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Mathematik: Dimensionsformeln
Freigegeben von matroid am Fr. 18. März 2005 17:29:20
Verfasst von Martin_Infinite -   14005 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Lineare Algebra

Aus der Linearen Algebra kennen wir einige Dimensionsformeln:
 
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Dabei sind U,W Unterräume eines K-Vektorraumes V und f eine auf V definierte lineare Abbildung. Die Beweise beschränken sich AFAIK nur auf endlich-dimensionale Vektorräume. Ich habe sie nur ein bisschen modifiziert, sodass die Dimensionsformeln auch für alle Vektorräume gelten. Außerdem werde ich unabhängig von ihrer Gültigkeit ihre Äquivalenz zeigen, und versuchen, einen Bezug zur Gruppentheorie herzustellen.


Vorbereitungen


Um auch mit unendlich-dimensionalen Vektorräumen zu arbeiten, setzen wir das Auswahlaxiom voraus. Daraus folgt, dass jeder Unterraum einen komplementären Unterraum besitzt, der Basisergänzungssatz, dass jeder Vektorraum eine Basis hat, und dass alle Basen eines Vektorraumes gleichmächtig sind, sodass man die Dimension als die Kardinalzahl einer Basis definieren kann. Dabei ist die Kardinalzahl einer Menge die kleinste dazu gleichmächtige Ordinalzahl.
 
Die Summe von Kardinalzahlen u,v ist die Kardinalzahl von
 
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und zwei Kardinalzahlen sind genau dann identisch, wenn sie gleichmächtig sind. Damit ist erklärt, was die Dimensionsformeln überhaupt aussagen. Sehr wichtig ist, dass die Kardinalzahladdition im Gegensatz zur Ordinalzahladdition kommutativ ist.


Äquivalenz

Bevor wir die Dimensionsformeln einzeln beweisen, machen wir uns deren Äquivalenz klar. Dabei benutzen wir nur drei Eigenschaften von dim:
 
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Wenn wir also nur eine Dimensionsformel haben, dann bereits alle. Um konkret Basen anzugeben, empfehlen sich jedoch schon jeweils konkrete Beweise der Dimensionsformeln.


1. Dimensionsformel

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2. Dimensionsformel

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3. Dimensionsformel

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Gruppentheorie?

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Die Gradformel

Die Gradformel gibt an, wie sich sich die Dimension eines Vektorraumes bei einer Erweiterung des Grundkörpers ändert. Sie hat zwar eher etwas mit Körpertheorie als mit linearer Algebra zu tun, wird auch nicht üblich als Dimensionsformel bezeichnet, aber dennoch ist sie wie die oben genannten eine Dimensionsformel, die meistens nur für endliche Dimensionen formuliert wird.
Außerdem, und das ist das entscheidene, wird beim Beweis immer, sofern ich das nach Dutzenden Beweisen beurteilen kann, die Injektivität vergessen (siehe 1. Beweispunkt), die entgegen der verbreiteten Vorstellung, dass diese aus der linearen Unabhängigkeit folgt, wirklich separat bewiesen werden muss! Also, los geht's:

 
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: Lineare Algebra :: Dimensionsformeln :: Interessierte Studenten :: Reine Mathematik :
Dimensionsformeln [von Martin_Infinite]  
Aus der Linearen Algebra kennen wir einige : label(1)bigdarkgreen dim(U)+dim(W)=dim(U cut W)+dim(U + W) label(2)bigdarkgreen dim(Bild(f))+dim(Kern(f))=dim(V) label(3)bigdarkgreen dim(V/U)+dim(U)=dim(V) Dabei sind U,W Unterräume eines K-Vektorraumes V und
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" Mathematik: Dimensionsformeln" | 4 Kommentare
 
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Re: Dimensionsformeln
von matroid am So. 20. März 2005 13:45:31


Hallo Martin,

das ist ein sehr interessantes Thema, so elementar und doch alles enthaltend. Zur Fragestellung am Ende kann ich nichts sagen. Aber schon die Äquivalenz der Dimensionsformeln war mir nicht bewußt, und mußte endlich einmal hingeschrieben sein.
Du hast einen perfekten Artikel geschrieben, in dem jeder Satz wohlüberlegt ist und vom Leser wohl überlegt werden muß.

Gruß
Matroid

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Re: Dimensionsformeln
von Martin_Infinite am So. 20. März 2005 14:40:08


Hi matroid,
 
woa, danke für das Lob!
Ist überhaupt schon jemand auf die Idee gekommen, Dimensionsformeln zu verallgemeinern und da solche Parallelen zu sehen? Tja aber wie die nun genau zu Stande kommen:
 
 Gruß
Martin

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Re: Dimensionsformeln
von Martin_Infinite am Fr. 05. August 2005 22:07:28


Hi,
 
ich habe nun eine Antwort auf die Frage gefunden, warum die Dimensionsformeln den entsprechenden Formeln für Gruppenordnungen so ähnlich sehen: Die Isomorphiesätze. Sie gelten in den Kategorien Grp und VectK auf analoge Weise (weil die universelle Eigenschaft des Quotienten analog ist). Bei den Formeln für Gruppenordnungen wertet man die Isomorphiesätze dann mit der Kardinalität aus, wobei wegen

|A x B| = |A||B|
 
Produkte vorkommen. Und bei den Dimensionsformeln wendet man halt die Dimension an, wobei wegen

dim(V x W) = dim(V) + dim(W)

Summen vorkommen.
 
Etwas unbefriedigend ist diese Lösung, weil die Formeln bei Gruppen auch für beliebige Untergruppen gelten, man aber für die Faktorgruppen schon Normalteiler braucht.
 
 Gruß
Martin

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Re: Dimensionsformeln
von Martin_Infinite am Mi. 17. August 2005 23:50:25


Details siehe hier wink

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