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Stern Mathematik: Gruppen sind immer noch Top!
Freigegeben von matroid am So. 05. Februar 2006 09:44:30
Verfasst von Gockel -   8895 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

\(\begingroup\)

 
Gruppenzwang VII

Hallo Freunde der Gruppentheorie.

Nachdem ich zuerst unschlüssig war, ob ich die Gruppenzwangreihe über die Themen von Algebra I hinaus fortsetzen sollte, habe ich mich nun entschlossen, weiterführende Themen der Gruppentheorie hier mit einzugliedern.
Das heißt in diesem Artikel insbesondere1, das Thema der topologischen Gruppen aufzugreifen.


Das heißt vor allem auch, dass es ab hier Gruppenzwänge geben wird, die nicht mehr von Grund auf alles aufbauen, sondern gewisse Voraussetzungen machen. Es werden Artikel sein, die ich vor allem zu meinem Vergnügen und für eine kleinere Gruppe Themeninteressierter schreibe.

In diesem Artikel werde ich z.B. Grundkenntnisse in Topologie voraussetzen, d.h. ein Verständnis davon, was offene Mengen und Umgebungen sind, was stetige Abbildungen und Hausdorff'sche Räume sind etc. Zumindest die grundlegenden Definitionen und Sätze sollten also bekannt sein.

1 Ich mag dieses Wort... :)


 
Inhalt



1.) Allgemeines über topologische Gruppen
1.1.) Definitionen und Beispiele
1.2.) Elementares
1.3.) Nicht so Elementares, aber Schönes
1.4.) Trennungsschmerz

2.) Anwendung: PSU(2) ist einfach!
2.1.) U,SU,PSU
2.2.) Einschub: Die Quaternionen
2.3.) SU(2)
2.4.) Warum kompliziert, wenns auch einfach geht?

 
Allgemeines über topologische Gruppen



 
Definitionen und Beispiele



"Nanu? Topologie in einer Gruppentheorie-Reihe? Wieso dies?" höre ich euch fragen. Nun ganz einfach: Weil es so genannte "Topologische Gruppen" gibt, in deren Theorie ich euch hier einen Einblick geben möchte.

Was ist nun ein topologische Gruppe?

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Ein weiteres Beispiel wird der interessierte Leser (irgendwie bezweifle ich, dass es mehr als Einer ist ) im bald erscheinenden Artikel über unendliche Galoistheorie finden, denn auch Galoisgruppen können mit einer nichttrivialen Topologie versehen werden.

 
Elementares



 
Homöomorphismen



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Diese drei sind unter diversen anderen die wichtigsten stetigen Abbildungen G->G. Die Links- und Rechts-Multiplikation sind beispielsweise äußerst nützlich, da man viele Sätze nur für das neutrale Element beweisen kann und mit Hilfe der Homöomorphie-Eigenschaften von Links- und Rechtsmultiplikation folgern kann, dass diese Sätze (eventuell in leichter Abwandlung) auch für alle anderen Elemente der Gruppe gelten.
Für je zwei Punkte x und y sehen - anschaulich gesprochen - die Umgebungen gleich aus, da man mit der Rechts- bzw. Linksmultiplikation eines entsprechenden Elements immer einen Homöomorphismus zwischen ihnen findet.

 
Untergruppen



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Faktorgruppen



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Nicht so Elementares, aber Schönes



 
Wo war noch gleich der Zusammenhang?



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Der Abschluss, aber nicht das Ende



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Trennungsschmerz



In der Topologie sind die so genannten
Trennungsaxiome und die Räume, die sie erfüllen, von besonderem Interesse.
Wir wollen nun zeigen:
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Das hat u.A. die Konsequenz, dass Faktorgruppen topologischer Gruppen genau dann Hausdorff sind, wenn der herausfaktorisierte Normalteiler abgeschlossen ist.
Ebenfalls folgt daraus, dass total unzusammenhängende topologische Gruppen (in denen die Zusammenhangskomponenten einelementige Mengen sind) bereits Hausdorff sind.


Weiterhin gilt bemerkenswerterweise:
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Anwendung: PSU(2) ist einfach!



Wir wollen uns nun speziellen topologischen Gruppen zuwenden, nämlich den unitären Gruppen und als besonderen Höhepunkt des Artikels den Beweis führen, dass die Gruppe PSU(2) eine einfache Gruppe ist.

 
U, SU und PSU



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Einschub: Die Quaternionen



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SU(2)



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Warum kompliziert, wenns auch einfach geht?



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Diese beiden Aussagen zur Klassifikation der Konjugiertenklassen verwenden wir nun, um folgendes zu zeigen:

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Wissenswertes


1. PSU(2) ist zur dreidimensionalen Drehgruppe SO(3,IR) isomorph. Das erkennt man, indem man SU(2) auf der Konjugationsklasse der Matrizen mit Spur 0 operieren lässt (natürlich durch Konjugation, was eine lineare Abbildung, genauer gesagt eine Drehung, definiert). Das artet ein bisschen in Rechnerei aus, ist aber interessant. :)
Wir haben also auch den Beweis erbracht, dass SO(3,IR) einfach ist. Dies ist Standardbeispiel für unendliche einfache Gruppen.


2. PSU(n) ist nicht nur für n=2 eine einfache Gruppe, auch wenn man für den allgemeinen Beweis sehr viel mehr Handwerkszeug benötigt.


3. Man kann unitäre Gruppen auch über endlichen Körpern definieren, sofern deren Ordnung eine Quadratzahl ist. Diese endlichen Gruppen notiert man dann meist mit PSU(n,q) oder PSU(n,q2). Bis auf drei Ausnahmen (PSU(2,2), PSU(2,3) und PSU(3,2)) sind diese Gruppen ebenfalls einfach.


 
Abschluss



Ich hoffe, dass ich euch einen guten und interessanten Einblick in die Theorie der topologischen Gruppen geben konnte.
In meinem Artikel über unendliche Galoistheorie werdet ihr, wenn ihr möchtet, auf eine weitere Anwendung der Theorie stoßen.

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Die Gruppenzwang-Reihe



Teil 1: Wir rechnen mit allem
Teil 2: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an
Teil 3: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier
Teil 4: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten
Teil 5: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP
Teil 6: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
Teil 7: Gruppen sind immer noch top!
Teil 8: Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs
Teil 9: Unfall im Genlabor: (Per)mutationen in der Bevölkerung
Teil 10: Jäger der verlorenen Gruppe - Special Xtended Version
Teil 11: Der Gruppentheorie-Adventskranz
Teil 12: Wegen guter Führung entlassen: Gruppen sind frei
Teil 13:  Amnestie: Auch Untergruppen frei
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Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
: Gruppentheorie :: Interessierte Studenten :: Komplexe Zahlen :: Matrizen :: Topologie :: Reine Mathematik :
Gruppenzwang VII: Gruppen sind immer noch Top! [von Gockel]  
Dieser Teil der Serie behandelt topologische Gruppen und ihre Eigenschaften. Im zweiten Teil werden unitäre Gruppen untersucht und bewiesen, dass PSU(2) eine einfache Gruppe ist
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
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" Stern Mathematik: Gruppen sind immer noch Top!" | 4 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Gruppen sind immer noch Top!
von Ex_Mitglied_40174 am So. 05. Februar 2006 20:17:31

\(\begingroup\)
wollte nur sagen, dass ich das Wort "insbesondere" auch ganz toll finde smile\(\endgroup\)

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Re: Gruppen sind immer noch Top!
von Martin_Infinite am Mo. 06. Februar 2006 10:59:24

\(\begingroup\)
Hi Gockel,
 
interessanter Artikel! smile
 
Vor allem das Finale, indem du die Einfachheit von PSU(2), eine rein algebraische Aussage, mit topologischen Mitteln beweist.
 
 Gruß
Martin\(\endgroup\)

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Re: Gruppen sind immer noch Top!
von Gockel am Di. 21. Februar 2006 16:22:32

\(\begingroup\)
Hallo nochmal.

Ich wollte noch sagen, dass der Beweis für den im Artikel erwähnten Isomorphismus fed-Code einblenden jetzt in meinem Notizbuch zu finden ist.

Man kann ihn, wenn man will, sogar mit ein bisschen Topologie ausstatten, um zu beweisen, dass das Bild einer Matrix aus SU(2) wirklich die Determinante 1 hat.
fed-Code einblenden

mfg Gockel.\(\endgroup\)

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Re: Gruppen sind immer noch Top!
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 04. Juni 2008 11:25:34

\(\begingroup\)
gut\(\endgroup\)

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