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Stern Mathematik: Die Graphen Sir O. Rigami und S. von Onobe
Freigegeben von matroid am Do. 13. Oktober 2005 20:14:25
Verfasst von asterisque -   11576 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Vermischtes

Die Graphen Sir O. Rigami und S. von Onobe

Ihr wolltet schon immer mal was Schönes basteln? Dann kann ich euch nur raten, zu lernen, wie man modulares Origami baut. Hier könnt ihr dann lernen, damit eine schöne bunte fast-Kugel zu basteln.
Sobald ich gelernt hatte, wie man modulares Sonobe-Origami bastelt, baute ich damit erstmal drei regelmäßige Körper: einen Würfel, ein gesterntes Oktaeder und ein gesterntes Ikosaeder. Dass man für eine schöne Färbung des Würfels 6 Farben braucht und für das Oktaeder bloß 3, habe ich schnell durch Probieren erfahren. Doch wie schaut es mit dem Ikosaeder aus?

Zuerst möchte ich klären, was ich unter einer korrekten Färbung eines Sonobe-Polyeders verstehe. Die Module an jeder "Pyramidenspitze" müssen dazu aus drei verschiedenfarbigen Modulen bestehen. Ausserdem soll die (mehr oder minder) gerade Linie senkrecht zu der Verbindung zweier Pyramidenspitzen dreifarbig sein.
Um gebastelte Körper zu untersuchen, ist es sinnvoll, sie auf Papier darzustellen. Dies kann man, indem man zu jedem Körper einen Graphen erstellt. Man kann das auf verschiedene Arten machen. Ich gehe folgendermaßen vor:
Die Stelle im Körper, an der sich mehrere Pyramiden treffen, entspricht einem Knoten. Von dort zeichnet man entlang der Linien, an denen sich genau zwei Pyramiden treffen, also diagonal über jedes Modul, Verbindungen, sogenannte Kanten, zu benachbarten Knoten. Jede Pyramide entspricht dann im fertigen Graphen einer Fläche, einem Dreieck. Das Bild rechts soll dies verdeutlichen.

Als Beispiel, dass ihr mal seht, wie solche Graphen aussehen können, zeige ich euch hier zwei (beim ersten Mal Zeichnen eines Graphen wird das meist wesentlich unübersichtlicher ;-) ):
fed-Code einblenden

Manche bauen lieber mit PHIZZ-units. Wie diese als Graphen dargestellt werden, soll folgendes Bild erklären:


Wenn man nun aber den Graphen eines PHIZZ-Würfels als Sonobe nachzubauen versucht(um überhaupt Graphen nachzubauen, braucht man Konzentration, am Schluss wird das, besonders bei weniger regelmäßigen Körpern, etwas unübersichtlich), wird man feststellen, dass das meist nicht geht. Bei Sonobe-Graphen gibt es aufgrund der Falttechnik nur Dreiecke und bei PHIZZ-Graphen nur Knoten mit der Valenz 3 (d.h. in jedem Knoten treffen sich 3 Kanten).
Nun kann man die Graphen von Sonobe-Gebilden in solche von PHIZZ-Körpern durch Dualisieren ineinander überführen. Dabei setzt man in jede Fläche einen neuen Knoten und verbindet zwei (neuere) Knoten genau dann, wenn ihre (alten) Flächen eine Kante gemeinsam haben. Am Schluss radiert man den alten Graphen noch aus (oder malt den neuen gleich mit einer anderen Farbe und am Schluss ab) und hat dann den zum ersten Graphen dualen Graphen. Man sieht leicht, dass Kanten dabei bestehen bleiben (sie erscheinen nur gedrecht), Flächen und Knoten vertauscht werden. Da jedes n-Eck zu einem Knoten der Valenz n wird (ein n-eck hat n Nachbarflächen und so hat der entstandene Knoten n Nachbarknoten) und jeder Knoten der Valenz k zu einem k-Eck (analoge Begründung). Also sind Sonobe-Graphen und PHIZZ-Graphen zueinander dual. Hier ist ein Bild eines Tetraeders und seines dualen Tetraeders:

Ein Tetraedergraph mit seinem dualen Graphen (welcher auch ein Tetraeder darstellt):
fed-Code einblenden
Nun könnt ihr selbst für die anderen Platonischen Körper(Würfel, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder) die Graphen und ihre dualen Graphen zeichnen (2 Graphen stehen schon weiter oben). Was fällt euch auf?

Unsere eigentliche Frage war ja nicht, wie man die verschiedenen Gebilde darstellen kann, sondern ganz konkret, mit wievielen Farben ein bestimmter Sonobe-Körper, nämlich das Ikosaeder, gebaut werden kann. Zur Färbung von PHIZZ-Polyedern hat Thomas Hull geschrieben, dass jedes mit PHIZZ-units gebastelte Polyeder mit 3 Farben färbbar ist.
Dies kann man mit folgender Überlegung einsehen:
Ihr habt vielleicht schon einmal vom Vierfarbensatz gehört. Er besagt, dass sich jede Landkarte (in der Ebene) mit 4 Farben so färben lässt, dass keine 2 benachbarten Länder die gleiche Farbe haben. Graphentheoretisch ausgedrückt besagt er, dass planare Graphen, also solche, bei denen keine 2 Kanten sich überschneiden und das sind alle PHIZZ- und Sonobe-Graphen, sich mit 4 Farben Flächenfärben lassen, sodass keine benachbarten Flächen dieselbe Farbe haben. Nach diesem Satz kann man jeden Graphen eines PHIZZ-Polyeders 4-Flächenfärben (zur Erinnerung: die Graphen von PHIZZ-Gebilden haben nur Ecken, welche je 3 Kanten verbinden). Wenn man nun eine solche Färbung hat, kann man mit folgendem Verfahren die Kanten färben (zur Flächenfärbung wurden gelb, rot, blau und schwarz benutzt):
  • Wenn die beiden an einer Kante anliegenden Flächen gelb und rot oder blau und schwarz sind, wird diese Kante grün gefärbt.
  • Wenn die beiden an einer Kante anliegenden Flächen gelb und blau oder rot und schwarz sind, wird diese Kante orange gefärbt.
  • Wenn die beiden an einer Kante anliegenden Flächen gelb und schwarz oder blau und rot sind, wird diese Kante lila gefärbt.
    Nun sind die Kanten des Graphen dreifarbig, aber sind auch je 2 an einem Knoten zusammenstoßende Kanten unterschiedlich farbig?
    Ja, denn an jedem Knoten stoßen genau 3 Kanten und 3 Flächen zusammen und die Kombination aus der ersten (Flächen-)Farbe mit der zweiten Farbe ergibt auf jeden Fall eine andere (Kanten-)Farbe als die Kombination der ersten (Flächen-)Farbe mit der dritten Farbe. Folgende Grafik soll dies beispielsweise etwas veranschaulichen:
    fed-Code einblenden

    Jetzt wissen wir also, dass wir alle PHIZZ-Gebilde mit 3 Farben färben können. Das müsste doch auch für die mit Sonobe-units gebauten Polyeder zutreffen. Wenn wir uns mit weniger zufrieden geben, als anfangs angedacht, nämlich nur mit der Färbbarkeitsbedingung, dass jede Pyramidenspitze dreifarbig sein soll, stimmt das auch. Aber ursprünglich wollten wir doch wissen, wieviele Farben wir brauchen, wenn auch die Täler dreifarbig sein sollen. Dass 3 Farben dann nicht immer ausreichen, kann man sich leicht durch Ausprobieren mit dem Tetraeder (der gebastelt wie ein Würfel aussieht) klarmachen (man braucht 6 Farben, also für jedes Modul eine andere!).

    Anscheinend haben wir etwas elementares übersehen. Also wandeln wir noch einmal ein Sonobe-Polyeder in einen Graphen um (hier wird nur die Technik erläutert, nehmt euch am Besten ein Beispiel, entweder eines der oben vorgestellten Modelle oder ein selbstgebasteltes):
  • Täler entsprechen Kanten.
  • Punkte, an denen mehrere Pyramiden aneinanderstoßen entsprechen Knoten.
    Ist sonst noch was zu beachten? Ja, denn in die Farben in einem Tal spielt ja nicht nur das Modul, welches dort seinen Mittelknick hat, mit rein, sondern auch 2 benachbarte Module, welche in die Laschen dieses Moduls gesteckt werden. Um herauszukriegen, welche diese 2 Module sind, kann man im Graphen die Laschen andeuten, indem man die Kanten in der entsprechenden Richtung verlängert(durch die geschwungenen Linien werden die Laschen des Moduls angedeutet. Welche Module entweder ihren Hauptteil oder eine ihrer Laschen zu einem Tal beisteuern, erkennt man daran, dass entweder die Gerade Linie oder eine Benachbarte in der Richtung zu diesem Modul hin gebogen ist): Bild
    Für eine korrekte Färbung müssen die blauen Module eine andere Farbe haben als das Rote.
    Man muss beachten, dass die Module eine Händigkeit besitzen, es also nicht egal ist, ob man sie spiegelt (also jeden Knick genau andersherum als in der Anleitung ausführt). Deswegen muss man auch im Graphen darauf achten, jeweils die richtigen Laschen einem Modul zuzuordnen (man erhält dann pro Modul ein kleines Zick-Zack-Muster, siehe Bild oben)
    Nun kann man durch Ausprobieren am Graphen feststellen, ob der dazugehörige Körper so wie gefordert färbbar ist. Um viele Möglichkeiten zu testen, hat SirJective ein Programm benutzt, mit dessen Hilfe er herausfand, dass für jede Möglichkeit, beim Ikosaeder nur 4 Farben zu benutzen, ein Widerspruch (also ein nicht korrekt gefärbtes Tal oder eine nicht korrekt gefärbte Pyramide) entsteht.
    Also braucht man, um einen schön bunten Ikosaeder mit Sonobe-Modulen zu basteln 5 Farben(von jeder Farbe je 6 Module):
    Bild
    Ich hoffe, euch hat dieser Artikel gefallen und ihr habt dabei ein bisschen gelernt.

    Zuletzt möchte ich noch denjenigen MPlern danken, welche mich durch (fachliche) Hilfe, Fehleraufspüren, Ideengeben, Programmieren und allem, was ich hier nicht aufgezählt habe, unterstützten.

    Liebe Grüße und viel Spass beim Basteln
    Daniela

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    : Vermischtes :: Unterhaltsame Mathematik :: Origami :
    Die Graphen Sir O. Rigami und S. von Onobe [von asterisque]  
    Ihr wolltet schon immer mal was Schönes basteln? Dann kann ich euch nur raten, zu lernen, wie man modulares Origami baut. Hier könt ihr dann lernen, damit eine schöne bunte fast-Kugel zu basteln.
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    " Stern Mathematik: Die Graphen Sir O. Rigami und S. von Onobe" | 5 Kommentare
     
    Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

    Re: Die Graphen Sir O. Rigami und S. von Onobe
    von Aikee am Fr. 14. Oktober 2005 18:57:23


    Wooooooow, ist der schön smile
    Und interessant.....

    Danke sternchen *knuddel*

    Aikee

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    Re: Die Graphen Sir O. Rigami und S. von Onobe
    von ProfJack am Fr. 14. Oktober 2005 19:38:32


    Ein netter Artikel.
    Ich interessierte mich vorher nicht für Origami, aber jetzt bin ich schon so kurz ([___]) davor es zu probieren.

     [Bearbeiten]

    Re: Die Graphen Sir O. Rigami und S. von Onobe
    von matroid am Fr. 14. Oktober 2005 19:57:53


    Hi sternchen,

    mir gefällt Dein Artikel auch sehr gut. Herzlichen Dank für Deine Ausarbeitung. Ich habe oben noch ein Bild hinzugefügt, sozusagen als Blickfang und nicht zuletzt Werbung.

    Gruß
    Matroid

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    Re: Die Graphen Sir O. Rigami und S. von Onobe
    von FlorianM am Di. 18. Oktober 2005 10:22:11


    Hehe... wunderbar... Da hat man richtig Lust, das mal auszuprobieren... smile

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    Re: Die Graphen Sir O. Rigami und S. von Onobe
    von asterisque am Mi. 01. August 2007 17:56:43


    Gerade hat mir mein Bildschirmschoner mitgeteilt, dass Sonobe-Origami-Sachen im Englischen Small Triambic {Icosa|..}hedron heissen smile

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