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Mathematik: Einführung in die Integralrechnung
Freigegeben von matroid am So. 16. Oktober 2005 22:33:04
Verfasst von FlorianM -   314576 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Analysis

Einführung in die Integralrechnung



In diesem Artikel will ich euch einen ersten Einblick in die Integralrechnung geben. Dieser Artikel ist speziell für Schüler geschrieben.

Ich habe mich bemüht diesen Artikel vor allem verständlich und anschaulich zu gestalten.

Ich hoffe mir ist dieses gelungen.
Dieser Artikel umfasst nur einen ersten Einblick in die Integralrechnung, die man so in der Oberstufe eines Gymnasiums (12. Klasse) kennen lernt.

Es gibt noch viele Gebiete, in denen man die Integralrechnung anwenden kann. Deswegen wird es auf jeden Fall noch einen zweiten Teil geben.
Vielleicht kommt auch noch ein dritter und vierter Teil. Das kann man nie ausschließen.
Aber jetzt erstmal viel Spaß mit meiner kleinen Einführung in die Integralrechnung.

Teil 1: Einführung in die Integralrechnung
Teil 2: Stammfunktionen & Co
Teil 4: Uneigentliche Integrale
Teil 5: Wie findet man eine Stammfunktion?

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Inhalt
1 Erste Berechnungen einer Fläche im Graphen
2 Der Begriff des Integrals
   2.1 Geometrische Definition des Integrals
   2.2 Analytische Definition des Integrals
3 Rechenregel für Integrale
   3.1 Faktorregel
   3.2 Summenregel
   3.3 Intervalladditivität
4 Verwenden der Integrale zur Flächenberechnung
5 Flächenberechnung zwischen 2 Graphen
6 Zusammenfassung Teil I
7 Abschluss
8 Quellenangabe
1 Erste Berechnungen einer Fläche im Graphen

Um den Begriff des Integrals einführen zu können, muss ich etwas weiter ausholen. Und zwar soll zuerst die schwarz markierte Fläche unter dem Graphen berechnet werden.
Gerade
Die Funktion des Graphen ist y=x.(1 Einheit=1 cm)

Man sieht die Antwort sofort: A=0,5 cm².
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um zu dieser Antwort zu gelangen. Zwei möchte ich hier ganz kurz anführen:
1. Möglichkeit: Wir berechnen den Flächeninhalt des Quadrats (1 cm x 1 cm) und halbieren diesen Flächeninhalt, da das Quadrat durch die Funktion y=x halbiert wird.
2. Möglichkeit: Wir berechnen den Flächeninhalt des Dreiecks mit folgender Formel:
fed-Code einblenden

Nun berechnet bitte folgenden Flächeninhalt der schwarz markierten Fläche:
Parabel
Die Funktion des Graphen ist y=x².

Mit unseren Quadraten und Dreiecken kommen wir hier nicht weit.
Vielleicht kennt ihr die Methode, die ich jetzt anführen werde, schon aus dem Bereich Geometrie, wo ihr den Flächeninhalt des Kreises abschätzen solltet, um zu Pi zu gelangen.

Vorgehensweise:

1. Zuerst teilen wir die Fläche in 4 Säulen ein, die unter dem Graphen liegen. (Untersumme)

2. Nach diesem Schritt teilen wir den Graphen noch einmal in 4 Säulen ein, die auch über dem Graphen verlaufen und bilden daraus einen Mittelwert. (Obersumme)
Parabel2
Die Funktion ist ebenfalls y=x².

Nun berechnen wir die Obersumme und die Untersumme. Da wir die Breite (0,25) kennen, wissen wir durch den entsprechenden Funktionswert auch die Höhe einer Säule:

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Nun haben wir den Flächeninhalt ungefähr berechnet, indem wir nämlich 4 Säulen gewählt haben. Um den Flächeninhalt noch genauer auszurechnen nehmen wir nicht 4 Säulen, sondern n Säulen.

Und verfahren genauso wie bei der Berechnung mit 4 Säulen:
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2 Der Begriff des Integrals

2.1 Geometrische Definition des Integrals

Orientierter Flächeninhalt – Definition des Integrals:

- Flächeninhalte oberhalb der x-Achse haben ein positives Vorzeichen.
- Flächeninhalte unterhalb der x-Achse haben ein negatives Vorzeichen.

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Bild
2.2 Analytische Definition des Integrals

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3 Rechenregeln für Integrale

3.1 Faktorregel

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3.2. Summenregel

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Eine Summe wird gliedweise integriert.

3.3 Intervalladditivität

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Um zu beweisen, dass a, b und c beliebig sein können, führe ich folgenden Beweis an:

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4 Verwenden von Integralen zur Flächenberechnung


Der Graph f(x)=x²-3 schließt mit der x-Achse eine Fläche ein.
Berechne den Flächeninhalt der gesamten Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse

Vorgehensweise:

1. Zuerst sollten wir uns eine Zeichnung machen, um den Sachverhalt zu verdeutlichen.

Flächenberechnung
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5 Flächenberechnung zwischen 2 Graphen

1. Berechne den Inhalt der von dem Graphen von f und g eingeschlossenen Fläche.
f(x)=x²; g(x)=-x+2

Vorgehensweise:
1. Auch hier zeichnen wir uns wieder eine Skizze, um uns den Sachverhalt zu verdeutlichen.

Flächenberechnung2
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6 Zusammenfassung Teil I

Fassen wir noch einmal zusammen, was wir bis jetzt wissen:

1. Grundintegrale
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2. Rechenregeln
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3. Vereinfachungen
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4. Intervalladditivität
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5. Verwenden von Integralen zur Flächenberechnung:

f(x)=x²-3 [0; 3]

Vorgehensweise:

1. Zuerst berechnet man die Nullstellen.
2. Danach stellt man die entsprechenden Integrale mit den Integralgrenzen auf.
3. Zum Schluss stellt  man die Grundintegrale auf und addiert die einzelnen Flächeninhalte.

6. Flächeninhalt der Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen:
fed-Code einblenden

Vorgehensweise:

1. Zuerst berechnet man die Schnittpunkte der beiden Funktion f und g.
2. Danach stellt man die entsprechenden Integrale mit den Integralgrenzen auf.
3. Zum Schluss stellt  man die Grundintegrale auf und addiert die einzelnen Flächeninhalte.

7 Abschluss

Dies war nun der erste Teil der Serie „Einführung in die Integralrechnung“. Der zweite Teil wird sich um die Stammfunktion drehen. Schon so viel vorweg: Mit der Stammfunktion braucht man nicht mehr die Grundintegrale. Man kann also Integrale auf einer schnelleren Art berechnen. Aber ich will nicht zu viel verraten. Einfach auf den zweiten Teil warten, der schon in 2-3 Wochen erscheinen wird.
8 Quellenangabe

Ich habe mich sehr an mein wunderschönes, ausführliches und verständliches Schulbuch gehalten. Hier zu kaufen:
Bild

Bild
Teil 1: Einstieg in die Integralrechnung
Teil 2: Stammfunktionen & Co.
Teil 3: Rotationskörper
Teil 4: Uneigentliche Integrale
Teil 5: Wie findet man eine Stammfunktion?

Euer
Florian Modler

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2017.07 (14x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=intrealrechnung
201205-10 (14x)http://de.search-results.com/web?l=dis&o=100000045&q=Integralrechnung&atb=sys...
2012-2013 (14x)http://www.bing.com/search?q=einführung in die integralrechnung&src=ie9tr
2015-2016 (13x)http://esb1jockisch.lima-city.de/math/ait_math.htm
2012-2013 (13x)http://suche.t-online.de/fast-cgi/tsc?mandant=toi&device=html&portallanguage=...
2012-2013 (13x)http://www.schulseite.de/cms/modules/addresses/address_visit.php?cid=29&aid=8...
2013-2016 (12x)http://r.duckduckgo.com/l/?kh=-1
2012-2013 (12x)http://www.bing.com/search?q=Integralrechnung&src=IE-SearchBox&Form=IE8SRC
2012-2017 (11x)http://www.jsg-karlstadt.de/files/Materialien_Schueler/Klasse12_1.html
201201-07 (11x)http://ecosia.org/search.php?q=integralrechnung&addon=opensearch
2012-2014 (9x)http://esbnojockisch.es.funpic.de/math/ait_math.htm
2013-2015 (9x)http://search.conduit.com/Results.aspx?ctid=CT3241949&octid=CT3241949&SearchS...
2012-2014 (8x)http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/143275,0.html
2012-2016 (7x)http://suche.t-online.de/fast-cgi/tsc?sr=ptoweb&q=Integralrechnung Einführun...
2013-2015 (7x)http://search.globososo.com/web?hl=de&q=integralrechnung einführung
2012-2015 (7x)http://de.wikipedia.org/wiki/Integral_(Mathematik)
2012.02 (7x)http://suche.aol.de/aol/search?s_it=searchbox.webhome.a&v_t=na&q=integralrech...
201203-04 (7x)http://search.icq.com/search/afe_results.php?q=www.vkontakte.ru&ch_id=osd&ici...
2012.03 (7x)http://search.icq.com/search/afe_results.php?q=www.kaspersky.ru&ch_id=osd&ici...
2012-2015 (6x)http://www.bing.com/search?q=Integralrechnung Einführung&FORM=QSRE1
201204-05 (6x)http://de.search-results.com/web?l=dis&o=APN10098&q=Integralrechung beispiele...
201303-11 (6x)http://www.bing.com/search?q=Einführung In die Integralrechnung&FORM=R5FD6
201202-03 (6x)http://suche.aolsvc.de/aol/search?kw=1&q=integralrechnung
2012-2015 (6x)http://www.bing.com/search?q=Einführung In die Integralrechnung&FORM=QSRE1
2012-2013 (6x)http://de.search.yahoo.com/search;_ylt=ArzQlyY6yirltlnj9ADlh30qrK5_;_ylc=X1MD...
201204-08 (6x)http://suche.aol.de/aol/search?s_it=aolde-homePage&q=integralrechnung&lr=&rp=
2012.11 (6x)http://ecosia.org/search.php?addon=firefox&q=integralrechnung matheplanet
2014.03 (5x)http://esb1nojockisch.es.funpic.de/math/ait_math.htm
2012.11 (5x)http://de.search.yahoo.com/mobile/s?rewrite=72&.tsrc=apple&first=1&p=integral...
2012-2015 (5x)http://www.cosmiq.de/qa/show/2929266/Was-ist-eine-Integralrechnung/
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201206-09 (5x)http://m.yahoo.com/apple/onesearch?p=integralrechnung&pintl=de&pcarrier=MEDIO...
2012-2013 (5x)http://www.facebook.com/
201201-05 (5x)http://ecosia.org/search.php?q=integralrechnung
2013-2014 (5x)http://suche.t-online.de/fast-cgi/tsc?q=Integralrechnung&encQuery=Integral&la...
201202-04 (5x)http://suche.web.de/search/web/?mc=suche@web@eingabefeldoben.suche@web&langua...
2014-2015 (4x)http://www.bing.com/search?q=Integralrechnung Einführung&FORM=QSRE2
2012.12 (4x)http://avira-int.ask.com/web?q=integralrechnung&search=Suche&qsrc=0&o=APN1039...
2014-2015 (4x)http://search.conduit.com/Results.aspx?q=Einfuehrung Integralrechnung&meta=al...
201201-03 (4x)http://search.conduit.com/ResultsExt.aspx?ctid=CT2269050&SearchSource=3&q=Int...
2013.05 (4x)http://isearch.babylon.com/?q=integralrechnung&s=web&as=0&babsrc=HP_ss_gr
2013-2014 (4x)http://www.bing.com/search?q=integralrechnung&form=MSNH14&sc=8-4&sp=-1&qs=n&s...
2013-2016 (4x)http://suche.t-online.de/fast-cgi/tsc?sr=ptoweb&q=einführung integralrechnun...
2012-2015 (4x)http://suche.web.de/search/web/?origin=HP&mc=hp@suche.suche@home&su=Einführu...
2012.04 (4x)http://search.conduit.com/Results.aspx?q=integralrechnung&Suggest=&stype=Home...
2012-2015 (4x)http://www.bing.com/search?q=Integralrechnung Einführung&FORM=R5FD
2012-2013 (4x)http://www.bing.com/search?q=integralrechnung&form=APIPA1
2013-2016 (4x)http://florianmodler.de/index.php?site=publikationen-1

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" Mathematik: Einführung in die Integralrechnung" | 63 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Einführung in die Integralrechnung
von Neodor am Mo. 17. Oktober 2005 00:27:29


Genau sowas hab ich gesucht. Eine handliche für Schü+ler geschriebene Einführung in die Integralrechnung. Fehlt nurnoch etwas zur Differenzialrechnung. Danke für die Information.

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Re: Einführung in die Integralrechnung
von Gockel am Mo. 17. Oktober 2005 14:59:23


@Neodor:

Die Differentialrechnung ist z.B. in der Ana[rchie]-Artikelreihe besprochen worden:

Ana[rchie] II: Der Blitzableiter


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Re: Einführung in die Integralrechnung
von matroid am Mo. 17. Oktober 2005 20:35:55


Hi FlorianM,

da haben wir Dir nun eine sehr übersichtliche Darstellung der Integralrechnung und ihrer wichtigen Regeln zu verdanken. Es ist sehr gut, wie Du das gemacht hast, und es ist sehr gut, daß Du das gemacht hast, denn schon manchmal hat mich jemand, der noch keine Integralrechnung in der Schule gehabt hat, gefragt, was denn das eigentlich ist: die Integralrechnung. Darum mußte es endlich diesen Artikel geben.

Vielen Dank, und evtl. kannst Du beim zweiten Teil auf die Integralsammlungen von pendragon302 und andere thematisch angrenzende Artikel verweisen, denn vielleicht beginnt jemand hier zu lesen und freut sich, daß er weitere Verweise findet.

Viele Grüße
Matroid

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Re: Einführung in die Integralrechnung
von FlorianM am Di. 18. Oktober 2005 14:34:23


Danke für die netten Kommentare. Habe mich darüber sehr gefreut. Es ist immer wieder schön, wenn die Arbeit positives Feedback bekommt. smile
@matroid
Bei meinen anderen Artikel weise ich auf andere Artikel hin. smile Habe mir die Urls schon rausgesucht. smile

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Re: Einführung in die Integralrechnung
von Ex_Mitglied_40174 am Sa. 07. Januar 2006 10:08:07


Leider habe ich einen Fehler im Worddokument endeckt.Auf Seite 3
Zeile 21 steht, dass 15/32 =0,343375. Das ist aber falsch, denn 15/32=0.46875. Ansonsten fand ich den Artikel sehr hilfreich.

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Re: Einführung in die Integralrechnung
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 18. Januar 2006 08:03:13


unter 3.1 is auch ein fehler (4^4)/4 is meines erachtens nicht 16 sondern 64

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Re: Einführung in die Integralrechnung
von FlorianM am Mi. 18. Januar 2006 15:11:23


Danke für den Hinweis. Ist geändert, muss nur noch freigeschaltet werden. smile

Gruss Florian

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Re: Einführung in die Integralrechnung
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 09. Februar 2006 12:22:39


Genial!
Vielen herzlichen Dank für diesen Artikel!

Gruss
Rolf

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Re: Einführung in die Integralrechnung
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 17. Februar 2006 04:26:33


Kanns sein das in dem Artikel mehr als ein Fehler ist???

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Re: Einführung in die Integralrechnung
von matroid am Fr. 17. Februar 2006 06:42:57


Um das zu beweisen, müßtest Du zwei Fehler finden.

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Re: Einführung in die Integralrechnung
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 02. März 2006 19:49:15


jo florian, ich kenn dich zwar nicht, aber vielen dank, deine artikel sind genau das was ich brauche um mich auf mein vorabi morgen vorzubereiten,....DANKE

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Re: Einführung in die Integralrechnung
von Ex_Mitglied_40174 am Sa. 04. März 2006 11:41:28


hey florian,
danke, danke, danke! du hast unser leben (und das abi) gerettet!
lg,
anna,
kathi,
pia

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Re: Einführung in die Integralrechnung
von FlorianM am Fr. 14. April 2006 15:14:43


Freut mich, dass ich euch helfen kann. smile
Viel Glück beim Abitur!

Gruss Florian

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Re: Einführung in die Integralrechnung
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 19. April 2006 21:41:09


Lieber Florian,
danke für die tolle Einführung in die Integralrechnung. Deine Ausführungen sind wirklich gut zu verstehen.
Schau Dir bitte die doc-Version noch einmal genauer an.
Gruß
Wolfgang



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Re: Einführung in die Integralrechnung
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 19. Juni 2006 20:00:43


danke danke danke meine klausur ist gerettet!!!!

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Re: Einführung in die Integralrechnung
von FlorianM am Sa. 24. Juni 2006 10:02:12


Hallo,
danke für die netten Kommentare. Sind bei der Doc-Version noch Fehler drin? Dann schreib mir doch bitte die Seite. Danke.

Gruss Florian

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Re: Einführung in die Integralrechnung
von Ex_Mitglied_40174 am Sa. 09. Dezember 2006 19:29:51


kann es sein dass aufgabe 1a falsch ist?nach meiner lösung müsste für k 1 und -3 rauskommen.

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Re: Einführung in die Integralrechnung
von fru am So. 10. Dezember 2006 00:52:42


Danke, anonymer Schreiber, für Deine Aufmerksamkeit
und die Berichtigung des Rechenfehlers.

Die Änderung habe ich bereits beantragt
wurde bereits durchgeführt.

Liebe Grüße, Franz

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Re: Einführung in die Integralrechnung
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 13. Dezember 2006 20:00:10


Erstmal hallo
Danach schulde ich dir ein grosses Danke;denn dein Artikel hat mir sehr geholfen ich kam bei eine aufgabe nicht klar,Die aufgabe war über "Flächenberechnung zwischen 2 Graphen".Aber dein Artikel hat mir weiter geholfen und ich konnte miene aufgabe richtig rechnen.
Danke nochmal!

 [Bearbeiten]

Re: Einführung in die Integralrechnung
von FlorianM am Fr. 12. Januar 2007 19:36:44


Hallo,
so etwas hört man sehr gerne. smile

Gruss Florian

 [Bearbeiten]

Re: Einführung in die Integralrechnung
von Ex_Mitglied_40174 am Sa. 27. Januar 2007 17:38:01


also mit dieser seite ist mein abi glaube ich gerettet!Vielen vielen dank!Staufenerin

 [Bearbeiten]

Re: Einführung in die Integralrechnung
von FlorianM am Mi. 28. Februar 2007 21:15:54


Bitte. smile Schön, dass dir der Artikel hilft.

Gruss Florian

 [Bearbeiten]

Re: Einführung in die Integralrechnung
von Ex_Mitglied_40174 am Sa. 03. März 2007 19:29:51


Danke für den Artikel. Ich hätte noch eine Frage. Bei der Berechnung der Untersumme bei dem Beispiel mit den Säulen verstehe ich nicht wie man auf die 9/16 kommt. Eigentlich möchte man doch 4 Säulen berechnen es scheint aber so zu sein, dass nur 3 berechnet werden oder?
Vielleicht könnte jemand so nett sein und den folgenden Satz nochmal näher erläutern.
"Da wir die Breite kennen, wissen wir durch den entsprechenden Funktionswert auch die Höhe"

Danke.
Gruß Tom

 [Bearbeiten]

Re: Einführung in die Integralrechnung
von KingGeorge am Sa. 03. März 2007 20:46:07


fed-Code einblenden

 [Bearbeiten]

Re: Einführung in die Integralrechnung
von Ex_Mitglied_40174 am Sa. 10. März 2007 11:46:18


Danke Georg!
Gute Erklärung.

Gruß Tom

 [Bearbeiten]

Re: Einführung in die Integralrechnung
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 14. März 2007 22:14:14


Oh Man, ich häng jetzt heute und morgen an dieser Seite dran und versuch mein Abi gerade so zu schaffen... Ist schon echt cool, dass man doch endlich was hilfreiches findet, um sich gut vorzubereiten, wenn man zu Hause nicht die nötigen Materialien dafür hat!
Danke dafür.
Gruß (ich bleib lieber Anonym, nicht, dass mich meine Mitschüler noch auslachen, weil ich jetzt erst richtig mit lernen anfange  frown

 [Bearbeiten]

Re: Einführung in die Integralrechnung
von FlorianM am Do. 15. März 2007 07:23:02


Hehe. Gerne.  smile

Wann stehen denn die ersten Prüfungen an? Wünsche dir dabei viel Erfolg!  wink

Gruss Florian

 [Bearbeiten]

Re: Einführung in die Integralrechnung
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 15. März 2007 18:26:07


super Einführungstext  smile  wirklich gut gelungen!!

 [Bearbeiten]

Re: Einführung in die Integralrechnung
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 21. März 2007 17:16:14


DANKE!
Dank der Einführung habe ich in der letzten Arbeit satte 15 Punkte gehabt! biggrin
Absolut genial!

 [Bearbeiten]

Re: Einführung in die Integralrechnung
von DrKarpfen am Mi. 11. April 2007 23:12:54


Wirklich klasse und so ausführlich und verständlich, wie ich es schon lange nicht mehr gesehen habe. Danke für diese Top-Erklärung und weiter so!

 [Bearbeiten]

Re: Einführung in die Integralrechnung
von FlorianM am Do. 12. April 2007 09:55:23


Vielen Dank, DrKarpfen.

Gruss Florian

 [Bearbeiten]

Re: Einführung in die Integralrechnung
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 18. April 2007 09:20:24


Einige Sachen muss man sich aus dem Zusammenhang erraten. Ist mir immer noch zu schwer.

 [Bearbeiten]

Re: Einführung in die Integralrechnung
von Ex_Mitglied_40174 am Sa. 21. April 2007 01:10:50


Hallo ich hab mal eine Frage, und zwar ganz oben beim ersten Beisppiel wo steht : An dieser Stelle müssen wir eine Formel verwenden, die ihr in der Formelsammlung.....

(1+4+9+...+ (n-1)²) = (n-1)n * (2n-1)  /6

Wikipedia sagt aller dings :  1+2+3+...+n = n(n+1) / 2 !!!

kann mir jemand diese Umformung erklären ?
Ich habe (n-1)² für das n in der Wikipediaformel eingesetzt bin bin auf ein anderes Ergebnis gekommen.

Vielen Dank schonmal im Vorraus !

 [Bearbeiten]

Re: Einführung in die Integralrechnung
von fru am Sa. 21. April 2007 02:52:02


Hi Anonymous, beide Formeln sind richtig !

In der ersten werden aber nur die ersten Quadratzahlen summiert,
in der zweiten jedoch alle natürlichen Zahlen bis zu einer Grenze.

Dein "Wikipedia sagt allerdings" ist also völlig unangebracht,
weil die Wikipediaformel ja von etwas ganz Anderem handelt.
Die beiden Formeln haben so gut wie nichts miteinander zu tun;
die erste ist jedenfalls keine Umformung der zweiten (wie Du
offenbar vermutest) !

Du wunderst Dich doch eigentlich nur darüber,
daß bei 1+2+3=6 etwas anderes herauskommt als bei 1+4=5
(hierbei habe ich in beiden Formel einfach n=3 gesetzt).

Aber was sollte daran verwunderlicher sein als z.B. an der
Selbstverständlichkeit, daß bei einer Halbierung Deines Vermögens
i.A. nicht dasselbe herauskommt wie bei einer Verdreifachung ?


Liebe Grüße, Franz

 [Bearbeiten]

Re: Einführung in die Integralrechnung
von Ex_Mitglied_40174 am Sa. 21. April 2007 10:42:37


Okay danke für die schnelle Antwort. Wie gesagt ich hatte von dieser Formel noch nie etwas gehört und bin auch in meiner Formelsammlung nicht fündig gewordenen.

Könntest du mir vielleicht kurz die, für diesen Zweck "richtige", Ausgangsformel aufschreiben ?

Das würde mir sehr weiterhelfen

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Re: Einführung in die Integralrechnung
von fru am Sa. 21. April 2007 12:12:38


Hi, ich bin nicht ganz sicher, ob ich Deine Bitte richtig verstehe:

Suchst Du nach einem Beweis für die erste der beiden Formeln, also für

fed-Code einblenden


Falls ja: Kennst Du die Beweismethode der "vollständigen Induktion" ?
Damit läßt sich diese Formel standardmäßig beweisen.
Es gibt aber auch andere Möglichkeiten.

Im Forum finden sich sicherlich schon Dutzende Threads,
die einen Beweis dafür enthalten. Die

Forumsuche

kann Dir dabei behilflich sein, z.B. mit dem Suchbegriff

sum(k^2


Falls Du weitere Hilfe dazu brauchst, dann melde Dich bitte an
und stelle Deine konkreten Fragen dazu im Mathematikforum.
Dort ist dann auch der richtige Ort für so etwas,
es wird Dir mit Sicherheit sehr rasch geholfen werden können.


Liebe Grüße, Franz

 [Bearbeiten]

Re: Einführung in die Integralrechnung
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 07. Mai 2007 18:57:10


hi ich hab mal eine Frage:

Wenn man erst eine beliebige Fläche ausrechnen muss, (was ich denk ich nun endlich zustande bekomme) und dann brechnen soll, welche funktion Y=x^n (also welchen (n)-ten Grades diese Fläche halbiert...
wie kann ich das berechnen?

würd mich sehr freuen über Hilfe!
danke...

ansonsten danke für den super Text, da hab ich endlich vieles verstanden,was eigentlich fast schon ein Wunder ist

 [Bearbeiten]

Re: Einführung in die Integralrechnung
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 07. Mai 2007 19:02:14


genauer:
Zeichne das Dreieck mit den Ecken O(0|0), A(1|0),B(1|1),.
Bestimme n€N, som dass die parabel K:y=X^n (das ^soll hoch bedeuten)
die Fläche des Dreiecks OAB halbiert.
 confused

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Dreieck mit den Ecken
von SchuBi am Mo. 07. Mai 2007 20:18:36


Hallo, anon!
Wenn du Probleme mit dieser Aufgabe hast, dann melde dich im Forum an und poste die Aufgabe dort.
Dann können wir dir qualifiziert weiterhelfen smile

 [Bearbeiten]

Re: Einführung in die Integralrechnung
von Ex_Mitglied_40174 am So. 27. Mai 2007 17:44:20


Ich lerne mir gerade mit dieser Einführung die Integralrechnung  smile . Ich hatte schon mal angefangen von ner Bekannten das Mathebuch durchzulesen und mach jetzt hier weiter.

Macht echt Spaß bis hierhin. Ich bin gerade in der 10., falls es jemanden  interessiert und kann Kurvendiskussion, was wegen des Grenzwertbegriffs recht gut ist.

Danke für diese Einführung xD

Gruß, Anne

 [Bearbeiten]

Kurze Frage
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 31. Mai 2007 19:24:15


Es geht um die Formel im folgenden Abschnitt:

"Allgemein im Intervall [0;b] heißt das:
fed-Code einblenden
"

Müßte es nicht lauten:

fed-Code einblenden

(Falls nicht warum nicht ?)

Danke im Voraus smile

Gruß Andi

 [Bearbeiten]

Re: Einführung in die Integralrechnung
von FlorianM am Do. 31. Mai 2007 19:43:15


Hi Andi,
ja klar. Du hast natürlich Recht. Dabei handelt es sich um einen Tippfehler. Habs korrigiert. smile

Gruss Florian

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Re: Einführung in die Integralrechnung
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 30. Juli 2007 22:24:54


Erstmal ein Danke an den Verfasser fand den Artikel ziemlich hilfreich.

Bei der Beispielrechnung bezüglich der eingeschlossenen Fläche ziwschen den 2 graphen f(x)=x^2 und g(x)=-x+2, also kanns sein dass der Flächeninhalt nicht 4,5 sondern 9,8Periode3 beträgt? Ich habe das ganze zwar mithilfe der Stammfunktion berechnet aber das ist ja ziemlich egal, ich mach das jetz mal ohne die Rechnung irgedwie zu vereinfachen=
fed-Code einblenden
Habe ich beides mehrere Male und mit verschiedenen Vereinfachungen zum Üben etc ausgerechnet und kommt immer dasselbe raus..

 [Bearbeiten]

zu den Ergebnissen von zwei Beispielen
von SchuBi am Di. 31. Juli 2007 09:48:47


Du erhältst beim 1. Beispiel einen negativen Wert, weil die Integrationsgrenzen "vertauscht" sind., d.h. die größere Grenze 1 ist untere Grenze des Integrals.
fed-Code einblenden
Das Ergebnis des 2. Integrals ist 68,25.

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Re: Einführung in die Integralrechnung
von Ex_Mitglied_40174 am So. 09. September 2007 21:54:11


Hallo!!
Einen großen Dank möchte ich den Leuten ausprechen, die diese Seite hier erstellt haben. Endlich mal eine umfangreiche Erklärung in einem deutsch, dass selbst sogenannte "Mathe-nix-versteher" wie ich verstehen können. Ich hätte mir noch Übungsaufgaben mit Lösungen gewünscht, damit sich mein jetzt gewonnener Optimismus bestätigt =)
Danke Danke Danke =)
Morgen werde ich in Mathe glänzen. *hehe*
Lg Svenja

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Re: Einführung in die Integralrechnung
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 09. Oktober 2007 16:43:41


so leids mir tut, für mich als schüler der 12. klasse der über kein mathematisches Grundwissen verfügt ist dieser artikel komplett unverständlich.  frown
es fehlen einfach viel zu viele zwischenschritte bzw. erklärungen.
mfg ben

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Re: Einführung in die Integralrechnung
von iceliner am Mo. 07. Januar 2008 11:51:35


vielen Dank für die Beschreibung, ich habe gestern mit meinem Sohn für ne Arbeit gelernt. Da es bei mir schon 25 Jahre her ist, habe ich innerhalb einer Stunde mir das nötige Wissen angeeignet. Ich meine damals habe ich es nicht kapiert, jetzt schon. Die ersten Seiten habe ich ausgelassen. Entscheidend ist doch, dass man weiß wie die Grundfunktionen funktionieren. So ließen sich alle Aufgaben lösen. Jetzt suche ich nur noch die Beschreibung der Stammfunktion.

Danke und Gruß
Thomas eek  eek

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Re: Einführung in die Integralrechnung
von Ex_Mitglied_21316 am Di. 15. Januar 2008 19:51:53


hi erstmal...
ich verstehe nicht wie du woher ((n-1)/n)^2 kommt....
außerdem kann ich an der lösung nicht erkennen, ob ich es richtig gerechnet hab. du hast an vielen stellen zahlen durch ... ersetzt wodurch ich mir nicht sicher bin , ob meine lösung richtig ist.
wäre dankbar wenn mir jemand mal alles erklären könnte.

mfg ahmet

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Re: Einführung in die Integralrechnung
von Ex_Mitglied_40174 am So. 20. Januar 2008 15:04:26


hallöchen erstmal vielen dank für die mühe!! ich bin auch schülerin der 12. klasse und finde den artikel brillant geschrieben. es ist wirklich sehr gut erklärt und auch die hinführung zum thema war mir eine große hilfe die notwendigkeit von integralrechnung zu begreifen.  wink  smile

Vielen Dank!

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Re: Einführung in die Integralrechnung
von FlorianM am So. 20. Januar 2008 20:38:14


Hallo,
ich dank dir für das nette Lob. smile

Gruss Florian

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Re: Einführung in die Integralrechnung
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 05. Februar 2008 15:29:45


Echt Toll =) Habs endlich mal gecheckt=)

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Re: Einführung in die Integralrechnung
von FlorianM am Di. 05. Februar 2008 17:53:55


Hi,
das freut mich sehr! smile Weiterhin viel Erfolg!

Gruss Florian

 [Bearbeiten]

Re: Einführung in die Integralrechnung
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 03. April 2008 18:08:50


Hallo,

ich bin aus der 10ten Klasse und hab noch lange kein Integral in der Schule. Aber mir macht Mathematik Spaß und diese Seite hat mir eine Möglichkeit geben, die Integralrechnung mir selber beizubringen.

Die seite ist echt spitze
mfg Flo

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Re: Einführung in die Integralrechnung
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 23. April 2008 11:00:12


Lieben Dank!
Lange nach sowas gut verständlichem gesucht und endlich gefunden!!!!
 smile

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Re: Einführung in die Integralrechnung
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 13. Oktober 2009 00:21:38


Ich habe eine laienhafte Frage zu dem Kapitel 2.1, Grundintegrale

Integral über x³ = b hoch 4 minus a hoch 4, dies alles durch 4
Wie kommt man zu den Zahlen im Nenner und Zähler ?

Bitte erläutern Sie mir auch die Zahlen im Nenner und Zähler vom Integral von a nach b für x².

Danke für Ihre Geduld. Entschuldigung, dass ich im Internet nicht die Taste für das hochstellen der Zahlen finde.


MfG

EP

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Re: Einführung in die Integralrechnung
von Planlos89 am Fr. 19. November 2010 15:05:49


Ich verstehe nicht, wieso in der Rechnung ganz am Anfang - nach den drei Integralen:
1. fed-Code einblenden
2. wie es scheint nur 3 Säulen addiert werden? =/

 [Bearbeiten]

Re: Einführung in die Integralrechnung
von Diophant am Sa. 20. November 2010 12:00:45


Hallo Planlos89,

dort wird die Untersumme berechnet, und die Höhe der ersten Säule ist dabei gleich Null.

Gruß, Diophant

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Re: Einführung in die Integralrechnung
von Ex_Mitglied_40174 am So. 03. April 2011 17:36:31


hey,

genau das habe ich gesucht  biggrin
lerne grad für die abivorbereitung (mathe mündlich^^) und da ist das genau das richtige...alles super erklärt und gut nachzuvollziehen^^ bin jetzt wieder voll drin in dem thema^^

LG
Jana


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Re: Einführung in die Integralrechnung
von Ex_Mitglied_40174 am Sa. 02. Juli 2011 13:10:27


Das ist total unverständlich für Anfänger. confused
Woher kommen denn im ersten Schritt die 9/16? frown  Ich wollte in das Thema eingeführt werden um mich auf die 11. Klasse vorzubereiten, aber dafür ist das viel zu unverständlich. mad

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Re: Einführung in die Integralrechnung
von fru am Sa. 02. Juli 2011 13:49:11


Hallo Anonymer!

2011-07-02 13:10:27 - Anonymus schreibt:
Woher kommen denn im ersten Schritt die 9/16?

Das ist die Länge des größten (am weitesten rechts gelegenen) der drei Rechtecke, deren Flächen zusammen die Untersumme bilden:

Der voranstehende Faktor 1/4 ist die (allen Rechtecken gemeinsame) Breite, und die Länge (oder Höhe) ist gleich dem Funktionswert

f(3/4)=(3/4)2

an der Stelle x=3/4.

Liebe Grüße, Franz

PS: Falls Du mehr darüber wissen willst, dann melde Dich bitte an und eröffne für Deine Fragen im Forum einen eigenen Thread. Die Kommentare hier sind nicht der geeignete Ort für die Klärung solcher Probleme.

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Re: Einführung in die Integralrechnung
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 23. August 2012 08:53:32


moin...
ich hätte eine Frage zu folgender, hier behandelter Aufgabe:

fed-Code einblenden

wie komme ich auf die Gleichung

fed-Code einblenden

ich verstehe die MINUS 1/2 nicht.
wenn
fed-Code einblenden

ist, hier aber bei -1 begonnen wird muss doch die Fläche con -1 bis 0 dazu addiert werden und nicht abgezogen werden??

Danke schon mal für die Hilfe

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Re: Einführung in die Integralrechnung
von fru am Do. 23. August 2012 11:42:59


Hallo Anonymer!

fed-Code einblenden

Liebe Grüße, Franz

PS: Für weitere Fragen eröffne bitte im Forum einen eigenen Thread!

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Re: Einführung in die Integralrechnung
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 24. August 2012 11:50:26


Danke Franz... deshalt steht in der Definition auch ORIENTIERTER Flächenenhalt ^^ habe es anfangs nicht verstanden.

mfg
ich

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