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Mathematik: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 3
Freigegeben von matroid am Di. 26. Juli 2005 11:18:36
Verfasst von jannna -   7076 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

Darstellungstheorie endlicher Gruppen oder:
auf den Charakter kommt es an


Teil 3: Untergruppen, Produkte von Gruppen und geliftete Charaktere



Diese Artikelserie wird sich mit der Darstellungstheorie endlicher Gruppen beschäftigen.
Dies ist der dritte Teil:

Teil 1: Lineare Darstellungen
Teil 2: Charaktertheorie
Teil 3: Untergruppen, Produkte von Gruppen und geliftete Charaktere

 
Zuerst werde ich einige wichtie Begriffe klären bevor wir dann zur Charaktertheorie kommen.
Am Ende werden wir wichtige Eigenschaften von Gruppen aus der Charaktertafel ablesen können.
Voraussetzung für diese Artikel ist sicherlich Lineare Algebra und ein bisschen Gruppentheorie. Ich empfehle Gockels Gruppenzwang.

Abelsche Untergruppen


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(Charaktertheorie, SATZ 8)
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Das direkte Produkt zweier Gruppen


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(vgl. Teil 1: Lineare Darstellungen )
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Zwischenbilanz


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Geliftete Charakter


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 N       (12)N     (123)N  

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1

1

1


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1

-1

1


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2

0

-1




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Wir wissen, S_4 hat 5 Konjugationsklassen und damit 5 irred. Charaktere.
Vertreter der Konjugationsklassen : 1, (12), (123),(12)(34) und (1234).

Wir wollen jetzt den Lift \c zum Charakter \c^~ von G\/N berechnen.
Es gilt ja \c^~(gN)=\c(g). Also kennen wir schon \c(1), \c((12)) und \c((123)). Uns fehlen noch \c((12)(34)) und \c((1234))
Es ist
\c((12)(34))=\c^~(N) da (12)(34)\el N
\c((1234))=\c^~((24)N) da (1234)=(24)(34)(12)

Das heißt also, die Spalten von 1 und (12)(34) sowie von (12) und (1234) sind gleich.

Wir kennen jetzt schon drei der 5 irreduziblen Charaktere von S_4:
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 1       (12)     (123)     (12)(34)     (1234)  

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1

1

1

1

1


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1

-1

1

1

-1


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2

0

-1

2

0


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a

b

c

d

e


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a'

b'

c'

d'

e'




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Den Rest der Tafel bestimmen wir mittels Orthogonalitätsrelationen.

Aus Teil 2 haben wir noch folgende Informationen für S_4:
array(Konjugationsklasse array( ) 1 array( ) (12) array( ) (123)  array( ) (12)(34) array( ) (1234))__
abs(x^G) array(                ) 1 array(   ) 6 array(     ) 8 array(      ) 3 array(      ) 6
abs(C_G (x))  array(            ) 24 array(  ) 4 array(     ) 3 array(      ) 8 array(      ) 4

Außerdem wissen wir summe(n_i^2)=abs(G) wobei n_i=\c_i(1):
Also a^2+a'^2+1^2+1^2+2^2=24 => a^2+a'^2=18 => array(a=a'=3)____

array(Spaltenorthogonalität: 1. und 2. Spalte:)__
1*1+1*(-1)+2*0+3*b +3*b'=0 => 3*b+3*b'=0 => b=-b'

array(Spaltenorthogonalität: 2. und 2. Spalte:)__  
1*1+(-1)*(-1)+0*0+b*b+b'*b'=4 => b*b+b'*b'=2
=> b, b' \el menge(1,-1) o.B.d.A. array(b=1)____ und array(b'=-1)____

array(Spaltenorthogonalität: 3. und 3. Spalte:)__
1*1+1*1+(-1)*(-1) + c*c +c'*c'=3 => array(c=c'=0)____

 array(Spaltenorthogonalität: 4. und 4. Spalte:)__
1*1+1*1+2*2+d*d+d'*d'=8 => d*d+d'*d'=2 => d, d' \el menge(1,-1)

 array(Spaltenorthogonalität: 2. und 4. Spalte:)__
1*1+(-1)*1+0*(-1)+1*d+(-1)*d'=0 => d=d'=\pm 1

 array(Spaltenorthogonalität: 1. und 4. Spalte:)__
1*1+1*1+2*2+3*d+3*d'=0 => array(d=d'=-1)____

 array(Spaltenorthogonalität: 5. und 5. Spalte:)__
1*1+(-1)*(-1)+0*0+e*e+e'*e'=4 => e*e+e'*e'=2 => e, e' \el menge(1,-1)

 array(Spaltenorthogonalität: 2. und 5. Spalte:)__
1*1+(-1)*(-1)+0*0+1*e+(-1)*e'=0 => array(e=-1)____ und array(e'=1)____


Nun haben wir also die Charaktertafel von S_4 bestimmt:
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 1       (12)     (123)     (12)(34)     (1234)  

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1

1

1

1

1


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1

-1

1

1

-1


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2

0

-1

2

0


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3

1

0

-1

-1


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3

-1

0

-1

1




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Normalteiler via Charaktertafel


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 1       (123)     (12345)     (21345)     (12)(34)  

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1

1

1

1

1


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4

1

-1

-1

0


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5

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0

0

1


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3

0


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-1


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3

0


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-1




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wobei \a , \b \el menge((1\pm sqrt(5))/2)
A_5 ist einfach: für alle \c != \c_triv=\c_1 und alle g !=1 gilt \c(g)!=\c(1)

\stress\ \array(Anmerkungen)__
A_5 ist die kleinste, nichtkomutative einfache Gruppe. abs(A_5)=60

Enger Zusammenhang zur Galoistheorie: Die allgem. Gleichung 5. Grades ist nicht durch Radikalen auflösbar.

Mehr zum Thema Auflösbarkeit und Galoistheorie findet sich in Gockels Gruppentheorie:
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Gruppenzwang VI

1-dimensionale Charaktere und die Kommutator-Untergruppe


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Permutationscharaktere


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 1       (12)     (123)     (12)(34)     (1234)  

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4

2

1

0

0




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Um das etwas zu verdeutlichen stellen wir die Repräsentanten der Konjugationsklassen als Permutationsmatrizen in GL_4 (\IC) dar. Als Basis wählen wir die Standardbasis \(e_j \), j=1,...,4:

1= (1,0,0,0;0,1,0,0;0,0,1,0;0,0,0,1), (12)=(0,1,0,0;1,0,0,0;0,0,1,0;0,0,0,1), (123)=(0,0,1,0;1,0,0,0;0,1,0,0;0,0,0,1),  

(12)(34)=(0,1,0,0;1,0,0,0;0,0,0,1;0,0,1,0), (1234)=(0,0,0,1;1,0,0,0;0,1,0,0;0,0,1,0)


\stress\ array(Lemma 11)__
Sei G eine Untergruppe der S_n. Dann ist die Funktion
\n :G -> \IC mit \n(g)=abs(fix(g))-1 \forall g \el G
ein Charakter von G.
\stress\ array(Beweis)__
Die Permutationsdarstellung V~=\IC^n von G hat die triviale Unterdarstellung U=\<(1;.;.;1)\> \subset V. Dazu gibt es eine G-invariante komplementäre Unterdarstellung W von V so, daß V=U\oplus W und für die Charaktere gilt somit

\pi=\c_triv + \n

wobei \n der Charakter zu W ist.
Somit ist abs(fix(g))=\pi(g)=1+\n(g) \forall g \el G.
Also ist \n(g)=abs(fix(g))-1 \forall g \el G array(                               )q.e.d.
 
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Charaktertafeln zu S_5 und S_6


Bevor wir die Charaktertafeln zu S_5 und S_6 konstruieren noch ein kleiner Nachtrag zu Teil 1: Lineare Darstellungen, Tensorproduktdarstellungen

Äußere und symmetrische Potenz

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 1       (12)     (123)     (12)(34)     (1234)  

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3

1

0

-1

-1


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6

2

0

2

0


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3

-1

0

-1

1




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Man sieht, daß \c_\s = \c_1+\c_3+\c_4 und \c_\a = \c_5



\stress\ array(Charaktertafel von S_5)__  
Aus Teil 2: Charaktertheorie wissen wir:

array(Konjugationsklasse array( ) 1 array( ) (12) array( ) (123) array( ) (12)(34) array( ) (1234) array( ) (123)(45) array( ) (12345) )__
array(abs(x^G) array(               ) 1 array(   ) 10 array(    ) 20 array(    ) 15 array(      ) 30 array(       ) 20 array(        ) 24)
array(abs(C_G(x)) array(           ) 120 array(  ) 12 array(     ) 6 array(     ) 8 array(       ) 4 array(        ) 6 array(        ) 5)


S_5 hat also 7 irreduzible Charaktere.

\stress (a) array(Lineare Charaktere)__
Wir wissen mitlerweile, daß S_5 genau zwei lineare Charaktere hat nämlich

\c_triv (x) =1 \forall x \el S_5 array(   ) und array(   ) \c_alt (x) = fdef(1,für x \el A_5;-1,für x \notel\ A_5)


\stress (b) array(Der Permutationscharakter)__
Lemma 11 gibt uns einen weiteren Charakter \c_3 = abs(fix(x)) -1  für  x\el S_5

\c_3 ist irreduzibel da \<\c_3 , \c_3 \> = 4^2/120 + 2^2/12 + 1^2/6 + (-1)^2/6 + (-1)^2/5 = 1

Mit Lemma 10 erhalten wir einen weiteren irreduziblen Charakter: \c_4 = \c_3*\c_2

Wir haben nun also schon vier irreduzible Charaktere von S_5 gefunden. Die Charaktertafel von S_5  lautet soweit:
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 1       (12)     (123)     (12)(34)     (1234)     (123)(45)     (12345)  

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1

1

1

1

1

1

1


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1

-1

1

1

-1

-1

1


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4

2

1

0

0

-1

-1


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4

-2

1

0

0

1

-1




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\stress (b) array(Tensorprodukte)__
Um die fehlenden drei Charaktere zu finden nehmen wir die Tensorprodukte zu Hilfe:
\c = \c_3. Die Charaktere \c_\s und\c_\a sind die folgenden:
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 1       (12)     (123)     (12)(34)     (1234)     (123)(45)     (12345)  

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10

4

1

2

0

1

0


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6

0

0

-2

0

0

1




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\c_\a ist irreduzibel da \<\c_\a , \c_\a \>=36/120 + 4/8 + 1/5 = 1

Wir haben also den fünften irreduziblen Charakter gefunden -> \c_\a = \c_5

\c_\s ist nicht irreduzibel da \<\c_\s , \c_\s \>=100/120 + 16/12 + 1/6 + 4/8 +1/6 =3
\c_\s zerlegt sich also in drei \(nicht notwendig paarweise verschiedene\) irreduzible  Charaktere (SATZ 4 in Teil 2: Charaktertheorie). Wir wollen doch mal sehen, welche unserer bereits bekannten irreduziblen Charaktere wie oft in \c_\s vorkommt:

 \<\c_\s , \c_1 \>=10/120 + 4/12 + 1/6 + 2/8 + 1/6 = 1
 \<\c_\s , \c_2 \>=10/120-4/12+1/6+2/8-1/6=0
 \<\c_\s , \c_3 \>=40/120 + 8/12 + 1/6 - 1/6 = 1
 \<\c_\s , \c_4 \>=40/120 - 8/12 + 1/6 +1/6 = 0
 \<\c_\s , \c_5 \>=60/120 - 4/8=0

\c_1 und \c_3 kommen also genau einmal in \c_\s vor. Außerdem noch ein irreduzibler Charakter \c_6 mit Grad 5 (Grad(\c_\s )= 10 = Grad(\c_1 ) + Grad(\c_3 ) + Grad(\c_6 ))

\c_6 = \c_\s - \c_1 - \c_3.

Anschließend bekommen wir noch einen weiteren irreduziblen Charakter \c_7 = \c_6*\c_2.

Nun haben wir also die vollständige Charaktertafel zu S_5 gefunden:
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 1       (12)     (123)     (12)(34)     (1234)     (123)(45)     (12345)  

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1

1

1

1

1

1

1


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1

-1

1

1

-1

-1

1


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4

2

1

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-1

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4

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1

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0

1

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6

0

0

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0

0

1


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5

1

-1

1

-1

1

0


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5

-1

-1

1

1

-1

0




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\stress\ array(Charaktertafel von S_6)__  
Die ersten Charaktere werden wir ähnlich wie oben finden. Anschließend bleiben aber noch drei, die wir über die Orthogonalitätsrelationen finden. abs(S_6)=720
Jede Zykelform vertritt genau eine Konjugationsklasse. Es gibt also 11 Konjugationsklassen:
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720

48

18

16

8

6

5

8

48

6

18


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1

15

40

45

90

120

144

90

15

120

40




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abs(C_G(x)) und abs(x^G) zu bestimmen ist bei einer so großen Gruppe nicht sehr einfach. Man kann sich aber folgendes zu Hilfe nehmen:

abs(x^G) = abs(G)/abs(C_G(x)) und  abs(G)=summe(abs(x_i^G)) wobei die x_i Vertreter der Konjugationsklassen von G sind.

Wir suchen also 11 irreduzible Charaktere.


\stress (a) array(Lineare Charaktere)__
S_6 hat genau zwei lineare Charaktere nämlich:

\c_triv (x) =1 \forall x \el S_6 array(   ) und array(   ) \c_alt (x) = fdef(1,für x \el A_6;-1,für x \notel\ A_6)


\stress (b) array(Permutationscharakter und Tensorprodukte)__
\c_3 = abs(fix(x)) -1  für  x\el S_6  und \c_3 ist irreduzibel da
\<\c_3 , \c_3 \> = 5^2/720 + 3^2/48 + 2^2/18 + 1^2/16 + 1^2/8 +(-1)^2/48 + (-1)^2/18+(-1)^2/8 +(-1)^2/6 = 1

und \c_4 = \c_3*\c_2


\c=\c_3 dann berechnen sich \c_\s und \c_\a wie folgt:
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5

3

2

1

1

0

0

-1

-1

-1

-1


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15

7

3

3

1

1

0

3

0

1

0


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10

2

1

-2

0

-1

0

-2

1

0

1




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\<\c_\a , \c_\a \> = 1 und \<\c_\s , \c_\s \> = 3

\c_\a ist also irreduzibel -> \c_\a = \c_5
\c_\s ist reduzibel und zerlegt sich wie im Beispiel S_5 in drei \(nicht notwendig  paarw. verschiedene\) irreduzible.
Genau wie für S_5 testen wir hier die schon gefundenen irreduziblen Charaktere durch und finden: \c_\s =\c_2 + \c_3 + \c_7

wobei \c_7 ein unbekannter irreduzibler Charakter mit Grad(\c_7 )=9. \c_7 = \c_\s -\c_2 - \c_3.

Den nächsten Charakter \c_8 finden wir wieder mit \c_8=\c_7*\c_2.

Wir haben also wieder relativ schnell viele irreduzible Charakter gefunden. Die Charaktertafel soweit:
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720

48

18

16

8

6

5

8

48

6

18


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1

15

40

45

90

120

144

90

15

120

40


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1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1


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1

-1

1

1

-1

-1

1

-1

1

1

-1


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5

3

2

1

1

0

0

-1

-1

-1

-1


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5

-3

2

1

-1

0

0

1

-1

-1

1


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10

2

1

-2

0

-1

0

-2

1

0

1


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10

-2

1

-2

0

1

0

2

1

0

-1


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9

3

0

1

-1

0

-1

3

0

1

0


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9

-3

0

1

1

0

-1

-3

0

1

0


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\stress (c) array(Orthogonalitätsrelationen)__

Den Rest der Charaktertafel zu füllen überlasse ich als ''kleine'' Aufgabe. Wer sein Ergebnis prüfen möchte kann mir eine PM schicken oder nachsehen in:
(Gordon James & Martin Liebeck: Representations an Characters of Groups, Seite 205 )

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Vermischtes


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Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
: Mathematik :: Darstellungstheorie :: Algebra :: Reine Mathematik :
Untergruppen, Produkte von Gruppen und geliftete Charaktere [von jannna]  
3. Teil der Serie "Darstellungstheorie endlicher Gruppen oder: auf den Charakter kommt es an" über Untergruppen, Produkte von Gruppen und geliftete Charaktere
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" Mathematik: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 3" | 4 Kommentare
 
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Re: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 3
von Stefan_K am Di. 26. Juli 2005 15:09:26


Hallo Jannna,

das ist ja viel Stoff zu lesen! Danke für Deine Mühe.
Für Lemma 5 schlage ich dieses Diagramm mit dem fed vor:

fed-Code einblenden

Deinen Literaturhinweis kann man (als Windows-Nutzer zumindest) online lesen:

James/Liebeck: Representations and Characters of Groups

Viele Grüße,

Stefan_K

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Re: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 3
von jannna am Di. 26. Juli 2005 15:56:05


Hallo

Danke für das Diagramm, das hab ich eingefügt. Den James/Liebeck online lesen hängt nicht am betriebssystem sondern an installiertem Java (glaube ich oder zumindest sowas in der Art)

Grüße
Jana

\me bevorzugt Bücher aus Papier

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Re: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 3
von FlorianM am Mi. 27. Juli 2005 09:48:12


Sehr schöner, langer Artikel. smile gefällt mir so gut wie deinen anderen beiden Teile. smile

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Darstellung der A5
von Stefan_K am Mo. 27. Februar 2006 14:03:48


Hallo Jana,

ich habe wieder einmal mit Interesse in Deinen Darstellungstheorie-Artikeln gelesen.
Bei der Angabe der Charaktertafel der Alternierenden Gruppe A5 hast Du auf ihre Herleitung verzichtet, dazu möchte ich eine geometrische Veranschaulichung anfügen, nämlich zu einer dreidimensionalen Darstellung (Charaktergrad 3) durch orthogonale Matrizen.

Die Alternierende Gruppe A5 ist isomorph zur Rotationsgruppe I des Ikosaeders (und dessen Dual, des Dodekaeders, Bilder dieser Polyeder siehe <A HREF=article.php?sid=585    TARGET=_blank>Fabis Artikel). Daher ist sie isomorph zu einer Untergruppe der SO(3), deren Darstellung durch Rotations-Matrizen recht bekannt ist.

Erzeuger von I sind Drehungen um zwei verschiedene Symmetrieachsen, eine Präsentation von I ist

fed-Code einblenden

Am Beispiel der zweiten Klasse:

fed-Code einblenden

Als Spur dieser Matrix sieht man

fed-Code einblenden

womit wir einen Charakterwert zu dieser Klasse haben, siehe obige Charaktertafel zu A5. Dieser Wert entspricht dem Goldenen Schnitt. Das Auftauchen des Goldenen Schnitts in der Charaktertafel der A5 liegt also an der enthaltenen Drehung der Ordnung 5, Diagonalen des regelmäßigen Fünfecks stehen zu dessen Seiten in diesem Verhältnis (ebenfalls einander gegenüberliegende Kanten des Ikosaeders).
Die anderen Charakterwerte ergeben sich analog als Spuren von Drehmatrizen.

fed-Code einblenden
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