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Physik: Schuss ins Weltall
Freigegeben von matroid am Mi. 07. Juli 2004 20:49:21
Verfasst von Site -   11454 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Physik

\(\begingroup\)
Bild y'' = f(y)
Dieser einfache Zusammenhang, den Routinierte sofort als Spezialfall einer nichtlinearen Differentialgleichung zweiter Ordnung klassifizieren, wird in diesem Artikel an einem klassischen Beispiel demonstriert: dem Schuß ins Weltall. Die vom Leser erwarteten Vorkenntnisse sind minimal, es genügt das Wissen, wie es etwa in der Oberstufe vermittelt wird. Insbesondere wird auch auf elementare Methoden beim Umgang mit Differentialgleichungen gründlich eingegangen.



Für die nötige mathematische Sicherheit werden mathematische Definitionen und Sätze innerhalb zweier Querbalken eingeschoben. Der geschulte Leser kann diese Passagen überspringen.

Wir beginnen in unserem ersten Einschub damit, daß wir uns die Definition einer (N-dimensionalen) expliziten gewöhnlichen Differentialgleichung (n-ter Ordnung) vor Augen führen:



- Einschub Mathematik 1 -

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Wer sich gründlicher über Lösungsmethoden informieren will, der sei an dieser Stelle an einen ausgezeichneten Artikel von Artur (pendragon302) verwiesen. Ihn gibt es hier.

Kommen wir nun zurück zu unserer Anfangsgleichung y''=f(y) und wenden uns, mit dem nötigen mathematischen Rüstzeug, einer Anwendung aus der Mechanik zu.

A: Schuß ins Weltall

Wir beschäftigen uns nun mit der (eindimensionalen) Bewegung eines Versuchskörpers kleiner Masse m, auf den einzig die Schwerkraft eines massereichen Objekts der Masse M wirkt. Als Beispiel diene etwa eine Rakete und die Erde. Ziel wird es sein, eine Funktion des Abstandes x(t) von unserem Versuchskörper zum Mittelpunkt des massereichen Objekts herzuleiten.
Wir wissen, daß in der Nähe der Erdoberfläche der Ortsfaktor, also die Beschleunigung durch die Schwerkraft, den Wert 9.81m/s² hat. Unter solchen Bedingungen lassen sich die einfachen Fall- und Wurfgesetze aufstellen, wie sie auch schon Galilei ermittelte. Da wir aber große Entfernungen zur Erde betrachten, kann der Ortsfaktor nicht mehr als konstant angenommen werden. Im folgenden werden wir sehen, welche weitreichenden Konsequenzen diese Verallgemeinerung nach sich zieht.

Bild

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- Einschub Mathematik 2 -

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Betrachten wir rückblickend unser Ergebnis (A.5), so ist es uns gelungen, eine Funktion geschlossen anzugeben, die für jeden Zeitpunkt t den Abstand zwischen unserem Versuchskörper und einem massereichen Objekt angibt, sofern dieser zum Zeitpunkt t=0 mit der Fluchtgeschwindigkeit losgeschickt wurde.
Für eine Rakete, die von der Erdoberfläche aus mit der Geschwindigkeit 11.2km/s senkrecht nach oben geschossen wird, können wir das Weg-Zeit-Diagramm (Zeit in Tagen, Weg in km) z.B. eines Tages zeichnen:

Bild

Analog dazu das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm als Ableitung des obigen (Geschwindigkeit in km/s):

Bild

Kehren wir nun zu der Fallunterscheidung zurück und fahren fort.

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

Als eine kleine letzte Anwendung dieses Falls, die ihr alle sehr genau lesen solltet, betrachten wir einen Kritiker dieses Artikels, der in einer Kapsel mit v0=20km/s von der Erdoberfläche losgeschickt wird. Die Frage ist, nach wieviel Zeit er - bei geeigneter Wahl der Startzeit und der Koordinaten - auf Augenhöhe den Astronauten auf der ISS zuwinken kann. Setzen wir also
R = 6366km, M = 5.97*1024kg, v0 = 20km/s und fragen wir nach der Zeit t, nach der die Entfernung zum Erdmittelpunkt
x = 6366km + 381km (Höhe der ISS) erreicht ist, so staunen wir nicht schlecht beim Ergebnis:
t = 19.1s
Wenn das mal kein Service ist.
\(\endgroup\)

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: Physik :: für Physikstudenten :: Weltall :: Differentialgleichungen :
Schuß ins Weltall [von Site]  
 y'' = f(y) Dieser einfache Zusammenhang, den Routinierte sofort als Spezialfall einer nichtlinearen Differentialgleichung zweiter Ordnung klassifizieren, wird in diesem Artikel an einem klassischen Beispiel demonstriert: dem . Die vom Leser erwarteten Vorkenntnisse sind minimal, e
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" Physik: Schuss ins Weltall" | 11 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Schuß ins Weltall
von chrissy am Do. 08. Juli 2004 10:24:14

\(\begingroup\)
Finde den Artikel toll, versteht man echt gut, jedenfalls ich ;-).
Hat spaß gemacht zu lesen :-D.

viele Grüße
Chrissy\(\endgroup\)

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Re: Schuß ins Weltall
von matroid am Do. 08. Juli 2004 21:31:00

\(\begingroup\)
Hi Site,

mir gefällt der Artikel auch sehr gut, vor allem, weil er die Physik zur Mathematik bringt. Für Mathematiker ist ja die Hauptfrage: Was um Himmels willen hat diese Differentialgleichung mit dem Problem zu tun? smile

Lob und Gruß
Matroid\(\endgroup\)

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Re: Schuß ins Weltall
von atomino am Fr. 09. Juli 2004 11:54:58

\(\begingroup\)
find ich ebenfalls, ein verstaendlicher artikel !

\(\endgroup\)

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Re: Schuß ins Weltall
von Hans-Juergen am Fr. 09. Juli 2004 12:13:10

\(\begingroup\)
Hallo Site,

ein sehr schöner, klarer, ausführlicher
Artikel, vielen Dank!

Übrigens: wenn man die Zeit zum Erreichen
der ISS vom Erdboden aus ganz elementar
ausrechnet ((381 km):(20 km/s)), kommt
noch fast dasselbe heraus wie bei Anwendung
des Gravitationsgesetzes: 19,05 s. Die
Internationale Raumstation ist halt noch
verhältnismäßig wenig vom Boden entfernt
(ca. 6% vom Erdradius).

Viele Grüße,
Hans-Jürgen


\(\endgroup\)

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Re: Schuß ins Weltall
von Site am Fr. 09. Juli 2004 13:42:44

\(\begingroup\)
Hi,

schön, daß euch der Artikel zusagt. Schon vor einiger Zeit beschäftigte ich mich mit dem Thema (Eckard erinnert sich sicher an einige Erklärversuche), und ich fand es schade, daß kaum eine zusammenhängende Darstellung zu finden ist, die nicht viele Vorkenntnisse voraussetzt und viele Schritte überspringt. Ich hoffe, daß ich mit dem Artikel diese Lücke beheben konnte und nun jeder, der die Mühe auf sich nimmt, mit solider Basis die Herleitungen nachvollziehen kann und schließlich auch in der Lage ist, die Formeln auf Problemstellungen anzuwenden.

Hans-Jürgen, du hast recht, daß im letzten Fall der Unterschied minimal ist. Drastisch ist es aber zum Beispiel, wenn ich zum ersten Weg-Zeit-Diagramm, das die Bewegung mit Fluchtgeschwindigkeit beschreibt, einfach mal die Parabel, die sich nach Galileis Fallgesetzen ergäbe, in rot hinzuzeichne:

Bild

Ähnliches ergibt sich, wenn man den weiteren Verlauf der Kapselbewegung nach der ISS vergleicht.

Leider haben sich im Artikel einige Fehler eingeschlichen, so taucht bei der Betrachtung des ersten Falls an einer Stelle ein r statt x auf. Dazu sind an zwei Stellen im zweiten mathemstischen Einschub die Variablen x und t vertauscht. Zum Glück ist es jeweils aus dem Kontext klar ersichtlich, da kurz zuvor alles auf richtige Weise dasteht. Mein Dank gilt chrissy, die mich auf diese Fehler aufmerksam gemacht hat.

Grüße
Site\(\endgroup\)

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Re: Schuß ins Weltall
von Schnabbert am Fr. 09. Juli 2004 17:13:13

\(\begingroup\)
Hallo, Site!

Hast hier ein brillantes Kleinod abgeliefert. Kommt in meine Schatzkiste. smile

MfG, Hubert
\(\endgroup\)

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Re: Schuß ins Weltall
von Jonas_Rist am Di. 13. Juli 2004 23:58:36

\(\begingroup\)
Hi Site,

super Artikel, sehr sorgfältig gemacht! Eine Frage dazu:
Woher hast Du die Info, dass sich das Integral, das sich aus (A.3) ergibt, nicht analytisch lösen lässt? Ich stand nämlich vor einigen Monaten vor genau demselben Problem, ich dachte allerdings, ich wäre zu dumm um eine geschlossene Lösung zu finden und habs dann aufgegeben:)
Gruß
Jonas\(\endgroup\)

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Re: Schuß ins Weltall
von Site am Di. 20. Juli 2004 19:49:15

\(\begingroup\)
Hi, Jonas,

vor dem Problem stand ich auch einmal, und ich kann es auch leider nicht beweisen, daß es keine geschlossene Lösung der Form x(t) gibt. Aber ich habe die Information von einer Quelle, die fast so gut ist wie ein Beweis, nämlich von einem älteren Beitrag von Juergen:

Im DGL-Forum

Ein Beweis würde mich auch interessieren.

Site\(\endgroup\)

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Re: Schuß ins Weltall
von bodzcount am Fr. 31. Dezember 2004 02:47:52

\(\begingroup\)
Hi,

schöner Artikel. Es wäre mal interessant zu wissen, was die höchste Geschwindigkeit ist, auf die man ein Teil mit einigermaßen großer Masse wie z.B. eine Bleikugel schon beschleunigen konnte. Wenn man aber wirklich etwas ins Weltall schießen möchte wird die Luftreibung wohl nicht unerheblich sein und man bräuchte wohl eine noch viel höhere Geschwindigkeit smile

Gruß
Benjamin\(\endgroup\)

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Re: Schuß ins Weltall
von Snake707 am Fr. 04. Januar 2008 22:20:15

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Re: Schuss ins Weltall
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 06. November 2014 14:30:52

\(\begingroup\)
Ein Super-Artikel! Es macht unheimlichen Spaß, Jahrzehnte lang verschüttetes Mathematik-Wissen wieder voll in Aktion zu sehen. Dabei ging es mir um eine ganz aktuelle Problemstellung – oder besser gesagt, eine Problemstellung, die jetzt wieder aktuell wird, weil sie nächstes Jahr (2015) ihr 150. Jubiläum feiern wird. Oder etwas konkreter ausgedrückt:
Es ist, so vermute ich, allgemein bekannt, dass Gleichung A.3 ihren Weg in die Weltliteratur gefunden hat, bzw. nicht ganz, denn es fehlt darin – der Mond! Dann wäre man nämlich in Kap. 4 von Jules Vernes berühmter „Reise um den Mond“ angekommen, das den programmatischen Titel führt: „Ein wenig Algebra“. Dort findet man ein Novum in der Literaturgeschichte, nämlich die korrekte Differenzialgleichung für den Mondflug, von ihm in seinem Manuskript fehlerfrei niedergeschrieben (er war Jurist, nur so nebenbei!):

v(x)= WURZEL(2*G*M*(1/x-1/R + k*(1/(D-x)-1/(D-R)))+vinit^2)

mit G = Gravitationskonstante und k = Mondmasse/Erdmasse.
vinit lässt sich berechnen aus v(Dn)=0, also dem Stillstand im neutralen Punkt Dn = D*WURZEL(M)/(WURZEL(M)+Wurzel(k*M)). vinit ist erwartungsgemäß etwas kleiner als die Fluchtgeschwindigkeit, weil ja der Mond mithilft.
Meine Frage dazu ist jetzt: Existiert für diese (Verne-) Gleichung auch eine geschlossene Lösung t(x) wie für die mondlose Version es die Gl. A.8 darstellt, damit die Flugzeit Erde-Mond in geschlossener Form berechnet werden kann?
Der Haken bei der Sache ist vermutlich v(Dn)=0. Ich habe die Gleichung bisher nur mittels der „Methode der kleinen Schritte“ gelöst und da ist es so, je genauer man um den neutralen Punkt herumrechnet, desto länger zieht sich die Mondreise hin. Bei meinem letzten Ansatz waren es über zwölf Tage.
Als Alternative könnte man Gl. A.8 hernehmen, jeweils getrennt für Erde und Mond berechnen und dann die beiden Zeiten zusammenzählen. So haben es vermutlich im Roman die Experten vom Cambridge-Observatorium in ihrem „Gutachten“ gemacht, das die Mondreisenden von wissenschaftlicher Seite „beraten“ sollte (Jules Verne „Von der Erde zum Mond“, Kap. 4, leider ist die genaue Quelle, aus der Jules Verne sein Wissen bezog, (noch) nicht bekannt).
Warum kommt man in einem Fall auf eine undefiniert lange Reisezeit, im anderen Fall auf eine exakte Reisezeit von 4d:22h:21m:54s ? (Anm.: Verne-Fans werden sich wundern, dass es ein paar Stunden mehr sind als im Roman, aber ich denke, diese Zahl ist richtig!)

Für jeden Kommentar dankbar
Norbert
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