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Mathematik: pq-Gruppen
Freigegeben von matroid am Di. 29. Juni 2004 11:07:43
Verfasst von Martin_Infinite -   7850 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

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Damit ist die Klassifikation abgeschlossen.

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p=2, q=3, r = 2qp=2, q=5, r = 4qp=2, q=7, r = 6q
p=3, q=7, r = 2qp=3, q=13, r = 3qp=5, q=11, r = 3q



p = 7, q = 43, r = 4q





Dabei wurde die Struktur durch die Bijektion

{0,...,p−1} x {0,...,q−1} -> {0,...,pq−1} , (i,j) -> i + jp

auf {0,...,pq−1} übertragen. Der Eintrag in der (i + 1)-ten Zeile und (j + 1)-ten Spalte ist i + j, nicht andersrum. Die Colorierung der Zahlen erfolgte im HSB-System. Dabei durchläuft H bei jeder Tafel eine arithmetische Folge, wogegen S=B=100 konstant ist.

In Derive erhält man die zugehörigen Zahlentafeln jeweils mit dem Befehl

VECTOR(VECTOR(MOD(n+m,p)+p MOD(r^MOD(m, p)
FLOOR(n/p)+FLOOR(m/p),q),m,0,pq-1),n,0,pq-1)


Für p = 5, q = 11, r = 3 sieht das etwa so aus:

Bild

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Beweisgedanken und viele Anregungen, insb. zum Teil 2b - Buri
Literatur: M. Hall, Jr., The theory of groups, Chelsea Publ. Co., 1959, 1976

Ausarbeitung, Präsentation, Gruppentafeln - Martin_Infinite
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Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
: Algebra :: Gruppentheorie :: Interessierte Studenten :: Primzahlen :: Reine Mathematik :: Mathematik :
pq-Gruppen [von Martin_Infinite]  
Vollstänige Klassifizierung der endlichen Gruppen der Ordnung pq mit Primzahlen p und q.
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
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" Mathematik: pq-Gruppen" | 3 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: pq-Gruppen
von Martin_Infinite am So. 28. November 2004 23:56:51


Wogegen die obigen Gruppentafeln noch in Notepad mittels Suchen&Ersetzen entstanden sind, kann man sie jetzt 1000 mal so schnell automatisch generieren lassen:

[Link entfernt.]

 [Bearbeiten]

Re: pq-Gruppen
von Martin_Infinite am Do. 17. Juli 2014 09:30:55


Hier mal ein Update (der Beweis im Artikel ist umständlich).

Sei <math>p<q</math> und <math>p \mid q-1</math>. Dann hat <math>\mathrm{Aut}(\mathds{Z}/q) \cong (\mathds{Z}/q)^* \cong \mathds{Z}/(q-1) </math> ein Element <math>r</math> der Ordnung <math>p</math>. Das liefert eine Wirkung von <math>\mathds{Z}/p</math> auf <math>\mathds{Z}/q</math> und damit ein semidirektes Produkt <math>\Gamma_r = \mathds{Z}/q \rtimes_r \mathds{Z}/p</math>, eine nicht-abelsche Gruppe der Ordnung <math>pq</math>. Sie lässt sich durch Erzeuger und Relationen als <math>\Gamma_r = \langle x,y : x^p = y^q = 1, x y x^{-1} = y^r \rangle</math> beschreiben. Es besteht also die universelle Eigenschaft

<math>\hom(\Gamma_r,G) \cong \{a,b \in G : a^p=b^q=1, a b a^{-1} = b^r\}</math>.

Diese Gruppe hängt bis auf Isomorphie nicht von <math>r</math> ab: Ist <math>r' \in (\mathds{Z}/q)^*</math> ein weiteres Element der Ordnung <math>p</math>, so gibt es (weil <math>(\mathds{Z}/q)^*</math> zyklisch ist) ein <math>k \in \mathds{Z}</math> mit <math>r' = r^k</math>. Aus <math>x^p=y^q=1</math>, <math>x y x^{-1} = y^r</math>  folgt <math>(x^k)^p = y^q=1</math>, <math>x^k y (x^k)^{-1} = y^{r^k}=y^{r'}</math>. Also definiert <math>x \mapsto x^k</math>, <math>y \mapsto y</math> nach der universellen Eigenschaft einen Homomorphismus <math>\Gamma_r \to \Gamma_{r'}</math>. Indem wir die Rollen von <math>r,r'</math> vertauschen, erhalten wir einen inversen Homomorphismus. Daher ist <math>\Gamma_r \cong \Gamma_{r'}</math>.

Nun sei <math>G</math> eine nicht-abelsche Gruppe der Ordnung <math>pq</math>. Wähle eine <math>p</math>-Sylowgruppe <math>\langle x \rangle</math> und eine <math>q</math>-Sylowgruppe <math>\langle y \rangle</math>; letztere ist nach den Sylowsätzen ein Normalteiler. Wir können daher <math>x y x^{-1} = y^r</math> für ein <math>r \in (\mathds{Z}/q)^*</math> schreiben. Für <math>k \in \mathds{Z}</math> ist <math>x^k y x^{-k} = y^{r^k}</math> genau dann <math>=y</math>, wenn <math>x^k</math> mit <math>y</math> kommutiert, was nur für <math>x^k=1</math> d.h. <math>p|k</math> der Fall ist. Daher hat <math>r</math> die Ordnung <math>p</math>, und wir bekommen nach der universellen Eigenschaft einen surjektiven Homomorphismus <math>\Gamma_r \to G</math>, der aus Ordnungsgründen schon injektiv ist. Also ist <math>G \cong \Gamma_r</math>.
 
Eine vollständige Klassifikation müsste übrigens auch noch die Automorphismengruppe von <math>\Gamma_r</math> beinhalten - vielleicht kann das noch jemand ergänzen.

 [Bearbeiten]

Re: pq-Gruppen
von Red_ am Sa. 07. Januar 2017 02:03:21


Hi,
auch wenn der Artikel schon lange her ist, habe ich paar andere Ansätze:
1.Fall <math>|G|=p^2</math>:
Da <math>G</math> eine <math>p</math>-Gruppe ist, folgt, dass das Zentrum <math>Z(G)</math> durch <math>p</math> teilbar ist (Klassengleichung). Also <math>Z(G)=p^2</math> oder <math>Z(G)=p</math> (Satz von Lagrange), aber im letzten Fall folgt, dass <math>G/Z(G)</math> zyklisch ist, demnach ist <math>G</math> abelsch, Widerspruch. Also haben wir insgesamt, dass <math>G</math> abelsch ist. Nach dem Hauptsatz für endlich-erzeugte abelsche Gruppen ist <math>G\simeq \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}</math> oder <math>G\simeq \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math> und diese beiden Gruppen sind nicht isomorph zueinander, denn sonst folgt mit dem chinesischen Restsatz <math>ggT(p,p)=1</math>, Widerspruch.
2.Fall <math>|G|=p\cdot q</math> mit <math>p<q</math>.
Wie oben folgt <math>Z(G)=pq</math> oder <math>Z(G)=1</math>.
Nun kann man zeigen, dass wenn <math>H</math> eine endliche abelsche Gruppe ist, gilt: <math>Exp(H)=|H| \Leftrightarrow H </math> ist zyklisch. Außerdem kann man mit starker Induktion zeigen, dass ein <math>k</math> existiert, sodass <math>|H| \, | \, Exp(H)^k</math>. Ferner kann man leicht zeigen, dass <math>Exp(H) \, | \, |H|</math>. Hieraus folgt, dass der Gruppenexponent und die Gruppenordnung die gleichen Primteiler haben.
Wir betrachten nun den Fall <math>Z(G)=pq</math>, dann ist <math>G</math> abelsch, außerdem gilt <math>Exp(G)=pq=|G|</math>, demnach ist <math>G</math> zyklisch.

Für den Fall <math>Z(G)=1</math> habe ich mich noch nie beschäftigt.

Red

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