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Stern Mathematik: Ein wenig Geometrie
Freigegeben von matroid am Mi. 15. Dezember 2004 23:33:46
Verfasst von Zaos -   4993 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

Ein wenig Geometrie

In diesem Artikel möchte ich Euch, liebe Planetarier, einige schöne Anwendungen der Topologie in der Geometrie und auch im Alltag vorstellen. Als "Höhepunkt" werde ich die Frage beantworten, ob es immer möglich ist, dass man ein belegtes Brötchen, ganz egal wie die Teile aufeinander liegen, gerecht aufteilen kann, das heißt, dass man einen geraden Schnitt machen kann, so dass alle drei Komponenten des Brötchens gleichzeitig in zwei massengleiche Teile geschnitten werden.

Dabei sollte man sich nicht vorher schon durch den Begriff "Topologie" abschrecken lassen. Ich werde keine schweren Details aufführen, sondern eher anschaulich argumentieren. Auf diese Weise möchte ich euch Einblicke in die Welt der geometrischen Topologie vermitteln.

Der Satz von Borsuk-Ulam


In diesem Abschnitt formuliere ich den Satz von Borsuk-Ulam. Ich beweise ihn jedoch nicht, weil das nicht der Sinn des Artikels ist. Darüberhinaus ist die Maschinerie, die der Beweis benötigt, zu umfangreich, so dass dafür ein eigener Artikel nötig wäre.

Zunächst aber folgende Standard-Definition aus der Topologie.

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Von nun an werden wir uns durchgängig nur mit der Dimension 3 beschäftigen. Wenn ich also Sphäre schreibe, meine ich die zweidimensionale Sphäre - die Oberfläche der dreidimensionalen Kugel.

Überdeckung der Sphäre


Jeder von uns kennt Tennisbälle. Sie sind aus zwei Filzstücken zusammengesetzt. Nun ist es so, dass jedes dieser Stücke jeweils mindestens ein Paar antipodaler Punkte besitzt. (in Wirklichkeit ganz viele). Wir denken uns dabei, dass die "Nahtstellen", also die Stellen, die beide Flächen berühren, zu beiden Flächen zählen. Mathematisch ausgedrückt, sind diese beiden Teile zwei abgeschlossene Teilmengen der Sphäre, die selbige überdecken. Dabei heißt "abgeschlossen" anschaulich, dass die Menge ihren Rand enthält und "überdeckt" bedeutet, dass die Vereinigung dieser beiden Mengen die ganze Sphäre ergibt. Man kann sich leicht überlegen, dass wenn zwei abgeschlossene Teilmengen A und B die Sphäre überdecken, mindestens eine der beiden Mengen ein Paar antipodaler Punkte besitzt. Es ist erstaunlich, dass diese Tatsache auch mit drei Mengen funktioniert und genau das beweisen wir nun mit Hilfe des Satzes von Borsuk-Ulam.

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Belegte Brötchen



Nun kommen wir auf die in der Einleitung angesprochene Fragestellung. Angenommen man möchte ein belegtes Brötchen mit einem Schnitt so aufteilen, dass alle einzelnen Teile jeweils in zwei massegleiche Anteile geschnitten werden. Die fairste Aufteilung also, die man sich vorstellen kann. Um dieses Problem exakter zu formulieren benötigen wir eine

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Man kann im gesamten Beweis "volumengleich" durch "massegleich" ersetzen, indem man ein Integral bezüglich eines Dichtemaßes betrachtet. Man muss ja nicht annehmen, dass die Massen gleichverteilt sind, was bei Brötchen und Belag ja durchaus nicht der Fall ist.
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Ich muss zugeben, dass alle Sätze Existenzsätze sind. Der Satz von Borsuk-Ulam gibt keine Konstruktion der antipodalen Punkte an. Der praktisch veranlagte Mathematiker mag das vielleicht als unbefriedigend empfinden, und er setzt sich ran, um diese Punkte zu approximieren... Was macht man lieber: einen Gott konstruieren, oder die (Nicht-)Existenz von einem Gott beweisen ;-)

Ich persönlich finde diese Existenzsätze höchst ästhetisch, daher wollte ich euch daran teilhaben lassen. Ich hoffe mir ist die Demonstration des Einsatzes der Topologie in anschaulichen Fragestellungen gelungen.

Schließlich sei für den Interessierten gesagt, dass der Satz von Borsuk-Ulam in der Dimension 2 schon mit der Theorie der Fundamentalgruppen und in beliebiger Dimension mit der Homologie-Theorie leicht bewiesen werden kann.


Nachtrag
Ein Beweis des letzten Satzes für die allgemeinste Version (so wie er formuliert ist)

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: Mathematik :: Topologie :: Borsuk-Ulam :: Sonstige Mathematik :
Ein wenig Geometrie [von Zaos]  
In diesem Artikel möchte ich Euch, liebe Planetarier, einige schöne Anwendungen der Topologie in der Geometrie und auch im Alltag vorstellen. Als "Höhepunkt" werde ich die Frage beantworten, ob es immer möglich ist, dass man ein belegtes Brötchen, ganz egal wie die Teile aufei
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" Stern Mathematik: Ein wenig Geometrie" | 16 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Ein wenig Geometrie
von micro am Do. 16. Dezember 2004 00:10:07


Jaja, der Zaos... :-))

Habs nur mal überflogen... kann heute nicht wirklich denken... frown

Hättest mal zeigen sollen, dass blöde Brötchen immer auf die Marmeladenseite fallen... wink

Freue mich schon auf Dienstag... Wird sicher wieder lustig.

Bis dahin, take care, und pass auf, dass Du Dich nicht in ner Kreuzkappe verrennst wink

  mic

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Re: Ein wenig Geometrie
von cow_gone_mad am Do. 16. Dezember 2004 00:21:27


Hallo Zaos,

jetzt haben wir zwei Zerleger auf dem Matheplaneten. Du und shadowking, der hier eine andere Methode vorgeschlagen hat Ähnliches zu vollbringen. Allerdings braucht man bei dir weniger Schnitte, und keine Verschiebungen. Allerdings kommt bei dir auch weniger raus. Aber deine Beweise sind zumindest mir deutlich klarer.

Meiner Meinung nach ein sehr schönen Artikel. Ein Kompliment hierfür.

Liebe Grüsse,
cow_

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Re: Ein wenig Geometrie
von Eckaaaaaat am Do. 16. Dezember 2004 10:33:19


Für das Problem eine Teilung zu finden kann man auch einen konstruktiven Beweis angeben.

Für die Menge A wurde ausgenutzt, daß eine Ebene durch den Schwerpunkt, diese in zwei gleiche Teile zerlegt. Das gilt natürlich ebenso für die Mengen B und C. Und zu drei Punkten läßt sich immer eine Ebene finden, die diese Enthält. Liegen die Punkte nicht gerade auf einer geraden ist das sogar noch eindeutig - was will man mehr.

Nachteil der Methode ist natürlich, daß du dann ja nix von der Topologie hättest erzählen können. Interessant an der Topologie sind ja gerade die Methoden mit denen Argumentiert wird - und davon hast du einige gut dargestellt.



Alex

Wo war ich jetzt eigentlich noch stehengeblieben: Achja, ich wollte einen Gott konstruieren.

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Re: Ein wenig Geometrie
von matroid am Do. 16. Dezember 2004 10:56:16


Hi Zaos,

der 'Brötchensatz' ist für mich höchst erstaunlich. Mein erster Impuls: Sofort ein Gegenbeispiel suchen! Ganz einfach, dachte ich: nimm zwei Kugeln und lege eine Ebene hindurch, so daß die Volumina halbiert sind. Dann lege eine dritte Kugel anderswo in den Raum.
Hmm, klar die eine tut's nun nicht mehr, aber es gibt ja viele Ebenen. Hmm!
Und nun sehe ich, wie gut dieser Satz ist. Was ein so unanschaulich werdendes Problem ist, das wird durch diesen schönen Satz leicht handhabbar. Danke für die gelungene Darstellung.

Gibt es Erkenntnisse, ob bzw. wann man nur genau eine solche Trennebene finden kann?

Gruß
Matroid

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Re: Ein wenig Geometrie
von Zaos am Do. 16. Dezember 2004 14:42:50


Hallo zusammen,

@Alex
Das stimmt natürlich. Für diesen Satz benötigt man eigentlich keine Topologie. Aber Du hast es richtig erkannt: Es ging mir in erster Linie um die Anwendungen. Und was Ich interessant finde ist die Art und Weise der Argumentation im ganzen Artikel.
Das mit der Eindeutigkeit ist ein guter Punkt. Borsuk-Ulam sagt nichts über die Eindeutigkeit aus.
Zum Kommentar mit "Gott konstruieren": Das war eher allgemein auf die typischen Existenzsätze der Topologie bezogen, nicht speziell auf den 'Brötchensatz'.  wink War aber auch eher als Spaß gemeint.
Es gibt aber auch konstruktive Ansätze in der Topologie, so ist es nicht....

@matroid
zur Eindeutigkeit: siehe Alex' Kommentar.

gruß
Zaos

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Re: Ein wenig Geometrie
von shadowking am Do. 16. Dezember 2004 15:46:56


Hallo zusammen,

ich finde Zaos' Artikel sehr gelungen, und einen Artikel zu dem
einen oder anderen topologischen Satz - Brouwerscher Fixpunktsatz,
Haariger-Ball-Satz oder so - hatte ich mir insgeheim auch gewünscht.
Vielen Dank also.

fed-Code einblenden

Mit dem vollen topologischen Apparat läßt sich der Brötchensatz
aber für beliebige kompakte und messbare Gebiete zeigen, und
eben dort liegt der Vorteil der topologischen Methoden.

Gruß Norbert

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Re: Ein wenig Geometrie
von Zaos am Do. 16. Dezember 2004 18:52:20


Hi Norbert,

richtig, da muss ich zugegeben, dass ich bei diesem Beweis ein bisschen geschlampt habe. Die Mengen müssen konvex vorausgesetzt werden. Da habe Ich mich zu sehr von der Anschauung leiten lassen und an belegte Brötchen gedacht. (Vielleicht war ich ja gestern so hungrig, weiß ich nicht mehr). Mir ist es nicht aufgefallen. Es gibt auch einen Beweis, der die allgemeine Version -so wie Ich den Satz formuliert habe- wirklich beweist. Ich füge diesen jetzt an. (Mal sehen, ob Ich es hinkriege, ihn den Artikel hinzuzufügen.)

Gruß
Zaos

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Re: Ein wenig Geometrie
von Zaos am Do. 16. Dezember 2004 19:51:46


Ok, der Beweis ist fertig. Wir müssen nur auf Matroid warten, bis er das abgesegnet hat.

In dieser Allgemenheit funktioniert demnach Alex' Konstruktion nicht. Auch was die Eindeutigkeit angeht wirds jetzt schwieriger. Es ist die gleiche Frage, ob die antipodalen punkte im Satz von Borsuk-Ulam eindeutig gewählt werden können. Da gibt es im Allgemeinen sehr viele mögliche Lösungen. Ein Beispiel in der Situation des Borsuk-Ulam-Satzes, wo man wirklich nur ein einziges Paar antipodaler Punkte finden kann sei hier beschrieben. Man projiziere die Sphäre auf die Ebene. Das heißt bei allen Punkten der Sphäre wird die z-Komponente auf 0 gesetzt. Dies ist eine stetige Abbildung der Sphäre in die Ebene. Man sieht dann leicht, dass der "Nord-" und "Südpol" das einzige Paar antipodaler Punkte bildet, welche auf das selbe abgebildet wird.

Ich hatte im Artikel die Bemerkung gemacht, dass Ich mir noch nicht überlegt habe, ob ein analogar Satz für die projektive Ebene gilt. Mir ist aber jetzt aufgefallen, dass es dort keinen Sinn macht von antipodalen Punkten zu sprechen. Man kann auf nicht orientierbaren Flächen nicht klassisch integrieren, und daher gibts keine sinnvolle Definition vom geometrischen Schwerpunkt. Jedenfalls nicht, dass Ich wüßte.

Gruß
Zaos

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Re: Ein wenig Geometrie
von shadowking am Fr. 17. Dezember 2004 00:15:34


Hallo nochmals!

fed-Code einblenden
 

Die Mathematik zeigt also, dass sogar zwei "göttliche" Idealvorstellungen
möglich sind: einerseits die beliebige Vervielfältigung materieller Güter
mit dem Auswahlaxion, andererseits eine in jeder Hinsicht gerechte Teilung
mit Hilfe der Topologie.
Leider sind in beiden Fällen nur Existenzsätze möglich; nach der
Realisation wird die Menschheit also wohl noch etwas suchen müssen.

Gruß Norbert

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Re: Ein wenig Geometrie
von Gonzbert am Fr. 17. Dezember 2004 16:00:25


Hallo!

Ich finde diesen Artikel wirklich gut gelungen!! Es ist schön anschaulich erklärt, so das man auch als Laie die Chance hat mitzukommen!

Viele Grüße

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Re: Ein wenig Geometrie
von Zaos am Sa. 18. Dezember 2004 00:53:16


@Gonzbert

vielen Dank. Das hört man gerne. Genau das war auch mein Ziel: Jedem "Laien", wie Du es sagst, was zu bieten.

@Norbert

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Re: Ein wenig Geometrie
von shadowking am Sa. 18. Dezember 2004 13:07:50


Tja, das habe ich wohl übersehen. Ich halte es aber nicht für so
schlimm: Schließlich hat man in der um 1 höheren Dimension auch
eine Schnittebene um 1 höherer Dimension, die kompakte messbare
Gebiete um 1 höherer Dimensionen teilen kann. Statt der
Maßfunktion für den Rn nimmt man dann die für den Rn+1.
Da man von der Maßfunktion nur die Stetigkeit benötigt, die ja auch
im höherdimensionalen Fall gewährleistet ist, müsste der Beweis
eigentlich halten. Aber es spielt keine Rolle; ich habe nur zuerst
eine Idee gehabt, die ich darstellen wollte; nun ist doch etwas
Längliches und Häßliches draus geworden.

Gruß Norbert

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Re: Ein wenig Geometrie
von Diffform am Sa. 18. Dezember 2004 15:45:46


Hallo Zaos,

ein schöner Artikel, irgendwie mag ich solche geheimnisvollen Sätze...
Auf jeden Fall gut zu lesen, und sehr schön und anschaulich erklärt!

Gruß, Bastl

P.S. Achja, und ich hab gerade den Kategorienartikel entdeckt, als ich dir zu deinem ersten Artikel gratulieren wollte wink
Den werd ich gleich mal lesen!

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Re: Ein wenig Geometrie
von Zaos am Mo. 20. Dezember 2004 00:05:04


@Norbert

Schade, dass diese "Kleinigkeit" den Beweis in Unlängen zieht, denn deine Beweisidee gefällt mir!

@Difform
vielen Dank. Du hast den anderen Artikel erst jetzt entdeckt?? ich dachte Du kennst ihn schon.  wink

gruß
Zaos

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Re: Ein wenig Geometrie
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 14. Januar 2008 17:05:44


Wow!

Ein absolut gelungener Artikel.
Vielen Dank dafuer.

Zwarn

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Re: Ein wenig Geometrie
von helmetzer am Mi. 01. November 2017 12:50:25


Wieso muss ein belegtes Brötchen aus 3 "Teilen" bestehen?

Brötchen, Salami, Käse, Gewürzgurke.

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