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Mathematik: Stammfunktionen & Co.
Freigegeben von matroid am Mi. 26. Oktober 2005 22:55:34
Verfasst von FlorianM -   103006 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Analysis

Stammfunktionen & Co.



Dies ist nun der zweite Teil von „Einführung in die Integralrechnung“

Ich habe mich bemüht diesen Artikel vor allem verständlich und anschaulich zu gestalten.

Ich hoffe mir ist dieses gelungen.
Dieser Artikel umfasst nun einen zweiten Einblick in die Integralrechnung, die man so in der Oberstufe eines Gymnasiums
(12. Klasse) kennen lernt.

Es gibt noch viele Gebiete, in denen man die Integralrechnung anwenden kann. Hier will ich aber an dieser Stelle nicht weiter eingehen.
Vielleicht kommt ja noch ein dritter Teil. Das kann man nie ausschließen.
Aber jetzt erstmal viel Spaß mit meinem zweiten kleinen Einblick in die Einführung in die Integralrechnung.

Teil 1: Einführung in die Integralrechnung
Teil 2: Stammfunktionen & Co
Teil 4: Uneigentliche Integrale
Teil 5: Wie findet man eine Stammfunktion?

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Inhalt
1 Integralfunktion
2 Hauptsatz der Differential –und Integralrechnung
3 Stammfunktion
   3.1 Der Begriff „Aufleiten“
   3.2 Die Stammfunktion
   3.3 Berechnen von Integralen mit Hilfe einer Stammfunktion
4 Erste Anwendungsgebiete
5 Zusammenfassung Teil II
6 Abschluss
7 Quellenangabe

1 Integralfunktion

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Lösung:
Tabelle

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Informationen.
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Tabelle2

Integrandenfunktion und Integralfunktion
Einfach ausgedrückt kann man es so formulieren: Die Nullstelle der Integrandenfunktion wird zur Extremstelle der Integralfunktion und die Extremstelle der Integrandenfunktion wird zur Wendestelle der Integralfunktion .

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2 Hauptsatz der Differential –und Integralrechnung

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Das Differenzieren macht das Integrieren wieder rückgängig.

Beweis:

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Beweis1

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Bild

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Beweis3

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3 Die Stammfunktion

3.1 Der Begriff „Aufleiten“

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3.2 Die Stammfunktion

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Der Begriff des Aufleitens einer Funktion f führt zu einer Stammfunktion der Funktion f.
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3.3 Berechnen von Integralen mit Hilfe einer Stammfunktion:


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Grundintegrale und weitere spezielle unbestimmte Integrale

Stammfunktionen

Tabelle wichtiger Stammfunktionen
4 Erste Anwendungsgebiete

Wie ich schon erwähnt habe, kann man auch die Integralrechnung mit der Differentialrechnung verknüpfen. Dazu ein paar Aufgaben mit Lösungen:

1. Aufgabe:

Für k>0 ist die Funktion fk gegeben durch fk(x)=k(-x³+3x+4).
Bestimme k so, dass der Graph von fk mit der Tangente im Hochpunkt eine Fläche mit dem Inhalt von 45 einschließt.


Lösungen:

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Aufgabe 1

Wie man leicht sieht, verläuft die Tangente parallel zur x-Achse durch den Hochpunkt. Also ist die Tangentengleichung t(x)=6k.

3. Bestimmung von k

Nun geht man ganz normal vor, wie ihr es in meinem ersten Artikel unter Abschnitt 5 gelernt habt.

3.1 Gleichsetzen der beiden Gleichungen, um die Schnittpunkte zu bestimmen:
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Lösungen:

Diese Aufgabe erfordert weitere Kenntnisse aus der Sekundarstufe I. Ihr kennt bestimmt eine Aufgabe, bei der man eine Funktion mit bestimmten Eigenschaften bestimmen sollte.
Dieses eventuell vorhandene Wissen müsst ihr bei dieser Aufgabe mit einfließen lassen.

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5. Aufstellen einer Skizze
Aufgabe2

Aufgabe 2

Die schwarze Fläche hat den Flächeninhalt 5000 FE.

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5 Zusammenfassung Teil II

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6 Abschluss /Weitere Links

So das war nun der zweite Teil. Ich hoffe ich konnte euch das Verfahren, um Integrale mit Hilfe der Stammfunktion zu berechnen, ausführlich und verständlich erklären.

Es gibt noch viel mehr, dass man mit Integralrechnung machen kann. Zum Beispiel eine Anwendung, mit der man Rotationskörper berechnen kann.

Und genau um dieses Thema handelt der dritte Teil, aber bis dieser fertig ist, kann es noch etwas dauern, da die Schule jetzt wieder los geht.

Weitere Links:

Weitere interessante Links zur Integralrechnung:
  • Integralsammlung

  • Doppelintegrale

  • Ein paar Integrale ...




  • Weitere interessante Links zur Analysis:

    Die Ana[rchie]-Reihe




    Teil I: Folgen Sie mir!
    Teil II: Der Blitzableiter
    Teil III: 90-60-90 und andere schöne Kurven
    Teil IV: Extremsport
    Teil V: Neues vom Integrationsbeauftragten
    7 Quellenangabe

    Ich habe mich sehr an mein wunderschönes, ausführliches und verständliches Schulbuch gehalten. Hier zu kaufen:
    Bild

    Bild
    Teil 1: Einstieg in die Integralrechnung
    Teil 2: Stammfunktionen & Co.
    Teil 3: Rotationskörper
    Teil 4: Uneigentliche Integrale
    Teil 5: Wie findet man eine Stammfunktion?

    Euer
    Florian Modler

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    Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
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    Stammfunktionen & Co. [von FlorianM]  
    Dies ist nun der zweite Teil von „Einführung in die Integralrechnung“ Ich habe mich bemüht diesen Artikel vor allem verständlich und anschaulich zu gestalten Ich hoffe mir ist dieses gelungen. Dieser Artikel umfasst nun einen zweiten Einblick in die Integralrechnung.
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    " Mathematik: Stammfunktionen & Co." | 18 Kommentare
     
    Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

    Was ist bei unstetigen Funktionen?
    von SchuBi am Mi. 26. Oktober 2005 23:35:00


    Du solltest schon zu Beginn schreiben, daß du dich auf stetige Funktionen beschränkst.
    Wenn du schon den Begriff Aufleiten erwähnst, dann fehlt mir der explizite Zusammenhang deiner Stammfunktionen mit dem Ableiten.
    Noch ein Kritikpunkt (es liegt wahrscheinlich an der Schulbuchvorlage)
    fed-Code einblenden
    So funktioniert Mathematik nur in Schulbüchern. Zumindestens eine Beweisskizze wäre an dieser Stelle angebracht.

     [Bearbeiten]

    Re: Stammfunktionen & Co.
    von FlorianM am Do. 27. Oktober 2005 10:30:57


    Danke für deine Kritik! Mit den stetigen Funktionen habe ich jetzt an die wichtigsten Stellen angeführt, wo es nötig ist (oder habe ich etwas vergessen?)

    Und zum Hauptsatz der Differential -und Integralrechnung habe ich nun auch einen Beweis angeführt.

    P.S.: Die Änderungen sind übernommen.

    gibt es weitere Meinungen? Kommentare?

     [Bearbeiten]

    Re: Stammfunktionen & Co.
    von Hans-im-Pech am Di. 08. November 2005 16:51:40


    Hallo Florian,


    gut, daß Du SchuBis Änderungsvorschläge übernommen hast!

    Jetzt fällt mir nichts mehr auf, was man ändern müßte.

    Schöner Artikel!

    Viele Grüße,
    HiP

     [Bearbeiten]

    Re: Stammfunktionen & Co.
    von FlorianM am Fr. 11. November 2005 20:12:35


    Danke für dein Lob. Über jeden Kommentar freut man sich... smile

     [Bearbeiten]

    Re: Stammfunktionen & Co.
    von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 07. Dezember 2005 16:11:40


    Wunderschöne Seite. Nur fehlen mir (oder vieleicht habe ich sie nicht gefunden) die speziellen Regeln zur Integral Aufleitung.Wie zum Beispiel die Substitutionsregel, die man anwenden kann um das Integral zuerst zu vereinfachen und dann aufzuleiten.

     [Bearbeiten]

    Re: Stammfunktionen & Co.
    von FlorianM am Di. 13. Dezember 2005 19:18:37


    Die folgenden im nächsten Teil smile
    Und ebenfalls Rotationskörper. wink

     [Bearbeiten]

    Re: Stammfunktionen & Co.
    von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 04. Januar 2006 18:13:34


    finde die seite super! benutze die aufgaben immer wieder gerne für den nachhilfeunterricht!

     [Bearbeiten]

    Re: Stammfunktionen & Co.
    von Ex_Mitglied_40174 am Di. 11. April 2006 12:17:59


    Hi,
    erstmal muss ich sagen, dass die seite echt sehr gut verständlich ist und sie mir schon weiter geholfen hat, dennoch hab ich eine frage zu dem beweis des hauptsatzes:
    Muss man das mit diesem Mittelwertsatz der Integralrechnung machen, sprich mit dem f(z) * h?? Denn eigentlich geht doch schon der Differenquotient für h-->0 gegen f(x)?! Kann man das denn nicht weglassen? Oder ist das für die Stetigkeit wichtig?
    Ich muss den Beweis fürs ABi können und umso weniger ich mir merken muss, umso besser wink
    Vielen Dank schon mal und liebe Grüsse

     [Bearbeiten]

    Re: Stammfunktionen & Co.
    von Ex_Mitglied_40174 am So. 12. November 2006 22:24:48


    sehr geil, sehr gut erklärt, fast so gut wie bei meinem mathelehrer^^

     [Bearbeiten]

    Rotationskörper.
    von Ex_Mitglied_40174 am Sa. 25. November 2006 14:04:36


    Hi,

    also ich finds auch absolut einleuchtend und gut erklärt, ich habe nur eine Frage und zwar zu deiner Aufgabe 3 bei den Rotationskörpern. Ich verstehe einfach nicht, wie du auch die erste Ableitung kommst. Könntest du das vielleicht nochmal ausführen?

    Ansonsten ist das echt top erklärt. Danke schön.

     

     [Bearbeiten]

    Re: Stammfunktionen & Co.
    von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 04. Dezember 2006 19:42:12


    man man man... bis gerade dachte ich, dass ich vor nächster woche m ontag (matheklausur) noch sterben müsste... denn ich konnte nix. fast hätte ich jemanden engagiert der mich bis dahin umbringt, meine nachhilfe hatte mich auch noch draufgesetzt... aber jetzt - hab ich wieder ein kleinen funken hoffnung... nach der bomben erklärung!

    nur kann ich keine stammfunktion bilden... das versteh ich noch nicht so ganz. mal sehn

    dankeschön - ich glaube du hast mir den arsch gerettet wink

    gruß, Laura*

     [Bearbeiten]

    Re: Stammfunktionen & Co.
    von FlorianM am Sa. 13. Januar 2007 16:21:33


    Kein Problem, Laura.

    Gruss Florian

     [Bearbeiten]

    Re: Stammfunktionen & Co.
    von Laske am Sa. 07. April 2007 13:40:56


    Hi,

    danke für den super Artikel, konnte mir damit alles ganz allein beibringen. Aber bei 4.Erste Anwendungsgebiete Aufgabe 2 fehlt die Angabe   fed-Code einblenden

    Nichtsdestotrotz ganz großes Lob, Gruss Laske

     [Bearbeiten]

    Re: Stammfunktionen & Co.
    von FlorianM am Sa. 07. April 2007 15:17:43


    Hi Laske,
    da hast du vollkommen Recht. Habe die Funktion in die Aufgabe noch einmal eingefügt.  smile
    Danke für den Hinweis.

    Gruss Florian

     [Bearbeiten]

    Re: Stammfunktionen & Co.
    von Ex_Mitglied_40174 am So. 03. Juni 2007 01:59:02


    Hi!

    Ich hab mal ne Frage zu der Aufgabe 2d) unter 1 Integralrechung.
    Ich bekomme anstatt "-x^2" "+x^2" raus. Ich kann keinen Fehler bei mir finden. Kann es sein, dass das hier falsch ist? Oder find ich meinen Fehler nicht? xD

    Ansonsten bis hierhin  biggrin  smile  smile ne gute Seite.

    LG, Anne

     [Bearbeiten]

    Fehler bei Aufgabe 2d
    von SchuBi am So. 03. Juni 2007 09:47:37


    Hallo, Anne!
    Du hast richtig gerechnet smile Es scheint ein Schreibfehler zu sein.

     [Bearbeiten]

    Re: Stammfunktionen & Co.
    von Ex_Mitglied_40174 am Sa. 17. November 2007 01:19:50


    confused
    Ich hab leider immer noch nichts verstanden!!!

     [Bearbeiten]

    Re: Stammfunktionen & Co.
    von Ex_Mitglied_40174 am So. 24. Februar 2008 15:51:39


    muss bei der ersten aufgabe, bzw. bei der lösung
    die obere grenze nicht "1" sein, und die untere "-2"?

    und ich verstehe die lösung nicht ganz...
    wo sind die stammfunktionen?

     [Bearbeiten]

     
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