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Mathematik: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an
Freigegeben von matroid am Sa. 14. August 2004 18:45:28
Verfasst von Gockel -   16086 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

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Gruppenzwang II


Hallo, Gruppentheorie-Fans und solche, die es einmal werden wollen!

In diesem Kapitel der Gruppenzwang-Reihe soll es darum gehen, verschiedene Grundkonzepte der Gruppentheorie einzuführen, mit denen die Axiome, die wir im letzten Artikel eingeführt haben, hoffentlich etwas besser zu verstehen sind und es uns ermöglichen werden, aus vorhandenen Gruppen neue zu konstruieren.



 
Untergruppen



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Das Untergruppenkriterium



Unsere Überlegungen fassen wir in folgendem Lemma zusammen, das uns zugleich auch eine Methode in die Hand gibt, Teilmengen darauf zu untersuchen, ob sie denn wirklich Untergruppen sind:
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Beispiele und Gegenbeispiele



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Untergruppen der ganzen Zahlen



Wir wollen ein klein wenig komplexeres, dafür aber um so wichtigeres Beispiel besprechen und alle Untergruppen der ganzen Zahlen klassifizieren:
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Erzeugendensysteme



Es gibt eine allgemeine Konstruktionsmöglichkeit für Untergruppen, die ich jetzt vorstellen möchte. Dazu überzeugen wir uns zunächst von folgendem Fakt:
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Damit können wir nun folgende Definition treffen:
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Dies ist eine sehr nützliche, abstrakte Beschreibung der von E erzeugten Untergruppe. Genauso nützlich ist aber folgende konkrete Beschreibung:
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Es gibt natürlich immer Erzeugendensysteme. Beispielsweise ist stets U selbst ein Erzeugendensystem von U. Wir können selbstverständlich auch kleinere Erzeugendensysteme finden. Welches Erzeugendensystem geschickterweise gewählt werden sollte, hängt stark vom Problem ab, das man lösen möchte.

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Für manche Gruppen gibt es besonders einfache Erzeugendensysteme, mit deren Hilfe man viel über die Gruppe aussagen kann. Ein Beispiel dafür sind die sogenannten zyklischen Gruppen:

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Im Wesentlichen waren das bereits alle zyklischen Gruppen, die es gibt. Wir werden das im nächsten Artikel präzise machen. Im vierten Artikel werden wir dann auch zeigen, dass die Untergruppenbeispiele nur Spezialfälle eines allgemeinen Prinzips sind: Untergruppen zyklischer Gruppen sind immer selbst zyklisch.

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Nebenklassen und der Satz von Lagrange



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Der Sinn der Definition einer Nebenklasse erschließt sich nicht sofort, aber betrachten wir einmal folgendes Lemma:
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Mit diesem Konzept kommt man schon sehr weit. Je nach Problemstellung ergeben sich oft ganz natürlich Situationen, in denen bestimmte Elemente der Gruppe keine Rolle spielen und dann treten oft auch Nebenklassen auf.


Das nützt jedoch alles gar nichts, solange wir das Lemma nicht beweisen können. Also los:
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Ganz besonders nützlich ist es oftmals, genau zu wissen, wie viele Nebenklassen es gibt. Daher treffen wir folgende Definition:
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Nun zum Satz von Lagrange. Er zeigt uns die wesentliche Beziehung von Indizes verschiedener Untergruppen:
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Die erste, sehr wichtige Strukturaussage, die sich daraus folgern lässt, ist die folgende:
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Normalteiler und Faktorgruppen



Eine ganz besondere Klasse von Untergruppen sind die sogenannten Normalteiler. Man kann ganz kurz formulieren, dass Normalteiler genau diejenigen Untergruppen sind, deren Rechts- und Linksnebenklassen sich nicht unterscheiden.


Es gibt verschiedene äquivalente Formulierungen, die wir uns gleich zu Beginn anschauen wollen:
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Besonders der erste Punkt sagt uns, dass in abelschen Gruppen kein Unterschied zwischen gewöhnlichen Untergruppen und Normalteilern besteht. Nur in nichtabelschen Gruppen ist es sinnvoll, dazwischen zu unterscheiden.

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Besonders interessant werden Normalteiler im Zusammenhang mit den sogenannten Faktorgruppen. Wir erinnern uns an die Veranschaulichung, die wir uns für Nebenklassen überlegt hatten. Eine Nebenklasse gU umfasst alle Elemente, die "im Wesentlichen" gleich g sind, wobei das, was "unwesentlich" ist, durch U definiert wird.


Wenn wir jetzt zwei Elemente g,g' haben, die aus derselben Nebenklasse sind, d.h. sich nur um (Rechts)Multiplikation eines Elementes aus U unterscheiden, und zwei Elemente h,h' die ebenfalls aus einer Nebenklasse sind, dann ist es wünschenswert, dass dann auch gh und g'h' aus derselben Nebenklasse sind, denn wenn g und g' sowie h und h' "im Wesentlichen gleich" sind, dann sollte das doch auch auf ihre Produkte gh und g'h' zutreffen, oder?


Nun, das ist nicht immer der Fall. Es ist ganz genau dann der Fall, wenn U eine normale Untergruppe von G ist, wie wir jetzt sehen werden:
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Wo kommen nun die Faktorgruppen ins Spiel? Hier:
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Uhrenarithmetik reloaded



Kommen wir noch einmal auf das Hauptbeispiel aus dem ersten Artikel zurück. Dort habe ich bereits angedeutet, dass es für theoretische Überlegungen nicht ganz clever ist, die Gruppen auf die dortige Weise einzuführen, während dieses Vorgehen für Berechnungen von Hand und insbesondere auch zum Programmieren besser geeignet ist.

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Abschluss



Ich hoffe, euch hat auch diese Gruppentherapie gefallen. Vielleicht hat der eine oder andere ja sogar etwas dabei über Untergruppen, Quotienten, den Satz von Lagrange, Anwendungen davon sowie den Ideen dahinter gelernt. Ich würde es mir wünschen.

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Die Gruppenzwang-Reihe



Teil 1: Wir rechnen mit allem
Teil 2: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an
Teil 3: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier
Teil 4: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten
Teil 5: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP
Teil 6: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
Teil 7: Gruppen sind immer noch top!
Teil 8: Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs
Teil 9: Unfall im Genlabor: (Per)mutationen in der Bevölkerung
Teil 10: Jäger der verlorenen Gruppe - Special Xtended Version
Teil 11: Der Gruppentheorie-Adventskranz
Teil 12: Wegen guter Führung entlassen: Gruppen sind frei
Teil 13:  Amnestie: Auch Untergruppen frei

 
Dieser Artikel ist enthalten in unserem Buch

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: Gruppentheorie :: Algebra :: Leicht verständlich :: Mathematik :
Gruppenzwang II: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an [von Gockel]  
Faktorgruppen, das Zentrum einer Gruppe, das direkte Produkt und das Untergruppenkriterium: Alles ist hier zu finden
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" Mathematik: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an" | 7 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an
von huepfer am Mi. 23. November 2005 17:07:11

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Hallo Gockel,

mir gefällt Deine Einleitung in die Gruppentheorie sehr gut. Allerdings könnte man vielleicht am Ende von Kapitel 3 schon mal auf den "chinesischen Restsatz" hinweisen, der mit diesen Eigenschaften sehr stark zusammenhängt. Ich vermute, dass Du diesen in einem der weiteren Artikel auch noch ausführlich erklärt hast.

Gruß,
   Felix\(\endgroup\)

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Re: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an
von Martin_Infinite am Mi. 23. November 2005 18:27:07

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Hi Felix,
 
mit dem chinesischen Restsatz meinst die folgende Isomorphie von Gruppen?

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Sie gilt ja sogar für die Ringstruktur, siehe hier.
 
 Gruß
Martin\(\endgroup\)

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Re: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an
von Diophant am Sa. 22. November 2008 18:37:01

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Hallo Gockel,

habe gerade mit dem Studium dieses zweiten Teils der "Gruppentherapie" begonnen. Die anschauliche Art und Weise, in welcher der Artikel geschrieben ist, ohne auf Exaktheit zu verzichten, macht das Durcharbeiten auch für mich alten "Turnschuh-Mathematiker" zu einer wahren Freude!


Gruß, Diophant\(\endgroup\)

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Re: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an
von Gockel am Do. 16. Dezember 2010 20:11:48

\(\begingroup\)
Bemerkung:
Dieser Artikel ist Ende September 2010 durch eine von Grund auf überarbeitete und erweiterte Version ersetzt worden (nämlich die Version, die sich jetzt auch im neuen MP-Buch findet). Alle Kommentare vor diesem Datum beziehen sich auf die sechs Jahre ältere Version des Artikels.

mfg Gockel.\(\endgroup\)

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Re: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 15. März 2012 17:54:10

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Hallo Gockel,

vorweg: mir gefallen deine Artikel zur Gruppentheorie sehr gut, ich habe die mittlerweile bis zu den Sylow-Sätzen durchgearbeitet und es hat mir für das Verständnis wirklich viel gebracht, zumal du hier viele Sachen genauer / ausführlicher erklärst als das bei mir an der Uni der Fall ist.

Aber ein Punkt bereitet mir immer noch Kopfschmerzen, und zwar ist das die Stelle, an der du zeigst, dass das neutrale Element von einer Gruppe und deren Untergruppe gleich ist.
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MfG Christian
\(\endgroup\)

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Re: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an
von Martin_Infinite am Do. 15. März 2012 21:21:03

\(\begingroup\)
Ich weiß jetzt nicht, was sich Gockel dabei gedacht hatte, aber man kann so argumentieren:

Lemma: In einer Gruppe G gibt es nur ein Element g mit g2=g, nämlich das neutrale Element.

Beweis: Kürze g raus.

Folgerung: Wenn U eine Untergruppe von G ist (mit Gockels Definition, die übrigens nicht so üblich ist), dann gilt für das neutrale Element e von U ja offenbar e*e=e mit der Verknüpfung in U und damit auch in G, weil die auf U ja einfach eine Einschränkung ist. Aus dem Lemma folgt, dass e das neutrale element von G ist.\(\endgroup\)

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Re: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an
von Gockel am Fr. 16. März 2012 10:21:28

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Hi Christian.

Dieses Inverse ist eben genau das Inverse in G. Ich habe an der Stelle noch nicht benutzt, dass in U Inverse existieren oder sie mit den G-Inversen übereinstimmen. Genau deshalb kürzt sich das ja auch zu e_G zusammen am Ende.

@Martin: Ja, ein gutes Argument. Was ich mir gedacht habe, ist einfach, dass ich einfach eine Umformung haben wollte, die mit e_U = ... anfängt und mit ... = e_G aufhört. Ich fand das einfacher für absolute Anfänger.

mfg Gockel.\(\endgroup\)

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