Die Mathe-Redaktion - 19.10.2017 16:18 - Registrieren/Login
Auswahl
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden oder den Newsletter bestellen.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 835 Gäste und 26 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Mathematik: Unfall im Genlabor: (Per)mutationen in der Bevölkerung
Freigegeben von matroid am Di. 09. Mai 2006 07:01:57
Verfasst von Gockel -   10252 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

 
Gruppenzwang IX

Hallo, Freunde der Algebra.

Es tauchen im Forum immer wieder Fragen auf, die sich um Permutationen drehen und nicht wenige haben Probleme damit, dieses Konzept überhaupt zu verstehen.
Wir wollen in diesem Teil Permutationsgruppen genauer beleuchten und typische Details aus dem Algebra I-Stoff dazu besprechen.
Das heißt auch, dass dieser Teil der Reihe an Teil VI anknüpft und wieder für Anfänger und Einsteiger geeignet sein soll, nachdem dies Teil VII und VIII ja nicht waren.

 
Inhalt



1.) Was sind Permutationsgruppen?
2.) Schreibweisen
3.) Immer schön im Kreis
4.) Alles in Ordnung
5.) Die innere Struktur von Sn
6.) Zeichensetzung

 
Was sind Permutationsgruppen?



Nun gut, dann also einfach drauf los.

fed-Code einblenden


fed-Code einblenden



Es wird in vielen Anfängervorlesungen wie z.B. LA I und/oder Ana I vorgerechnet, dass Sym(M) wirklich eine Gruppe definiert. Die Grundgedanken dieses Beweises fasse ich nochmal zusammen: (Dies ist ein guter Zeitpunkt, sich nochmal die Definition einer Gruppe aus Teil I in Erinnerung zu rufen... ist ja nun doch schon eine Weile her )

fed-Code einblenden


Die symmetrischen Gruppen endlicher Mengen sind für den Stoff der Algebra I und die Theorie der endlichen Gruppen von essentieller Bedeutung. In diesem Artikel soll es uns daher vor allem um diese symmetrischen Gruppen gehen, während wir die unendlichen nicht weiter beachten.

 
Schreibweisen



Es gibt verschiedene Schreibweisen für Permutationen. Während man bei unendlichen Mengen M meistens bei der gewohnten Notation als Abbildung bleibt, werden bei endlichen Mengen oft andere Schreibweisen gewählt.

fed-Code einblenden

Im Prinzip entspricht diese Darstellung der altbekannten Wertetafel, die man früher in der Schule oft im Zusammenhang mit allerlei Funktionen benutzt hat.


In der Regel wird es so gehandhabt, dass die obere Zeile immer sortiert geschrieben wird. Wenn man diese Festlegung trifft, ist es eigentlich überflüssig, sie immer mitzuschreiben. Konsequenterweise lassen einige Autoren sie daher weg und schreiben nur noch die entsprechend geordnete untere Zeile auf, was in unserem Beispiel also so aussehen würde:
fed-Code einblenden


Diese Schreibweise ist - vor allem, da sie auch oft mit runden Klammern vorkommt - nicht von Vorteil, da sie mit der dritten Schreibweise - der wesentlich wichtigeren Zyklendarstellung - kollidiert, die wir später noch untersuchen wollen.
Daher werde ich diese einzeilige Schreibweise im weiteren Verlauf des Artikels nicht benutzen.

 
Immer schön im Kreis



Eine Wertetafel - egal in welcher Schreibweise nun - ist zwar ganz nützlich, wenn man eine Permutation hat und einfach ein paar Funktionswerte wissen will, aber um die algebraischen Eigenschaften zu untersuchen, taugt sie wenig.


Es gibt daher noch eine dritte und äußerst wichtige Schreibweise, die so genannte Zyklenschreibweise. Zunächst muss man wissen, was das eigentlich ist, ein Zykel:
fed-Code einblenden


Als Kurzschreibweise wird oft (x1, x2, ..., xk) geschrieben, also einfach nur die Elemente, die vertauscht werden nacheinander und in runden Klammern. Man lässt auch oft die Kommata weg, besonders wenn man konkrete Werte gegeben hat. Man schreibt also z.B: (3415) statt (3,4,1,5).

Hier sieht man auch, wie ich die Doppeldeutigkeit im Zusammenhang mit der Schreibweise als einzeilige Matrix meinte. Wenn man eine Permutation zwar als Wertetafel, aber mit runden Klammern darstellt, ist nicht mehr klar, was gemeint ist: Die Wertetafel oder die Zyklenschreibweise. Im Allgemeinen ist das nämlich nicht dasselbe.
Da die Zyklenschreibweise sehr viel wichtiger ist, werde ich die zweite Schreibweise nicht nochmal benutzen, wie ich schon sagte.



Natürlich ist nicht jede Permutation so ein Zykel, aber man kann an einigen Beispielen schnell nachrechnen, dass viele Permutationen das Produkt solcher Zyklen sind. Genauer gesagt ist sogar jede Permutation das Produkt so genannter "disjunkter" Zyklen.
fed-Code einblenden



Wie gesagt, gilt nun der äußerst nützliche Satz:
fed-Code einblenden

Es kann passieren, dass man ein-elementige Zyklen findet. Eine Permutation aus S6 kann also z.B. die Darstellung (123)(45)(6) haben. Der Zykel (6) ist ein trivialer Zykel, er verändert also nichts.
Ein-elementige Zykel schreibt man nicht mit, da sie, wie gesagt, der Multiplikation mit id entsprechen.


fed-Code einblenden


Eine Anmerkung noch: Die Zyklenschreibweise ist i.d.R. nicht eindeutig, d.h. zwei Zyklenschreibweisen können diesselbe Permutation repräsentieren, denn
a.) können die Zyklen in einer anderen Reihenfolge stehen, denn als disjunkte Zyklen kommutieren sie ja und die Reihenfolge ist daher egal und
b.) kann innerhalb eines Zykels die Reihenfolge der Elemente rotiert werden. So stellen (3415), (4153), (1534) und (5341) dieselben Permutationen dar.

 
Alles in Ordnung



Man kann sehr einfach ermitteln, welche Ordnung die symmetrische Gruppe Sn hat:
Für das Bild der 1 gibt es n Möglichkeiten, nämlich genau die Zahlen 1 bis n. Für das Bild der 2 gibt es aufgrund der Injektivität nur noch n-1 Möglichkeiten, nämlich die Zahlen 1 bis n ausgenommen das Bild der 1. Entsprechend verfährt man weiter. Verpackt in eine nette Induktion, heißt das folgendes:
fed-Code einblenden


fed-Code einblenden

S3 ist, da die Gruppen der Ordnung 1,2,3,4 und 5 alle abelsch sind, die kleinste nicht-abelsche Gruppe. Daher muss sie sehr oft als Quelle für Gegenbeispiele herhalten. Ein guter Grund, sie sich gut zu merken.



Wir werden nun eine wichtige Eigenschaft der Zyklenzerlegung kennenlernen. Aus der Darstellung einer Permutation als Produkt disjunkter Zyklen kann man nämlich prima die Ordnung dieser Permutation ablesen:
fed-Code einblenden

Diese Tatsache ist äußerst wichtig, nicht nur für die Theorie, auch für den Studenten an sich, denn sie wird ziemlich oft in Übungsaufgaben zu Permutationsgruppen gebraucht.

 
Die innere Struktur von Sn



Es geht uns nun darum, weitere wichtige Strukturaussagen über Sn zu treffen und zu beweisen.

 
Einmal erster Klasse bitte



Es ist oftmals wichtig, zu wissen, wie die Konjugationsklassen von Sn aussehen. Man kann sie durch folgenden Satz charakterisieren:

fed-Code einblenden

 
Bäumchen, wechsel dich



Wir haben mit der Zyklenzerlegung schon bewiesen, dass alle Zyklen die Gruppe Sn erzeugen. Man kann sogar noch einen Schritt weiter gehen und sich auf Zyklen der Länge 2, also auf Transpositionen beschränken.

Das liegt daran, dass man jeden Zykel als Produkt von Transpositionen schreiben kann:
(x1, ..., xk)=(x1, xk)(x1, xk-1)...(x1, x2)

Man kann sich sogar darauf beschränken, dass x1=1 ist. Wir können nur solche Transpositionen betrachten, die die Form (1,x) haben, denn es gilt:
(x,y)=(1,y)(1,x)(1,y)

Man kann auch nur diejenigen Transpositionen betrachten, die die Forum (i,i+1) haben, denn es gilt:
(1,i)=(i-1,i)...(2,3)(1,2)(2,3)...(i-1,i)


Man kann noch viele andere Erzeugendsysteme finden. Das kleinste besteht i.A. aus einem Zykel der Länge n und einer Transposition, also z.B. (1,2,...,n) und (1,2).


Also nochmal zusammenfassend:

fed-Code einblenden


Jede dieser Darstellungen hat ihre Vorteile und gebraucht werden sie alle irgendwie. Dass Sn von den Transpositionen erzeugt wird, braucht man z.B. oft im Zusammenhang mit Homomorphismen, da diese die Elementordnungen erhalten. Dass Sn von einem n-Zykel und einer Transposition erzeugt werden kann, braucht man z.B. dann, wenn man nachweisen will, dass eine bestimmte Permutationsgruppe schon ganz Sn ist. Es gibt diverse Anwendungen jeder dieser Darstellungen.

 
Zeichensetzung



Wir wollen uns nun mit einem speziellen Gruppenhomomorphismus, der auf den symmetrischen Gruppen definiert ist, auseinandersetzen.

fed-Code einblenden


Dieser Homomorphismus ist ein wichtiges Hilfsmittel um Permutationen zu untersuchen.
fed-Code einblenden

 
Ausblick und Abschluss



Man kann viel, viel mehr über symmetrische Gruppen sagen. Zum Beispiel könnte man die Untergruppenstruktur von S3 und S4 untersuchen, denn diese Untergruppen sind sehr bekannt und werden sehr oft gebraucht.
Man könnte auch zeigen, dass ab S5 die symmetrischen Gruppen nicht mehr auflösbar sind. Allgemeiner könnte man sogar zeigen, dass ab A5 die alternierenden Gruppen einfach sind.
Viel gibt es zu entdecken, doch nur für wenig ist hier genug Platz. Vielleicht wird sich in einem weiteren Gruppenzwang einmal Platz finden, um die symmetrischen Gruppen genauer zu untersuchen.

Der interessanteste Aspekt an den Permutationsgruppen für den Algebra-I-Hörer ist wohl ihre Anwendung in der Galoistheorie, denn bestimmte Permutationen der Nullstellen eines Polynoms können zu Körperautomorphismen fortgesetzt werden und diese wiederum bieten mit Hilfe der Galoistheorie den Schlüssel zur Lösung uralter mathematischer Probleme.


Ich hoffe sehr, dass mein kurzer Abriss über Permutationsgruppen euch den Weg dorthin erleichtert.

fed-Code einblenden

 
Die Gruppenzwang-Reihe



Teil 1: Wir rechnen mit allem
Teil 2: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an
Teil 3: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier
Teil 4: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten
Teil 5: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP
Teil 6: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
Teil 7: Gruppen sind immer noch top!
Teil 8: Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs
Teil 9: Unfall im Genlabor: (Per)mutationen in der Bevölkerung
Teil 10: Jäger der verlorenen Gruppe - Special Xtended Version
Teil 11: Der Gruppentheorie-Adventskranz
Teil 12: Wegen guter Führung entlassen: Gruppen sind frei
Teil 13:  Amnestie: Auch Untergruppen frei

Link auf diesen Artikel Link auf diesen Artikel  Druckbare Version Druckerfreundliche Version  Einen Freund auf diesen Artikel aufmerksam machen Weitersagen Kommentare zeigen Kommentare  
pdfpdf-Datei zum Artikel öffnen, 176 KB, vom 17.06.2006 00:33:07, bisher 4525 Downloads


Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
: Gruppentheorie :: Algebra :: Reine Mathematik :
Gruppenzwang IX: Unfall im Genlabor: (Per)mutationen in der Bevölkerung [von Gockel]  
Teil 9 der Reihe behandelt Permutationsgruppen und elementare Eigenschaften der endlichen symmetrischen Gruppen, die im Zusammenhang mit Algebra I oft gebraucht werden.
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
Verwandte Links
 
Besucherzähler 10252
 
Aufrufstatistik des Artikels
Insgesamt 288 externe Besuche zwischen 2017.10 und 2017.10 [Anzeigen]
DomainAnzahlProz
http://matheplanet.com82.8%2.8 %
http://www.stud.uni-hannover.de10737.2%37.2 %
http://google.de12142%42 %
http://gruppentheorie.de196.6%6.6 %
http://de.search.yahoo.com103.5%3.5 %
http://google.ru51.7%1.7 %
http://www.bing.com62.1%2.1 %
http://www.gruppentheorie.de31%1 %
http://google.ch20.7%0.7 %
http://easysitemaps.com10.3%0.3 %
http://suche.t-online.de10.3%0.3 %
http://google.at10.3%0.3 %
http://google.com10.3%0.3 %
http://www.ecosia.org10.3%0.3 %
http://www.delta-search.com10.3%0.3 %
http://search.snap.do10.3%0.3 %

Aufrufer der letzten 5 Tage im Einzelnen
Insgesamt 6 Aufrufe in den letzten 5 Tagen. [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2017.10.06-2017.10.18 (4x)viewtopic.php?topic=72671&ref=https://www.google.de/&ff=y
2017.10.16 11:34viewtopic.php?topic=112924&ref=https://www.google.de/&ff=y
2017.10.15 18:34viewtopic.php?topic=72671&ref=https://www.google.at/&ff=y

Häufige Aufrufer in früheren Monaten
Insgesamt 250 häufige Aufrufer [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2012-2014 (107x)http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/linearealgebraI.html
2012-2016 (24x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=
2012-2015 (19x)http://gruppentheorie.de/
2012.06 (16x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=transpositionen erzeugen symmetrische grupp...
2012.02 (13x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=symmetrie menge bestimmen und einfache perm...
2012.05 (12x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=schreiben sie den zykel als produkt von tra...
2012.01 (10x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zykel erzeugen gruppe S
2012.03 (8x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zyklenzerlegung permutation
2013-2015 (7x)http://de.search.yahoo.com/mobile/s?rewrite=72&.tsrc=apple&first=1&p=komposit...
2012.11 (5x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=symmetrische gruppe erzeugen beweis
2013.05 (5x)http://google.ru/url?sa=t&rct=j&q=die ordnung einer permutation lässt sich a...
2012.04 (4x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=Welche Ordnung hat ein Produkt von zwei dis...
2013.01 (4x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=ordnung eines zykels
2012.01 (4x)http://www.bing.com/search?q=rechnen mit transpositionen in Sym&qs=n&form=QBR...
2014.05 (4x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=beweis signum disjunkter zykel der länge l...
2013.04 (4x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=m zykel produkt von m-1 transpositionen bew...
2014.11 (4x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=3&ved=0CCAQFjAC

[Seitenanfang]

" Mathematik: Unfall im Genlabor: (Per)mutationen in der Bevölkerung" | 2 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Unfall im Genlabor: (Per)mutationen in der Bevölkerung
von zahlenspieler am Di. 24. Oktober 2006 00:53:13


Hallo Gockel,
man kann (ohne das Signum für Permutationen zu benutzen) zeigen, daß die Anzahl Transpositionen bei gegebener Permutation gerade oder ungerade ist. Die Idee dazu stammt aus einer Vorlesung über Gruppentheorie von E. Landau.
Dabei wird ein recht einfach zu beweisender Hilfssatz benutzt:
fed-Code einblenden
Mfg
Thomas

 [Bearbeiten]

Re: Unfall im Genlabor: (Per)mutationen in der Bevölkerung
von Gockel am Di. 24. Oktober 2006 14:02:55


Hi Thomas.

Dieser Hilfssatz ist denkbar unnütz, da er vollkommen trivial ist und auch nichts zum eigentlichen Problem beiträgt, denn es geht doch darum, dass gezeigt werden muss, dass für jede Zerlegung in Transpositionen die Anzahl dieser immer dieselbe Parität hat, sonst ist das Signum als "1 wenn die Anzahl gerade ist, -1 wenn die Anzahl ungerade ist" nicht wohldefiniert.
In diesem Fall müsste man also eine bestimmte Zerlegungsmethode vor den anderen bevorzugen und die Anzahl der Transpositionen auf genau diese eine Zerlegung beziehen.

mfg Gockel.

 [Bearbeiten]

 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2017 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]