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Mathematik: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
Freigegeben von matroid am Sa. 19. Februar 2005 20:52:24
Verfasst von Gockel -   8563 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

\(\begingroup\)

 
Gruppenzwang VI

Als großes "Überziel" über den meisten Algebra-Vorlesungen an der Uni steht nicht selten die so genannte Galoistheorie, mit deren Hilfe es u.A. möglich ist zu bestimmen, ob eine gegebene Polynomgleichung durch Radikale auflösbar ist oder nicht, d.h. ob sich die Nullstellen des Polynoms mit den vier Grundrechenarten und Wurzelausdrücken darstellen lassen.
Genau diese Eigenschaft wollen wir in diesem Teil des Gruppenzwangs unter die Lupe nehmen, auch wenn (und gerade weil) es auf den ersten Blick nichts mit Gruppen zu tun hat.

 
Und was hat das nun mit Gruppen zu tun?



Diese Eigenschaft der Auflösbarkeit von Polynomen ist eng an die so genannten Galoisgruppen geknüpft. Insbesondere ist nämlich ein Polynom genau dann durch Radikale auflösbar, wenn die zugehörige Galoisgruppe "auflösbar" ist.
Diese Beziehung zu beweisen, liegt außerhalb der Möglichkeiten dieses Artikels, weil die gruppentheoretischen Grundlagen alleine dafür nicht ausreichen. Man benötigt weiteres, algebraisches Grundwissen, z.B. über Polynomringe und Körpererweiterungen. Wir können und werden uns aber mit der Gruppeneigenschaft der "Auflösbarkeit" beschäftigen.

Fangen wir einfach an... was bedeutet Auflösbarkeit eigentlich??

 
(Sub)Normalreihen


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Faktoren von (Sub)Normalreihen und Auflösbarkeit


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Erste Schritte



Für die Untersuchung der Auflösbarkeit sind einige Definitionen sehr wichtig und nützlich:

 
Isomorphie von Subnormalreihen


Dem wollen wir uns zuerst widmen, denn wie bei anderen Objekten in der Mathematik gibt es an Subnormalreihen interessante und weniger interessante Aspekte, von denen der Mathematiker natürlich am liebsten die interessanteren betrachtet.
Dies sind natürlich bei Subnormalreihen die Faktoren, denn sie entscheiden über die gesuchte Auflösbarkeit. Wie wir oben gesehen (nagut... definiert) haben, ist die Auflösbarkeit nur von der Struktur dieser Faktoren abhängig, nicht von ihrer Reihenfolge.
Was liegt also näher, also Isomorphie für Subnormalreihen zu definieren, wenn sie sich nur in der Reihenfolge der Faktoren unterscheiden:
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Wie auch bei anderen Strukturen ist der Isomorphiebegriff eine Äquivalenzrelation, was man leicht nachrechnen kann, wenn man möchte. Ich möchte aber nicht, also machen wir weiter:

 
Verfeinerungen


Wie wir gesehen haben, kann eine Gruppe mehrere Subnormalreihen haben. Einige davon sind isomorph, andere sind wiederum so genannte "Verfeinerungen". Eine Verfeinerung ist im Prinzip nichts anderes, als das Einfügen von zusätzlichen Folgengliedern, sodass die Subnormalreihe verlängert wird.
Formal bedeutet das:
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Die Sätze von Schreier und Jordan-Hölder



Mit dem Wissen über Isomorphien und Verfeinerungen können wir nun zwei wichtige Sätze über Subnormalreihen formulieren und beweisen:
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Mit Kenntnis dieses Satzes können wir einen weiteren wichtigen formulieren und beweisen, nämlich den Satz von Jordan-Hölder, was uns auch wesentlich einfacher fallen wird.
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Kommutatoren



Wie so oft führen viele Wege zum Ziel. Einer der wichtigsten Wege zur Untersuchung von Auflösbaren Gruppen sind die Kommutatoren.
Schauen wir uns doch gleich mal an, was das ist und was das bringt:

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Die Kommutator-Reihe


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Nützliches für Gruppentherapeuten


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Gerade letzteres wird oft für Beweise verwendet, das es sich damit geradezu aufdrängt, eine Induktion über die Ordnung durchzuführen. Wenn man zeigen möchte, dass ein bestimmter Typ von Gruppen auflösbar ist (üblich sind z.B. die Vorgabe bestimmter Arten von Primfaktorzerlegungen der Gruppenordnung), dann kann man das dadurch tun, dass man annimmt, alle Gruppen dieses Typs mit einer Ordnung

 
Nilpotente und p-Gruppen



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Das heißt vor allem natürlich, dass Gruppen mit der Kardinalität pk auch auflösbar sind. Mit etwas mehr Aufwand kann man auch beweisen, dass Gruppen mit der Kardinalität pkq für zwei Primzahlen p und q auflösbar sind (was schon mal Hier im Forum ausführlich bewiesen wurde).
Mit Hilfe der so genannten Darstellungstheorie kann man dann auch noch den Satz von Burnside beweisen, der besagt, dass sogar jede Gruppe der Kardinalität paqb auflösbar ist. (Es gibt auch einen anderen Satz der "Satz von Burnside" genannt wird. Dieser behandelt verschiedene Äquivalenzen für nilpotente Gruppen, siehe dazu Hier im Forum oder in diesem Artikel)
Darstellungstheorie wird auch im (sehr schweren) Satz verwendet, dass sogar jede Gruppe ungerader Ordnung auflösbar ist. Dieser Satz wurde 1963 von J.Thompson und W.Feit auf 254 Seiten bewiesen.
Während der paqb-Satz von Burnside auch einen (etwas umständlichen) gruppentheoretischen Beweis hat, ist für den Satz von Feit-Thompson bisher nur der darstellungstheoretische Beweis bekannt.

 
Abschluss



So, ich hoffe ich habe euch einen kurzen Einstieg in die Theorie der Subnormal-, Normal- und Zentralreihen gegeben
Wie gesagt, spielt die Auflösbarkeit und die Nilpotenz von Gruppen in der Algebra eine sehr wichtige Rolle.
Mit den hier (hoffentlich) erworbenen Wissen hat man aber einen Einstieg in die Vielzahl der Theoreme, die sich da vor einem auftun. Wer Spaß an Algebra hat, dem sei dieses Gebiet auf jeden Fall empfohlen, es bietet sehr viel Interessantes

So das war's erstmal von mir. Bis zum nächsten Teil des Gruppenzwangs.

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Die Gruppenzwang-Reihe



Teil 1: Wir rechnen mit allem
Teil 2: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an
Teil 3: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier
Teil 4: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten
Teil 5: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP
Teil 6: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
Teil 7: Gruppen sind immer noch top!
Teil 8: Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs
Teil 9: Unfall im Genlabor: (Per)mutationen in der Bevölkerung
Teil 10: Jäger der verlorenen Gruppe - Special Xtended Version
Teil 11: Der Gruppentheorie-Adventskranz
Teil 12: Wegen guter Führung entlassen: Gruppen sind frei
Teil 13:  Amnestie: Auch Untergruppen frei

 
Dieser Artikel ist enthalten in unserem Buch

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Gruppenzwang VI: Gruppendemo musste aufgelöst werden [von Gockel]  
Subnormalreihen und Ausflösbarkeit werden hier besprochen
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" Mathematik: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden" | 13 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
von Martin_Infinite am Sa. 19. Februar 2005 22:29:33

\(\begingroup\)
Hi Gockel,
 
(schon wieder) ein sehr interessanter und schön geschriebener Artikel! Und der Titel zeugt auch wieder von ultra-lustig-kreativem smile
 
Ich möchte noch inhaltlich ein wenig zum Thema beitragen biggrin
 
-------------------------------------------------------------
 
Eine beliebte Übungsaufgabe ist, dass alle Gruppen der Ordnung < 60 auflösbar sind. Der Beweis findet sich hier. Eine nicht-auflösbare Gruppe der Ordnung 60 ist zB A5.

Dieser Thread war damals der Höhepunkt meiner Beschäftigung mit auflösbaren Gruppen, und zugleich der mathematische Höhepunkt überhaupt, weil am nächsten Tag wieder die Schule losging frown Gockel, das war so ein Mega-Chat an dem Tag! Gruppen-OP mit Dr. Sylow, Dr.Ad.Ven, Irrlicht und einem Azubi biggrin
 
In dem Link werden drei Gruppen-Therapien vorgestellt:
 
1. Dr. Sylow rufen.
2. Elemente der Sylowgruppen abzählen, um evtl. Widerspruch zu erhalten
3. G/N und N auflösbar -> G auflösbar (das hast du oben ja bewiesen)
 
Du hast mir ja noch eine 4. erzählt:
 
4. Wenn es genau n p-Sylowgruppen gibt und G einfach ist, so ist |G| ein Teiler von n!.
 
Dafür betrachte lasse man G auf den p-Sylowgruppen durch Konjugation operieren und betrachte den entstehenden Homomorphismus G -> Sn. Wie sieht wohl sein Kern aus?
 
Bei der Auflösbarkeit von Sn hat man ja gesehen, dass die Einfachheit für die Auflösbarkeit interessant sein kann.
 
-------------------------------------------------------------
 
Du hast geschrieben, dass (S4)'=A4 ist. Das gilt auch allgemein:
 
fed-Code einblenden
 
-------------------------------------------------------------
 
fed-Code einblenden
 
-------------------------------------------------------------
 
Noch etwas zu den Reihen.
 
Hier geht es um die absteigende Zentralreihe der Diedergruppe.
 
Hier ging es um den Zusammenhang zwischen der ab- un der aufsteigenden Zentralreihe. Die Definitionen finden sich auch da.
 
So Gockel, ich glaube, jetzt haben wir hier das ganze MP-Wissen zum Thema zusammengefasst wink
 
Ungeklärte Fragen zum Thema finden sich hier,
 
 Gruß
Martin\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
von Gockel am So. 20. Februar 2005 00:27:13

\(\begingroup\)
Hi Maddin.

Danke für das Lob und die umfangreiche Datensammlung. Da kann ich seit eben auch ein bissel was zu steuern, da ich nun einen Beweis dafür habe, dass Gruppen der Ordnung pqr (mit p,q,r prim) auflösbar sind:

Vorrausetzung dafür sind die Sätze, dass p-Gruppen und Gruppen der Kardinalität pnq auflösbar sind, sowie der Satz, dass eine Gruppe genau dann auflösbar ist, wenn eine Faktorgruppe auflösbar ist.

fed-Code einblenden

Das so als kleiner Zusatz für Interessierte.

mfg Gockel.\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
von Martin_Infinite am So. 20. Februar 2005 01:24:43

\(\begingroup\)
Hi Gockel,
 
schöner Beweis! Da kommen alle Wege zusammen smile
 
fed-Code einblenden

 Gruß
Martin\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
von Martin_Infinite am So. 20. Februar 2005 04:20:31

\(\begingroup\)
Ich habe mir mal die Gruppenordnungen <= 150 vorgenommen. Fast alle sind auflösbar. Für 60 kommt A5 als nicht-auflösbare Gruppe in Frage. Ansonsten sind mit den Sätzen, dass Gruppen der Ordnung pkq und pqr mit Primzahlen p,q,r auflösbar sind, nur noch die folgenden Ordnungen kritisch:
 
72 = 2·2·2·3·3
84 = 2·2·3·7
90 = 2·3·3·5
100 = 2·2·5·5
108 = 2·2·3·3·3
120 = 2·2·2·3·5
126 = 2·3·3·7
132 = 2·2·3·11
140 = 2·2·5·7
144 = 2·2·2·2·3·3
150 = 2·3·5·5
 
Welche sind auflösbar, welche nicht? [ohne Verwendung des Satzes von Burnside]\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
von Gockel am So. 20. Februar 2005 15:03:49

\(\begingroup\)
Hi Maddin.

Wie kommst du drauf, dass die Primzahlfälle auch ausgeschlossen werden können?

72 besitzt wegen dem Trick mit der OP auf den 3-Sylowgruppen schonmal einen Normalteiler mit mindestens 3 Elementen. Einziger noch nicht durch pnq und pqr abgedeckter Fall wäre |N|=2232=36.
Man kann aber durch Abzählen der Elemente zeigen, dass auch dieser auflösbar ist. Also ist N auflösbar G/N auch => G auflösbar.

84 ist auflösbar, weil die 7-Sylowgruppe normal ist.

<u style="color:ff0000">90 ist noch kritisch, weil ich z(3)=10 und z(5)=6 nicht ausschließen kann.

100 ist auflösbar, weil die 5-Sylowgruppe normal ist.

108 hat wegen der OP auf den 3-Sylowgruppen einen Normalteiler mit |N|>=3. Der einzige Fall ist hier wie oben wieder 2232. Alle andern fallen unter pqr oder pnq. Damit werden N und G/N auflösbar.

120 ist wegen S5 nicht allgemein auflösbar.

126 ist auflösbar, weil die 7-Sylowgruppe normal ist.

132 hat ebenfalls wegen der OP auf den 3-Sylowgruppen einen Normalteiler mit |N|>=11. Hier gibt es keine kritischen Fälle. Alles pq oder pqr.

140 ist auflösbar, weil die 7-Sylowgruppe normal ist.

<u style="color:ff0000">144 ist noch kritisch, weil z(3)=16 und z(2)=9 irgendwie nicht so richtig ausgeschlossen werden kann.

150 hat wegen der OP auf den 5-Sylowgruppen einen Homomorphismus nach S6. Der entsprechende Kern muss |N|>=5 erfüllen. Alle Fälle sind pq oder pqr. Also ist 150 auch auflösbar.


Okay, bleiben noch zwei kritische...

mfg Gockel.\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
von Martin_Infinite am So. 20. Februar 2005 15:17:06

\(\begingroup\)
Hi Gockel,
 
ich wollte eben auch anfangen, einen solchen Kommentar zu schreiben biggrin
 
Was mir nicht so klar ist: 132.
 
Wenn wir Triviales ausschließen, gibt es 12 11-Sylowgruppen. Jetzt bringt aber die OP nix, weil 12! von 132 geteilt wird.

 Gruß
Martin\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
von Gockel am So. 20. Februar 2005 15:20:14

\(\begingroup\)
Hi Maddin.

Ich sagte, dass wir auf den 3-Sylowgruppen operieren und davon (vom Trivialfall abgesehen) 4 Stück. Jetzt haben wir einen Homomorphismus nach S4 und 4! wird ganz eindeutig nicht von 132 geteilt.

mfg Gockel.\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
von Martin_Infinite am So. 20. Februar 2005 15:23:09

\(\begingroup\)
Hi Gockel,
 
okay, wer lesen kann, ist klar im Vorteil frown
 
Aber warum sollte es nicht 22 3-Sylows geben?
 
GAP gibt dir da auch Recht:
 

gap> SmallGroupsInformation(132);

  There are 10 groups of order 132.
  They are sorted by their Frattini factors.
     1 has Frattini factor [ 66, 1 ].
     2 has Frattini factor [ 66, 2 ].
     3 has Frattini factor [ 66, 3 ].
     4 has Frattini factor [ 66, 4 ].
     5 - 10 have trivial Frattini subgroup.

  For the selection functions the values of the following attributes
  are precomputed and stored:
     IsAbelian, IsNilpotentGroup, IsSupersolvableGroup, IsSolvableGroup,
     LGLength, FrattinifactorSize and FrattinifactorId.

  This size belongs to layer 2 of the SmallGroups library.
  IdSmallGroup is available for this size.
 
gap> S:=i->IsSolvable(SmallGroup(132,i));
function( i ) ... end
gap> S(1);
true
gap> S(2);
true
gap> S(3);
true
gap> S(4);
true
gap> S(5);
true
gap> S(6);
true
gap> S(7);
true
gap> S(8);
true
gap> S(9);
true
gap> S(10);
true
gap>

 
Noch zu deinem pqr-Beweis: pqr teilt weder p!, noch q!, noch r!.

 Gruß
Martin\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
von Gockel am So. 20. Februar 2005 15:29:10

\(\begingroup\)
Hi Maddin.

pqr teilt sehr wohl r!, denn aufgrund p<q<r stecken p und q als Faktoren in r! mit drin.
Du hast aber recht, dass es weder p! noch q! teilt.

mfg Gockel.\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
von Martin_Infinite am So. 20. Februar 2005 15:47:33

\(\begingroup\)
Okay, ich gebe mich geschlagen *g*
 
Gruppen der Ordnung 90 oder 144 sind wohl auflösbar:
 
gap> SmallGroupsInformation(90);
 
  There are 10 groups of order 90.
  They are sorted by their Frattini factors.
     1 has Frattini factor [ 30, 1 ].
     2 has Frattini factor [ 30, 2 ].
     3 has Frattini factor [ 30, 3 ].
     4 has Frattini factor [ 30, 4 ].
     5 - 10 have trivial Frattini subgroup.
 
  For the selection functions the values of the following attributes
  are precomputed and stored:
     IsAbelian, IsNilpotentGroup, IsSupersolvableGroup, IsSolvableGroup,
     LGLength, FrattinifactorSize and FrattinifactorId.
 
  This size belongs to layer 2 of the SmallGroups library.
  IdSmallGroup is available for this size.
 
gap> i:=1;
1
gap> while i<10 and IsSolvable(SmallGroup(90,i)) do
> i:=i+1;
> od;
gap> i;
10
gap> SmallGroupsInformation(144);
 
  There are 197 groups of order 144.
  They are sorted by their Frattini factors.
     1 has Frattini factor [ 6, 1 ].
     2 has Frattini factor [ 6, 2 ].
     3 has Frattini factor [ 12, 3 ].
     4 - 19 have Frattini factor [ 12, 4 ].
     20 - 27 have Frattini factor [ 12, 5 ].
     28 has Frattini factor [ 18, 3 ].
     29 has Frattini factor [ 18, 4 ].
     30 has Frattini factor [ 18, 5 ].
     31 - 33 have Frattini factor [ 24, 12 ].
     34 - 36 have Frattini factor [ 24, 13 ].
     37 - 46 have Frattini factor [ 24, 14 ].
     47 - 50 have Frattini factor [ 24, 15 ].
     51 has Frattini factor [ 36, 9 ].
     52 - 67 have Frattini factor [ 36, 10 ].
     68 has Frattini factor [ 36, 11 ].
     69 - 84 have Frattini factor [ 36, 12 ].
     85 - 100 have Frattini factor [ 36, 13 ].
     101 - 108 have Frattini factor [ 36, 14 ].
     109 has Frattini factor [ 48, 48 ].
     110 has Frattini factor [ 48, 49 ].
     111 has Frattini factor [ 48, 50 ].
     112 has Frattini factor [ 48, 51 ].
     113 has Frattini factor [ 48, 52 ].
     114 has Frattini factor [ 72, 39 ].
     115 - 119 have Frattini factor [ 72, 40 ].
     120 has Frattini factor [ 72, 41 ].
     121 - 123 have Frattini factor [ 72, 42 ].
     124 - 126 have Frattini factor [ 72, 43 ].
     127 - 129 have Frattini factor [ 72, 44 ].
     130 - 136 have Frattini factor [ 72, 45 ].
     137 - 154 have Frattini factor [ 72, 46 ].
     155 - 157 have Frattini factor [ 72, 47 ].
     158 - 167 have Frattini factor [ 72, 48 ].
     168 - 177 have Frattini factor [ 72, 49 ].
     178 - 181 have Frattini factor [ 72, 50 ].
     182 - 197 have trivial Frattini subgroup.
 
  For the selection functions the values of the following attributes
  are precomputed and stored:
     IsAbelian, IsNilpotentGroup, IsSupersolvableGroup, IsSolvableGroup,
     LGLength, FrattinifactorSize and FrattinifactorId.
 
  This size belongs to layer 2 of the SmallGroups library.
  IdSmallGroup is available for this size.
 
gap> i:=1;
1
gap> while i<144 and IsSolvable(SmallGroup(144,i)) do
> i:=i+1;
> od;
gap> i;
144
gap>
\(\endgroup\)

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Re: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
von Gockel am So. 20. Februar 2005 19:51:21

\(\begingroup\)
Hi Gruppen-Freaks!

Einen hab ich noch.
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mfg Gockel.

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 [Bearbeiten]

Re: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
von Martin_Infinite am Mo. 21. Februar 2005 01:00:58

\(\begingroup\)
fed-Code einblenden \(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
von Martin_Infinite am Mo. 21. Februar 2005 11:27:54

\(\begingroup\)
Hi,
 
fed-Code einblenden
 
 Gruß
Martin\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

 
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