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Mathematik: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier
Freigegeben von matroid am Fr. 20. August 2004 21:42:17
Verfasst von Gockel -   19415 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

 
Gruppenzwang III


Hallo, Gruppentheorie-Fans!

Wir sind nun schon im dritten Artikel der Gruppenzwang-Reihe angekommen.

Diesmal soll es uns vor allem um Gruppenhomomorphismen gehen, die es uns erlauben werden, Verbindungen zwischen verschiedenen Gruppen zu knüpfen. Dabei möchte ich euch grundsätzliches Handwerkszeug zur Arbeit mit diesen Abbildungen in die Hand geben.


 
Gruppenhomomorphismen



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Aus dieser Gleichung leitet sich die Bezeichnung "Homomorphismus" ab: "homo" ist griechisch für "gleich, ähnlich" und "morph" ist das griechische Wort für "Gestalt, Form". Ein Homomorphismus ist - wörtlich übersetzt - also eine "formähnliche" Abbildung. Moderner würde man "strukturerhaltend" sagen: Ein Homomorphismus erhält die Struktur, die eine Gruppe auszeichnet, nämlich die Verknüpfung der Gruppe.

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Strukturerhaltung



Da Homomorphismen mit der Gruppenverknüpfung verträglich sind, erhalten sie auch viele Strukturen, die von der Multiplikation abgeleitet sind. Wir wollen uns genauer ansehen, welche das sind:
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Das Lemma ist ganz besonders nützlich, weil diese Situation sehr häufig auftritt. Die meisten Untergruppen und Normalteiler, die einem so über den Weg laufen, sind Bilder oder Urbilder unter bestimmten Homomorphismen. Man muss dann nur erkennen, ob diese Situation vorliegt, wendet das Lemma an und hat auf einen Schlag nachgewiesen, dass es sich um eine Untergruppe oder ggf. sogar um einen Normalteiler handelt.

 
Kern und Bild



Zwei Spezialfälle dieses Lemmas sind besonders wichtig.
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Eine äußerst angenehme Eigenschaft des Kerns ist folgende:
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Mehr Homomorphismen



Weil Homomorphismen ein so wichtiges Konzept sind, gibt es verschiedene Spezialisierungen des Begriffes:
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Isomorphismen



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Formal gerechtfertigt wird dies durch folgendes Lemma:
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Automorphismengruppen beschreiben in einem gewissem Sinne die "innere Symmetrie" der Gruppe G.

 
Der Homomorphiesatz



Es ist für die Theorie der Gruppen natürlich von Interesse, entscheiden zu können, ob zwei Gruppen isomorph sind oder nicht. Während das in dieser Allgemeinheit ein sehr schwieriges Problem ist (sogar so schwierig, dass es algorithmisch unlösbar ist), gibt es doch viele Sätze, die uns in speziellen Situationen die Sache wesentlich erleichtern.


Der erste und wichtigste dieser Sätze ist der Homomorphiesatz:
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Die Konsequenzen dieses Satzes sind weitreichend. Die Situation tritt so häufig (teilweise implizit hinter anderen Sätzen versteckt) auf, dass man mit Fug und Recht behaupten kann, hier das wichtigste Werkzeug in der Hand zu haben, um Isomorphien zwischen Gruppen aufzudecken.


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Einmal mehr zyklische Gruppen



Der Homomorphiesatz erlaubt uns, eine Behauptung zu beweisen, die ich bereits im letzten Kapitel in den Raum gestellt hatte:
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Charakteristische Untergruppen



Mit Homomorphismen kann man sich in der Gruppentheorie vieles erleichtern. Sie treten oft genug auf, um viel Arbeitsersparnis zu bedeuten. Eine Möglichkeit haben wir bereits gesehen: Kerne von Homomorphismen sind immer Normalteiler, Bilder sind stets Untergruppen.


Eine weitere, von Zeit zu Zeit nützliche Methode, sich Normalteiler zu beschaffen, sind charakteristische Untergruppen:
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Wie kommen da die Normalteiler ins Spiel? So:
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Direkte Produkte und direkte Summen von Gruppen



Wir wollen zum Abschluss noch eine weitere Möglichkeit kennenlernen, sich aus vorhandenen Gruppen neue zu basteln.

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Von Zeit zu Zeit nützlich ist das folgende Lemma, das es uns erlaubt, zyklische Gruppen in bestimmten Fällen in direkte Produkte zu zerlegen bzw. ein Produkt zyklischer Gruppen zu einer zyklischen Gruppe zusammenzufassen:
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Abschluss



Ich hoffe, ich konnte euch in den bisher drei Teilen der Reihe einen guten Eindruck von der Gruppentheorie vermitteln. Vielleicht teilt ja jetzt der eine oder andere von euch mein Interesse und meine Begeisterung für dieses Gebiet.

Ich wünsche den Neu-Begeisterten noch viel Spaß, und dass sie am Ende keine Gruppentherapie brauchen!

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Die Gruppenzwang-Reihe



Teil 1: Wir rechnen mit allem
Teil 2: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an
Teil 3: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier
Teil 4: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten
Teil 5: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP
Teil 6: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
Teil 7: Gruppen sind immer noch top!
Teil 8: Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs
Teil 9: Unfall im Genlabor: (Per)mutationen in der Bevölkerung
Teil 10: Jäger der verlorenen Gruppe - Special Xtended Version
Teil 11: Der Gruppentheorie-Adventskranz
Teil 12: Wegen guter Führung entlassen: Gruppen sind frei
Teil 13:  Amnestie: Auch Untergruppen frei

 
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Gruppenzwang III: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier [von Gockel]  
Einführung in Gruppenhomomorphismen, Bild und Kern sowie den Homomorphiesatz
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" Mathematik: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier" | 6 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier
von Martin_Infinite am Fr. 20. August 2004 22:01:33


Hi Gockel,
 
eine sehr ausführliche und klare Einführung in Gruppenhomomorphismen und charakteristischen Untergruppen! smile
 
Die Anwendung Inn(G) ~ G/Z(G) für den Homomorphiesatz sowie den Ausblick auf andere Theorien mit Gruppenhomomorphismen wie LA hast du super gesetzt!
 
 Gruß
Martin

 [Bearbeiten]

Re: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier
von Niels am Sa. 21. August 2004 09:59:19


Hi Gockel,

gibt es noch so ein hübschen Beitrag in der Reihe "Gruppentheorie"?

Sehr gut Strukturiert die Artikel! Mich ineressiert zwar die Analysis eigentlich mehr als die Algebra, aber Algebra muss man ja auch machen....

Gruß N.

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Re: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier
von Gockel am Sa. 21. August 2004 13:17:52


Hi niels.

Es sind von meiner Seite vorerst keine weiteren Fortsetzungen geplant. EInige andere MPler haben aber mir eggenüber schon Interesse angemeldet, selber einen Beitrag zur Reihe zu leisten. Wie weit diese Personen schon angefangen haben mit dem Schreiben, weiß ich nicht, aber ich würde mich freuen, wenn es nicht bei diesen 3 Artikel bleiben würde.

mfg Gockel.

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Re: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier
von matroid am Sa. 21. August 2004 23:50:24


Hi Gockel,

Du mußt (spätestens) in Papenburg viel gelernt haben, jedenfalls schreibst Du erstaunlich klar und zutreffend, vor allem Dingen auch verständlich.
Also, mein Dank - und schade, daß es vorbei ist, aber - nun - das war mal die Gruppentheorie wink

Gruß
Matroid

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Re: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier
von Gockel am So. 22. August 2004 13:07:33


Hi matroid.

Wer sagt denn, dass es vorbei ist? Irgendwann gibts bestimmt mehr davon. Vielleicht sogar auch von andern, nicht nur von mir. (siehe oben)
Aber auf jeden Fall ein dickes Danke für das Lob. Das tut einem Süchtigen wie mir gut wink

mfg Gockel.

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Re: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier
von Gockel am Do. 16. Dezember 2010 20:12:49


Bemerkung:
Dieser Artikel ist Mitte November 2010 durch eine von Grund auf überarbeitete und erweiterte Version ersetzt worden (nämlich die Version, die sich jetzt auch im neuen MP-Buch findet). Alle Kommentare vor diesem Datum beziehen sich auf die sechs Jahre ältere Version des Artikels.

mfg Gockel.

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