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Stern Mathematik: Das regelmäßige 17-Eck
Freigegeben von matroid am So. 23. Oktober 2005 12:09:58
Verfasst von shadowking -   29615 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

\(\begingroup\)
Das regelmäßige Siebzehneck


     regelmäßiges Siebzehneck

Carl Friedrich hat seinen 17. Geburtstag. Zur Feier hat er 16 Gäste eingeladen, und es soll einen runden Kuchen geben. Nun sind die Gäste eifersüchtig darauf bedacht, alle ein Kuchenstück in exakt der gleichen Form wie das von Carl Friedrich zu bekommen, denn keiner möchte sich ungerecht behandelt fühlen. Und da die Gäste alle glühende Verehrer der Euklidischen Geometrie sind, sollen bei der Kuchenverteilung nur Lineal und Zirkel zum Einsatz kommen.

Was ist zu tun?


Zur pdf-Version dieses Artikels:
hier

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"So viel Glück kann man auch nur an seinem Geburtstag haben",
denkt Carl Friedrich.
Das vertrackte Kuchenproblem kann also angegangen werden.


 


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Der Rest ist nun, wie bereits einiges von der Vorarbeit, reine
Fleißsache: die Vorgehensweise zur Konstruktion einer Strecke,
die so lang ist wie die Wurzel einer bereits zuvor konstruierten
Strecke, hatten Carl Friedrich und seine Freunde im
Geometrieunterricht behandelt.

Damit können sie nun endlich den Geburtstagskuchen in 17 völlig
gleiche Stücke schneiden, und es gibt keinen Anlass zum Streit.

Eine besonders kurze, platzsparende und sogar leicht zu merkende
Vorgehensweise, wie man dieses auch auf seiner eigenen Geburtstagsparty
erreichen kann, möchte ich hier aufzeigen (siehe Skizze).
Ein anderes Thema ist, nachzuweisen, dass die x-Koordinate des letzten
Endes konstruierten Punktes P1 tatsächlich den obengenannten
Zahlwert hat - man möge sich auf lange, fehlerträchtige Rechnungen mit
horrenden Wurzelausdrücken einstellen!

Konstruktionsanleitung:

  • Zeichnen eines ausreichend großen Kreises k1 um 0,


  • Zeichnen eines Durchmessers AB und Konstruktion der
    Mittelsenkrechten  m1, die den Kreis k1
    in C und D schneidet,


  • Konstruktion des Mittelpunktes E von C0,


  • Konstruktion des Mittelpunktes F von E0, Zeichnen von FB,


  • Konstruktion der Winkelhalbierenden w1 des Winkels BF0,


  • Konstruktion der Winkelhalbierenden w2 des Winkels zwischen
    m1 und w1, die mit AB den Schnittpunkt G hat,


  • Konstruktion einer Senkrechten o1 zu w2 durch den
    Punkt F,


  • Konstruktion der Winkelhalbierenden w3 zwischen o1 und w2 mit dem
    Schnittpunkt H von w3 und AB,


  • Konstruktion des Thaleskreises k2 über der Strecke HB mit
    den Schnittpunkten J und K von k2 und CD,


  • Konstruktion eines Kreises k3 um G, der durch J und K verläuft
    und der AB in den Punkten L und N schneidet (Achtung: N liegt
    sehr nahe am Mittelpunkt M des Thaleskreises k2),


  • Konstruktion einer Tangente zu k3 durch N.


Die Schnittpunkte der Tangente mit k1 sind die Punkte P3
und P14 des regelmäßigen Siebzehnecks. Ausgehend von B = P0
lassen sich durch fortgesetztes Abtragen des Abstandes P0P3
auf der Kreislinie k1 alle weiteren Punkte des Siebzehnecks
konstruieren.






Noch ein wenig Legende:

1894 lieferte ein Doktorand der Mathematik, Johann Gustav Hermes, an
der Mathematischen Fakultät der Universität Königsberg einen Koffer ab.
Der Inhalt waren etwa 10.000 handgeschriebene Seiten, auf denen er
mit vergleichbaren Methoden die Konstruktion eines anderen regelmäßigen
n-Ecks behandelt: des 65.537-Ecks. Es handelte sich um den Ertrag seiner
zehnjährigen Bemühungen, den Doktorgrad zu erlangen, und die Professoren
hatten bereits geglaubt, er werde es niemals zum Ende bringen.
Nun hatten sie, die ihm die Aufgabe aus mangelnder Sympathie gestellt
hatten, ein ordentliches Problem am Hals: Sie mussten Hermes nachweisen,
dass seine Konstruktion falsch war, um zu verhindern, dass er den Doktorhut
bekam. Davor kapitulierten die Professoren, und Hermes wurde Doktor.

Soweit die Legende. Johann Gustav Hermes wurde am 20.6.1846 in Königsberg
geboren, studierte dort 1866-1870 und promovierte 1878 mit "Zurückführung
des Problems der Kreistheilung auf lineare Gleichungen für Primzahlen von der
Form 2^m+1". Er starb am 8.6.1912 in Oeynhausen.

Diese Dissertation ist nicht zu verwechseln mit seinem unveröffentlichten
Manuskript vom 4.11.1879 "Johann Gustav Hermes. Diarium zur Kreisteilung.
Konstruction des regulären 65537-Ecks. Königsberg in Pr., Umfang: 219
Seiten, Format: 59 x 48,5 cm.

Der Koffer mit dem Manuskript überstand beide Weltkriege und wird heute
in der Bibliothek der Mathematischen Fakultät der Universität Göttingen
aufbewahrt.

 
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Mathematisch für fortgeschrittene Anfänger
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: Algebra :: Geometrie :: Grundstudium Mathematik :
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" Stern Mathematik: Das regelmäßige 17-Eck" | 17 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Das regelmäßige 17-Eck
von Morris am So. 23. Oktober 2005 12:50:47

\(\begingroup\)
Hallo Norbert!
Ich freue mich sehr über diesen Artikel. Ich habe mich als Schüler einmal auf die Suche nach einer Konstruktionsanleitung für das 17-Eck gemacht, und nach einer kleinen Odyssee durch diverse Bibliotheken habe ich dann auch eine gefunden und die Konstruktion tatsächlich mit Zirkel und Lineal auf dem Papier durchgeführt. Die Konstruktion, die ich kenne, kommt mit einem festen Kreis und ansonsten nur dem Lineal aus, braucht aber dafür mehr Platz als Deine. Spätestens seit dieser Zeit bin ich ein großer Freund von Konstruktionen mit Zirkel und Lineal und freue mich deshalb, daß Du uns hier dieses berühmte Problem nicht nur theoretisch, sondern eben auch mit konkreter Konstruktion vorgestellt hast.

Morris\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Das regelmäßige 17-Eck
von Hank am So. 23. Oktober 2005 13:07:53

\(\begingroup\)
Hallo,

soweit ich weis hat ein Mathematiker aus Göttingen
in den 20er Jahren des 20 Jahrhunderts in analogie zu
Gauß eine Konstruktion des regelmäßigen 256 Ecks mit Zirkel und
Lineal vorgenommen.


Ich weis allerdings nicht ob das stimmt. Wäre aber bestimmt
interessant.

Gruß Hank\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Das regelmäßige 17-Eck
von Rebecca am So. 23. Oktober 2005 14:21:51

\(\begingroup\)
Hi Norbert,

ein sehr schöner Artikel über die mathematischen Hintergründe zur Konstruktion. Vor gut zwei Jahren hatte ich das 17-Eck mal mit dem fedgeo kontruiert:

fed-Code einblenden

Gruß
Rebecca
\(\endgroup\)

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Re: Das regelmäßige 17-Eck
von matroid am So. 23. Oktober 2005 15:10:43

\(\begingroup\)
Hallo shadowking,

als ich heute morgen Deinen Artikel vorgefunden habe, war ich gleich sehr erfreut. Das 17-Eck ist ein dankbares Thema und Deine Darstellung ist wirklich gut nachvollziehbar, und durch die kleine Rahmenhandlung auch didaktisch sehr interessant. So, Schritt für Schritt, kann ich mir vorstellen, daß der junge Carl Friedrich die Konstruktion geschafft hat.

Gruß
Matroid


PS: @Rebecca: Danke, daß Du Deine Konstruktion eingefügt hast. Ich weiß noch wie ich stolz damals war, daß man die Konstruktion mit dem fed machen konnte.\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Das regelmäßige 17-Eck
von zudumm am So. 23. Oktober 2005 19:02:01

\(\begingroup\)
Gewaltig.Das ist einer der Momente, wo man vor Ehrfurcht erstarrt angesichts der unendlichen Weiten der Mathematik. Bravo Shadow.\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Das regelmäßige 17-Eck
von Wally am Mo. 24. Oktober 2005 09:04:59

\(\begingroup\)
Hallo, Norbert,

ein sehr schöner Artikel.

Wally\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Das regelmäßige 17-Eck
von RedStar am Sa. 05. November 2005 15:19:22

\(\begingroup\)
Unglücklicherweise hat Eve, noch während Carl Friedrich, Alice, Bob, und all seine anderen Gäste am Konstruieren waren, den ganzen Kuchen allein aufgegessen. wink

Eine Anmerkung hätte ich noch: Das ganze macht nur Sinn, wenn der Kuchen eine homogene Dichteverteilung hat, und, sofern es ein Kuchen mit Zutaten ist, die nur in Vielfachen ganzer Zahlen auftauchen (Kirschen z.B.), die Anzahl dieser Zutaten durch 17 teilbar sein muss. Sonst "könnte sich einer der Gäste ungerecht behandelt fühlen"...

Wie? Oh, sorry, ich fürchte, ich bin noch zu sehr in der Realität verwurzelt, dass ich solche vollkommen lächerlichen Nebenbedingungen beachte ...

jk smile

MfG Red*Star\(\endgroup\)

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Re: Das regelmäßige 17-Eck
von Mentat am Mo. 28. November 2005 17:08:19

\(\begingroup\)
Ein beeindruckender Artikel.

Kurze Anmerkung: Ist ein 256 Eck nicht recht einfach zu konstruieren?
Schließlich ist 256 eine Potenz von 2 und Winkelhalbierung ist mit Zirkel und Lineal trivial.

Oder habe ich da etwas grundsätzlich falsch verstanden?\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Das regelmäßige 17-Eck
von Gockel am Mo. 28. November 2005 17:37:31

\(\begingroup\)
Ja, das 256-Eck ist einfach.
Das was da konstruiert wurde war vielleicht das (2^16+1) Eck, da meine ich auch mal was von gehört zu haben...

mfg Gockel.\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Das regelmäßige 17-Eck
von Morris am Mo. 28. November 2005 18:13:19

\(\begingroup\)
Es handelt sich um das 65537 (2^(2^4)+1) Eck. Johann Gustav Hermes (Vornamen nicht sicher) hat ca. 10 Jahre an der algebraischen Vorarbeit und der Konstruktion gearbeitet. Das Werk, das höchstwahrscheinlich noch nie gelesen worden ist, lagert nun im Mathematischen Institut der Universität Göttingen (die Arbeit wurde aber in Königsberg durchgeführt).

Gruß Morris\(\endgroup\)

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Re: Das regelmäßige 17-Eck
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 14. April 2006 12:31:50

\(\begingroup\)
hey
kann man das nicht irgendwie verständlich machen für schüler die noch nicht so weit sind?? ich soll ein vortrag über carl friedrich gauß halten und muss alles erklären doch ich verstehe das was da oben ist üebrhaupt nicht!!!!\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Das regelmäßige 17-Eck
von Gockel am Fr. 14. April 2006 19:36:32

\(\begingroup\)
Hi.

Ich wage einfach mal zu behaupten, dass es sogut wie unmöglich ist, den kompletten Beweis für Schüler verständlich zu machen (zumindest in der Zeit eines Vortrages).
Ich glaube auch nicht, dass das sonderlich interessant wäre für den Durchschnittsschüler (der ja mit Mathe eh nix am Hut hat, leider). Vielleicht solltest du dich einfach auf den Fakt beschränken, dass es Gauß gelungen ist, nachzuweisen, dass die Konstruktion des 17-Ecks wirklich möglich ist und dass er sie dann auch durchgeführt hat (ob nun auf die hier beschriebene Weise, sei dahingestellt...).
Das ist nämlich gar nicht so selbstverständlich. In der Tat kann man viele n-Ecke nicht mit Zirkel und Lineal konstruieren (das regelmäßige 9-Eck z.B. nicht).

mfg Gockel.\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Das regelmäßige 17-Eck
von Ex_Mitglied_40174 am So. 30. Oktober 2011 20:01:37

\(\begingroup\)
Hey hast du ein paar Quellen zu deinem Text ?

--\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Das regelmäßige 17-Eck
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 06. Juni 2012 22:24:28

\(\begingroup\)
Habe gerade eine sehr elementare Darstellung der 17 Eck Konstruktion im Kapitel 7 von "Algebra für Einsteiger" von Jörg Bewersdorff gelesen. Dort braucht es noch keine Körpertürme. Gauss hatte bei seiner  Konstruktion die Galois Theorie ja auch noch nicht zur Hand.
Eventuell könnte diese Darstellung für interessierte Schüler zum Nachvollziehen reichen und zur modernen Algebra motivieren.

\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Das regelmäßige 17-Eck
von Martin_Infinite am Mi. 06. Juni 2012 22:32:42

\(\begingroup\)
Das würde mich sowieso einmal interessieren, wie Gauss damals auf diese Konstruktionen gekommen ist. Galoistheorie gab es definitiv noch nicht. Auch habe ich letztens irgendwo gelesen, dass Gauss auch gezeigt hat, dass man gewisse regelmäßige n-Ecke nicht konstruieren kann; das glaube ich aber nicht ... hat da jemand einen historischen Überblick? Vielleicht sollte ich mal die Disquisitiones lesen ...\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Das regelmäßige 17-Eck
von Ex_Mitglied_40174 am Sa. 08. November 2014 11:09:26

\(\begingroup\)
Ich glaube, es ist möglich, das Problem auf elementare Rechenschritte zu reduzieren. Dazu muss man zuerst einmal zeigen, was Gauss motiviert hat, die zyklische Gruppe mod 3^n innerhalb von Z_17 zu durchlaufen, und wie diese Untergruppen auf natürliche Weise zerfallen. Wenn ich mehr darüber weiss, melde ich mich wieder

ciao
Gerald

\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Das regelmäßige 17-Eck
von shadowking am Sa. 17. Dezember 2016 00:50:13

\(\begingroup\)
Gauß selbst war es nicht, der auf die am Ende des Artikels dargestellte Konstruktion kam; die stammt von Herbert William Richmond (1895). Gauß hat, soweit mir bekannt, selbst keine Konstruktion des Siebzehnecks gefunden (das war wohl auch nicht sein Ehrgeiz; sollten das andere tun). Er hat gezeigt, daß ein regelmäßiges <math>n</math>-Eck genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, wenn
<math>\displaystyle n=2^m\cdot\prod_{k=1}^n (2^{2^{a_k}}+1)</math>,
wobei <math>m, n \in\mathbb{N}, \forall k \in \{1,\ldots,n\} \,a_k \in\mathbb{N}</math>, die Faktoren im Produkt sämtlich prim sind und jeder genau einmal auftritt. Er konnte darauf kommen, ohne die volle Galoistheorie zu besitzen, indem er sein Konzept der quadratischen Reste und Nichtreste anwendete.

Gauß soll mit Stolz auf seine Entdeckung des quadratischen Reziprozitätsgesetzes geblickt haben, das ein Kriterium liefert, wann eine Zahl modulo einer anderen ein Quadrat oder kein Quadrat ist. Und diese Unterscheidung hat ihn wahrscheinlich auch auf den Weg geführt, der im Artikel angedeutet ist: Innerhalb der multiplikativen Gruppe <math>(\mathbb{Z}_q^{\times},\cdot)</math> bilden die quadratischen Reste eine Untergruppe. Die erste Gaußsche Periode {1,2,4,8,16,15,13,9} sind gerade die von Null verschiedenen quadratischen Reste modulo 17, die, wie wir heute sagen, als Untergruppe innerhalb <math>\mathbb{Z}_{17}^{\times}</math> von 2 erzeugt werden, die zweite besteht aus den vierten Potenzresten {1,4,16,13}, die innerhalb der ersten Periode die Plätze mit gerader Nummer einnehmen (also von 4 erzeugt sind), und so weiter.

Gauß wusste auch, dass bestimmte Teilmengen von <math>\mathbb{C}</math> bezüglich bestimmter, mit der komplexen Konjugation verwandter, Operationen (die seit E.Galois "Gruppen" heißen) invariant sind. Die Summe über alle Bilder einer 17. Einheitswurzel unter den Operationen <math>\{\sigma^0=\mathrm{id}, \sigma, \sigma^2,\ldots\}</math>, wobei <math>\sigma</math> eine 17. Einheitswurzel auf eine andere abbildet und identische Bilder nur je einmal in die Summe eingehen, ist bezüglich aller dieser Operationen selbst invariant, da sich nur die Summationsreihenfolge ändert, aber nicht die Summanden. Nähme man <math>\sigma</math> statt aus der vollen <math>\mathbb{Z}_{17}^{\times}</math> aus den quadratischen Resten, so würde die Summe eine algebraische Zahl vom Grade 2 über <math>\mathbb{Q}</math>, also über eine quadratische Gleichung bestimmbar sein. Und über dem Körper <math>\mathbb{Q}</math>, der erweitert ist um diese algebraische Zahl (wir schreiben heute <math>\mathbb{Z}[\sqrt{17}]</math>), würde man diese Vorgehensweise mit den vierten Potenzresten wiederholen können - und mit dieser Prozedur sukzessive so lange fortfahren, bis man den Realteil einer 17. Einheitswurzel bestimmt hätte.\(\endgroup\)

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