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Mathematik: Gruppenzwang: Wir rechnen mit allem
Freigegeben von matroid am Sa. 31. Juli 2004 16:49:15
Verfasst von Gockel -   40059 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

\(\begingroup\)

 
Gruppenzwang I


Ich stehe an einem Bahnhof mitten in Deutschland und muss möglichst schnell ein paar Fahrkarten kaufen, um meinen nächsten Zug zu schaffen. Mein Problem ist, dass ich zwar genügend Fünfer- und Zehner-Scheine habe, aber wenig Kleingeld. Und der Automat gibt kein Rückgeld! Reicht mein Kleingeld, wenn die Fahrscheine 12,80€, 18,60€ und 24,50€ kosten, oder muss ich schnell noch zum Schalter flitzen und dabei zwei Euro Gebühr in Kauf nehmen? Ich rechne kurz nach:
12,80 + 18,60 + 24,50 = 2,80 + 3,60 + 4,50 = 6,40 + 4,50 = 10,90 = 0,90
Ja, 90 Cent habe ich klein, ich nehme also den Automaten und nicht den Schalter.

Später. Ich habe die Bahnfahrerei annähernd unbeschadet überstanden und verabrede mich mit Freunden. Es ist 21 Uhr, und in fünf Stunden wollen wir gemeinsam die Clubs unsicher machen. Ich rechne also wieder kurz:
21+5 = 26 = 2
Pünktlich um zwei Uhr stehe ich also vor dem Club.

Was haben beide Rechnungen gemeinsam? Zum einen, dass sie augenscheinlich nicht richtig sein können, und zum anderen, dass sie trotzdem ein sinnvolles Ergebnis liefern. Es stellt sich die Frage, ob man diesen obskuren Rechnungen eine sinnvolle mathematische Interpretation geben kann.

Das mathematische Gebiet Gruppentheorie gibt uns die Mittel in die Hand, beinahe beliebig definierte "Rechenvorschriften" zu untersuchen. Zumindest solange diese "Rechenvorschriften" sich wenigstens in einigen Eckpunkten nicht vom uns gewohnten Zahlenrechnen unterscheiden.


 
Die graue Theorie zu Beginn



Diese Eckpunkte, die wir festhalten wollen, sind die sogenannten Gruppenaxiome. Sie beschreiben fünf wesentliche Eigenschaften eines Konzeptes von "Multiplikation" oder "Addition".

 
Eine Hierarchie mathematischer Strukturen



Wir gehen zunächst davon aus, dass wir eine Menge G (wie "Gruppe") gegeben haben, deren Elemente wir mit einer solchen verallgemeinerten Multiplikation irgendwie verbasteln wollen.
Für so eine Menge definiert man nun folgende Axiome:

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Die bunte Praxis



 
Beispiele für Gruppen



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Gegenbeispiele



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Kleingeld- und Uhrenarithmetik



Die Frage, welche Gruppe jetzt den Rechenbeispielen der Einleitung einen sinnvollen Rahmen verleiht, steht natürlich weiterhin im Raum. Darauf wollen wir nun eine Antwort finden.

Beide Beispiele basieren auf demselben Prinzip, das man so zusammenfassen kann: Wenn zwei natürliche Zahlen, z.B. zwei Stundenzahlen oder zwei Centbeträge, gegeben sind, so ist die Verknüpfung von beidem dadurch gegeben, dass man die Zahlen erst wie gewohnt addiert. Falls das Ergebnis größer oder gleich einer vorgegebene Grenze (z.B. 24 Stunden oder 500 Cent) ist, so wird diese Grenzzahl wieder subtrahiert. Diese Zahl ist größer oder gleich 0 und kleiner als die vorgegebene Grenze und wird als das Ergebnis der Rechnung benutzt.

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Wieder Theorie: Ein paar Beweise als Grundlage



Es lohnt sich, einen genaueren Blick auf die Axiome zu werfen. Wenn man ein paar Übungsaufgaben macht und öfter einmal nachweist, dass dieses oder jenes eine Gruppe ist, dann fällt einem vielleicht auf, dass viel Arbeit dabei ist, die zwar in den Axiomen gefordert wird, aber in den Beispielen für Gruppen eigentlich nicht notwendig erscheint.

 
Einseitig- und Eindeutigkeit



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Einfache Rechenregeln



Mit den Axiomen und der Eindeutigkeit von neutralen und inversen Elementen kann man nun sehr einfache Rechenregeln beweisen, die völlig einleuchtend sind und daher immer ohne Kommentar verwendet werden:

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Potenzen



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Der Beweis kann sehr einfach sein, wenn man sich "Pünktchen-Beweise" erlaubt. Ein formeller Beweis wartet jedoch mit winzigen Fallen auf, in die man leicht tappen kann:
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Abschluss



Das soll es bis hierher zur Definition und zum Umgang mit Gruppen gewesen sein. Es ist nur ein winziger Einblick in die Gruppentheorie gewesen, aber ich hoffe, trotzdem den einen oder anderen für mehr interessiert zu haben, denn mehr wird es geben.

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Die Gruppenzwang-Reihe

Bild
Teil 1: Wir rechnen mit allem
Teil 2: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an
Teil 3: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier
Teil 4: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten
Teil 5: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP
Teil 6: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
Teil 7: Gruppen sind immer noch top!
Teil 8: Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs
Teil 9: Unfall im Genlabor: (Per)mutationen in der Bevölkerung
Teil 10: Jäger der verlorenen Gruppe - Special Xtended Version
Teil 11: Der Gruppentheorie-Adventskranz
Teil 12: Wegen guter Führung entlassen: Gruppen sind frei
Teil 13: Amnestie: Auch Untergruppen frei

 
Dieser Artikel ist enthalten in unserem Buch

Mathematisch für fortgeschrittene Anfänger
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Gruppenzwang I: Wir rechnen mit allem [von Gockel]  
Der Anfang der Reihe... Definitionen und Grundwissen für den Umgang mit Gruppen.
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" Mathematik: Gruppenzwang: Wir rechnen mit allem" | 26 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Gruppenzwang: Wir rechnen mit allem
von Martin_Infinite am Sa. 31. Juli 2004 17:43:58

\(\begingroup\)
Hi Gockel,

Die Überschrift "Die Trockene Theorie am Anfang" würde eher zu dieser Einführung passen, deren Inhalt deinen Artikel bei weitem deckt.

Und wie sieht es mit der Motivation, dem Rest deines Artikels aus? Warum stellst du die Gruppentheorie zunächst so oberflächlich dar, als "Bereich der Mathematik, der sich sozusagen mehr mit dem Rechnen an sich, als mit den Ergebnissen beschäftigt"? Und mit dem Titel tust du so, als ob die Gruppentheorie dafür zuständig wäre, auf jeder Menge eine Verknüpfung zu definieren.

Folgendes ist viel wichtiger und auf Gruppen bezogen, was auch in der obigen Einführung steht:

Die Gruppentheorie ist ursprünglich im Zusammenhang mit der Galoisschen Theorie als Hilfsdisziplin entstanden. In den zwanziger Jahren unseres Jahrhunderts wurde sie zu einem festen Fundament der Algebra und hat seitdem eine stürmische Entwicklung durchlaufen. Aufgrund der weit gefaßten Definition der Gruppe, findet die Gruppentheorie in vielen Bereichen Verwendung. In den Naturwissenschaften, besonders in der Physik, haben gruppentheoretische Methoden eine große Bedeutung erlangt. Die Gruppentheorie dient der Untersuchung von Symmetrien in der Kristallographie, der Quantentheorie, der Chemie und der Theorie der Elementarteilchen. Auch innermathematisch hat die Gruppentheorie zahlreiche Anwendungen in nahezu allen Disziplinen.

Ich finde, DAS ist es, was Gruppentheorie motiviert hat, und immer noch tut.

Außerdem geht es nicht darum, wie du es nennst, die Rechenregeln zu verallgemeinern, oder darauf zu achten, dass man "nicht Dinge rechnet, die nicht definiert sind." Das einzige, was du dabei wohl sagen willst, ist, dass es andere algebraische Strukturen als (IR,+,*) gibt. Und das hat nichts Charakteristisches mit Gruppen zu tun.

Jetzt noch ein paar Sachen zum Inhalt:

Bei der Definition von mod muss man erwähnen, dass b fest ist, und man jede ganze Zahl eindeutig durch b mit Rest teilen kann. Sonst wäre deine Verknüpfung nicht wohldefiniert.

Wenn du schon von Nebenklassen und Gruppen schreiben willst, dann sollte nicht die Faktorgruppe unerwähnt bleiben, sowie die zugehörigen Äquivalenzklassen charakterisiert werden, damit auch sofort 2.1.1. klar ist. Außerdem könnte man bei 2.1. auch gleich der erklärten natürlichen Zahl den Wert |G/U| zuweisen.

Deine Definition einer zyklischen Gruppe habe ich versucht, mit der neuen Bearbeitungsfunktion von Artikeln zu ändern. Mal sehen, ob es funktioniert.

Du weißt ja schon, was ich dir damals im Chat gesagt hatte, als du eine Reihe von Gruppentheorie-Artikeln geplant hattest.

 Gruß
Martin\(\endgroup\)

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Re: Gruppenzwang: Wir rechnen mit allem
von Gockel am Sa. 31. Juli 2004 18:13:58

\(\begingroup\)
Hi Martin.

Wie ich schon damals im Chat gesagt hatte, ging es und geht es mir immer noch nicht darum, soviel Theorie wie möglich so kryptisch wie möglich zu vermitteln.
Deshalb bin ich mit Absicht nicht auf Dinge wie die Galoistheorie eingegangen, sondern habe einen "laxeren" Weg gewählt, das Ganze rüberzubringen.

Einiges habe ich auch in Hinblick auf den Umfang des Artikels weggelassen (u.A. die Faktorgruppen). Ich bin gerne bereit mein Wissen, was über diesen Artikel hinausgeht niederzuschreiben und dabei auch auf Faktorgruppen u.Ä. einzugehen. Wie ich dir damals schon angeboten habe, kannst du mir gerne mit all deinem (bei weitem größeren) Fachwissen Verbesserungsvorschläge unterbreiten.
Doch da du das damals abgelehnt hast, habe bitte Verständnis dafür, dass ich dich nicht zu Rate gezogen habe und deshalb einige Aspekte nicht deinen Ansichten entsprechen.

Ich stimme dir zu, dass nicht alles so fachlich korrekt formuliert wurde, wie es hätte sein können. Aber auch das ist nicht so unbeabsichtigt: Wie gesagt, habe ich mehr Wert darauf gelegt, es zumind. ein bisschen praktisch und anschaulich anzuhauchen.

mfg Gockel.\(\endgroup\)

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Re: Gruppenzwang: Wir rechnen mit allem
von primatenmann am So. 01. August 2004 20:33:14

\(\begingroup\)
ich find den artikel cool\(\endgroup\)

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Re: Gruppenzwang: Wir rechnen mit allem
von matroid am So. 01. August 2004 23:17:43

\(\begingroup\)
Ja, ich schließe mich dem primatenmann an. Bei dem abstrakten Thema ist hier eine sehr gute Einleitung "Als Folge dessen gibt es einen Bereich der Mathematik, der sich sozusagen mehr mit dem Rechnen an sich, als mit den Ergebnissen beschäftigt: Die Gruppentheorie." und ein sehr übersichtlich gestalteter Hauptteil. Es ist immer gut, wenn man klare Begriffe und Bezeichnungen einführt: EANIK.



Gruß

Matroid\(\endgroup\)

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Re: Gruppenzwang: Wir rechnen mit allem
von Wauzi am Mo. 02. August 2004 00:11:43

\(\begingroup\)
Mir hat dieser Artikel gut gefallen. Er ist logisch aufgebaut und hat genau die richtige Tiefe. Es soll ja hier kein akademisches Werk entstehen. Sicherlich denkt der Purist bei "Gruppe" sofort an "Galoistheorie". Aber ich finde man darf auch die Entwicklung nach einem Jahrhundert nicht übersehen. Wenn ein Student das erste Mal mit Gruppen in Berührung kommt, dann ist ihm die Galoistheorie entweder noch völlig unbekannt oder sie leuchtet als abstraktes Überziel auf die Vorlesung. Der normale Einstieg ist doch der, daß eine Gruppe eben eine Menge ist, in der man irgendeine Verknüpfung definiert hat, d.h. "wo man rechnen kann".
Ich habe diesen Artikel mit großem Interesse gelesen, vielleicht auch deshalb, weil ich zu den (wenigen?) Mathematikern gehöre, denen die Algebra für immer fremd geblieben ist (und der sie vom Fachgebiet auch selten gebraucht hat). Das bedeutet nicht, das Beeindruckende der Galoistheorie nicht zu erkennen, trotzdem sind Gruppen für mich immer nur ein Handwerkszeug gewesen, dessen ich mich bedient habe, ohne die tieferen Hintergründe je zu durchschauen (bzw durchschauen zu wollen).
Und deshalb, Martin, kann ich zwar Deine Einwände aus Deiner Sichtweise heraus verstehen, finde aber, man sollte dies nicht verallgemeinern. Es läßt sich auch anders über dieses Thema denken.
Nehmen wir diesen Beitrag doch als eine wirklich gute, informative einführende Zusammenfassung in die Grundlagen der Gruppentheorie.
@Gockel Ich hätte Interesse an Fortsetzungen.
Gruß Wauzi\(\endgroup\)

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Re: Gruppenzwang: Wir rechnen mit allem
von AimpliesB am Mo. 02. August 2004 10:12:06

\(\begingroup\)
Huhu Goggl.
Stimme Wauzi zu, was haeltst du davon, Martins Kritikpkte, bzw. all die Sachen, die er in deinem Artikel vermisste, in eine Fortsetzung zu packen?
All in one finde ich den Artikel grosse Klasse.
Ich habe meine Facharbeit ueber Gruppentheorie geschrieben und waere jetzt im Nachhinein sehr froh, haette ich es geschafft, das ganze so klar und komprimiert darzustellen...
schoen zu lesen und sehr informativ smile

gruesschen

Resa\(\endgroup\)

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Re: Gruppenzwang: Wir rechnen mit allem
von susi0815 am Mo. 02. August 2004 10:43:48

\(\begingroup\)
Hallo Gockel,

eine wirklich gelungene Einführung vor allem für Leute, die noch nichts damit zu tun hatte! Nicht jeder möchte gleich zur Galoistheorie vorstoßen (auch wenn die zugegebenermaßen nett ist).
Ich finde auch das Uhrenbeispiel als Einstieg ganz hübsch und freue mich auf die Fortsetzungen.

@Martin:
apropos Verallgemeinerung von Rechenregeln, wenn man das weiterführt, gelangt man zwangsläufig zu "was war eher da Henne oder Ei".
In der Mathematikgeschichte ist es meistens andersrum als in den Lehrbüchern, d.h. man hatte zunächst lauter Beispiele und Spezialfälle, die dann unter passenden Oberbegriffen zusammengefasst wurden.

Gruß, Susi.\(\endgroup\)

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Re: Gruppenzwang: Wir rechnen mit allem
von jannna am Mo. 02. August 2004 11:41:17

\(\begingroup\)
Hallo

Ich würde bei zyklischen Gruppen noch schreiben, daß der Erzeuger nicht eindeutig sein muß. ansonsten find ich den Artikel auch ok.
Die geschichtliche Entwicklung des Gruppenbegriffs ist sehr interessant. Das Ganze hat sich im 19. Jahrhundert entwickelt.
Man kann sagen, daß die Entwicklung ausging vom Versuch Allgemeine Formeln zur Lösung von Gleichungen zu finden. Im quadratischen Fall ist das die p-q-Formel, im Fall n=3 die Formel von Cardano.
Der Fall n=5 ist nicht möglich ...

Im Zuge dieser Entwicklungen  gelangte man quasi zum Gruppenbegriff weil man beim Studium dieser Probleme Permutationen von Nullstellen von Gleichungen betrachtete und feststellte, daß diese Permutationen eine "Gruppe" bilden wobei Gruppe damals nur hieß, daß die Menge der Permutation unter Verknüpfung abgeschlossen war ... naja irgendwann stellte man fest, daß man ohne die explizite Forderung des Inversen nicht auskommt (das war Klein in der Theorie der unendlichen Gruppen)... Das war jetzt nur ein ganz kurzer und sehr ungenauer Abriss .. naja ich wollte eigentlich nur sagen, daß die Geschichte des Gruppenbegriffs sehr interessant ist...

Grüße

Jana\(\endgroup\)

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Re: Gruppenzwang: Wir rechnen mit allem
von Gockel am Mo. 02. August 2004 13:52:50

\(\begingroup\)
Hi Leute.

Danke Danke Danke.
So viel Lob für einen Mann...

Ich freue mich, dass euch mein Artikel gefallen hat. Wie ich schon zu Martin-00 sagte: Ich bin gerne bereit zu Fortsetzungen, wenn wirklich Interesse besteht.
Da ich allerdings nicht sooo der Profi bin (wie der Kommentar von Martin ja richtigerweise andeutete), bräuchte ich dabei aber tatkräftige Unterstützung.

mfg Gockel.\(\endgroup\)

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Re: Gruppenzwang: Wir rechnen mit allem
von quakie am Sa. 08. Januar 2005 15:08:43

\(\begingroup\)
Hi Gockelchen,

ich finde den Artikel auch sehr gelungen.
Besonders lobend hervorheben möchte ich zwei Dinge:
Zum einen gelingt es dir, ohne viel symbolischen Kauderwelsch klar auszudrücken, worum es geht und zum Anderen finde ich deine Beispielgebung echt toll. Jeder besitzt eine Uhr und kann sich daran nun das Prinzip vorstellen. Richtig gut ist auch, dass du dieses Beispiel durch den gesamten Artikel "ziehst". Dadurch muss man sich nicht ständig neu eindenken und kann alles anhand eines einzelnen Problems gut nachvollziehen.

Ich hoffe, die weiteren Artikel sind genauso gut, denn ich werde mir Gruppenzwang II sogleich erarbeiten.

Liebe Grüße,
quakie smile\(\endgroup\)

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Re: Gruppenzwang: Wir rechnen mit allem
von FlorianM am Mi. 22. Juni 2005 11:34:22

\(\begingroup\)
Bin erst jetzt auf den Artikel gestoßen und habe ihn mit Vergnügen gelesen. smile
Weiter so, Gockelchen. biggrin\(\endgroup\)

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Re: Gruppenzwang: Wir rechnen mit allem
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 14. Dezember 2005 10:52:48

\(\begingroup\)
^^schließe mich dem vorherigen post an, echt gute erklärungen !! hat mir sehr geholfen. danke !!\(\endgroup\)

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Re: Gruppenzwang: Wir rechnen mit allem
von Hardy am Di. 10. Januar 2006 18:14:21

\(\begingroup\)
Hallo Gockel,

ein wirklich sehr schöner Artikel.
Einzige Kritik: Eine Struktur mit E nennt man häufig auch Magma. "Die Bezeichnung Gruppoid wird auch für eine andere mathematische Struktur verwendet. Diese andere Definition befindet sich in Artikel Gruppoid." (de.wikipedia.org/wiki/Magma_%28Mathematik%29)
"Eine verbreitete Bedeutung von Gruppoid ist eine algebraische Struktur, die aus einer Trägermenge und einer zweistelligen Verknüpfung besteht. Diese wird heute, nach dem von Bourbaki eingeführten Begriff, Magma genannt."
Für Leute, die noch neu in diesem Gebiet sind, ist diese Information ganz interessant.


Gruß, Hardy\(\endgroup\)

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Re: Gruppenzwang: Wir rechnen mit allem
von Stefan_K am Di. 10. Januar 2006 18:34:15

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Den Begriff "Magma" gibt gleich die erste Definition im 1. Band von Bourbakis Algebra. Wen es interessiert, und wem der Bourbaki zunächst vielleicht zu heftig ist: in Lothar Gerritzens Buch "Grundbegriffe der Algebra" wird sehr strukturiert vorgegangen und zunächst das Konzept der Magmen entwickelt. Dort kann man gut nachlesen, daß bereits mit diesem so allgemeinen Konzept bereits Algebra betrieben werden kann, man z.B. Morphismen und Quotientenbildung betrachtet.

Stefan_K
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Re: Gruppenzwang: Wir rechnen mit allem
von Ex_Mitglied_40174 am So. 12. Februar 2006 18:07:24

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Beim Satz von Lagrange sollte man vielleicht zum Verständnis einfach noch hinzufügen, dass dieser nichts anderes aussagt, also das die Untergruppenordnung die Gruppenordung teilen muss.\(\endgroup\)

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Re: Gruppenzwang: Wir rechnen mit allem
von Gockel am So. 12. Februar 2006 18:12:23

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Hi Anonymous.

Genau das sagt er ja auch aus. Und genau darauf bin ich in der folgenden Anmerkung auch eingegangen...

mfg Gockel.\(\endgroup\)

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Re: Gruppenzwang: Wir rechnen mit allem
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 26. Juli 2006 11:20:00

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Lieber Gockel!
Ich hoffe, es sind auch Fragen erlaubt:
Wie kann man zeigen, dass wirklich die beiden oben genannten Erzeuger der speziellen linearen Gruppe über den ganzen Zahlen ausreichen? Welche Relationen bestehen? Vielleicht kannst Du mir auch einfach sagen, wo man mehr über diese Gruppe findet?

Herzliche Grüße\(\endgroup\)

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Re: Gruppenzwang: Wir rechnen mit allem
von Martin_Infinite am Mi. 26. Juli 2006 15:02:23

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Hi Anonymus,

es sind auch Fragen erlaubt, allerdings ist dafür hauptsächlich das Forum da. Den fraglichen Beweis findest du hier unter Aufgabe 24.
 
www.mathematik.tu-darmstadt.de:8080/Math-Net/Lehrveranstaltungen/Lehrmaterial/SS2002/Algebra/nr04/l4.pdf

 Gruß
Martin
 
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Re: Gruppenzwang: Wir rechnen mit allem
von Diophant am Di. 26. August 2008 15:59:02

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Hallo,

sehr lehrreicher Artikel, die Sachverhalte kommen gut rüber.

Gruß, Diophant\(\endgroup\)

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Re: Gruppenzwang: Wir rechnen mit allem
von Gockel am Sa. 25. September 2010 22:22:26

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Bemerkung:
Dieser Artikel ist Ende Juli 2010 durch eine von Grund auf überarbeitete und erweiterte Version ersetzt worden (nämlich die Version, die sich jetzt auch im neuen MP-Buch findet). Alle Kommentare vor diesem Datum beziehen sich auf die sechs Jahre ältere Version des Artikels.

mfg Gockel.\(\endgroup\)

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Re: Gruppenzwang: Wir rechnen mit allem
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 28. Januar 2011 12:19:42

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EANI
A-ssoziativ
N-eutral
I-nvers

E-rknuepfung??\(\endgroup\)

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Re: Gruppenzwang: Wir rechnen mit allem
von Gockel am Fr. 28. Januar 2011 13:07:21

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E-xistenz einer Verknüpfung smile

mfg Gockel.\(\endgroup\)

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Re: Gruppenzwang: Wir rechnen mit allem
von Martin_Infinite am Fr. 28. Januar 2011 14:09:49

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Vielleicht ist diese Bezeichnung nicht so optimal, weil es ja nicht darum geht, dass eine Verknüpfung existiert, sondern diese zum Datum dazugehört.\(\endgroup\)

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Re: Gruppenzwang: Wir rechnen mit allem
von Ex_Mitglied_43988 am Fr. 01. Mai 2015 14:14:37

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Was für ein Datum, Martin?\(\endgroup\)

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Re: Gruppenzwang: Wir rechnen mit allem
von Martin_Infinite am Fr. 01. Mai 2015 16:15:53

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Datum (lateinisch) = Das Gegebene.

Eine Gruppe ist eigentlich ein Tupel <math>G=(X,\circ,e,\iota)</math> (oder knapp <math>(G,\circ)</math>), und dieses <math>\circ</math> existiert nicht einfach, sondern gehört mit zur Gruppe dazu. Man sagt auch, dass <math>\circ</math> mit zum Datum einer Gruppe dazugehört.\(\endgroup\)

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Re: Gruppenzwang: Wir rechnen mit allem
von Ex_Mitglied_43988 am Fr. 01. Mai 2015 16:19:41

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Danke Martin. smile\(\endgroup\)

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