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Mathematik: Die unbezwingbare e-Funktion
Freigegeben von matroid am Di. 03. Januar 2006 21:28:35
Verfasst von FlorianM -   254996 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Analysis

Die unbezwingbare e-Funktion (Teil I)


Die e-Funktion
Treffen sich zwei Kurven im Unendlichen, sagt die eine:
"Hey, hau ab aus meinem Definitionsbereich, sonst differenzier' ich Dich!"
Antwortet die andere: "Mach doch! Ich bin die e-Funktion!"

Ein weiterer e-Funktionen-Witz ist der folgende:
Die Funktion x² gibt eine Party und alle sind da: cos(x), ln(x), ja sogar tanh(x) und alle haben mächtig Spass, nur die e-Funktion steht alleine in der Ecke.
Als x² das bemerkt, denkt er sich, das kann ich als guter Gastgeber so nicht auf mir sitzen lassen! Und er geht auf die e-Funktion zu und sagt: "Na, was is denn los, hast du keinen Spass? Na komm, integrier dich doch mal!"
Daraufhin die e-Funktion ganz traurig: "Hab ich doch schon!"

In diesem Artikel möchte ich euch die durch Differentiation "unbezwingbare" e-Funktion etwas näher bringen.
Das Thema ist nicht nur sehr interessant, sondern auch im Abitur immer wieder von besonderer Bedeutung.



Ich habe mich bemüht diesen Artikel so anschaulich und verständlich wie nur möglich zu schreiben. Ich hoffe es ist mir gelungen.

Auch dieser Artikel ist wieder speziell für Schüler geschrieben.
Viel Spaß beim Durcharbeiten.

Download des Artikels im doc-Format

Inhalt
1 Exkurs
2 Eulersche Zahl und die e-Funktion
   2.1 Ableitung einer Exponentialfunktion (Herleitung)
   2.2 Ableiten einer e-Funktion
   2.3 Stammfunktion einer e-Funktion
   2.4 Näherungsweise Berechnung der Eulerschen Zahl e
3 Funktionsuntersuchung einer e-Funktion
4 Aufgaben zur Übung
5 Abschluss
6 Quellenangabe

1 Exkurs

Da ich nicht weiß, in wie weit ihr in den Gebieten „Exponentialfunktionen“, „Logarithmusfunktionen“, „Umkehrfunktionen“ und „Ableitungsregeln“ bewandert seid, habe ich einen kleinen Exkurs geschrieben.  Denn Vorkenntnisse in diesen Bereichen solltet ihr schon haben, um die e-Funktion (und ihre Umkehrfunktion im 2. Teil) begreifen zu können.
Wer also Nachholbedarf in diesen Gebieten hat, liest bitte zuerst diesen Artikel.

2 Eulersche Zahl und die e-Funktion

fed-Code einblenden

Geometrisch
fed-Code einblenden
Geometrisch
Die Ableitung an der Stelle x=0 kann durch eine Tangente durch diesen Punkt bestimmt werden. Dies kann näherungsweise mit Hilfe eines Steigungsdreiecks abgelesen werden:
f’(0)=0,7 und f’(1)=1,4 .

a) Bestimme für b=2 näherungsweise rechnerisch f’(0) und f’(1)
Hierfür wenden für den Differenzenquotienten an, der euch schon bei den Beweisen für die Ableitungsregeln aufgefallen sein sollte.
Dennoch ein kleiner Exkurs zum Differenzenquotienten:

fed-Code einblenden
Tabelle
fed-Code einblenden
b) Bestimme f’(x) für b=2 an der Stelle x.

Lösungen:
fed-Code einblenden
c) Bestimme f’(x) für f(x)=bx an der Stelle x.

Lösungen:
fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

2.2 Ableiten einer e-Funktion

Allgemeiner gilt aufgrund der Faktorregel und der Kettenregel:

fed-Code einblenden

2.3 Stammfunktion einer e-Funktion

fed-Code einblenden

(vereinfachte Darstellung)

2.4 Näherungsweise Berechnung der Eulerschen Zahl e


fed-Code einblenden
3 Funktionsuntersuchung einer e-Funktion

fed-Code einblenden

Funktionsuntersuchung
4 Aufgaben zur Übung

„Übung macht den Meister“. Deshalb:

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

Aufgaben 3 und 4 und 5 erforden Kenntnisse im Bereich "Integralrechnung". Lest dazu folgende Artikel:
Teil 1: Einführung in die Integralrechnung
Teil 2: Stammfunktionen & Co
Teil 3: Rotationskörper

Auf die Lösungen wird hier verzichtet, da sie den Artikel nur unnötig in die Breite ziehen würde. Die Lösungen findet ihr hier.
5 Abschluss

So das war nun mein erster Teil zur e-Funktion. In meinem zweiten Teil möchte ich mit euch die Umkehrfunktion einer e-Funktion, die so genannte Natürliche Logarithmusfunktion etwas genauer untersuchen. Außerdem wird es um Anwendungen der e-Funktion bzw. der Exponentialfunktionen gehen. Desweiteren werden wir Wachstumsfunktionen betrachten.

Ich hoffe, ihr habt diesen Artikel mit Freude und Eifer gelesen und freut euch schon auf meinen zweiten Teil.

Die Idee zu diesem Artikel entspringt der Arbeitsgruppe
„Schulmathematik“.


6 Quellenangabe

Die Aufgaben stammen aus meinem wunderschönen, ausführlichen und verständlichen Schulbuch. Hier zu kaufen:
Bild

Bild
Teil 1: Die unbezwingbare e-Funktion
Teil 2: Die Umkehrfunktion der e-Funktion

Euer
Florian Modler

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Die unschlagbare e-Funktion [von FlorianM]  
Dieser Artikel handelt über die "unschlagbare" e-Funktion und ihren Anwendungen. (Teil I)
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" Mathematik: Die unbezwingbare e-Funktion" | 94 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Die unschlagbare e-Funktion
von Martin_Infinite am Mi. 04. Januar 2006 00:22:36


Hi Florian,
 
Du hast den Logarithmus für beliebige positive Basen definiert. Dabei muss man allerdings die Basis 1 ausschließen: Die Exponentialfunktion zur Basis 1 ist konstant 1 und damit nicht invertierbar. Entsprechend muss (4) in 1.1. angepasst werden.
 
Also was mich hier nach wie vor interessiert, ist folgendes (habe ich schon im letzten Artikel gefragt, aber das wurde zu Recht missinterpretiert):

Wo kommt deine Motivation her, diese Artikel zu schreiben? Gibt es einen wesentlichen Unterschied zu deinem Schulbuch? Warum verweist du nicht auf Gockels Artikel oder auf andere Quellen (im Internet unglaublich oft vorhanden), sondern leitest die Ableitungsregeln noch einmal her, um nur ein Beispiel zu nennen? Mit dieser Frage meine ich nicht mehr als da steht, also bitte nicht als Provokation verstehen.

Noch methodische Hinweise: Den Differenzenquotienten sollte man vor den Ableitungsregeln erwähnen, jedenfalls ist es nur so inhaltlich logisch. Ferner kann - meiner Meinung nach - durch Vorrechnen nicht so ein großer Lerneffekt erzielt werden, als durch Präsentation der allgemeinen Vorgehensweise, und weitere Aufgaben, die dem Leser überlassen werden.

Übrigens freut mich, dass du zwei(!) Bilder in gif formatiert hast smile
 
 Gruß
Martin

PS: Wie können sich zwei Kurven gegenseitig im Unendlichen differenzieren?

 [Bearbeiten]

Re: Die unschlagbare e-Funktion
von Mabe am Mi. 04. Januar 2006 01:10:14


Hallo,

aus meiner Sicht eine wunderbare Zusammestellung der Ableitungsregeln und Beleuchtung der Exponentialfunktion. Sicher gibt es solcherlei Artikel schon mehrfach im Netz, aber ich find es dennoch eine gute Zusammenfassung.
Desweiteren bin ich der Meinung, dass man an einem vorgerechneten Beispiel mancherlei Dinge viel besser versteht, als an einer allgemeinen Erklärung der Vorgehensweise...denn die hat man dann entweder verstanden, oder nicht. Während man beim nachvollziehen eines Beispieles sich selbst beibringen kann, wie die Sache funktioniert.

Gruß und DANKE
MABE

 [Bearbeiten]

Re: Die unschlagbare e-Funktion
von FlorianM am Mi. 04. Januar 2006 09:14:22


Hi,
 
"Du hast den Logarithmus für beliebige positive Basen definiert. Dabei muss man allerdings die Basis 1 ausschließen: Die Exponentialfunktion zur Basis 1 ist konstant 1 und damit nicht invertierbar. Entsprechend muss (4) in 1.1. angepasst werden."

Da hast du vollkommen recht. Ich kann dir auch sagen, woran das liegt. Ich habe es in fed nicht hinbekommen es mit dem schrägen Strich und der Klammer { zu schreiben, er hat das einfach nicht angezeigt. Nun dachte ich mir, dann schreibe ich es etwas unmathematisch und zwar mit "außer die 1", aber das hat er komischerweise auch nicht angezeigt, wie ich gerade feststelle. Also wer sich in fed etwas mehr auskennt, könnte das ja mal dementsprechend ändern.
Danke für den Hinweis.

Nun möchte ich auch zu deiner Frage der Motivation kommen, wobei ich mich zu allererst frage, warum du mich das nur fragst. Denn auch Gockels Artikel sind doch auch reine Zusammenfassungen von Schulbüchern, also von den Themen und auch dies würde ich im Internet finden. Natürlich muss dazu gesagt werden, dass sie sehr gut geschrieben sind, sowas findet man natürlich nicht so leicht im I-Net.
Ich will damit aber nicht nur Gockels Artikel ansprechen, sondern die "meisten" Artikel (wobei meist bitte relativ gesehen werden soll) sind doch reine Zusammenfassungen von Themen.
Und ich habe zum Beispiel die Ableitungsregeln noch einmal "etwas" anders hergeleitet als Gockel und auch erklärt, warum man plötzlich 0 addiert. Sicherlich hätte ich auf Gockels Artikel verweisen können, aber wenn das alles in einem Artikel ist, liest sich das einfach besser, meine Meinung nach.

Und desweiteren habe ich mich dieses Mal nicht so sehr an mein Schulbuch gehalten. In den meisten Schulbüchern werden die Dinge einfach nur so hingeknallt und nicht weiter erklärt.
Ich habe schon von vielen Schülern die Klagen gehört, dass Rechenschritte gemacht werden, die nicht weiter erläutert werden und deren Ziele von einigen Schülern nicht verstanden werden.

Martin, wir müssen hier einen Unterschied machen. Für uns Mathematikinteressierte ist es natürlich auch besser, wenn wir die allgemeine Vorgehensweise und ihre kompletten Beweise haben, weil wir in Mathematik nichts ohne Beweise hinnehmen, wie Mathematiker.
Aber Schüler, die sich nur so halb für Mathematik interessieren, können mit den ganzen Beweisen m.E. nicht so viel anfangen. Sie wollen Mathematik ja nicht studieren. Sie wollen nur mit einer guten Mathematiknote ihre Schule absolvieren und danach haben die meisten nichts mehr mit Mathematik zu tun. Anders als bei uns (und vielleicht den meisten auf dem MP). Wir werden, nehme ich mal an, uns das ganze Leben mit Mathematik beschäftigen.
Das ist der kleine, aber nicht unwesentliche Unterschied.
Auch ich bin beim Schreiben solcher Artikel immer in einer Zwickmühle. Denn ich will mich an beide "Arten" von Schülern richten. Deshalb beweise ich einige Dinge (wie zum Beispiel die Ableitungsregeln) und andere Dinge beweise ich nicht und nehme einfach ein Beispiel und schreibe dazu, dass Interessierte sich den Beweis doch gerne selbst erarbeiten können. Sie können mich auch gerne noch einmal anschreiben, denn die Beweise habe ich ja dennoch. Nur man muss sich hier auch wieder in die Lage von den Schülern versetzen, die Mathematik nicht so gerne machen. Wenn sie tausend Beweise lesen, lassen sie den Artikeln irgendwann beiseite und sagen, dass es ihnen zu schwer ist, denn die Beweise brauchen sie meistens nicht in der Schule. Ich hoffe du verstehst, was ich meine.

Um nocheinmal etwas mehr auf meine Motivation einzugehen. Es macht mir einfach Spaß und Freude anderen Schüler, die sich entweder auch für Mathematik interessieren oder Probleme haben, Sachverhalte einfach und verständlich nahe zu bringen. Ich kann mich nur noch einmal wiederholen: Mein Ziel, den Matheplaneten auch für Schüler zugänglich zu machen und zwar beiden "Arten" von Schülern.
Ich hoffe damit ist deine Frage beantwortet!?

"Übrigens freut mich, dass du zwei(!) Bilder in gif formatiert hast :-)"
Habe doch gesagt, ich nehme Kritik an. wink
Bei den anderen mache ich das auch noch schnell.

@Mabe
Über deinen Beitrag habe ich mich auch sehr gefreut. smile
Denn auch ich, wie du oben lesen kannst, bin der Einschätzung, dass ein Beispiel manchmal Wunder bewirken kann. smile Denn auch die Selbstständigkeit sollte nicht verloren gehen.
Hierfür nocheinmal Danke.

So das soweit von mir.
Gruss Florian

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Re: Die unschlagbare e-Funktion
von cow_gone_mad am Mi. 04. Januar 2006 12:35:22


Hallo Martin smile

Zur Frage der Motivation, ich kann zwar nicht für Florian sprechen, aber ich kann für mich selber sprechen. Ich habe jeden einzelnen meiner Artikel aus folgenden Gründen geschrieben:
- Es macht mir Spass.
- Ich finde die dadrin vorkommenden Dinge interessant, und würde sie gerne noch einmal wiedergeben.
- Ich habe eine schwache Hoffnung, dass sich irgendwer für mein Getippsel interessieren könnte. Aber dieser Punkt ist nebensächlich.
Ich sehe vor allem, die beiden ersten Punkte als meine Motivation an.

Liebe Grüsse,
cow_

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Re: Die unschlagbare e-Funktion
von Hans-im-Pech am Mi. 04. Januar 2006 13:06:01


Hi Florian,


sehr schöner Artikel.....

Da Du aber sagst, daß Du Schüler v.a. ansprichst, würde ich bei der Quotientenregel noch irgendwie einfügen, daß v(x)=0 gelten muß, damit u(x)/v(x) in x stetig sein kann, andern falls ist es ja nicht einmal definiert....



Viele Grüße,
HiP



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Re: Die unschlagbare e-Funktion
von da_bounce am Mi. 04. Januar 2006 18:19:12


also erstmal danke schön für diese wunderbare Zusammenfassung einiges kann ich gut gebrauchen..so und zur Motivation genau so sehe ich das auch das erleichert den Schüler ungemein wie mir zb. so sieht man mal andere Wege die auch erklärt werde und nicht wie im Buch alles hingeklatscht. Und manche Lehrer haben warum auch imemr keine große Lust wege mit hinzuschreiben was mir jedoch als komisch vorkommt warum sind sie dann Lehrer...Also FlroianM mach weiter so es ist echt hilfreich


mfg bounce

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Re: Die unschlagbare e-Funktion
von Martin_Infinite am Mi. 04. Januar 2006 18:38:02


Hi Florian,
 
Komplemente muss man im fed mit A \\ B schreiben, in deinem Fall also mit \IR^\+ \\ {1}.

Meine Fragen haben sich soweit alle geklärt, danke dir dafür.

 Gruß
Martin

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Re: Die unschlagbare e-Funktion
von Kleine_Meerjungfrau am Mi. 04. Januar 2006 18:49:47


@da_bounce
Es ist die Frage, ob die Lehrer nur keine Lust haben, Wege hinzuschreiben, oder ob es Absicht ist. Viele Schüler unterstellen den Lehrern Unlust und Unfähigkeit, wenn ihnen nicht alles auf dem Silbertablett präsentiert wird. Ich habe bisher nur einen einzigen Mathelehrer kennen gelernt, der im Unterricht wirklich (fast) nur Theorie gemacht hat. Vielleicht war mal ne Aufgabe zwischendrin aber ohne Erklärung, nur so nach dem Motto: macht mal. Sonst waren Aufgaben eben Hausaufgabe. Dieser Lehrer unterrichtet aber meines Wissens nach auch nur ab 9. Klasse aufwärts und in 9/10 nur im mathematisch-naturwissenschaftlichen Zug. Von all diesen Schülern sollte man eigentlich erwarten können, dass sie nicht die totalen Nullen sind und dass sie sich auch zuhause mal hinsetzen und sich das anschauen, wenn sie was nicht verstehen. Die meisten Schüler (nicht alle) meinen aber, dass ihnen der Lehrer in der Schule alles zutragen muss und es nicht sein kann, dass man sich auch selbst mal was erarbeitet. Ich will nicht behaupten, dass du dazu gehörst, versteh mich nicht falsch. Ich sage nur, dass es viele solcher Schüler gibt. Ich denke außerdem, dass man mit 15 in einem Alter ist, wo man sich selbst mal hinsetzen und Aufgaben machen kann. Es geht ums selbstständige arbeiten. Wenn das Schüler nicht tun, sind sie selbst schuld aber man sollte nicht immer die Lehrer dafür nieder machen, dass sie nicht bereit sind, die Schule quasi zum Schlaraffenland zu machen, nur damit die Schüler ihren freien Nachmittag genießen können. Während des Schuljahrs schimpfen die meisten über besagten Lehrer von oben, aber etwas später sagen dann doch die meisten, dass er eigentlich gar nicht so schlecht war, vielleicht sogar besser als ein Lehrer, den man zuvor immer für viel besser gehalten hat, weil er alles geduligst 50 mal erklärt hat.
Also denk einfach mal für dich drüber nach und du solltest ja wissen, dass man sich im Unterricht auch melden und nachfragen kann, wenn man was nicht versteht wink

Gruß
kleine Meerjungfrau

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Re: Die unschlagbare e-Funktion
von matroid am Mi. 04. Januar 2006 22:28:24


Hi Florian,

ich habe es mir nun auch angesehen.
Das Kapitel 2 ist gut, schlüssig nachvollziehbar und auch spannend.
Ich fände es allerdings empfehlenswert, den Exkurs auszugliedern.
Er ist recht lang, und man muß ihn erst überwinden, bevor man zu den angekündigten Inhalten kommt.
Mein Vorschlag: Mach einen gesonderten Artikel aus dem Exkurs, der dann veröffentlicht, aber nicht auf der Startseite gezeigt wird. Hier in diesem Artikel genügt es, den Abschnitt 1.1 und dann gleich ab Kapitel 2 zu lesen. Den Link kann man dann für den Bedarf anbieten.
Vielleicht wirst Du dann auch aus dem nächsten Teil zur Logarithmusfunktion darauf verweisen können.

Gruß
Matroid

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Re: Die unschlagbare e-Funktion
von Martin_Infinite am Do. 05. Januar 2006 04:46:15


Ich hatte gerade ein Déjà Vue:
 
www.mathekiste.de/neu2000/ideeefunc.htm

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Re: Die unschlagbare e-Funktion
von FlorianM am Fr. 06. Januar 2006 08:24:20


Hey, das ist ja putzig... smile
Danke für den Hinweis. Kannte den "Witz" nämlich nicht davon, sondern von einem Freund, weiß jetzt aber nicht, wo er ihn her hat.
Werde ihn mal fragen. Danke Martin.

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Re: Die unschlagbare e-Funktion
von weserus am Sa. 07. Januar 2006 16:45:48



tz tz tz.....Putzigkeit hin, Putzigkeit her.....
alles Quatsch! Das fällt unter die Verletzung
'geistigen Eigentums'.....sonst nichts! Basta!

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Re: Die unschlagbare e-Funktion
von FlorianM am Sa. 07. Januar 2006 16:48:14


Dann setz doch ein Copyright hin, wo bei man auch nicht weiß, ob sich die Seite den "Witz" selbst ausgedacht hat.

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Re: Die unschlagbare e-Funktion
von pendragon302 am Sa. 07. Januar 2006 17:05:22


*andiestirnfassundkopfschüttel*

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Re: Die unschlagbare e-Funktion
von matroid am Sa. 07. Januar 2006 17:47:53


Es handelt sich um einen Witz, der von vielen erzählt wird, auch im Internet.

Es gibt bei google 547 Treffer für die exakte Suche nach "Darauf die andere: "Mach doch! Ich bin die e-Funktion!"

Siehe hier Suche bei google.

Gruß
Matroid

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Re: Die unschlagbare e-Funktion
von pendragon302 am Sa. 07. Januar 2006 17:58:44


@Matroid ALLES DIEBE!!!

Wenn man das ganze Internet besucht könnte man 547 Déjà Vues erhalten smile Soviele Fehler in der Matrix?

Vielleichtb sollten wir den Witzethread aus Copyright geründen löschen, nicht dass du noch belangt wirst biggrin

Gruß

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Re: Die unschlagbare e-Funktion
von Martin_Infinite am Sa. 07. Januar 2006 18:29:31


Hi,
 
in meinem PS fragte ich ja, wie sich zwei Kurven differenzieren können. Das war natürlich rhetorisch wink Um das aufzulösen, hier die richtige Version:
 
Trifft ein Differentialoperator ne Funktion. Da droht der Differentialoperator: "Hau ab, sonst differenzier ich dich!". Meint die Funktion: "Ätsch, ich bin ex.". Darauf der Differentialoperator: "Dann schau dass'd fortkommst, ich bin d/dy ...." wink
 
 Gruß
Martin

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Re: Die unschlagbare e-Funktion
von weserus am Sa. 07. Januar 2006 18:37:48


Es geht mir doch nicht um den Witz. Es geht mir um die
Überschrift. Matroid, zeig mir hierzu die
google-Fundstellen.

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Re: Die unschlagbare e-Funktion
von FlorianM am Sa. 07. Januar 2006 18:39:56


Die habe ich mir selbst ausgedacht. wink
Aber du hast Recht, da steht auch "Unschlagbar" wink

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von matroid am Sa. 07. Januar 2006 21:12:32


So, ich habe mich entschieden.
Der Witz ist nicht originell, eine Form von mathematischer Folklore. Auf die Bezeichnung 'unschlagbar' kann man kommen, es ist ja nur ein Wort, das in diesem Zusammenhang gut paßt. Die Eigenschaften der e-Funktion und das ganze Thema des Artikels sind mathematisches Allgemeingut.

Dennoch: Der Matheplanet möchte nicht im Verdacht stehen, daß hier andere Seiten kopiert werden.

Es gibt nur eine Quelle im Netz, in der die Überschrift und der Witz in genau der gleichen Schreibweise vorkommen. Man könnte es zufällig genau so geschrieben haben, aber ich kann dem Einwand, daß das unwahrscheinlich erscheint, nicht begegnen.

Es gibt den Witz in zahlreichen Schreibungen und Wortabwandlungen, aber es gibt nur den einen, bei dem alles stimmt.
Zwar ist google kein Beleg dafür, daß es nur die eine Quelle gibt, aber die eine gibt es. Und da es dort nicht mehr gibt, zeigt das, daß die Schreibweise mit der Überschrift schon eine gewisse Besonderheit darstellt.

Ich habe überlegt, ob der Artikel als Ganzes zurückgezogen werden muß.
Das erscheint mir aber in Anbetracht der Arbeit, die darin steckt, nicht verhältnismäßig, denn der Inhalt ist allgemeines mathematisches Wissen, und die Ausarbeitung wurde ja nicht in Zweifel gezogen.
Die Mathekiste nennt nur Überschrift und den Witz, keine weitere Ausarbeitung.

Nur der Aufmacher wurde des Plagiats verdächtigt.

Darum habe ich Titel und Text etwas verändert.
Ich möchte nicht, daß die mathekiste mit den eigenen Formulierungen hier unseren Artikel findet, und denkt, daß wir abgeschrieben haben.

Aber was bedeutet das für kommende Artikel?

1. Wenn man eine Idee von einer anderen Web-Seite oder aus einem Buch holt, dann soll man die Quelle nennen. Niemand hat etwas dagegen, daß eine Idee anderswo ausgeführt oder weiterentwickelt wird.

2. Im Zweifel hat die älteste Veröffentlichung den Anspruch.
Es ist wie in der Musik, ich kann zufällig "Yellow Submarine" komponieren, aber ich kann es dann trotzdem nicht als mein Werk veröffentlichen. Ich bin dann enttäuscht, aber muß es akzeptieren.
Darum habe ich nun ein paar Töne in der Einleitung verändert.

Gruß
Matroid

PS: Den Link zur Mathekiste hier noch einmal: http://www.mathekiste.de/neu2000/ideeefunc.htm

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Re: Die unschlagbare e-Funktion
von FlorianM am So. 08. Januar 2006 09:35:55


Dann würde ich es aber hier auch ändern "Mathematik: Die unschlagbare e-Funktion", sonst besteht der Verdacht, dass ...

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 13. Januar 2006 05:39:46


tolle Aktion weiter so

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 19. Januar 2006 20:09:37


Hallo,

kannst du mir die Lösung dieser Aufgabe erklären:
ln(W)=0,5ln(W+1000) + 0,5ln(W-800)

W= e^0,5ln(W+1000).e^0,5ln(W-800)  - warum mal und nicht plus?

= (W+1000)^1/2.(W-800)^1/2  wie kommt diese Lösung zu Stande?

Vielen Dank!

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Martin_Infinite am Fr. 20. Januar 2006 02:29:44


Hi Anonymus,
 
melde dich bitte an, und stelle deine Frage im Forum. Dann wird dir sicherlich geholfen, und du kannst die Vorzüge der MP-Mitgliedschaft genießen wink
 
Auf jeden Fall solltest du dir noch einmal Potenz- und Logarithmusgesetze ansehen.
 
 Gruß
Martin

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von FlorianM am Sa. 21. Januar 2006 20:40:40


Ich möchte dir mal ein Tipp geben. Hat Martin zwar schon vor weggenommen, aber schau dir die Logarithmusgesetze an.

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Ex_Mitglied_40174 am So. 22. Januar 2006 16:09:05


Hi, also ich hab Deinen Artikel zwar noch nicht durchgelesen, aber ich brauche ihn für einen Vortrag und hoffe das er hilft!Ich wollt nur mal sagen, dass ichs echt cool finde, dass du Dir die Mühe gemacht hast, diesen Artikel zu schreiben!!!!!!!
Liebe grüße
Lilly

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von FlorianM am So. 22. Januar 2006 17:46:04


@Lilly
Danke für deinen netten Kommentar und viel Glück bei deinem Vortrag!

Gruss Florian

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 26. Januar 2006 21:37:12


jo ziemlich nice ...

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Ex_Mitglied_40174 am So. 21. Mai 2006 14:54:02


Vielen Dank!!! bin ein kleines Stück näher gekommen ln und e zu verstehen... zwar konnte ich ein paar Teilen nicht ganz folgen... aber es ist bestimmt besser wenigstens einen Teil zu verstehen als garnichts.

Gruß

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von FlorianM am Sa. 24. Juni 2006 10:04:57


Hallo,
dann lies dir das nochmal in Ruhe durch und wenn du weitere Fragen hast, dann schreib doch einfach. smile

Gruss Florian

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von FlorianM am Di. 18. Juli 2006 13:26:08


Hallo,
pdf-Format eingefügt.

Gruss Florian

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 18. Juli 2006 17:29:19


bei der Gleichsetzung von x= -1/m folgt dann

e^1/m < m/(m-1)

obwohl vorher stand

e^-1/m > 1 - 1/m

wieso dreht sich das Relationszeichen? (Es kommt ja keine division durch eine Negative Zahl vor!)  wegen der Potenzierung mit -1 ???

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Kehrwertbildung bei Ungleichungen
von fru am Di. 18. Juli 2006 19:06:41


fed-Code einblenden

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 19. Juli 2006 23:35:07


Für uneingeschränkt wachsendes n strebt 1/n gegen 0 d.h es bleibt folgendes übrig:

1<  e/((1+1/n)^n) <1

heisst das etwa das e durch sich selbst (der Grenzwert ergibt ja schlussendlich e) grösser aber gleichzeitig auch kleiner als 1 ist? wie soll das gehen?

und noch etwas wenn man das n über all Schranken wachsen lässt müsste dann nicht auch das n im Bruch e/((1+1/n)^n) wachsen?

KANN BITTE JEMAND HELFEN!?

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 13. September 2006 18:53:50


Hallo Florian,

Könntest du bei den Aufgaben auch Zwischenschritte mitangeben? Ich kann nämlich deine angebene Lösung nicht immer nachvollziehen.

Mfg, Tobias

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von FlorianM am Mi. 13. September 2006 19:46:25


Hi Tobias,
sind dir alle Lösungen zu kurz? Das kann eigentlich nicht sein, viel ausführlicher kann man die kaum gestalten...
Sag doch mal, bei welcher Aufgabe dir die Lösungen zu kurz sind.

Gruss Florian

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Ex_Mitglied_40174 am Sa. 23. September 2006 08:15:45


also, entweder hast du die ableitungen falsch erklärt, oder deine Lösungen sind bei den Beispielaufgaben falsch. Ich hab da nämlich was ganz anderes raus..

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Tertium non (???) datur .....
von fru am Sa. 23. September 2006 08:31:39


Also, ich sehe da noch mindestens eine weitere Möglichkeit .....

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von weserus am Sa. 23. September 2006 08:44:33


Ja, lieber Franz, und mit absoluter Sicherheit gibt es
noch einen 4. Möglichkeit, die noch interessanter ist....

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Drei oder vier oder noch mehr .....
von fru am Sa. 23. September 2006 09:27:30


Ja, Peter, ich schrieb ja auch "...mindestens...".
Wahrscheinlich stimmt Deine vierte Möglichkeit sogar überein
mit jener, welche ich als dritte ins Auge gefaßt hatte!

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e^x > 1+x BEWEIS WIE?
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 10. Oktober 2006 20:26:57


kann mir jemand erklären wie man beweist dass:

e^x >  1+x

Man weiss ja bei dieser Vermutung noch nicht das e= 2.71828 ist!


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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Martin_Infinite am Di. 10. Oktober 2006 20:31:48


e= 2.71828 ist natürlich unsinn, es sei denn du fasst = als näherungszeichen auf ;-). die ungleichung gilt für alle x ungleich 0. untersuche dafür die funktion e^x - x - 1 auf minima.

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 10. Oktober 2006 20:38:07


danke für die schnelle antwort aber bleibe bitte noch 10minuten hier auf der seite damit ich weiter fragen kann fals ich nicht drauskomme.

P.S.

Sorry meinte es nicht böse:) e=  2.7182818.........................................

Besser???

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 10. Oktober 2006 20:43:18


aber wie sollte man die Funktion

e^x - x - 1 untersuchen wenn der Wert von e zu diesem Zeitpunkt noch unebkannt ist?

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von huepfer am Di. 10. Oktober 2006 21:10:50


Hallo Anonymous,

melde Dich doch am besten Im Forum an und Stelle die Frage dort. Es gibt mehrere Methoden, sowas zu loesen, die von der Definition der e-Funktion abhaengen, die ihr habt. Das wird hier allerdings schnell unuebersichtlich. Im Forum geht das besser.

Gruss,
   Felix

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von shell65 am Di. 10. Oktober 2006 21:28:20


Hey Felix habe nun gepostet im Forum Analysis, Username Shell65, ich hoffe jemand kann mir helfen:)

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Martin_Infinite am Di. 10. Oktober 2006 22:13:48


unabhängig von deinem thread: wenn du mit e^x arbeitest, muss e vorher definiert werden. das, was du dir unter dem wert davon vorstellst (vermutlich die liste der dezimalstellen), spielt dabei überhaupt keine rolle und ist uninteressant. du musst nur wissen, dass e^x abgeleitet wieder e^x ist.

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Moritz123 am Do. 07. Dezember 2006 15:35:44


Danke für den Artikel, hat mir sehr geholfen.

Gruß,
Moritz

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 10. Januar 2007 21:21:05


dankeschön!TIPTOP

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 11. Januar 2007 18:21:37


Sehr gute Seite! Hat mir echt weitergeholfen smile
Allerdings hab ich ein totales Brett vorm Kopf:
Ich verstehe nicht wie man aus dem Bruch: e^h-1 / h
als Ergebnis 1 bekommt. Es mag mal wieder n banaler Denkfehler sein...aber selbst die lassen sich nur schwerlich allein überbrücken wink
Wär nett wenn's mir jemand erklären könnte!

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von meismo am Do. 11. Januar 2007 18:48:00


Die Lösungen zu 3d) (Stammfunktion 1/2*e^(2x)-e^(-x), oder?) und 4d)( ab zweite Ableitung, fehlt ein Minus am Anfang) erscheinen mir falsch, kann aber sein dass ich mich irre.

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 11. Januar 2007 19:09:49


lol meine Frage bezüglich des Bruches der 1 wird hat sich erledigt...ist schon logisch biggrin

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Speedy_Gonzales am Mo. 29. Januar 2007 14:23:02


Danke auch für den Exkurs , wirklich sehr gut smile


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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 30. Januar 2007 11:13:40


Hallo zusammen!
Ich habe eine Funktion:
y=wurzel(a+b*e^x). Kann mir jemand sagen, wie ich diese Funktion im Koordinatensystem verschieben kann? Anders gesagt, ich möchte herausfinden, wie sich a und b auf die Position der Funktion im Koordinatensystem auswirken.
Für Hilfe bin ich sehr dankbar!!
Gruß, Björn

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von fru am Di. 30. Januar 2007 14:25:14


Hallo Björn !

Bei einer Verschiebung ändert sich die Form dieses Funktionstermes
nur dann nicht, wenn die Verschiebung parallel zur x-Achse erfolgt.
Dabei ändert sich nur b, und a bleibt gleich.

Andere Verschiebungen können nicht durch eine Änderung von a und b
beschrieben werden, der neue Funktionsterm hat dann eine andere Form.

Wenn Du Genaueres dazu wissen willst, dann solltest Du Dich anmelden
und Deine Fragen dazu im Forum stellen. Dort bekommst Du sicher
ausführliche Antworten. Dieser Artikel-Kommentar ist aber nicht
der geeignete Ort hierfür.


Liebe Grüße, Franz

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 19. Februar 2007 21:25:34


good job  smile

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von FlorianM am Di. 20. Februar 2007 13:00:51


Thank you! smile

Gruss Florian

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Ex_Mitglied_40174 am So. 25. Februar 2007 21:20:11


vielen dank dein artikel hat meine e-fkt-allergie größtenteils geheilt!
jetzt kann orgen nur noch alles schief gehen...
lieben gruß von einer grundkurslerin!

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von FlorianM am Mi. 28. Februar 2007 21:15:23


Hoffe, du hattest Erfolg. smile

Gruss Florian

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 06. März 2007 18:28:16


vielen dank für die Arbeit, ist echt toll von dir. werde es mir morgen genauer anschauen......

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von FlorianM am Di. 06. März 2007 19:10:12


Danke für das Kompliment. Gerne wieder! smile

Gruss Florian

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 13. April 2007 13:51:53


hallo!
ich würde gerne diese e-funktion 3 einheiten nach rechts verschieben, komme aber nicht dahinter wie man das macht!
die funktion lautet: f(x)=(3x+9)*e^(-x/3)
wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
danke im voraus=)
sandra

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von fru am Fr. 13. April 2007 15:44:39


fed-Code einblenden

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Unbezwingbar für manchen GKler, aber nicht für jeden x)
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 16. April 2007 23:32:08


=) Die Übungsaufgaben sind alle aus dem unten abgebildeten Buch, oder? Hatte selbst Mathe-LK 2004-2006 und wir haben mit dem Buch auch gearbeitet. War alles schon relativ "ok" darin erklärt smile Haste aber trotzdem alles gut zusammengefasst, hoffe ich kanns morgen bei der Nachhilfe wieder gut rüberbringen  biggrin  cool

Gruß.
Alex - Abi '06

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von FlorianM am Mi. 25. April 2007 17:30:26


Ja, die Übungsaufgaben sind aus dem besagten Buch.  smile

Gruss Florian

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 26. April 2007 12:12:49


Hallo,

Punkt 2.4. leuchtet mir ja ein..aber verstehen tu ich trotzdem nicht wie man eine e-funktion ab- und vorallem AUFleitet  confused

könnte mir jemaand ein beispiel dafür geben? (k'(x)= 20 x e ^0,01x^2 zb wie kommt man da bitte zu K(x)= 1000 e ^0,01x^2 ?)

 matheklausur im anflug  frown  


merci

Mo

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von FlorianM am Do. 26. April 2007 12:20:17


fed-Code einblenden

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Ex_Mitglied_40174 am Sa. 28. April 2007 16:45:20


Ich werde jetzt zuerst einmal das pdf-Dokument durcharbeiten. Es scheint aber schon jetzt für mich eine richtige Hilfe zu sein.

Danke. smile

Andreas

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von FlorianM am So. 06. Mai 2007 19:30:40


Hallo Andreas,
das freut mich.  smile

Gruss Florian

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 28. Mai 2007 18:52:54


Vielen Dank für den Artikel,

aber die Lösung zu Aufgabe 2a)ist falsch!

Die Stammfunktion von 2e^3x -> 0,5e^4x

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von FlorianM am Mo. 28. Mai 2007 18:58:20


fed-Code einblenden

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 18. Juni 2007 16:45:56


hey...
muss morgen ein referat darüber halten...da ich erst in der 11. bin udn das thema nie vorher gehört habe, hat es mir seeehr geholfen... aus wikipedia und den endlosen formeln werd ich einfach nicht schlau wink
danke :)))
liebe grüße,
Maggie smile

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von FlorianM am Mo. 18. Juni 2007 16:47:06


Hi Maggie,
freut mich, dass der Artikel dir hilft. smile

Viel Erfolg morgen bei deinem Referat!

Gruss Florian

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 10. Juli 2007 22:40:21


Hallo,

ich hab ein Problem und ich hoffe, dass mir jemand helfen kann!

Ich habe eine Nutzenfunktion
u(x)= a + ß*e hoch -cx
und muß diese nach c auflösen! Zur Bewerkstelligung habe ich die Funktionen
u(0) = a + ß * e hoch -c*0 = 0
und
u(10)= a + ß*e hoch -c*10 = 1

Wie bekomm ich damit a,b und letztendlich c errechnet?

Danke
Gruß
Mary

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Hans-Juergen am Di. 10. Juli 2007 22:58:12


Hallo Mary,

wenn Du den fedgeo benutzst (ist nicht schwer),
sieht Deine Aufgabe so aus:
fed-Code einblenden
Bringe alles bis auf die e-Funktion auf eine Seite
und logarithmiere anschließend beide Seiten
(natürlicher Logarithmus!). Du erhältst einen
Ausdruck für -cx, von dem aus Du dann
bis zum Ende durchstarten kannst.

Viele Grüße,
Hans-Jürgen

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 12. Juli 2007 23:45:37


Hallo Hans-Jürgen,

ich muß zugeben ich steh ziemlich auf dem Schlauch, bzw.  merke ich gerade, dass ich scheinbar null Ahnung habe frown

Wie kann ich denn Unbekannte logarithmieren? *schäm*

Könntest Du evtl so lieb sein und mir die Rechnenschritte kurz skizzieren?
Ich wäre Dir sehr dankbar!

Viele Grüße
Mary

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Re: Wo erhalte ich Hilfe?
von SchuBi am Fr. 13. Juli 2007 00:18:39


Hallo, Mary!
Wenn du (weitere) Fragen zu deiner Aufgabe hast, dann melde dich auf dem MP an und stelle deine Aufgabe im Forum. Dann erhältst du schnell eine Antwort - die Kommentare sollten nicht als Ersatz für das Forum benutzt werden smile

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 15. August 2007 11:28:14


Hi!

Wie sieht denn die Stammfunktion von folgender Ableitung aus:
f'(t)=a*exp(b*f(t)) confused
Hier steht in der Exponentialfunktion ja die Funktion selber...

VG,
  Judith      

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von huepfer am Mi. 15. August 2007 17:19:53


Hallo Judith,

bei der von Dir gestellten Aufgabe handelt es sich nicht originär um die Suche nache einer Stammfunktion sondern um die Lösung einer Differentialgleichung. Am besten meldest Du Dich dazu im Forum an und stellst die Frage dort, da dies nicht der passende Ort für die Beantwortung Deiner Frage ist.

Gruß,
   Felix

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 12. November 2007 18:38:18


Guter und verständlicher Artikel, nur wurde mir nicht so ganz klar, was denn nun das besondere an der e-Funktion sein soll. Sie sieht für mich so aus wie halt eine Exponentialfunktion mit e als Basis. Aber was genau ist denn nun der Vorteil von e gegenüber z.B. 10 als Basis?

MfG

Sönke

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Hans-im-Pech am Mo. 12. November 2007 20:12:10


Hallo sönke,

bilde doch mal die Ableitung.

fed-Code einblenden


Viele Grüße,
HiP

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Ex_Mitglied_40174 am So. 10. Februar 2008 15:02:59


Guten Tag,

ich hätte dringend eine Frage, kann mich im Forum allerdins nur Werktags anmelden.
In der Hoffnung, dass hier jemand vorbeischaut, stelle ich sie hier:

Es gilt e^x > 1+x für alle x=0. (Auf einen Beweis wird hier verzichtet und dem interessierten Leser selbst überlassen.)

Ich habe bis jetzt vergeblich nach Ansätzen für einen Beweis gesucht, bräuchte diesen aber dringend.
Kann mir jemand den Beweis oder Ansätze dazu liefern?

Ein schönes Wochenende,
Leve

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von FlorianM am So. 10. Februar 2008 15:05:21


fed-Code einblenden

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Ex_Mitglied_40174 am So. 10. Februar 2008 15:11:49


Hi,

vielen Dank, damit kann ich nur leider nicht viel anfangen (Wissensstand Schule Kl.12). Mir sagt weder das verkorkste Eppsilon noch k! etwas.

Grüße,
Leve

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von FlorianM am So. 10. Februar 2008 15:17:03


Hi,
achso. Dann schau doch mal hier.

Oder nutz einfach mal die Forumssuche, das Thema hatten wir schon oft und gib e^x>1+x an. Oder kannst du das als nicht registrierter User nicht!?  smile

Gruss Florian

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Ex_Mitglied_40174 am So. 10. Februar 2008 15:50:55


Vielen Dank, jetzt hab ichs.
Suchfunktionen nutze ich generell nie...frag mich nicht warum, ich weiß es nicht.
Ich hab in der Schulmathematik im Forum nichts gefunden und das Forum verlassen, nachdem ich mich am Wochenende nicht anmelden kann und gedacht, ich schreibs hierrein.

Und auf mit frischem Wissen zu Werke,
Leve

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 21. Februar 2008 22:49:55


morgen ist meine abi-vorklausur und ich versteh immernoch nur bahnhof :'(
versteh das nicht.....das ist das erste mathe-thema, bei dem ich null durchblick habe. und das ausgerechnet vorm abi *heul*

naja.....finds aber echt super, wieviel mühe sich hier gegeben wird
lg

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 28. März 2008 17:20:15


Ist die Lösung der Aufgabe 2 im PDF fehlerhaft? Es wird 3 in die Stammfunktion eingesetzt und bei 2x "8" geschrieben.

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 02. April 2008 18:00:02


Voll gut

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 02. Juni 2008 16:42:17


Finde die Zusammenfassung auch sehr schön! Und als kleine Aufgabensammlung auch sehr gut zu gebrauchen.

Nur eine Kleinigkeit hätte ich zu bemeckern wink

Bei der Untersuchung auf (1) f(-x)=f(x) oder (2) f(-x)=-f(x) untersucht man nur (1) die Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse bzw. (2) die Punktsymmetrie bzgl des Punktes (0/0)! Eine mögliche Symmetrie bezüglich einer anderen Achse oder eines anderen Punktes wird durch die nicht gültigen Gleichungen (1) und (2) nicht widerlegt!

Grüssle,
Eddy

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Diophant am Fr. 22. August 2008 16:11:45


Hallo Florian,

gerade habe ich den Artikel entdeckt, da ich auf der Suche bin nach Anregungen, wie man Schülern möglichst plausibel die Eigenschaften der e-Funktion näherbringen kann.

Die Idee, die Definition des Grenzwerts von fed-Code einblenden zunächst mit Hilfe der Tangente an der Stelle x=0 herzuleiten, finde ich sehr gut, so kommt die Folge fed-Code einblenden nicht so aus dem Nichts daher, wie das oft in der Schule geschieht.

Insgesamt ein sehr lesenswerter und hilfreicher Artikel, wie immer mit sehr viel Begeisterung geschrieben. Das macht Freude beim Lesen!


Gruß, Diophant

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von FlorianM am Fr. 22. August 2008 16:14:24


Hi,
ich danke dir vielmals für das nette Lob. Ich bin mir sicher, dass du deinen Schülern den Stoff ebenfalls mit Begeisterung vermitteln wirst!  smile

Gruss Florian

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 23. April 2013 16:01:09


Hallo, ich schreibe ein referat über die e funtion und ein titel heißt: bedeutung für die wissenschaft und für den schulstoff. könnt ihr mir weiterhelfen ?

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Re: Die unbezwingbare e-Funktion
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 11. Februar 2014 15:13:00


Danke für den tollen Artikel hat mir wirklich weiter geholfen.
Ist ab und zu echt anstrengend nach 8 Stunden Arbeit in der Abendschule noch aufzupassen.
LG mijaa

 biggrin

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