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Mathematik: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 2
Freigegeben von matroid am Mi. 22. Juni 2005 07:02:49
Verfasst von jannna -   9634 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

Darstellungstheorie endlicher Gruppen oder:
auf den Charakter kommt es an


Teil 2: Charaktertheorie



Diese Artikelserie wird sich mit der Darstellungstheorie endlicher Gruppen beschäftigen.
Dies ist der zweite von drei Teilen:

Teil 1: Lineare Darstellungen
Teil 2: Charaktertheorie
Teil 3: Untergruppen, Produkte von Gruppen und geliftete Charaktere

 
Zuerst werde ich einige wichtie Begriffe klären bevor wir dann zur Charaktertheorie kommen.
Am Ende werden wir wichtige Eigenschaften von Gruppen aus der Charaktertafel ablesen können.
Voraussetzung für diese Artikel ist sicherlich Lineare Algebra und ein bisschen Gruppentheorie. Ich empfehle Gockels Gruppenzwang.

Erinnerung


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Das Lemma von Schur



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Beispiele


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Motivation


Wir werden hier unserer Darstellung einen sogenannten Charakter zuordnen. Charaktere haben schöne Eigenschaften. Zum Beispiel werden wir zeigen, daß zwei Darstellungen genau dann den gleichen Charakter haben, wenn sie äquivalent sind. Auch die Frage, ob eine Darstellung irreduzibel ist kann mit Hilfe von Charakteren gelöst werden. Natürlich gibts noch mehr aber ich will ja nicht alles verraten...

Der Charakter einer Darstellung


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Orthogonalitätsrelationen


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Beispiele


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 1       (12)     (123)  

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1

1

1


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2

0

-1


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1

-1

1




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Wir wissen zwar noch nicht, daß man Charaktere nur bis auf Konjugation betrachten muß und, daß es genausoviele irreduzible Darstellungen wie Konjugationsklassen gib (dazu kommen wir später), aber wenn wir das erst einmal glauben, sehen wir hier die vollständige Charaktertafel für S_3:
Es gibt drei Konjugationsklassen also: drei irreduzible Charaktere.

Was wir aber schon wissen ist:
<\c , \c> =1/abs(G) summe(\c(t) \c(t)^-,t\el G,)=1 wenn \c irreduzibel.

Wir können also nachprüfen, ob unsere drei Darstellungen irreduzibel sind:
\r^1: <\c_(\r^1) , \c_(\r^1)> = 1/6 * (1*1+3*1*1+2*1*1)=1
\r^2: <\c_(\r^2) , \c_(\r^2)> = 1/6 * (2*2+3*0*0+2*(-1)*(-1))=1
\r^3: <\c_(\r^3) , \c_(\r^3)> = 1/6 * (1*1+3*(-1)*(-1)+2*1*1)=1

\stress\ Bemerkung__
In der ersten Zeile der Charaktertafel stehen nur Repräsentanten der Konjugationsklassen. Summiert wird aber über alle Elemente der Gruppe.
Der Charakter ist aber für alle Elemente einer Konjugationsklasse gleich.
(Deswegen reicht es auch in die Charaktertafel nur einen Repräsentanten der
 Konjugationsklasse zu schreiben.)
Deswegen muß man in der Summe noch mit der Anzahl der Elemente in der Konjugationsklasse multiplizieren.
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Die Zerlegung der regulären Darstellung


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Ein kleines Bisschen Gruppentheorie


Dieser Abschnitt fasst nochmal einige Ergebnisse aus der Gruppentheorie zusammen und legt so auch gleich Bezeichnungen fest, die durchaus hier und da anders sein können.
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 Konjugationsklassen der Diedergruppe
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Die Anzahl irreduzibler Darstellungen


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 1       (12)     (123)  

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 6       2     3  

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1

1

1


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a

b

c


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a'

b'

c'




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Ausnutzen der Spaltenorthogonalität:
(jede Spalte mit sich selbst)

1+a^2+a'^2=6 array(         )=> menge(a,a')=menge(1,2)
1+b^2+b'^2=2 array(         )=> menge(b,b')=menge(0,+-1)
1+c^2+c'^2=3 array(         )=> c,c'=+-1

array(Bemerkung:)__
menge(a,a')=menge(-1,-2) würde die Gleichung auch lösen aber da a und a' die Charakterwerte zum Einselement sind und
\c(1)=n Dimension der Darstellung=Dimension des Vektorraumes,
sind a und a' immer positiv.

o.B.d.A. array(a=1)____ und array(a'=2)____ (eine andere Wahl würde nur die Zeilen in der Charaktertafel tauschen)

Ausnutzen der Spaltenorthogonalität:
(1. Spalte mit 2. Spalte)

also s=1 und t=(12): array(      ) 1*1 + a*b + a'*b' = 1+ b+2*b'=0
menge(b,b')=menge(0,+-1) => array(b=-1)____ und array(b'=0)____

Ausnutzen der Zeilenorthogonalität:
(2. Zeile mit sich selbst)

\< \c , \c\> = 1/abs(G) summe(\c(t) \c(t)^-, t\el G) =summe((\c(s_i) \c(s_i)^-)/abs(C_G (s_i)), i=1 , k)  =1 wenn \c irreduzibel

wobei s_i Repräsentanten der k verschiedenen Konjugationsklassen sind.

1^2/6 + (-1)^2/2 + c^2/3 =1 => 1+3+2*c^2=6 => array(c=1)____

Ausnutzen der Spaltenorthogonalität:
(1. Spalte mit 3. Spalte)


also s=1 und t=(123): array( ) 1*1 + c*1 + 2*c' = 1+ 1+2*c'=0 => array(c'=-1)____


So ergibt sich wieder die bekannte Charaktertafel von S_3.
fed-Code ausblenden fed-Code im Editor öffnen

Das wars erst mal soweit für diesen Artikel.

Es ist vielleicht enttäuschend, daß hier nicht mehr Charaktertafeln berechnet wurden (wichtig um mit den Orthogonalitätsrelationen vertraut zu werden) aber für kompliziertere Gruppen brauchen wir Handwerkszeug, daß ich erst im 3. Teil erkläre und einfachere Gruppen wie z.B. C_2 sind zu einfach.

Zur Fortsetzung

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" Mathematik: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 2" | 3 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 2
von jannna am Mi. 22. Juni 2005 10:14:15


Hallo

bei der Version die ich abgeschickt habe war das Lemma von Schur so komisch eingerückt. ich habs nicht wegbekommen. Was hatte ich da falsch gemacht?

grüße
jana

 [Bearbeiten]

Re: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 2
von matroid am Mi. 22. Juni 2005 12:03:07


Hi Jana, Du warst ein Opfer des \align. Du hast es zweimal verwendet.

Schematisch so:

> Lemma von Schur
> k=b
>  =xyxz

Dann später

> lang=foo
>     =bar

Und nun sah sich der fed gezwungen, den ganzen oberen Abschnitt nach links zu schieben, damit er alle Gleichheitszeichen untereinander anordnen konnte.


   > Lemma von Schur
   > k=b
   >  =xyxz
> lang=foo
>     =bar

Gelöst habe ich das, durch Einfügen einiger Leerzeichen im ersten Block:

Also das

> Lemma von Schur
>    k=b
>     =xyxz

plus

> lang=foo
>     =bar

ergibt:

> Lemma von Schur
>    k=b
>     =xyxz
> lang=foo
>     =bar

Das war die Sofortmaßnahme. Außerdem will ich prüfen, ob es nicht die Aufgabe des stopalign gewesen wäre, die align-Breite wieder auf 0 zurückzusetzen.

Gruß
Matroid

 [Bearbeiten]

Re: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 2
von Stefan_K am Mi. 03. August 2005 17:13:10


Hallo Jannna,

die Bemerkung nach dem Lemma von Schur, daß lineare Abbildungen zwischen irreduziblen Darstellungen stets Homothetien seien, sieht mir so nicht korrekt aus.

In der Konsequenz von Schurs Lemma würde ich, wenn man es wörtlich umschreiben will, formulieren:

Endomorphismen auf einem C-Vektorraum V, die mit einer irreduziblen Darstellung in V kommutieren, sind stets Homothetien.

dagegen allgemeiner:

Veträgliche lineare Abbildungen zwischen zwei irreduziblen Darstellungen sind trivial oder bijektiv (Vektorraumisomorphismen).

Stefan_K

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