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Stern Mathematik: Das Gruppenaxiom
Freigegeben von matroid am Mo. 13. Februar 2006 16:34:20
Verfasst von SirJective -   4394 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

\(\begingroup\)

Das Gruppenaxiom


"Das Gruppenaxiom"? Es gibt doch drei Gruppenaxiome!

Üblicherweise definiert man Gruppen in der Mathematik durch eine Verknüpfung zwischen den Elementen (eine "Multiplikation") und die Forderung, dass drei bestimmte Aussagen (die "Gruppenaxiome") gelten sollen. So wird es im Artikel Gruppenzwang getan, der eine Einführung in die Gruppentheorie gibt.

Da ist es doch einigermaßen überraschend, dass es auch mit weniger als drei Axiomen geht, wenn man nicht mit der Multiplikation, sondern mit der Division arbeitet.

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Inhalt


1. Beweis des Satzes
1.1. Alle Translationen sind bijektiv
1.2. e ist eindeutig bestimmt
1.3. Doppelbrüche sind kürzbar
1.4. G ist eine Gruppe
2. Verallgemeinerung
2.1. Beispiele
2.2. Aus "endlich" mach "eins"
2.3. Verallgemeinerter Satz
2.4. Verbesserung

Beweis des Satzes


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(Siehe auch den Wikipedia-Artikel Operatorassoziativität.)

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Verallgemeinerung


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Beispiele


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Aus "endlich viele" mach "eins"


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Verallgemeinerter Satz


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Verbesserung


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Quellen


Der verlinkte Diskussionsfaden veranlasste mich, die beiden Artikel in einer Bibliothek zu suchen, ich habe nämlich keine Quellen im Internet gefunden, in denen der Satz bewiesen wird. Hiermit hat sich das geändert. ;)
  • Higman, Graham und Neumann, Bernhard: Groups as groupoids with one law, Publicationes Mathematicae Debrecen, 2 (1952), 215-227.

  • Lorenzen, Paul: Ein vereinfachtes Axiomensystem für Gruppen, Journal für reine und angewandte Mathematik, 182 (1940), 50.

  • LinkDas Gruppenaxiom - Diskussionsfaden zum Thema


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Das Gruppenaxiom [von SirJective]  
Wie man die Gruppeneigenschaft an einem einzigen Axiom beweist.
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" Stern Mathematik: Das Gruppenaxiom" | 15 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Das Gruppenaxiom
von jannna am Mo. 13. Februar 2006 17:23:30

\(\begingroup\)
Hallo

Mir gefällt der Artikel, und ich notizbuche ihn mal um ihn beizeiten durchzuarbeiten.

Es geht also mit weniger. Allerdings, so scheint es mir jedenfalls jetzt noch, verliert man einiges an Übersichtlichkeit wink

Grüße
Jana\(\endgroup\)

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Alternative Darstellung der Gruppenverknüpfung
von fru am Mo. 13. Februar 2006 17:50:38

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Re: Das Gruppenaxiom
von Martin_Infinite am Mo. 13. Februar 2006 18:09:32

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Hi Christian,
 
vielen Dank für diesen Artikel! Damit hast du meine Frage in diesem Thread natürlich mehr als umfassend beantwortet, und bietest zugleich vielen anderen einen Einblick in diesen schön elementaren Beweis, dass man die Gruppenaxiome auf ein einziges reduzieren kann.

Trotz der vielen Gleichungen und Variablen hast du den Beweis m.E. sehr übersichtlich und verständlich dargestellt

Danke übrigens auch dafür, dass du meine 'typografischen' Änderungsvorschläge umgesetzt hast.
 
@fru: Das ist wohl mitunter Geschmackssache. wink
 
 Gruß
Martin\(\endgroup\)

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Re: Das Gruppenaxiom
von SirJective am Mo. 13. Februar 2006 18:59:13

\(\begingroup\)
Hallo fru,

ich könnte ja mehrere Schreibweisen einbringen.
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Christian
\(\endgroup\)

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Re: Das Gruppenaxiom
von Gockel am Mo. 13. Februar 2006 20:39:34

\(\begingroup\)
Hi christian.

Ein echt schöner Artikel, der Spaß macht beim Lesen.

mfg Gockel.\(\endgroup\)

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Re: Das Gruppenaxiom
von Snowball am Mo. 13. Februar 2006 22:59:55

\(\begingroup\)
Man kann aber immer beliebig viele Axiome zu einem zusammenfassen (einfach durch logische Verknüpfung). Nicht, dass ich die Leistung hier schmälern will, ich hab ja selbst gesehen, dass das nicht so leicht ist, aber es ist schon die Form dieses Axioms, die es so besonders macht.\(\endgroup\)

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Senf oder Ketchup, das ist hier die Frage
von fru am Mo. 13. Februar 2006 23:39:57

\(\begingroup\)
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Re: Das Gruppenaxiom
von cow_gone_mad am Sa. 29. April 2006 22:59:13

\(\begingroup\)
Hallo ihr alle smile

Da ich über neues Spielzeug gehört habe, und es gleich mal quälen wollte, haben wir jetzt hier ein Problem:
www-unix.mcs.anl.gov/~mccune/sobb2/cgi/area.cgi
behauptet, dass diese Aussage falsch ist.
Mit den Hypothesen:
x / ((((x / x) / y) / z) / (((x / x) / x)/ z)) = y.
x * y = x/((x/x)/y).
kommt die Ausgabe, dass x * e = x. falsch ist, mit dem Gegenbeispiel:
     e : 0
   
     * :
          | 0 1
        --+----
        0 | 1 0
        1 | 0 1
   
     / :
          | 0 1
        --+----
        0 | 1 0
        1 | 0 1

Aber mit dem Input:
x/y = x * y'.
Kann die Behauptung:
x / ((((x / x) / y) / z) / (((x / x) / x)/ z)) = y.
gezeigt werden.

Liebe Grüsse,
cow_\(\endgroup\)

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Re: Das Gruppenaxiom
von cow_gone_mad am Sa. 29. April 2006 23:38:12

\(\begingroup\)
Okay, Problem hat sich doch von selber gelöst, wenn man die Conclusions selber eingibt, werden Beweise ausgeben. wink Wenn jemand Lust hat:
x / ((((x / x) / y) / z) / (((x / x) / x)/ z)) = y.
x * y = x/((x/x)/y).
folgt:
all x all y all z ((x * y) * z = x * (y * z)).
exists e all x (x * e = x).
sowie unter dazunahme obigen zur Annahme (also nur dem Zweiten).
all x exists y (x * y = e).

Womit man die Gruppeneigenschaften doch gezeigt hat wink

Es ist auch interessant zu sehen, das eine Beweisstrategie ähnlich wie im Artikel verwendet wird:
   4      ($c1 * $c2) * $c3 != $c1 * ($c2 * $c3).            [clausify]
    5      x / ((((x / x) / y) / z) / (((x / x) / x) / z)) = y. [input]
    6      x * y = x / ((x / x) / y).                         [input]
    7      ($c1 / (($c1 / $c1) / $c2)) / ((($c1 / (($c1 / $c1) / $c2)) / ($c1 / (($c1 / $c1) / $c2))) / $c3) != $c1 / (($c1 / $c1) / ($c2 / (($c2 / $c2) / $c3))). [copy 4 demod (6 6 6 6)]
    8      ((((x / x) / (x / x)) / y) / z) / ((((x / x) / (x / x)) / (x / x)) / z) = x / ((y / u) / (((x / x) / x) / u)). [para (5 (a 1) 5 (a 1 2 1 1)) flip a]
    9      x / (y / (((x / x) / x) / ((((((x / x) / z) / ((x / x) / z)) / y) / u) / (((((x / x) / z) / ((x / x) / z)) / ((x / x) / z)) / u)))) = z. [para (5 (a 1) 5 (a 1 2 1))]
    14     ((((x / x) / (x / x)) / (x / x)) / y) / ((((((((x / x) / (x / x)) / (x / x)) / y) / ((((x / x) / (x / x)) / (x / x)) / y)) / z) / u) / (((x / (((x / x) / v) / (((x / x) / x) / v))) / ((((x / x) / (x / x)) / (x / x)) / y)) / u)) = z. [para (8 (a 1) 5 (a 1 2 2 1 1))]
    16     (x / x) / (x / ((y / z) / (((x / x) / x) / z))) = y. [para (8 (a 1) 5 (a 1 2))]
    20     ((((x / x) / (x / x)) / ((x / x) / y)) / z) / ((((x / x) / (x / x)) / (x / x)) / z) = y. [para (8 (a 2) 5 (a 1))]
    24     ((((x / x) / (x / x)) / y) / z) / ((((x / x) / (x / x)) / (x / x)) / z) = x / ((y / ((((((x / x) / x) / ((x / x) / x)) / u) / v) / (((((x / x) / x) / ((x / x) / x)) / ((x / x) / x)) / v))) / u). [para (5 (a 1) 8 (a 2 2 2))]
    37     x / ((((y / y) / (y / y)) / (y / y)) / (((y / y) / (y / y)) / ((x / z) / (((((y / y) / (y / y)) / ((y / y) / (y / y))) / ((y / y) / (y / y))) / z)))) = y / y. [para (16 (a 1) 8 (a 1 1)) demod (5)]
    42     (((x / x) / (x / x)) / ((x / x) / (x / x))) / (((x / x) / (x / x)) / ((y / ((((x / x) / (x / x)) / (x / x)) / ((x / x) / (x / x)))) / (x / x))) = y. [para (8 (a 1) 16 (a 1 2 2 2)) demod (5)]
    45     x / (y / y) = x.                                   [para (5 (a 1) 9 (a 1 2 2))]
    47     x / ((x / x) / (((x / x) / x) / (((((x / x) / y) / ((x / x) / y)) / z) / (((((x / x) / y) / ((x / x) / y)) / ((x / x) / y)) / z)))) = y. [para (9 (a 1) 6 (a 2)) demod (45 6)]
    64     (x / x) / ((x / x) / y) = y.                       [back_demod 42 demod (45 45 45 45 45 45 45 45 45 45)]
    69     x / ((x / y) / ((z / z) / y)) = z / z.             [back_demod 37 demod (45 45 45 45 45 45 45 45 64)]
    77     (((x / x) / y) / z) / ((x / x) / z) = x / ((y / ((((((x / x) / x) / ((x / x) / x)) / u) / v) / (((((x / x) / x) / ((x / x) / x)) / ((x / x) / x)) / v))) / u). [back_demod 24 demod (45 45 45)]
    81     (x / y) / ((z / z) / y) = x.                       [back_demod 20 demod (45 64 45 45)]
    84     ((x / x) / y) / ((((x / x) / z) / u) / (((x / (((x / x) / v) / (((x / x) / x) / v))) / ((x / x) / y)) / u)) = z. [back_demod 14 demod (45 45 45 45 45 45 81 45 45)]
    87     (x / x) / y = x / ((y / z) / (((x / x) / x) / z)). [back_demod 8 demod (45 45 45 81)]
    96     x / ((y / ((((x / x) / z) / u) / (x / u))) / z) = (x / x) / y. [back_demod 77 demod (81 81 81 64) flip a]
    101    x / x = y / y.                                     [back_demod 69 demod (81)]
    110    x / ((x / x) / (((x / x) / x) / (((x / x) / y) / (z / y)))) = z. [back_demod 47 demod (81 81 64)]
    112    x / x = c0.                                        [new_symbol 101]
    116    x / (c0 / ((c0 / x) / ((c0 / y) / (z / y)))) = z.  [back_demod 110 demod (112 112 112)]
    128    x / ((y / (((c0 / z) / u) / (x / u))) / z) = c0 / y. [back_demod 96 demod (112 112)]
    136    x / ((y / z) / ((c0 / x) / z)) = c0 / y.           [back_demod 87 demod (112 112) flip a]
    138    c0 / (c0 / x) = x.                                 [back_demod 84 demod (112 112 112 112 136 112 112 136)]
    141    (x / y) / (c0 / y) = x.                            [back_demod 81 demod (112)]
    145    ($c1 / (c0 / $c2)) / (c0 / $c3) != $c1 / (c0 / ($c2 / (c0 / $c3))). [back_demod 7 demod (112 112 112 112 112 112)]
    152    c0 / ((c0 / x) / (y / x)) = y.                     [para (112 (a 1) 116 (a 1 2 2 1)) demod (138)]
    156    (x / (c0 / y)) / y = x.                            [para (138 (a 1) 141 (a 1 2))]
    162    c0 / (x / y) = y / x.                              [para (141 (a 1) 152 (a 1 2 2)) demod (138)]
    184    ($c1 / (c0 / $c2)) / (c0 / $c3) != $c1 / ((c0 / $c3) / $c2). [para (162 (a 1) 145 (a 2 2))]
    187    (x / (y / z)) / (z / y) = x.                       [para (162 (a 1) 141 (a 1 2))]
    190    (c0 / ((c0 / x) / y)) / x = y.                     [para (162 (a 2) 156 (a 1 1))]
    193    c0 / ((c0 / $c3) / ($c1 / (c0 / $c2))) != $c1 / ((c0 / $c3) / $c2). [para (162 (a 2) 184 (a 1))]
    294    c0 / (x / ((y / z) / ((c0 / u) / z))) = y / (x / u). [para (187 (a 1) 128 (a 1 2 1)) flip a]
    389    (x / y) / (z / y) = x / z.                         [para (136 (a 1) 190 (a 1 1 2)) demod (138 138) flip a]
    408    c0 / (x / (y / (c0 / z))) = y / (x / z).           [back_demod 294 demod (389)]
    409    $F.                                                [resolve (408 a 193 a)]

Man beachte Zeile Nummer 101 und 112.

Liebe Grüsse,
cow_
\(\endgroup\)

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Re: Das Gruppenaxiom
von Plex_Inphinity am Fr. 13. April 2007 20:04:38

\(\begingroup\)
Hi,


Gibt es überhaupt Varietäten von Gruppen, die kein endliches Axiomensystem haben? Higman und Neumann wussten 1952 noch keine Antwort darauf.

Natürlich gibt es die. Die Klasse aller endlichen Gruppen ist beispielsweise nicht endlich axiomatisierbar (nicht in FO heißt das). Das folgt aus dem Kompaktheitssatz für FO.

Gruß
Plex\(\endgroup\)

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Re: Das Gruppenaxiom
von Martin_Infinite am So. 07. August 2011 22:48:17

\(\begingroup\)
B.H. Neumann hat übrigens auch ein einzelnes Axiom gefunden, welches Gruppen definiert, allerdings nicht mit der Rechtsdivision, sondern mit der üblichen Multiplikation und Inversion arbeitet. Es lautet:
 
<math>x \cdot (( (y^{-1} \cdot (x^{-1} \cdot t))^{-1}\cdot z) \cdot (y \cdot z)^{-1})^{-1} = t</math>
 
Und das ist nur ein Beispiel von vielen. Siehe dazu den Artikel

William W. McCune, Single Axioms for Groups and Abelian Groups with Various Operations, online\(\endgroup\)

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Re: Das Gruppenaxiom
von SirJective am Sa. 22. Oktober 2011 20:46:58

\(\begingroup\)
Hallo Plex,

die Klasse aller endlichen Gruppen ist aus demselben Grund wie die Klasse aller Torsionsgruppen keine Varietät: Die Bedingung, endlich zu sein (ausgedrückt durch die klassische ODER(!)-Verknüpfung der Gleichungen
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für jedes n in IN), ist kein Axiomensystem.

Gruß,
SirJective
\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Das Gruppenaxiom
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 15. Juni 2015 08:25:48

\(\begingroup\)
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Ist es denn nun die Verknüpfung *, oder die Verknüpfung /, die mit der Menge G eine Gruppe bildet, wenn das Gruppenaxiom gilt (und der Träger nichtleer ist)? Eigentlich dachte ich, dass / die Verknüpfung ist, doch dann verstehe ich das Kommentar "In diesem Fall ist die Gruppenverknüpfung durch a*b = a/((a/a)/b) gegeben" nicht.

mfg asdf.
\(\endgroup\)

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Re: Das Gruppenaxiom
von Ex_Mitglied_43988 am Do. 18. Juni 2015 15:44:16

\(\begingroup\)
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Diese Aussage ist falsch, vermute ich. Setzen wir beispielsweise <math>G=\mathbb{Z}, /=+</math>, dann erhält man eine Gruppe und es soll nach dem Satz x + ((((x+x)+y)+z) + (((x+x)+x)+z)) = y für alle ganzen Zahlen gelten. Für x = 1, z = 1, und ein y = 9000 gilt dies aber nicht, also gilt es nicht für alle ganzen Zahlen. Wenn diese Argumentation richtig ist, dann ist der Satz falsch.

mfg asdf.\(\endgroup\)

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Re: Das Gruppenaxiom
von Martin_Infinite am Do. 18. Juni 2015 23:42:25

\(\begingroup\)
<math>/</math> soll nicht die Gruppenmultiplikation sein, sondern die Division <math>a/b = a \cdot b^{-1}</math>. Die Verknüpfung <math>\cdot</math> ist, wie angegeben, <math>a \cdot b := a/((a/a)/b)</math>. Der Satz sollte eigentlich lauten: Sei <math>X</math> eine nichtleere Menge. Dann gibt es eine Bijektion zwischen Gruppenstrukturen auf <math>X</math> (d.h. den Gruppen mit unterliegender Menge <math>X</math>) und den binären Verknüpfungen / auf <math>X</math>, welche dieses monströse 'Gruppenaxiom' (1) erfüllen. (Du hast diese Bijektion mit der Identität verwechselt.) Es versteht sich eigentlich von selbst, dass das im Artikel so gemeint ist, vor allem, wenn man ihn etwas weiterliest, aber ich muss zugeben, dass das durchaus missverstanden werden kann.

Diese Bijektion ist übrigens auch mit Homomorphismen verträglich, d.h. eine Abbildung <math>f : X \to X'</math> ist bezüglich zwei Gruppenstrukturen auf <math>X</math> bzw. <math>X'</math> genau dann ein Homomorphismus, wenn <math>f(a/b)=f(a)/f(b)</math> für alle <math>a,b \in X</math> gilt. Das Ganze lässt sich ganz prägnant mit Hilfe der Kategorientheorie zusammenfassen: Die Kategorie der Gruppen ist zur Kategorie der Paare <math>(X,/)</math> isomorph, wobei <math>/</math> eine binäre Verknüpfung ist, welche das 'Gruppenaxiom' (1) erfüllt. Die Kategorien sind nicht identisch, kann man aber, wie man allgemein bei Isomorphie sagt, miteinander identifizieren.\(\endgroup\)

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