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Mathematik: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 1
Freigegeben von matroid am Fr. 03. Juni 2005 17:14:05
Verfasst von jannna -   9862 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

Darstellungstheorie endlicher Gruppen oder:
auf den Charakter kommt es an


Teil 1: Lineare Darstellungen



Diese Artikelserie wird sich mit der Darstellungstheorie endlicher Gruppen beschäftigen.
Dies ist der erste von drei Teilen:

Teil 1: Lineare Darstellungen
Teil 2: Charaktertheorie
Teil 3: Untergruppen, Produkte von Gruppen und geliftete Charaktere

 
Zuerst werde ich einige wichtige Begriffe klären bevor wir dann zur Charaktertheorie kommen.
Am Ende werden wir wichtige Eigenschaften von Gruppen aus der Charaktertafel ablesen können.
Voraussetzung für diese Artikel ist sicherlich Lineare Algebra und ein bisschen Gruppentheorie. Ich empfehle Gockels Gruppenzwang.

Motivation: Warum Darstellungstheorie



In der üblichen Darstellung von Gruppen durch Erzeugende + Relation sind viele Eigenschaften nicht direkt erkennbar. Deshalb macht man sie in einer gewissen Hinsicht "sichtbar" indem man sie auf ein besser verstandenes Objekt abbildet.

Hier ist das die lineare Gruppe der Vektorraumautomorphismen GL(V).
GL von groupe linéare

GL(V)


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Definition (Darstellung)


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Darstellung in Matrixform


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Äquivalente Darstellungen


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Beispiele


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Unterdarstellungen


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Komplementäre Darstellungen und direkte Summen


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Irreduzible Darstellungen


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Tensorprodukte von Darstellungen


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Zur Fortsetzung

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Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 1 [von jannna]  
Darstellungstheorie endlicher Gruppen oder: auf den Charakter kommt es an Teil 1: Lineare Darstellungen Diese Artikelserie wird sich mit der Darstellungstheorie endlicher Gruppen beschäftigen. Dies ist der erste von drei Teilen: Teil 1: Lineare Darstellungen Teil 2: Charaktertheorie Teil 3
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" Mathematik: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 1" | 8 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 1
von Rebecca am Fr. 03. Juni 2005 17:55:06


Hi Jannna,

von Linearer Algebra verstehe ich zu wenig, um deinen Artikel zu würdigen. Aber gelernt habe ich trotzdem was:
Bisher hätte ich bei "gelifteten Charakteren" eher an ältere Schauspielerinnen gedacht, jetzt weiß ich, dass das ein mathematischer Begriff ist.

Gruß
Rebecca

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Re: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 1
von Martin_Infinite am Fr. 03. Juni 2005 17:57:44


@Rebecca: Bei deinem nächsten Spaziergang durch den Wald kannst du ja an das hier denken wink

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Re: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 1
von daspan am Fr. 03. Juni 2005 18:14:52


Hehe, und ich dachte immer viele "Bäume" (sprich: Wald) existieren vor allem im RAM meines PC smile

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Re: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 1
von Greyfox am So. 05. Juni 2005 22:49:06


Na da hat jemand wohl auch den Serre gelesen. smile
Ich hab vor einem Monat nen Vortrag über das Thema halten müssen und war als junger Zweitsemestler ganz schön am Schwitzen. Da hätte ich gern diesen Artikel schon gehabt, denn der ein oder andere Absatz erscheint mir hier doch etwas verständlicher, als in meiner englischen Kopie vom Serre.
Das Skript von meinem Prof dazu war auch die Hölle. Da stand z.B. beim Beispiel der Permutationsdarstellung nur "G operiert auf X." Den Rest durfte man selbst erraten.
Jedenfalls danke für den Artikel und wenn Du das nächste mal nützliche Sachen ins Netz stellst, dann bitte rechtzeitig. wink

Grüße,
Greyfox

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Re: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 1
von jannna am Di. 07. Juni 2005 13:05:14


Hi

Ja, der Serre ist glaub ich ein Standardwerk oder so. Den gibts übrigens auch auf Deutsch ;-). In der Vorlesung, die ich dazu gehört habe haben wir uns auch an den Serre gehalten.

Der Teil hier ist aber im Prinzip "nur" Vorgeplänkel. Richtig interessant wirds ja erst noch wink

Grüße
Jana

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Re: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 1
von Hans-im-Pech am Di. 07. Juni 2005 14:45:14


Hi,

Dann freu ich mich schon auf die Fortsetzung, denn das hier fand ich schon sehr interessant.


Viele Grüße,
HiP

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Re: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 1
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 17. April 2012 06:25:36


Bitte in "Tensorprodukte von Darstellungen" in "Anschaulich", bei einheitlicher Notation bleiben. Das Tensorprodukt müsste nach vorheriger Notation eigentlich ein Element aus  M_(6x4) und nicht  M_(4x6)  sein, also 6 und 4 getauscht wink
''

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Re: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 1
von fru am Di. 17. April 2012 11:11:31


Hi, danke für den Hinweis!
Die Änderung ist schon beantragt durchgeführt.

Liebe Grüße, Franz

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