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Mathematik: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP
Freigegeben von matroid am Mi. 15. Dezember 2004 19:31:35
Verfasst von Gockel -   13264 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

 
Dr. Cauchy und Dr. Sylow bitte zur Gruppen-OP



Hallo, Algebra-Freunde!

In diesem Kapitel möchte ich ein sehr wichtiges Konzept der Gruppentheorie vorstellen: Es soll um die sogenannten Gruppenoperationen gehen. Damit werden wir einige bekannte Sätze beweisen. Nämlich zum einen den Satz, dass jede p-Gruppe ein nichttriviales Zentrum hat, und zum anderen die berühmt-berüchtigten Sätze von Sylow.


 
Einführung



Gruppenoperationen sind ein sehr spezielles Hilfsmittel. Sie verallgemeinern viel bereits Bekanntes aus der Gruppentheorie und anderen Bereichen der Mathematik. Man sollte sich also auf jeden Fall einmal anschauen.

Nun... wir tun genau das: Wir schauen sie uns an.

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Drei grundlegende Sätze



Jetzt wollen wir nach all den Verwirrungen zu den ersten Sätzen kommen, die wir beweisen wollen.
Als da wären:
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Der ein oder andere mag bemerkt haben, dass da in der Überschrift von drei Sätzen gesprochen wird... nunja ihr wisst ja: "Es gibt drei Arten von Mathematikern: Die einen können bis Drei zählen, die anderen nicht."

Nein, mal im Ernst: Der nächste Satz kommt sofort. Es handelt sich hierbei um die sogenannte Bahnenformel (oder Bahnengleichung oder Klassengleichung oder oder oder...):

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Das erste Teilziel



Wie eingangs versprochen, wollen wir nun den Satz beweisen, dass jede nichttriviale p-Gruppe ein nichttriviales Zentrum hat. Zunächst klären wir, was darunter zu verstehen ist:

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Das Große Ziel: Die Sylow-Sätze



Im Gegensatz zum nun folgenden Satz haben wir bisher kleine Brötchen gebacken. Ich will wirklich vorwarnen, dass der nun folgende Beweis nicht ohne ist.

Es soll uns nämlich um die Sätze von Sylow gehen, die Peter Ludwig Mejdell Sylow 1872 zum ersten Mal bewies und benutzte.


Konkret sind das drei Sätze, die in verschiedensten Varianten auftauchen und verwendet werden. Ich möchte hier die allgemeinste mir bekannte Fassung dieser drei Sätze beweisen:
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Die Sylow-Sätze stellen mit der Existenzaussage von Untergruppen in gewisser Weise eine Umkehrung zum Satz von Lagrange dar: Während dieser besagt, dass die Ordnung einer Untergruppe die Gruppenordnung teilen muss, sagen die Sätze von Sylow u.a. aus, dass es zu den Primzahlpotenzen, die die Gruppenordnung teilen, auch Untergruppen mit dieser Ordnung gibt.

Diese Sätze von Sylow dienen also zum Finden und Charakterisieren von Untergruppen in gegebenen Gruppen.


Diese Sätze sind, wie gesagt, in den verschiedensten Abwandlungen in Verwendung. So wird oftmals beim ersten Satz nur bewiesen, dass es mindestens eine Untergruppe der Ordnung p^k gibt. Die Kongruenz selbst wird dabei selten erwähnt, weil meistens nur das spezielle Resultat gebraucht wird, dass es mindestens eine dieser Untergruppen gibt. Oder aber die Kongruenz wird nur für die Sylowgruppen bewiesen, d.h. für den Spezialfall a=k.

Ebenso wird manchmal der zweite Teil weggelassen, weil er nicht so oft Anwendung findet.
Ich habe mich entschieden, die allgemeinste, mir bekannte Version der Sylow-Sätze hier zu beweisen, auch wenn die anderen Versionen vielleicht einfacher zu beweisen sind.

 
Der erste Satz von Sylow



Zum Beweis des ersten Satzes von Sylow brauchen wir vier Hilfsaussagen:

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Der zweite Satz von Sylow



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Der dritte Satz von Sylow



Nachdem uns die ersten beiden Sätze viel Anstrengung und einiges Kopfzerbrechen gekostet haben, bekommen wir den dritten Satz von Sylow praktisch geschenkt:
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Anwendungen der Sätze von Sylow



Wir wollen uns jetzt einmal mit einigen typischen Anwendungen der Sätze von Sylow beschäftigen ...

Die einfachste Anwendung ist der sogenannte Satz von Cauchy:
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Das konnte man bereits in Kapitel II und III nachlesen. Im zweiten Teil des Gruppenzwangs wurde bewiesen, dass Gruppen von Primzahlordnung zyklisch sind, was wir hier ja mehrmals verwendet haben. Außerdem wurde in Kapitel III bewiesen, dass das direkte Produkt zyklischer Gruppen genau dann zyklisch ist, wenn die Ordnungen teilerfremd sind (was 7, 13 und 19 ja offensichtlich sind).

 
Abschluss



Mit den Sätzen von Sylow hat man ein mächtiges Mittel zur Untersuchung von Gruppen gefunden. Mit ihrer Hilfe sind vielseitige Untersuchungen von Gruppen möglich. Die Bestimmung der möglichen Isomorphietypen, wie wir sie durchgeführt haben, wäre ohne Sylow praktisch nicht möglich.


Und nach den vielen, vielen, vielen Namensverwirrungen möchte ich nur noch sagen:

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Die Gruppenzwang-Reihe



Teil 1: Wir rechnen mit allem
Teil 2: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an
Teil 3: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier
Teil 4: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten
Teil 5: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP
Teil 6: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
Teil 7: Gruppen sind immer noch top!
Teil 8: Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs
Teil 9: Unfall im Genlabor: (Per)mutationen in der Bevölkerung
Teil 10: Jäger der verlorenen Gruppe - Special Xtended Version
Teil 11: Der Gruppentheorie-Adventskranz
Teil 12: Wegen guter Führung entlassen: Gruppen sind frei
Teil 13:  Amnestie: Auch Untergruppen frei

 
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: Gruppentheorie :: Algebra :: Reine Mathematik :: Mathematik :
Gruppenzwang V: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP [von Gockel]  
Einführung in das Konzept der Gruppenoperation mit Beweis der Bahnformel, das Zentrum von p-Gruppen ist nichttrivial, Beweis der Sylow-Sätze
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
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" Mathematik: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP" | 6 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP
von Martin_Infinite am Mi. 15. Dezember 2004 23:00:32


Hi Gockel,
 
du hast es auf den Punkt gebracht: Die Sätze von Sylow sind ein mächtiges Mittel zur Untersuchung von Gruppen. Dafür muss man aber - das hat man ja gesehen wink - ebenso mächtige Beweise auf sich nehmen. Gerade zu köstlich ist dann
 
Nachdem uns die ersten beiden Sätze viel Anstrengung und einiges Kopfzerbrechen gekostet haben, ...
 
Aber es lohnt sich, in jedem Falle!

Vielen Dank für diesen Artikel!
 
 Gruß
Martin

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Re: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP
von felixdamrau am Di. 11. Januar 2005 16:32:50


Dein Artikel ist echt prima! Ich habe bisher zwar nur Nummer 5 gelesen, aber der ist prima. Ich höre gerade etwas Mathe an der Uni und da ist dein Artikel eine tolle Hilfe!
Danke!

Ich freu mich schon auf einen Artikel über Frobenius? oder war es Shcwarz? Verbesserung der Sylow-Sätze, wenn darüber ein Artikel kommt. Würde mich freuen!

Felix

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Re: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP
von Gockel am Di. 11. Januar 2005 18:03:03


Hi.

Von Frobenius und Schwarz habe ich schonmal gehört, aber inwiefern haben sie die Sylowsätze "verbessert"? Die einzige Verallgemeinerung, die mir bekannt ist, sind die Sätze von Hall, die von einer Primzahl p auf eine Menge von Primzahlen verallgemeinern...

mfg Gockel.

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Re: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 05. Dezember 2011 18:48:23


Hab deinen Artikel gerade durchgearbeitet, weil er um einiges klarer formuliert ist als das Skript unseres Profs.
Allerdings bin ich im 1. Sylow über eine Inklusion gestolpert, die ich auch nach langem Nachdenken nicht einsehen konnte.
Warum gilt
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im 2. Lemma.
Für Antworten wär ich sehr dankbar.
mfg

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Re: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP
von Gockel am Mo. 05. Dezember 2011 19:29:54


Hi Anonymous.

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mfg Gockel.

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Re: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP
von Xaving am Mi. 01. Februar 2017 13:59:42


Danke für diese Artikel.
In der zweite Satzt von Sylow, ist es nicht
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statt
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