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Mathematik: Simulink für Dummies
Freigegeben von matroid am Fr. 24. Februar 2006 15:03:52
Verfasst von Def_Seien -   77643 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
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Simulink für Dummies


Einleitung
Ich habe diesen Artikel aus folgendem Grund geschrieben:
In der letzten Zeit sind immer wieder Fragen zu Simulink aufgetaucht. Weil ich denke - und auch hoffe - dass in Zukunft vermehrt Fragen dieser Art im Forum gestellt werden, habe ich diese kleine Einführung geschrieben. Sie ist dafür gedacht, Neulingen, welche (fast) keine Ahnung von Simulink haben, eine kleine Starthilfe zur Verfügung zu stellen. Da ich von Berufes wegen viel mit Matlab/Simulink zu tun habe, teile ich dieses Wissen (oder besser gesagt einen Teil davon) mit Euch.

Let's get started!
Nun, wie wärs denn mit ein oder zwei Beispielen? Zugegeben, auf
so simple und erklärende Beispiele trifft man im Alltag selten, aber wir wollen
ja nicht mit der Tür ins Haus fallen. Ich habe deshalb einige gute Beispiele
ausgewählt:

1. DC-Motor mit Drehzahlregelung
2. Masse-Feder-System
3. Jogger-Dog-Problem

Im ersten Beispiel werden wir zusammen kurz die DGL eines DC-Motors mit
Permanenterregung herleiten, um diese dann in Simulink nachzubauen und zu
simulieren. Danach entwerfen wir einen Regler, welcher die Drehzahl des Motors
genau einstellen soll.

Im zweiten Beispiel versuchen wir, die sicherlich allseits bekannte DGL eines
einfachen Masse-Feder-Systems zu simulieren.

Das dritte Beispiel ist eine Abwandlung der bekannten Thematik "Verfolgungskurven".

Diese Probleme habe ich ausgewählt, weil jedem ein etwas anderer Schwerpunkt zugrunde liegt:
  • DGL 1. Ordnung mit Regelung
  • DGL 2. Ordnung
  • 2 gekoppelte DGL, Darstellung mit xy-Scope

    Natürlich existieren weitaus mehr Bibliotheken und Anwendungen derselben in Simulink. Eine umfassende Behandlung würde allerdings den Rahmen dieses Artikels bei Weitem sprengen, er ist deshalb auch nur als Einführung gedacht.

    Nun denn, frisch ans Werk!
    Beispiel 1


    fed-Code einblenden
    Modell von Beispiel 1


    Ich denke, jeder sollte imstande sein, diese Simulation mit den oben gezeigten Blöcken nachzubauen, da sie allesamt aus der Standardbibliothek stammen. Jeder kann sich die DGLen aus den Signalverbindungen und Blöcken selbst "zusammendenken".

    Der zentrale Block für diese Art von Simulationen ist wohl der kontinuierliche Integrator 1/s, welcher z.B. für die Winkelbeschleunigung der Welle am Eingang das Omega herausgibt. Der Einfachheit halber lassen wir unseren Motor immer von Drehzahl Null aus starten.

    Jetzt wird auch ersichtlich, warum wir die beiden DGLen nach der höchsten Ableitung aufgelöst haben: Für eine DGL in Simulink benötigt man Integratoren (1/s, im Modell hellblau). Die Eingänge jener Integratoren berechnet man nun aus den gegebenen Grössen, aber auch aus der Zustandsgrösse (Grösse, welche aus dem Integrator herauskommt) selbst. Dies führt zu einer Rückkopplung im Modell. Somit schliesst sich der Kreis.

    Im Matlab Workspace definieren wir nun die Parameter für das Modell. Dies kann man alternativ auch mit einem m-File machen. Die Werte sind:
  • fed-Code einblenden
  • fed-Code einblenden
  • fed-Code einblenden
  • fed-Code einblenden
  • fed-Code einblenden

    Die Klemmenspannung u wird bei t=0 eingeschaltet und beträgt danach konstant 10V.

    Natürlich sind diese Werte so gewählt, dass der Simulations-Output anschaulich wird. Wir müssen nun noch die Simulationsparameter einstellen. Diese erreicht man über das Menu "Simulation, Simulation Parameters". Die Simulation soll 20s laufen, also tragen wir diesen Wert bei "Stop time" ein. Die anderen Parameter können wir getrost sein lassen. Danach klicken wir auf den "Start Simulation" Button (das kleine schwarze Dreieck).

    Wir können nun folgende Grafik plotten (sie ist nicht mit dem "Scope" im Modell gemacht, sondern mit dem "plot" Befehl in Matlab, da dieser ein bisschen mehr Formatierungsmöglichkeiten zulässt):



    Man sieht die beiden Zeitkonstanten: Die mechanische Zeitkonstante (oberer Plot) wird durch das Massenträgheitsmoment bestimmt und ist meist viel grösser als die elektrische Zeitkonstante (unterer Plot, man beachte den steilen Stromanstieg), welche durch den Ankerkreis bestimmt wird. In unserem Beispiel sind die Werte so gewählt, dass beide Zeitkonstanten gut sichtbar sind.

    Charakteristisch für den DC-Motor ist die PT2-Sprungantwort. Weil aber in der Praxis die elektrische Zeitkonstante um Grössenordnungen kleiner ist als die mechanische, ist meistens nur letztere sichtbar.
    Regelung der Drehzahl in Beispiel 1
    Um unserer DC-Maschine eine Regelung zu verpassen, ist es sinnvoll, einen neuen Block aus dem Modell zu machen. Er sollte die Klemmenspannung u als Eingang haben und die mechanische Drehzahl als Ausgang und der vollständigkeit halber den Strom ebenfalls. Man erreicht dies, indem man den gesamten Teil des Modells, den man in einen Block packen möchte, mit der Maus markiert, rechtsklickt und "Create Subsystem" auswählt. Das Modell sieht dann schliesslich so aus:



    Sieht toll aus, nicht wahr? Nun, jetzt brauchen wir noch einen Regler und die Rückkopplung des Regelkreises. In der Praxis müsste die Drehzahl des Motors jetzt irgendwie gemessen werden. Unser virtueller Sensor habe jedoch der Einfachheit halber die Übertragungsfunktion 1, deshalb können wir ihn weglassen. Unser Drehzahl-Regelkreis sieht nun so aus:



    Der PID-Regler befindet sich in der Bibliothek "Simulink-Extras". Nun müssen wir "nur" noch die Reglerparameter einstellen. Alleine darüber könnte man ein ganzes Buch schreiben, deshalb sei an dieser Stelle auf einschlägige Literatur verwiesen. Wir simulieren 2 Fälle, einmal mit und einmal ohne Überschwingen. Die Solldrehzahl betrage zuerst 10, nach 10s 20 1/s. Hier sind die Ergebnisse:



    Man sieht die Überschwinger ganz deutlich. Nach der Ausregelzeit ist die Regelabweichung beinahe verschwunden. Man sieht ebenfalls, dass der Motor viel Strom benötigt, um die gewünschten Drehzahländerungen zu bewerstelligen. Hier wird Gleichung (2) aus Abschnitt "Beispiel 1" deutlich.

    Die zweite Simulation, diesmal mit einem Regler ohne Überschwingen:



    Auch hier ersichtlich sind die Stromspitzen. Der Regler braucht diesmal deutlich weniger Zeit, um die gewünschte Drehzahl zu erreichen.
    Beispiel 2



    In unserem zweiten Beispiel betrachten wir ein Masse-Feder-System. Das Pendel ist in der Skizze in ausgelenktem Zustand gezeichnet.

    fed-Code einblenden
    Modell von Beispiel 2



    Hier benötigen wir 2 Integratoren, um die Beschleunigung x'' in den Weg x überzuführen. Wieder ist der Vorteil der Form, welche Gleichung (11) hat, ersichtlich, nämlich die Umformung nach der höchsten Ableitung.
    Nun definieren wir noch die Konstanten:
  • fed-Code einblenden
  • fed-Code einblenden
  • fed-Code einblenden

    Nun müssen wir dem 2. Integrator (x' -> x) noch die Anfangsbedinung aufprägen. Wir möchten die Feder bei x=0.3m starten lassen. Die Anfangsgschwindigkeit soll 0 bleiben. Doppelklick auf den Block und bei "Initial Condition" 0.3 eintragen und schon ist auch dies erledigt. Bei "Max Step Size" tragen wir 0.1ms ein, damit die Kurven schön glatt werden. Noch schnell 20s als Simulationszeit eintragen und dann können wir die Simulation laufen lassen.



    Schön sichtbar ist die exponentielle Abnahme der Amplitude mit zunehmender Zeit t.
    Die violette Linie zeigt die Gleichgewichtslage des Pendels.
    fed-Code einblenden
    Beispiel 3



    fed-Code einblenden
    Modell von Beispiel 3



    Das Modell besteht aus 2 Integratoren, je einen für die x- und die y-Komponente des Verfolgers. Im rechten Teil ist die Berechnung der Wurzel aus den Gleichungen (16) und (17) ersichtlich. Die Anfangsbedingungen für den Verfolger befinden sich im grünen Block. Sie werden direkt auf den Integrator geführt. Damit dieser einen zusätzlichen Input für die Anfangsbedingung erhält, muss man auf ihn doppelklicken und bei "Initial condition source" "external" auswählen.

    Die beiden roten Blöcke bestimmen die Kurve des Verfolgten, in unserem Beispiel also einen Kreis um den Nullpunkt mit Radius 1. Dafür verwenden wir zwei "sin" Blöcke, einen mit Phase Null (x1) und einen mit Phase 90° (y1). Der Verfolgte läuft dann im Uhrzeigersinn in einem Kreis.

    Danach starten wir die Simulation und erhalten folgenden Plot:


    Man kann jetzt damit spielen und diese Simulation für beliebige Kurven des Verfolgten bzw. Anfangsbedingungen des Verfolgers durchführen und erhält die verschiedensten Kurven. Dies sei aber dem Leser überlassen.
    Schlusswort

    Mit Simulink kann man extrem viel machen. Deshalb sei hier auch auf die sehr ausführliche Dokumentation und Hilfe verwiesen. Man findet zu beinahe jedem Thema ein Simulink-Modell. Man stöbere nur einmal in den "Matlab-Demos".

    Zum Schluss hoffe ich, dass der Eine oder Andere von diesem Artikel profitieren kann und möchte mich, lieber Leser, für das Durchhalten bis zum Schluss bedanken.

    Daniel.

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    " Mathematik: Simulink für Dummies" | 21 Kommentare
     
    Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

    Re: Simulink für Dummies
    von shredhead am Fr. 24. Februar 2006 17:46:51


    Hi Daniel

    Einen schönen Artikel hast du da geschrieben. Beim ersten
    flüchtigen durchlesen sind mir keine inhaltlichen Fehler aufgefallen,
    höchstens wenige kleine Rechtschreibfehler.

    Ich komme ja mehr von der "reinen Matlab-Seite", also vom programmiertechnischem und hab daher nur selten was mit Simulink
    zu tun, ich finde aber den Artikel sehr ansprechend und verstehe
    ihn auch als eine Einladung sich mehr mit der Materie zu beschäftigen.

    Ich finde gut, dass du dich an dieses "praktische Thema" herangewagt hast - davon könnte der Matheplanet noch mehr vertragen.
    Modellierung und Simulation von technischen Vorgängen nimmt in der Industrie ja ein Großteil der heutigen Arbeit als Softwareentwickler in Anspruch. Schön, dass du da mal einen kleinen Einblick gegeben hast.

    Also weiter so..... smile

    Gruß
    Jörg

     [Bearbeiten]

    Re: Simulink für Dummies
    von Cosa am Sa. 25. Februar 2006 14:30:01


    Vielen Dank smile Genau sowas in der Art habe ich schon lange gesucht...

     [Bearbeiten]

    Re: Simulink für Dummies
    von sssseb am So. 26. Februar 2006 02:25:16


    jau, ist echt gut der Einstieg! Danke

     [Bearbeiten]

    Re: Simulink für Dummies
    von Ex_Mitglied_40174 am So. 26. Februar 2006 11:51:07


    Sehr schöner Einstieg.

    Leider habe ich folgendes Problem, die Beispiele in Matlab/Simula nachzubauen (und ihr müsst wissen: ich habe vorher nie mit Simula gearbeitet, lediglich mit Matlab):

    Wie erstelle ich diese "*cphi/La" (als ein Beispiel)-Blöcke?

    Bei den Blöcken, die u als Eingangsgröße verwenden (aus dem 3. Beispiel), glaube ich es herausgefunden zu haben. Jedoch nicht bei den eben genannten.

     [Bearbeiten]

    Re: Simulink für Dummies
    von Def_Seien am Mo. 27. Februar 2006 16:53:48


    Danke Euch für die Kommentare smile

    @Anonymous: Vielleicht solltest Du die Frage im Forum stellen. Die rechteckigen Gain-Blöcke sind nicht standard. Ich habe sie verwendet, weil sie besser aussehen als die platzfressenden dreieckigen.

    Gruss Daniel.

     [Bearbeiten]

    Re: Simulink für Dummies
    von Ex_Mitglied_40174 am Di. 07. März 2006 01:05:24


    Sehr gelungen! Ein pdf zum speichern wäre schön.

    Gruß und Dank,
    Gerhard

     [Bearbeiten]

    Re: Simulink für Dummies
    von Ex_Mitglied_40174 am Di. 14. März 2006 17:15:05


    schöner artikel

    thorsten

     [Bearbeiten]

    Re: Simulink für Dummies
    von Ex_Mitglied_40174 am Do. 13. April 2006 13:09:08


    guter Artikel, ich weiss allerdings nicht, welcher Block aus der Bibliothek für die Variable Omega geeignet ist,

    Gruß

     [Bearbeiten]

    Re: Simulink für Dummies
    von Ex_Mitglied_40174 am Di. 20. Juni 2006 18:21:00


    Hallo,

    finde auch dass es eine sehr gute Anleitung ist!

    Ich möchte ebenfalls eine Drehzahlregelung für einen einfachen DC Motor machen, allerdings habe ich überhaupt gar keine Kenndaten des Motors. Wie kann ich in diesem Fall eine Identifikation der Strecke durchführen?

    MfG
    Peter

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    Re: Simulink für Dummies
    von Def_Seien am Mo. 14. August 2006 11:28:38


    Hi Peter

    stelle diese Frage doch im Forum smile

    Gruss Daniel.

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    Re: Simulink für Dummies
    von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 06. September 2006 12:44:31


    Ein schöner Artikel
    Ein kleiner Fehler ist mir vielleicht doch aufgefallen.
    In der Herleitung von Beispiel 2 gibst Du Dir Kraftgleichung mit

    -F_F + F_G

    an um hinterher F_F := -kx -bx' zu setzen. Ich glaube in diesem Fall ist das Minus in der Kraftgleichung überflüssig.

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    Falsches Minuszeichen
    von fru am Mi. 06. September 2006 13:16:05


    fed-Code einblenden

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    Re: Simulink für Dummies
    von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 02. Oktober 2006 12:27:41


    Hallo,

    es ist eine gute Anleitung, um mit Simulink anzufangen!

    Vielen Dank für den Beitrag.

    Gruß, Patrick

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    Re: Simulink für Dummies
    von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 23. Oktober 2006 02:44:18


    Super Super Super.

    Sehr schöne Artikel und einfach zu verstehen.

    Matroids Matheplanet hat mir immer geholfen smile

    Danke schön

    Maoukil

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    Re: Simulink für Dummies
    von apfelschorle am Di. 09. Februar 2010 16:07:02


    Hi das Tutorial ist schön, aber für ich würde gerne wissen wo es den Block gibt indem die Konstanten stehen z.B. *b/m, dieser hat jeweils ein Aus- und ein Eingang, der normale "Constant"-Block hat ja nur ein Output.

    Danke,
    apfelschorle

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    Re: Simulink für Dummies
    von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 22. März 2010 11:49:14


    das wurde doch  schon weiter oben beantwortet.
    es handelt sich um einen gain-block,
    der standardmässig eine dreiecksform besitzt.

     [Bearbeiten]

    Re: Simulink für Dummies
    von Ex_Mitglied_40174 am So. 11. Dezember 2011 21:20:31


    Sehr hilfreich nicht nur für Simulink sondern auch für Xcos von Scilab, was im Grunde sowas ähnliches ist. Vielen Dank.


     [Bearbeiten]

    Re: Simulink für Dummies
    von michael_xsx am Do. 23. Februar 2012 15:25:26


    Hallo,

    wo finde ich den OMEGA Block?

    mfg
    Michael

     [Bearbeiten]

    Re: Simulink für Dummies
    von Ex_Mitglied_40174 am Di. 17. April 2012 09:42:03




    Netter Artikel, nur verdient er das Prädikat"für Dummies" nicht.
    "Für Dummies" zeichnet sich durch einfachste Verständlichkeit und sofortige Nachbaubarkeit aus. Das braucht natürlich einenwesentlich längeren Artikel.

    Leider macht der Autor den üblichen Fehler Aller, die sich bereits auskennen: es ist ihm nicht möglich, sich auf echtes Anfängerniveau herunter zu begeben. Damit ist dann die einfache Nachbaubarkeit nicht mehr gegeben (zB.: Gain Blocks...) Leider geht es vielen so. Aber an sonsten nicht schlecht. Erfordert halt einiges an Eigerechere zusätzlich.

    LG

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    Re: Simulink für Dummies
    von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 24. April 2013 23:33:52


    Hallo,

    wo finde ich den OMEGA Block?

    mfg
    Marcel


     [Bearbeiten]

    Re: Simulink für Dummies
    von Ex_Mitglied_40174 am So. 02. Juni 2013 23:29:35


    Hallo,
    sehr verständlich alles beschrieben!
    Ich arbeite zu zeit mit Navier-Stokes-Gleichung, und bin Neuling im Simulink und ich frage mich nur, ob es auch möglich ist in Simulink eine partizielle Gleichungsystem weiter Ordnung darzustellen. Oder muss man die erstmal Zufuss lössen?

    Gruss
    Alex





      smile

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