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Werkzeuge: Dynamische Raumgeometrie
Freigegeben von matroid am Sa. 08. Juli 2006 19:03:26
Verfasst von goeba -   4070 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

Im vorliegenden Artikel möchte ich anhand eines Beispiels in das noch recht junge Gebiet der dynamischen Raumgeometrie, einem Teilgebiet der dynamischen Geometrie, einführen.

Bild



Dynamische Geometriesoftware



Seit einigen Jahren gibt es so genannte dynamische Geometriesoftware (DGS), mit deren Hilfe man geometrische Konstruktionen erstellen kann. Die Besonderheiten gegenüber einem normalen Zeichenprogramm sind:


  • Zugmodus: Freie Punkte können mit der Maus bewegt werden, der Rest der Konstrutkion ändert sich entsprechend
  • Makros: Häufig benötigte Konstruktionen, z.B. die Konstruktion einer Mittelsenkrechten, können als Makros gespeichert und später bequem wiederverwendet werden
  • Ortslinien: Konstruierte Punkte bewegen sich oft auf wohldefinierten Bahnen, wenn ein Basispunkt bewegt wird. Diese Bahnen lassen sich sichtbar machen und passen sich bei der Veränderung der Zeichnung auch mit an.


Die Benutzung dynamischer Geometriesoftware im Schulunterricht hat sich als sinnvoll erwiesen, denn so haben Schüler eher die Möglichkeit, Probleme selbstständig zu lösen und offene Fragestellungen zu bearbeiten. Mittlerweile hat die Benutzung dynamischer Geometriesoftware sogar Einzug in die allgemein gültigen curricularen Vorgaben für den Mathematikunterricht gehalten.

Raumgeometrie



Obwohl allgemein angenommen wird, dass die Schulung des räumlichen Denkvermögens für die Entwicklung der menschlichen Intelligenz von großer Bedeutung ist, führt die Raumgeometrie im Schulunterricht ein Schattendasein. In der Oberstufe wird zwar analytische Geometrie unterrichtet, dies geschieht aber oft auf einem sehr abstrakten Niveau.

Da ich in meinem Unterricht aber nicht bloße Schemata unterrichten und abprüfen möchte (denn darauf laufen z.B. die ganzen Schnittberechnungen Gerade / Ebene / Kugel hinaus), machte ich mich zur Vorbereitung meines ersten Kurses "analytische Geometrie" auf die Suche nach einer geeigneten Software für die Veranschaulichung raumgeometrischer Probleme.

Hierbei stieß ich durchaus auf einige brauchbare Programme. Eines, das ich nennen möchte, ist das Programm Vektor von Roland Bernert. Mit diesem Programm kann man alle Standardaufgaben der analytischen Geometrie lösen und veranschaulichen. Allerdings sind die Strichzeichnungen manchmal schwer zu deuten, man kann sich nicht in der Zeichnung bewegen und man kann an den geometrischen Objekten im Nachhinein nichts mehr ändern.

Das andere Programm, das ich hier erwähnen möchte, ist Cabri3D (www.cabri.com). Cabri3D ist das erste dynamische Raumgeometrieprogramm. Von den oben genannten Eigenschaften dynamischer Geometriesoftware implementiert es aber nur den Zugmodus. Für synthetische Konstruktionen (hier im Sinn von "synthetische Geometrie": aus einer Problemstellung heraus eine Konstruktion erstellen, im Gegensatz zur "analytischen Geometrie": eine bestehende Konstruktion analysieren) ist es gut geeignet und intuitiv bedienbar. Für den Einsatz in der Oberstufe ist es aber sehr hinderlich, dass man an die Koordinaten der Punkte nicht herankommt und auch keine Möglichkeit hat, Standardaufgaben zu visualisieren (also z.B. eine Ebene in Koordinatenform einzugeben und dann damit irgend etwas zu machen).

Ich entschloss mich daher, zunächst nur für meinen Kurs eine eigene dynamische Raumgeometriesoftware zu schreiben. Die nachfolgenden Beispiele beziehen sich auf diese Software, Archimedes Geo3D, die auf www.raumgeometrie.de erhältlich ist. Ich nehme aber an, dass in den nächsten Jahren weitere dynamische Raumgeometrieprogramme folgen werden, mit denen sich die nachfolgend genannten Inhalte auch verwirklichen lassen.

Kurven und Flächen mit Brennpunkteigenschaften in Ebene und Raum



Ein Standardbeispiel für die dynamische Geometrie in der Ebene ist die Konstruktion einer Parabel. Man geht von folgender Fragestellung aus:

Aufgabe: Gegeben sind eine Gerade g und ein Punkt P. Wo ist der Ort aller Punkte, die den gleichen Abstand zu g und zu P haben?

Das Problem lässt sich gut lösen, wenn man zunächst eine Teillösung anstrebt. Wir betrachten einen Hilfspunkt A auf g. Die Menge aller Punkte, die den gleichen Abstand zu A und P haben, ist dann die Mittelsenkrechte zur Strecke fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

Bild

Wenn man nun eine Lotgerade zu g durch A zeichnet, so ist klar, dass der Schnittpunkt S dieser Lotgeraden den gleichen Abstand zu g und P hat.

Bewegt man nun A auf g, so ändert sich der Schnittpunkt S entsprechend mit. Diese Bewegung lässt sich als so genannte Ortslinie aufzeichnen. Das Ergebnis sieht so aus:

Bild

Bei moderneren dynamischen Geometrieprogrammen, wie z.B. Euklid DynaGeo oder dem von mir für die o.g. Zeichnung verwendeten KSEG, ändert sich auch die Form der Ortslinie, wenn man an den Basispunkten zieht.

Übertragung auf den Raum



Eine naheliegende Übertragung des o.g. Problems auf den Raum ist die folgende:

Aufgabe: Gegeben sei eine Ebene E und ein Punkt P, der nicht auf E liegt. Wo ist der Ort aller Punkte, die den gleichen Abstand zu P und zu E haben?

Am meisten Spaß macht es natürlich, wenn man diese Konstruktion selbst erarbeitet. Ich will daher zunächst nur ein paar Tipps zur Bedienung von Archimedes Geo3D geben, die es ermöglichen sollten, diese Konstruktion selbst durchzuführen:


  • Freie Punkte erzeugt man am schnellsten durch Doppelrechtsklick in die Zeichnung.
  • Eine Ebene kann man z.B. erzeugen, indem man drei Punkte markiert (durch Strg-Klick auf die Punkte) und dann auf den Knopf "Ebene" klickt.
  • Einen Punkt auf einer Ebene erzeugt man, indem man die Ebene markiert und dann auf den Punkt-Knopf klickt (Alternativ: Doppelrechtsklick, gleichzeitig aber Alt gedrückt halten, damit nicht stattdessen das Kontextmenü der Ebene erscheint).
  • Den Mittelpunkt zweier Punkte erzeugt man, indem man die beiden Punkte markiert und dann auf Punkt klickt.
  • Eine Ebene kann auch durch Punkt und Normale (Vektor oder Gerade) erzeugt werden
  • Schnittpunkte werden erzeugt, indem man die Ausgangsobjekte - also z.B. eine Gerade und eine Ebene - markiert und anschließend auf den Punkt-Knopf drückt.
  • Eine Ortsfläche kann z.B. erzeugt werden, indem man zuerst einen Punkt auf einer Ebene und anschließend einen abhängigen Punkt markiert und anschließend auf den Ortsflächen-Knopf drückt.



Lösung der Aufgabe



Es folgt nun die schrittweise Lösung der Aufgabe mit Illustrationen:


  • Erzeuge drei freie Punkte durch Doppelrechtsklick
  • Erzeuge eine Ebene durch diese drei Punkte. Die drei Ausgangspunkte können anschließend versteckt werden (Rechtsklick auf die Punkte - Verstecken)
  • Konstruiere einen Punkt auf dieser Ebene und nenne ihn A
  • Konstruiere einen freien Punkt P
  • Konstruiere den Mittelpunkt M von P und A
  • Konstruiere die Mittelebene von P und A, indem Du z.B. die Gerade durch P und A konstruierst, anschließend M und diese Gerade markierst und dann auf Ebene klickst.

So sollte es bis hier aussehen (bis auf die Farben, die ich für eine bessere Web-Darstellung angepasst habe):

Bild

  • Konstruiere eine Lotgerade zu E durch A sowie den Schnittpunkt S dieser Lotgeraden mit der Mittelebene.


S hat nun den gleichen Abstand zu P und zu E. Markiert man nun A und S und drückt anschließend den Ortsflächen-Knopf, so erhält man die eingangs gesuchte Punktmenge als Fläche (natürlich nur einen Ausschnitt):

Bild

Welcher Ausschnitt gezeichnet wird, lässt sich über Rechtsklick - Einstellungen auf die Ortsfläche festlegen.

Die so erhaltene Fläche ist ein so genanntes Paraboloid, das in seiner einfachsten Form der Graph von fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

Weiterführende Aufgabe



Man kann die Fragestellung, die auf die Parabel führte, auch anders auf den Raum übertragen. So bietet sich z.B. die Frage an, wo die Orte aller Punkte liegen, die den gleichen Abstand zu zwei gegebenen windschiefen Geraden haben. Zur Lösung dieser Aufgabe ist es wieder hilfreich, das Problem zunächst für zwei Hilfspunkte A und B auf je einer der Geraden zu lösen!




Abschließende Worte



Neben dem Erkunden von Ortsflächen kann man mit Archimedes Geo3D noch eine Menge anderer raumgeometrischer Fragestellungen erkunden. Für Schüler ist es vielleicht besonders interessant, dass man die "typischen" Aufgaben der analytischen Geometrie schnell veranschaulichen kann, denn für die Eingabe von Geraden und Ebenen in den üblichen Formen gibt es bequeme Eingabefelder.

Für die anderen, weiter reichenden Features von Archimedes, z.B. Makros und Animationen, sollte man das Programm am besten ausprobieren und einen Blick ins Handbuch werfen!

Ich hoffe, ich habe ein wenig neugierig auf dynamische, raumgeometrische Fragestellungen gemacht und ihr hattet Spaß mit meinem ersten Artikel!

Andreas Goebel
Das Programm "Archimedes Geo3D" wurde ursprünglich nur für das Windows-Betriebssystem entwickelt. Da aber viele Freunde der Mathematik andere Betriebssysteme verwenden, habe ich das Programm mittlerweile auch auf Linux und MacOS X übertragen.

Bild

Im Bild sieht man Archimedes unter SuSE 10.0.

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: Mathematik :: Geometrie :: Geometrie- und Graphiksoftware :: Analytische Geometrie :: Vektorrechnung :: Raumgeometrie :: Tools :
Dynamische Raumgeometrie [von goeba]  
In die dynamische Raumgeometrie unter Verwendung des Programmes Archimedes Geo3D wird anhand eines typischen Beispiels eingeführt.
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" Werkzeuge: Dynamische Raumgeometrie" | 8 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Dynamische Raumgeometrie
von FriedrichLaher am Sa. 08. Juli 2006 20:32:29


Phantastisch.
Trag doch Dein 3d Prog in die List bei wikipedia
( dynamische Geometrie ) ein.

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Re: Dynamische Raumgeometrie
von ramonpeter am Sa. 08. Juli 2006 23:54:56


sehr schöner artikel..und auch sehr schönes programm

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Re: Dynamische Raumgeometrie
von goeba am So. 09. Juli 2006 01:22:05


Hallo Friedrich und Ramonpeter,

vielen Dank für das Lob! Bei Wikipedia steht das Programm auch schon drin, aber trotzdem Danke für den Tipp!

Viele Grüße,

Andreas

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Re: Dynamische Raumgeometrie
von FlorianM am Fr. 14. Juli 2006 18:23:50


Hallo,
wunderbares Programm! Danke, dass du uns darauf aufmerksam gemacht hast!

Gruss Florian

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Re: Dynamische Raumgeometrie
von Rebell am So. 16. Juli 2006 23:33:04


danke, sehr anschaulich. Jetzt hab ich was zum Spielen wink

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Re: Dynamische Raumgeometrie
von goeba am Do. 27. Juli 2006 11:06:00


Lieber Florian, lieber Rebell,

auch Euch Dank für das Lob! Ich mach jetzt erst mal Urlaub, wenn Ihr weitere Anmerkungen habt, dann mailt mir doch bitte!

Viele Grüße,

Andreas

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Archimedes jetzt auch für Linux und Mac OS X
von goeba am Fr. 27. Oktober 2006 21:41:26


Liebe Freunde der Raumgeometrie,

wegen der stärker werdenden Nachfrage danach habe ich Archimedes nun auch für Linux und Mac OS X übertragen, siehe dazu den neu hinzugefügten Abschnitt.

Viele Grüße,

Andreas

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Re: Dynamische Raumgeometrie
von Goswin am Mi. 05. Juni 2013 08:59:32


Ich möchte gerne eine Frage weiterleiten, die mir von Arbeitskollegen gestellt wurde:

"Was sind die Vorteile der Software Raumgeometrie gegenüber von Softwarepaketen wie Blender?"

Ich vermute, dass Raumgeometrie einfacher zu bedienen ist, aber ich kenne Blender ja nicht. (Vielleicht sollte man in der Homepage von Raumgeometrie auf mögliche Vorteile ausdrücklich hinweisen)

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