Die Mathe-Redaktion - 23.05.2018 20:38 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
ListenpunktSchwätz / Top 15
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktAnmeldung MPCT Juli
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 639 Gäste und 26 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Mathematik: Exkurs: Merkwürdige Punkte und Geraden am Dreieck
Freigegeben von matroid am So. 30. Juli 2006 11:47:43
Verfasst von FlorianM -   25266 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

\(\begingroup\)
Merkwürdige Punkte und Geraden am Dreieck


Bei meiner kleinen Serie "Vergessene Sätze am Dreieck" werden immer wieder Grundbegriffe und Grundlagen der Dreiecksgeometrie vorausgesetzt.

Deshalb möchte ich euch in diesem kleinen Exkurs Grundbegriffe wie Seitenhalbierende, Höhe, Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende erklären und in diesem Zusammenhang auf Schnittpunkte eingehen wie auf den Schwerpunkt, Höhenschnittpunkt, Umkreismittelpunkt und Inkreismittelpunkt.
Des Weiteren werde ich interessante (und ich denke meist bekannte) Sätze im Kontext dieser "merkwürdigen" Punkte und Geraden erläutern. Also freut euch auf einen kleinen Exkurs, der für die meisten nichts Unbekanntes darstellen sollte. Aber eine Auffrischung des Sek. I - Wissens kann ja nie schaden.


1 Merkwürdige Punkte und Geraden am Dreieck
  1.1 Seitenhalbierenden eines Dreiecks
      1.1.1 Schnitt von Seitenhalbierenden (Schwerpunkt)
      1.1.2 Eigenschaften von Seitenhalbierenden
  1.2 Höhen eines Dreiecks
  1.3 Winkelhalbierenden eines Dreiecks
      1.3.1 Eigenschaften von Winkelhalbierenden
      1.3.2 Schnitt von Winkelhalbierenden (Inkreismittelpunkt)    
  1.4 Schnitt von Mittelsenkrechten (Umkreismittelpunkt)
2 Abschluss
3 Literatur

In der vorliegenden Ausarbeitung sind Punkte, sowie Winkel mit Großbuchstaben wie A bezeichnet, Strecken mit zwei Großbuchstaben wie AB und Flächen mit Großbuchstaben der Eckpunkte in Klammern wie (ABC).
1 Merkwürdige Punkte und Geraden am Dreieck

1.1 Seitenhalbierenden eines Dreiecks

fed-Code einblenden

Wir betrachten hierzu Abbildung 1:
Seitenhalbierende eines Dreiecks
fed-Code einblenden

1.1.1 Schnitt von Seitenhalbierenden (Schwerpunkt)

Mit Hilfe des Satzes von Ceva (siehe hier) folgt, dass sich die Seitenhalbierenden in einem Punkt schneiden müssen. Den Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks (in Abbildung 1 ist das der Punkt G) nennt man Schwerpunkt des Dreiecks.

Uns allen bekannt:
Würde man ein Dreieck aus einem Material gleichmäßiger Dichte und Dicke ausschneiden, so befände sich das Dreieck im Gleichgewicht, wenn man es in diesem Schwerpunkt aufhängen würde. Diesen Punkt nennt man also zu Recht Schwerpunkt des Dreiecks.

1.1.2 Eigenschaften von Seitenhalbierenden

fed-Code einblenden
Seitenhalbierende teilen ein Dreieck in sechs flächengleiche Dreiecke

fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

1.2 Höhen

Um die Höhen eines Dreiecks einzuführen, betrachten wir Abbildung 3:
Höhen eines Dreiecks
fed-Code einblenden

1.3 Winkelhalbierenden eines Dreiecks

Weitere wichtige Ecktransversalen sind die Winkelhalbierenden eines Dreiecks. Diese sind in Abbildung 4 verdeutlicht:
Winkelhalbierende eines Dreiecks

1.3.1 Eigenschaften von Winkelhalbierenden

Bevor wir die Eigenschaften der Winkelhalbierenden untersuchen können, erinnern wir uns an den erweiterten Sinussatz, den wir im ersten Teil untersucht haben.

Abbildung 4 zeigt eine der Winkelhalbierenden eines Dreiecks.
fed-Code einblenden

1.3.2 Schnitt von Winkelhalbierenden (Inkreismittelpunkt)

fed-Code einblenden

Inkreismittelpunkt
fed-Code einblenden

1.4 Schnitt von Mittelsenkrechten (Umkreismittelpunkt)

Der Mittelpunkt des Umkreises in einem Dreieck ist der Schnittpunkt aller drei Mittelsenkrechten des Dreiecks, der so genannte Umkreismittelpunkt des Dreiecks.

Dass für jedes beliebige Dreieck ein Umkreis existiert, lässt sich folgendermaßen begründen: Alle Punkte der Mittelsenkrechten zu der Strecke AB sind von A und B gleich weit entfernt. Entsprechend haben die Punkte der Mittelsenkrechten zu der Strecke BC übereinstimmende Entfernungen von B und C.
Der Schnittpunkt dieser beiden Mittelsenkrechten ist also von allen drei Ecken (A, B und C) gleich weit entfernt. Er muss also auch auf der dritten Mittelsenkrechten liegen.
Zeichnet man um diesen Schnittpunkt einen Kreis, der durch eine Ecke des Dreiecks geht, so müssen auch die anderen Ecken auf diesem Kreis liegen.
Schnitt von Mittelsenkrechten (Umkreismittelpunkt)
2 Abschluss

Ich hoffe dieser Exkurs konnte euch helfen, einige Begriffe und Grundlagen aus der Mittelstufengeometrie noch einmal aufzufrischen. Diese Begriffe werden wir in meiner kleinen Serie "Vergessene Sätze am Dreieck" immer wieder benötigen.
3 Literatur

[1] Coxeter, H. S. M., und S. L. Greitzer: Zeitlose Geometrie, Stuttgart, 1983

Das Startlogo stammt von Wikipedia.de

Euer
Florian Modler



Trennlinie
-> Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 1): Satz von Ceva und Menelaus und Sinussatz

-> Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 2): Satz von Stewart und Satz von Steiner und Lehmus

-> Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 3): Satz von Pappus und Desargues

-> Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 4): Satz von Carnot

\(\endgroup\)

Link auf diesen Artikel Link auf diesen Artikel  Druckbare Version Druckerfreundliche Version  Kommentare zeigen Kommentare  
pdfpdf-Datei zum Artikel öffnen, 71 KB, vom 08.01.2007 17:57:11, bisher 11079 Downloads


Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
: Mathematik :: Geometrie :: Schule :: Schüler aufwärts :
Exkurs: Merkwürdige Punkte und Geraden am Dreieck [von FlorianM]  
In diesem kleinen Exkurs werden Grundbegriffe wie Seitenhalbierende, Höhe, Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende erklärt und in diesem Zusammenhang wird auf Schnittpunkte eingangen wie auf den Schwerpunkt, Höhenschnittpunkt, Umkreismittelpunkt und Inkreismittelpunkt. Des Weiteren werden interessante Sätze im Kontext dieser "merkwürdigen" Punkte und Geraden erläutert.
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
Verwandte Links
 
Besucherzähler 25266
 
Aufrufstatistik des Artikels
Insgesamt 3128 externe Besuche zwischen 2018.05 und 2018.05 [Anzeigen]
DomainAnzahlProz
http://matheplanet.com130.4%0.4 %
http://google.de150548.1%48.1 %
http://de.wikipedia.org67921.7%21.7 %
http://google.nl1474.7%4.7 %
http://google.it943%3 %
http://google.ps882.8%2.8 %
http://google.rs872.8%2.8 %
http://google.se812.6%2.6 %
http://google.ee742.4%2.4 %
http://google.lt672.1%2.1 %
http://google.lu481.5%1.5 %
http://forum.worldofplayers.de270.9%0.9 %
http://de.m.wikipedia.org220.7%0.7 %
http://google.ie200.6%0.6 %
http://google.si180.6%0.6 %
http://google.fr170.5%0.5 %
http://images.google.de160.5%0.5 %
http://www.amazon.de100.3%0.3 %
http://google.com80.3%0.3 %
http://localhost30.1%0.1 %
http://www.bing.com321%1 %
http://search.mywebsearch.com40.1%0.1 %
http://google.ch20.1%0.1 %
http://suche.t-online.de90.3%0.3 %
http://search.conduit.com80.3%0.3 %
http://search.tb.ask.com20.1%0.1 %
http://de.search.yahoo.com60.2%0.2 %
http://de.cyclopaedia.net10%0 %
http://www2.delta-search.com10%0 %
http://avira.search.ask.com10%0 %
http://suche.aol.de20.1%0.1 %
http://de.ask.com20.1%0.1 %
http://suche.web.de10%0 %
http://isearch.avg.com20.1%0.1 %
http://iuventus.info10%0 %
http://suche.gmx.net30.1%0.1 %
http://images.google.com10%0 %
http://www.wikiwand.com10%0 %
http://de.images.search.yahoo.com20.1%0.1 %
http://search.zonealarm.com10%0 %
http://start.funmoods.com10%0 %
http://www.delta-search.com20.1%0.1 %
http://search.softonic.com10%0 %
http://metager.de10%0 %
http://search.genieo.com10%0 %
http://www.holasearch.com10%0 %
http://search.icq.com20.1%0.1 %
http://www.search.ask.com30.1%0.1 %
http://search.sweetim.com10%0 %
http://de.academic.ru10%0 %
http://images.search.conduit.com10%0 %
http://search.babylon.com10%0 %
http://ecosia.org10%0 %
http://search.incredibar.com10%0 %
http://deacademic.com10%0 %
http://m.yahoo.com10%0 %
http://r.duckduckgo.com10%0 %
http://archive.is10%0 %

Aufrufer der letzten 5 Tage im Einzelnen
Insgesamt 8 Aufrufe in den letzten 5 Tagen. [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2018.05.14-2018.05.21 (3x)https://www.google.de/
2018.05.04-2018.05.20 (4x)https://de.wikipedia.org/
2018.05.19 12:11http://google.de/search?q=seitenhalbierende dreieck vektoren

Häufige Aufrufer in früheren Monaten
Insgesamt 2999 häufige Aufrufer [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2012-2018 (676x)http://de.wikipedia.org/wiki/Ausgezeichnete_Punkte_im_Dreieck
2013-2018 (262x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=
201305-06 (147x)http://google.nl/search?q=winkelhalbierende seitenhalbierende
2012.11 (135x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=winkelhalbierende eines dreiecks eigenschaf...
201206-07 (118x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=winkelhalbierende im dreieck beweis
2012.05 (96x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=Zwei Winkelhalbierende schneiden sich in ei...
2014.01 (94x)http://google.it/url?sa=i&rct=j&q=
2013.11 (92x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=dreieck seitenhalbierende sechs flächengle...
2012.04 (89x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zusammenhang zwischen mittelsenkrechte und ...
2012.10 (88x)http://google.ps/imgres?q=was ist eine seitenhalbierende im dreieck
2012.01 (87x)http://google.rs/imgres?q=seitenhalbierende
2013.01 (81x)http://google.se/imgres?start=104&sa=X&tbo=d&biw=1252&bih=582&tbm=isch&tbnid=...
2013.04 (79x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zusammenhang zwischen umkreismittelpunkt sc...
2012.03 (74x)http://google.ee/imgres?q=dreieck seitenhalbierende eigenschaften
2014.02 (71x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=winkelhalbierende eigenschaften dreieck
2013.03 (67x)http://google.lt/url?sa=i&rct=j&q=geraden im dreieck
2014.03 (66x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=beweisen sie die drei seitenhalbierenden ze...
2012.02 (66x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zusammenhang umkreismittelpunkt und inkreis...
2013.12 (65x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=seitenhalbierende dreieck sechs flächengle...
2012.09 (63x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=seitenhalbierende flächengleiche dreiecke
2013.02 (52x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=winkelhalbierende dreieck beweis
2013.09 (44x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=seitenhalbierende teilen dreieck in sechs f...
2012.12 (44x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=seitenhalbierende eigenschaften
2013.07 (40x)http://google.lu/url?sa=t&rct=j&q=beweisen sie die drei seitenhalbierenden ze...
2014.04 (30x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=seitenhalbierende im dreieck und fläche
2012-2017 (27x)http://forum.worldofplayers.de/forum/threads/391182-Mathe-Spezialgebiet
2012.08 (26x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=1&ved=0CA4QFjAA
2013.08 (24x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=winkelhalbierende gerade im dreieck
2012-2015 (22x)http://de.m.wikipedia.org/wiki/Ausgezeichnete_Punkte_im_Dreieck
2014.09 (20x)http://google.ie/search?q=kreis in 12 teile teilen winkel
2015.01 (20x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=2&ved=0CB8QFjAB
2015.03 (18x)http://google.si/url?sa=i&rct=j&q=
2015.04 (17x)http://google.fr/url?sa=t&rct=j&q=
2014.10 (17x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=mathe transversalen seitenhalbierende
201601-10 (15x)http://images.google.de/url?sa=t&rct=j&q=
2017-2018 (13x)http://google.de/url?sa=i&rct=j&q=
2015.06 (12x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=9&ved=0CD0QFjAI
2014.03 (10x)http://www.amazon.de/gp/bit/apps/web/SERP/search/ref=bit_bds-p18_serp_ie_de?i...
2016-2018 (8x)http://google.com/search
2015.11 (8x)http://google.lu/url?sa=i&rct=j&q=
2016.05 (6x)http://google.de/search?q=kreis mit Dreieck
2016.04 (5x)http://google.de/search?q=dreieck seitenhalbierende
201709-10 (5x)http://google.de/

[Seitenanfang]

" Mathematik: Exkurs: Merkwürdige Punkte und Geraden am Dreieck" | 18 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Exkurs: Merkwürdige Punkte und Geraden am Dreieck
von Ex_Mitglied_40174 am So. 30. Juli 2006 12:46:57

\(\begingroup\)
"Merkwürdig", der Artikel!\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Exkurs: Merkwürdige Punkte und Geraden am Dreieck
von viertel am So. 30. Juli 2006 13:39:25

\(\begingroup\)
@Anonymous
Wenn Du damit "des Merkens würdig" meinst, stimme ich Dir zu. Das sind Sätze, die sollten einem geläufig sein.
Gruß vom 1/4\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Exkurs: Merkwürdige Punkte und Geraden am Dreieck
von Ex_Mitglied_40174 am So. 30. Juli 2006 14:07:32

\(\begingroup\)
Ja, war so gemeint wink\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Exkurs: Merkwürdige Punkte und Geraden am Dreieck
von FlorianM am So. 30. Juli 2006 14:15:15

\(\begingroup\)
Jo die Sätze sind zwar sehr elementar, aber immer hilfreich. smile Besonders in der Mittelstufe.
Gibt es weitere Kommentare?

Gruss Florian\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Exkurs: Merkwürdige Punkte und Geraden am Dreieck
von Wauzi am Mo. 31. Juli 2006 15:53:22

\(\begingroup\)
Es war eine gute Idee, diese, natürlich allen bekannten Sätze einmal zusammenzustellen. Ob wohl jeder auf Anhieb die entsprechenden Beweise parat hätte?
Ganz nebenbei: Das schraffierte Dreieck in Abb.3 ist das umfangskleinste einbeschreibbare Dreieck. Beweis geometrisch trivial, mit Differentialrechnung eine Herausforderung.
Gruß Wauzi\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Exkurs: Merkwürdige Punkte und Geraden am Dreieck
von kautz am Di. 01. August 2006 12:09:39

\(\begingroup\)
Viele merkwürdige aber nicht unbedingt merk-würdige Punkte findet man unter http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/. Bei meinem letzten Besuch waren es 3093.

Gruß kautz\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Exkurs: Merkwürdige Punkte und Geraden am Dreieck
von FlorianM am Mi. 02. August 2006 09:33:09

\(\begingroup\)
@Wauzi
Danke für deinen Kommentar und für deine kleine Nebenaufgabe. smile

@kautz
Danke für den Link! Kannte ich noch gar nicht.

Gruss Florian\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Exkurs: Merkwürdige Punkte und Geraden am Dreieck
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 11. August 2006 15:28:51

\(\begingroup\)
Ich schreibe meine Facharbeit über den Feuerbachkreis.
Also eine sehr brauchbare Seite. Cool!\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Exkurs: Merkwürdige Punkte und Geraden am Dreieck
von FlorianM am Fr. 11. August 2006 15:40:05

\(\begingroup\)
In der Serie "Vergessene Sätze am Dreieck" folgt auch noch ein Artikel über den Feuerbachkreis. So viel kann ich schon mal verraten. smile
Vielleicht hast du bis dahin deine Facharbeit noch nicht abgegeben.

Gruss Florian\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Exkurs: Merkwürdige Punkte und Geraden am Dreieck
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 14. August 2006 18:09:07

\(\begingroup\)
@Feuerbachkreis: schau doch auch mal auf der Webseite von Darij Grinberg\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Exkurs: Merkwürdige Punkte und Geraden am Dreieck
von FlorianM am Di. 15. August 2006 15:18:39

\(\begingroup\)
Oder einfach ein paar Teile abwarten.
Aber natürlich jat Darij auch etwas auf seiner Homepage.

Gruss Florian\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Exkurs: Merkwürdige Punkte und Geraden am Dreieck
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 16. August 2006 12:22:26

\(\begingroup\)
@ Florian:
Okay, ich bin schon sehr gespannt. wink\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Exkurs: Merkwürdige Punkte und Geraden am Dreieck
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 08. September 2006 21:00:41

\(\begingroup\)
Ich würde mir wünschen, dass der Schwerpunkt noch erläutert werden würde...wie z.b. das Verhältnis von 2/3 zustande kommt bei der Seitenhalbierenden beidseitig vom Schwerpunkt\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Exkurs: Merkwürdige Punkte und Geraden am Dreieck
von FlorianM am So. 10. September 2006 19:15:04

\(\begingroup\)
Welches Verhältnis 2:3 ?

Gruss Florian\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Wie der Schwerpunkt eines Dreiecks die Schwerlinien teilt
von fru am So. 10. September 2006 20:39:14

\(\begingroup\)
Hi Florian!

Der Fragesteller meint damit offenbar das Verhältnis der Entfernung
des Schwerpunktes von einem Eckpunkt zur Länge der durch diesen
Eckpunkt verlaufenden Schwerlinie (oder wie man bei Euch eher sagt:
Seitenhalbierenden).

Liebe Grüße, Franz
\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Exkurs: Merkwürdige Punkte und Geraden am Dreieck
von Ex_Mitglied_40174 am So. 15. April 2007 09:48:29

\(\begingroup\)
Sehr hilfreich wenn man eine GFS oder ähnliches machen muss...danke schon mal^^ smile  Feder\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Exkurs: Merkwürdige Punkte und Geraden am Dreieck
von FlorianM am So. 22. April 2007 13:53:21

\(\begingroup\)
Bitte, bitte. smile
Viel Erfolg bei deiner GFS!

Gruss Florian\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Exkurs: Merkwürdige Punkte und Geraden am Dreieck
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 02. Juli 2007 13:44:15

\(\begingroup\)
hey
danke hat mir echt geholfen  biggrin


paypay\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2018 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]