. Wie durch Zufall fällt der Blick in die Teetasse - und es ist um die Harmonie
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
Verwandte Links
 
Besucherzähler 15431
 
Aufrufstatistik des Artikels
Insgesamt 837 externe Besuche in 2017.05 [Anzeigen]
DomainAnzahlProz
http://matheplanet.com30.4%0.4 %
http://www.teebuch.de435.1%5.1 %
http://google.de27633%33 %
http://www.mathematische-basteleien.de24329%29 %
http://www.tee-buch.de495.9%5.9 %
http://www.das-teebuch.de829.8%9.8 %
http://google.lu212.5%2.5 %
http://www.hjcaspar.de212.5%2.5 %
http://www.teefax.de161.9%1.9 %
http://google.li141.7%1.7 %
http://google.ro131.6%1.6 %
http://google.fr101.2%1.2 %
http://google.co.in70.8%0.8 %
http://images.google.de40.5%0.5 %
http://google.es40.5%0.5 %
http://google.com60.7%0.7 %
http://images.google.at30.4%0.4 %
http://google.hr30.4%0.4 %
http://google.at30.4%0.4 %
http://de.search.yahoo.com30.4%0.4 %
http://google.ch10.1%0.1 %
http://images.search.yahoo.com10.1%0.1 %
http://suche.t-online.de40.5%0.5 %
http://search.babylon.com10.1%0.1 %
http://de.ask.com10.1%0.1 %
http://images.google.com10.1%0.1 %
http://nortonsafe.search.ask.com10.1%0.1 %
http://search.genieo.com10.1%0.1 %
http://mathematische-basteleien.de10.1%0.1 %
http://www.mysearchresults.com10.1%0.1 %
http://www1.search.ask.com00%0 %

Aufrufer der letzten 5 Tage im Einzelnen
Insgesamt 2 Aufrufe in den letzten 5 Tagen. [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2017.05.21 20:29links.php?op=viewslink&sid=75
2017.05.19 12:02fav.php?agid=1&keyword=Algebraische Kurven&keyword2=Geometrie

Häufige Aufrufer in früheren Monaten
Insgesamt 786 häufige Aufrufer [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2012-2017 (137x)http://www.mathematische-basteleien.de/herz.htm
2012-2016 (102x)http://www.mathematische-basteleien.de/heart.htm
2012-2015 (96x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=
2012-2017 (82x)http://www.das-teebuch.de/007005.htm
2014-2017 (47x)http://www.tee-buch.de/007005.htm
2012-2017 (42x)http://www.teebuch.de/007005.htm
201308-09 (29x)http://google.de/imgres?um=1&sa=N&rlz=1C1KMZB_enDE543DE543&biw=2560&bih=1296&...
201204-05 (27x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=nierenkurve
2012.11 (21x)http://google.lu/url?sa=t&rct=j&q=
2012-2016 (16x)http://www.hjcaspar.de/mpart/dateien/textdateien/nochmkard.htm
2012-2016 (16x)http://www.teefax.de/teebuch/007005.htm
2012.07 (15x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=nephroide kardioide
2013.01 (15x)http://google.de/imgres?um=1&safe=off&sa=N&tbo=d&biw=1366&bih=633&tbm=isch&tb...
2012.12 (14x)http://google.li/search?q=halbe nierenkurve
2013.11 (13x)http://google.ro/url?sa=i&rct=j&q=
2012.10 (11x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=mathe planet nephroid
2012.06 (11x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=konstruktion kardioide
2012.02 (10x)http://google.fr/imgres?q=teetasse
2013.06 (9x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=epizykloide basteleien -basteln
2013.07 (9x)http://google.de/imgres?sa=X&biw=1540&bih=789&tbm=isch&tbnid=CGVWsbxbwwYgiM:
2013.12 (8x)http://google.de/imgres?sa=X&tbm=isch&tbnid=jefxJT2heYM54M:
2014.01 (8x)http://google.de/imgres?sa=X&biw=1440&bih=751&tbm=isch&tbnid=jefxJT2heYM54M:
2012.09 (7x)http://google.de/imgres?start=120&addh=36&tbm=isch&tbnid=CGVWsbxbwwYgiM:
2015.01 (7x)http://google.co.in/url?sa=t&rct=j&q=
2013.04 (6x)http://google.de/imgres?um=1&tbm=isch&tbnid=CGVWsbxbwwYgiM:
2012.03 (6x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=tasse nephroide beweis
2013.10 (6x)http://google.de/imgres?sa=X&biw=1252&bih=609&tbm=isch&tbnid=CGVWsbxbwwYgiM:
201602-06 (4x)http://images.google.de/url?sa=t&rct=j&q=
2014.03 (4x)http://google.es/url?sa=t&rct=j&q=
2015.12 (4x)http://google.com/search
2012.01 (4x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=herleitung nephroid

[Seitenanfang]

" Stern Mathematik: Geometrie in der Teetasse" | 15 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Geometrie in der Teetasse
von Eckard am So. 30. Mai 2004 17:31:31


Hallo Norbert,



endlich ein Artikel, der Studenten die sphärische Aberration, vor allem mathematisch durchleuchtet, näher bringt (siehe Aufgabe 1.5). Ich werde ihn wärmstens zum Selbststudium empfehlen.



Gruß Eckard

 [Bearbeiten]

Re: Geometrie in der Teetasse
von SchuBi am So. 30. Mai 2004 19:10:44


Hallo, Norbert!
Du hast einen wirklich schönen Artikel geschrieben. Von nun an werde ich meinen Tee noch mehr geniessen können. smile

 [Bearbeiten]

Re: Geometrie in der Teetasse
von matroid am So. 30. Mai 2004 19:48:31


Hi Splendour,

das ist eine tolle Tasse!

Die Kurve ist doch auch als Kardioide bekannt, stimmts?

Hier habe ich noch eine fedgeo-Konstruktion dieser Kurve beizusteuern:
fed-Code einblenden

Gratuliere zu dieser Story, es war Zeit, darüber zu schreiben.

Gruß
Matroid

 [Bearbeiten]

Re: Geometrie in der Teetasse
von shadowking am So. 30. Mai 2004 23:55:16


Nein Matroid, es ist keine Kardioide, sondern eine

Nephroide.

Mich hat sie auch erst an die Kardioide erinnert und

ich googelte danach, doch zum Glück klärte mich bereits

die erste Fundstelle darüber auf, dass man eine Kardioide

erhält, wenn alle Strahlen von einem Punkt am Tassenrand

ausgehen, jedoch eine Nephroide, wenn der Lichteinfall

parallel ist. Daher erscheint die Kurve auch nur auf einer

Seite der Tasse.

Ich hätte gerne ein "richtiges" Photo von der

Lichterscheinung in der Tasse, konnte aber keines auftreiben.

Könnte jemand eins beisteuern und es dann schicken, ich bin

mit dieser Lösung nicht ganz zufrieden.



Gruß Norbert

 [Bearbeiten]

Re: Geometrie in der Teetasse
von Hans-Juergen am Mo. 31. Mai 2004 01:21:29


Hallo Norbert,

Dein Artikel gefällt mir sehr.
Bisher dachte auch ich, die
"Teetassenkurve" sei eine Kardioide.

Ein schönes Katakaustikfoto
findet man hier.

Herzliche Grüße,
Hans-Jürgen

 [Bearbeiten]

Re: Geometrie in der Teetasse
von Hans-Juergen am Mo. 31. Mai 2004 21:33:48


Hi,

ich füge noch eine Katakaustik-Graphik für
parallel einfallende Lichtstrahlen hinzu:

Bild

MfG Hans-Jürgen

 [Bearbeiten]

Re: Geometrie in der Teetasse
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 31. Mai 2004 21:59:08


Danke, Hans-Jürgen!

 [Bearbeiten]

Re: Geometrie in der Teetasse
von Plex_Inphinity am Mi. 02. Juni 2004 18:59:40


Hallo Norbert,

schöner Artikel. Allerdings verstehe ich die Physik die dahinter steckt nicht.
Wie kommt es, dass die Hüllkurve der reflektierten Strahlen gerade dieser helle Bereich in der Teetasse ist? Und warum nimmt man nur
die Hüllkürve von einer Seite der Symmetrieachse?

Gruß Plex.


 [Bearbeiten]

Re: Geometrie in der Teetasse
von shadowking am Mi. 02. Juni 2004 20:59:08


Hi Plex,

wie Du selbst sagst: Das Modell ist symmetrisch zu der Geraden, die
durch den Tassenmittelpunkt geht und parallel zum Lichteinfall ist.
Also ist auch die linke Seite der Hülkurve symmetrisch zur rechten.
Ich betrachte die Hüllkurve als die Grenze des Bereiches, durch den
die reflektierten Strahlen verlaufen. Dass die Kurve heller ist als
dieser Bereich, hat damit zu tun, dass in der Grenzzone die
Strahlendichte höher ist. Darüber wollte ich hier nicht schreiben, da
man die Gleichung der Kurve auch mit elementaren Mitteln (Analytische
Geometrie und Differentialrechnung) bestimmen kann, für die
Strahlendichte wäre es jedoch wohl ein Ausflug in die Integralrechnung
geworden.

Gruß Norbert

 [Bearbeiten]

Re: Geometrie in der Teetasse
von Plex_Inphinity am Mi. 02. Juni 2004 21:43:57


Hi Norbert,
danke für deine Antwort,
aber die Hüllkurve begrenzt doch nur die Strahlen die auf einer Seite
der Symmetrieachse auftreffen.
Wenn man nämlich mal Hans-Jürgens Skizze betrachtet, sieht man dass die reflektierten Strahlen ja an der Symmetrieachse praktisch abgeschnitten werden. Wenn man sie weiterlaufen läßt, ragen sie jedoch noch in den anderen Bereich hinein.
Also muß es irgendeinen physikalischen Grund dafür geben, dass man nur die Hüllkurve der Strahlen, die auf einer Seite auftreffen, nimmt und diese dann spiegelt. Hat das auch mit der Strahlendichte zu tun?

Gruß Plex.

 [Bearbeiten]

Re: Geometrie in der Teetasse
von shadowking am Mi. 02. Juni 2004 22:55:10


Ich habe die Strahlen, die von der anderen Seite der Tasse her

reflektiert werden, genauso vernachlässigt wie diejenigen, die

mehrfach an der Tassenwand reflektiert werden. Liest man sich durch

die Fachartikel, so spielt die Zahl der Reflexionen, die ein Strahl

macht, bevor er auf die Flüssigkeitsoberfläche trifft, eine Rolle.

So kann man Zwischendinge zwischen Nephroide und Kardioide erhalten.

Das wollte ich hier aber alles nicht thematisieren, da es mir hier

nur um die "klassische" Kurve ging.

Ich gebe Dir und allen aber gern einige Links mit

Aufsätzen zum Thema:



<a href=http://www1.physik.tu-muenchen.de/~cucke/ ftp/lectures/kaustik3.pdf target=_blank>diesen,



<a href=http://www1.physik.tu-muenchen.de/~cucke/ ftp/lectures/jena96.pdf target=_blank>diesen



<a href=http://www.fh-lueneburg.de/u1/gym03/expo/jonatur/ wissen/mathe/kurven/kardioid.htm target=_blank>und diesen



Gruß Norbert


 [Bearbeiten]

Re: Geometrie in der Teetasse
von cryptonomicon am Do. 03. Juni 2004 12:08:20


Hi!

Toller Artikel, das muss ich schon sagen. Interessieren würde es mich jetzt noch, wie man auf die (zum Schluß erwähnten) Parameterdarstellungen kommt smile

nette grüße,
cryptonomicon

 [Bearbeiten]

Re: Geometrie in der Teetasse
von shadowking am So. 06. Juni 2004 14:59:12


Ich habe dies schon in einem Forum geschrieben, aber es passt
hier auch ganz gut als Ergänzung hinein.

Einen guten oder sogar einzigen Weg, die Parameterdarstellung
aus der algebraischen Gleichung zu entwickeln, gibt es nicht.
Man kann die Kurve schließlich mit so unterschiedlichen
Geschwindigkeiten durchlaufen, dass man keinen Zusammenhang sieht.
Ich werde daher die algebraische Gleichung aus der Parameterform
entwickeln. Woher die Parameterdarstellung kommt, kann ich nicht
sagen, möglicherweise gibt es ein geometrisches Argument oder es ist
Zufall gewesen, dass jemand die Identität dieser Katakaustik mit einer
anderen Kurve aufdeckte:

fed-Code einblenden

 [Bearbeiten]

Re: Geometrie in der Teetasse
von lookias am Sa. 07. Mai 2005 08:23:15


hallo,

ich kann nicht behaupten diesen artikel von der mathematischen seite wirklich verstanden zu haben.

aber heute morgen hab ich mich an ihn erinnert als ich zufaellig das hier gesehen habe:

www.loonanet.de/bild.bmp

das passt hier gut rein, hoffe ihr koennt es erkennen.

auf der entgegengesetzten seite steht ein weiterer block, vermutlich wird das licht von einer viereckigen scheibe reflektiert.

fuer mich sieht das so aus als waere da ein kreuz, aus vielen geraden, und im zentrum ein kreis.


 [Bearbeiten]

Re: Geometrie in der Teetasse
von praeci am Mi. 06. Dezember 2006 19:04:20


Hallo,

auch wenn dieser Artikel inzwischen schon etwas in die Jahre gekommen ist, möchte ich noch einen weiteren Weg zur Erzeugung der Kurve angeben:
fed-Code einblenden
Die Kurve ensteht dann durch die Schnittpunkte der Projektionen der
Charakteristiken in die Grundebene.

--Andi.

 [Bearbeiten]

 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2017 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]