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Mathematik: Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs
Freigegeben von matroid am Mi. 19. April 2006 23:33:53
Verfasst von Gockel -   5454 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

\(\begingroup\)

 
Gruppenzwang VIII

Hallo Freunde der Gruppentheorie.

Das Thema dieses Artikels sollen interessante und nützliche Sätze über abelsche Gruppen sein. Vor allem soll es dabei um die endlichen Gruppen gehen.
Dabei werden wir die Struktur der Automorphismen- und der primen Restklassengruppen untersuchen.
Der Höhepunkt wird dann ein schöner, elementarer Beweis des Struktursatzes für endliche abelsche Gruppen sein, der ohne den üblichen Umweg über Moduln auskommt.

 
Inhalt



1.) Zerlegungslemmata
2.) Prime Restklassen
3.) Der Struktursatz
4.) Andere Automorphismen

 
Zerlegungslemmata



Wir werden uns im Folgenden fast immer auf einfachere Spezialfälle beschränken, anstatt das jeweilige Problem in all seiner Allgemeinheit anzugehen. Wir wollen in diesem Abschnitt zwei Lemmata betrachten, die dieses Vorgehen rechtfertigen:

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(Für den Beweis siehe hier im Forum)


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Prime Restklassengruppen



Untersucht man abelsche Gruppen, so sind natürlich die zyklischen Gruppen von besonderer Bedeutung. (Nicht zuletzt aufgrund des Struktursatzes, den wir gleich noch untersuchen wollen)
In vorherigen Gruppenzwängen wurde ihre Struktur schon sehr intensiv untersucht. Diesmal wollen wir uns anschauen, welche Struktur die Automorphismen zyklischer Gruppen haben.

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(wichtige Eigenschaften siehe hier bei mathworld)


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Diese Tatsache erlaubt es uns, unsere Untersuchung auf p-Gruppen zu beschränken, denn genau wie wir zyklische Gruppen in ein direktes Produkt zerlegen können, können wir laut diesem Lemma auch ihre primen Restklassen- bzw. Automorphismengruppen zerlegen und die Faktoren einzeln betrachten.

Wir werden an den kniffligen Stellen des ersten Satzes folgendes Lemma brauchen:
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Anwendung



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Der Struktursatz für endliche abelsche Gruppen



Im folgenden Abschnitt soll es uns um diesen wunderbaren und äußerst nützlichen Satz und einen sehr eleganten, aber trotzdem elementaren Beweis desselbigen gehen:
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Den Beweis, den ich dafür entwickelt habe, wollen wir in mehreren Schritten vollziehen.
Den ersten Schritt zum Beweis des Struktursatzes haben wir mit (Zerlegungslemma 2) bereits getan. Jetzt müssen wir nur noch zeigen, dass sich auch abelsche p-Gruppen zerlegen lassen.
Sei also A eine endliche, abelsche p-Gruppe:

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Das nutzen wir nun, um A wieder in eine direkte Summe zu zerlegen:

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Dies bringt uns direkt zum

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Andere Automorphismen



Hat man den Struktursatz zur Vefügung, so kann man mit ein wenig Arbeit die Automorphismengruppe einer jeden endlichen, abelschen Gruppe bestimmen und noch viel mehr.
Dies ist aber ein sehr technisches und unübersichtliches Unterfangen, so dass ich mich entschlossen habe, es als Exkurs auszulagern:


 
Abschluss



Ich hoffe, dass ich euch der Artikel gefallen hat. Mir jedenfalls hat es viel Spaß gemacht, diese Strukturaussagen zu beweisen.
Mich würde allerdings noch die Frage interessieren, ob die Klassifikation der primen Restklassengruppen, die ich oben gegeben habe, noch weitere Anwendungen findet, als die zwei genannten. Vielleicht weiß ja einer von euch etwas dazu beizutragen. :)

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Die Gruppenzwang-Reihe



Teil 1: Wir rechnen mit allem
Teil 2: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an
Teil 3: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier
Teil 4: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten
Teil 5: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP
Teil 6: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
Teil 7: Gruppen sind immer noch top!
Teil 8: Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs
Teil 9: Unfall im Genlabor: (Per)mutationen in der Bevölkerung
Teil 10: Jäger der verlorenen Gruppe - Special Xtended Version
Teil 11: Der Gruppentheorie-Adventskranz
Teil 12: Wegen guter Führung entlassen: Gruppen sind frei
Teil 13:  Amnestie: Auch Untergruppen frei
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: Gruppentheorie :: Algebra :: Reine Mathematik :
Gruppenzwang VIII: Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs [von Gockel]  
Das Thema dieses Artikels sind interessante und nützliche Sätze über abelsche Gruppen sein: Der Struktursatz für endliche abelsche Gruppen und die Struktur der primen Restklassengruppen
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" Mathematik: Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs" | 4 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs
von dettman am Fr. 21. April 2006 09:14:10

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Hi Gockel,
schöner Artikel, mit dem Du die 'Gruppenzwang' Reihe fortgesetzt hast. Letzten Semester hörte ich Algebra II und dort hatten wir das meißte von dem was Du geschrieben hast auch durchgenommen. Allerdings gefällt mir bei Deinem Artikel der Aufbau des ganzen deutlich besser als bei meiner Vorlesung. Mag sein, dass dies daran liegt, dass Du (neben kleinen Ausflügen) eben direkt den Beweis des Struktursatzes ansteuerst, und daher auf vieles unnötige verzichten kannst. Aber nichts desto trotz: Top gemacht und das Thema super aufgezogen.
Respekt und

Viele Grüße
dettman\(\endgroup\)

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Re: Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs
von Gockel am Sa. 22. April 2006 14:00:10

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Hi dettmann.

Vielen Dank für das Lob, es freut mich sehr, dass dir der Artikel etwas gebracht hat. smile

mfg Gockel.\(\endgroup\)

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Re: Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs
von Gockel am Mo. 06. November 2006 21:34:18

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Hi Leute.

Ich habe vor einiger Zeit übrigens einen sehr interessanten Satz bewiesen, der sozusagen den Kreis vom Struktursatz zu den primen Restklassengruppen wieder schließt:

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(siehe dazu hier im Forum)

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Re: Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs
von Martin_Infinite am So. 22. April 2012 11:37:18

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Bei mathoverflow wurden weitere Beweise des Struktursatzes für endliche abelsche Gruppen besprochen.

a) Der Beweis von Greg Kuperberg vereinfacht einfach schrittweise Erzeuger + Relationen der Gruppe. Das erinnert natürlich an die Smith Normalform, ist aber ohne Matrizen noch viel anschaulicher.
 
b) Der Beweis von James Milne ist sehr elementar und kurz. Es wird ein Erzeugendensystem gewählt, welches ein Element minimaler Ordnung enthält. Das führt zu einer Zerlegung.
 
3) Der Beweis von Matt Emerton ist recht modern und reduziert alles darauf, dass Z/e ein injektiver Z/e-Modul ist. Eine Bemerkung von David Lehavi zeigt, dass der Beweis sogar eine algebraisch-geometrische Intepretation besitzt.

4) Der Fields-Medaillist Terry Tao skizziert einen Beweis mittels dynamischen Systemen.

5) Der Beweis von Pete Clark ist im Prinzip mit Gockels Beweis im Artikel identisch.\(\endgroup\)

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