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Mathematik: Extrema reellwertiger Funktionen mehrerer Veränderlicher
Freigegeben von matroid am Mi. 01. August 2007 16:34:39
Verfasst von Simon-schlesi -   19727 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Analysis

Extrema reellwertiger Funktionen mehrerer Veränderlicher





Bild
In der Schule wird häufig auf das systematische Behandeln von Funktionen mehrerer Veränderlicher verzichtet, daher möchte ich dieses Thema hier auch für Schüler verständlich behandeln. Auch wenn vielleicht nicht alles im kleinsten Detail nachvollzogen werden kann, soll der Artikel dennoch dazu dienen Interesse und Lust an der Theorie hinter den Schemata zur Untersuchung auf Extrema zu wecken. Im weiteren soll auch auf Extremwerte unter Nebenbedingungen eingegangen und die Methode der Lagrangschen Multiplikatoren exemplarisch erläutert werden. Möglicherweise ist der Artikel auch für Anfänger des Studiums der Mathematik oder Physik interessant. Nun aber genug der Einführung, legen wir endlich los!


1. Altbekanntes


In der Schule seit Klasse 11 zog es sich wie ein roter Faden durch den Mathematikunterricht: Die Kurvendiskussion.

Ob Polynome, Exponential-, Wurzel-, gebrochenrationale oder trigonometrische Funktionen, alles wurde nach Schema F untersucht. Hier ein kurzes Beispiel, die sog. Gaußsche Glockenkurve:

fed-Code einblenden

Soweit so gut, nur inwiefern bringt uns das bei unserem Thema weiter, werden sich die meisten fragen. Im folgenden möchten wir Funktionen der Form

fed-Code einblenden

untersuchen, d.h. es sind n verschiedene Variablen in der Funktionsvorschrift erlaubt. Diese Funktionen werden in der Physik oft als Skalarfelder bezeichnet, da der Wertebereich immer Teilmenge der Menge der rellen Zahlen ist. Das wirft unweigerlich die Frage auf, wie solche Funktionen aussehen.

Beispielsweise könnte man obiges Beispiel erweitern auf eine Funktion fed-Code einblenden
In diesem Falle, also wenn n=2, kann man den Graph von f visualisieren, indem man z.B. ein 3-dimensionales kartesisches Koordinatensystem einführt und die Funktionswerte (x,y) von f als Höhe in z-Richtung abträgt. Dann erhält man eine Art Gebirge unter, über und auf der xy-Ebene (siehe einführendes Bild).
Doch wie untersuchen wir derartige Funktionen auf ihre Extrema?
Die Antwort ist: Wir gehen quasi analog vor zum Fall n=1. Was wir also erstmal benötigen ist eine sinnvolle Definition der Ableitung von einem solchen Skalarfeld.

2. Die Ableitung


Die wohl dem Schüler geläufigste Definition der Ableitung einer Funktion f, lautet wohl:


fed-Code einblenden



Doch wie man bei genauerem Hinsehen erkennen kann, hilft uns diese Definition der Ableitung nicht weiter, da im höherdimensionalen der "Abstand h" ein Vektor ist, durch welchen man nicht dividieren kann.
Zunächst wollen wir nur einen Standard für den Artikel festlegen:


fed-Code einblenden



Das führt zu folgender Definition, der Tangentenzerlegung:


fed-Code einblenden



Hier eine kleine Skizze, welche eine solche Zerlegung im Fall n=1 darstellt;
die Summanden der Zerlegung sind jeweils in gelb, rot und grün dargestellt:
Bild



Nun ergibt sich aber folgende Frage: Im höherdimensionalen (z.B. n=2, also unserem Gebirge), habe ich unendlich viele Möglichkeiten eine Tangente an einen Punkt anzulegen. Um eine bestimmte davon festzulegen, kommt es also auf die Richtung der Tangente an. Dazu definieren wir die Richtungsableitungen:


fed-Code einblenden




Hierbei ist zu bemerken, dass die Ableitung im höherdimensionalen eine Matrix darstellt, im Falle von Skalarfeldern eine 1xn Matrix. Weiterhin gelten die "bekannten" Ableitungsregeln, wie Summen-,Produkt- und Kettenregel weiterhin analog (hier ohne Beweis).
Möchte man eine partielle Ableitung (z.B. nach x) berechnen, so hält man alle weiteren Variablen fest und behandelt sie wie konstanten. Dann wird einfach nach der abzuleitenden Variable abgeleitet.
Um in unserem Fall eine Anschauung zu bekommen, definieren wir einen Vektor aus unserer Matrix, den sogenannten Gradienten:


fed-Code einblenden



Hierzu vielleicht ein kleines Beispiel:


fed-Code einblenden



Dieser Gradientenvektor hat eine geometrische Bedeutung, er zeigt immer in Richtung des stärksten Anstiegs und sein Betrag (eukl. Norm) beschreibt die Stärke des Anstiegs (vgl. dazu den Fall n=2, also unser Gebirge). Hier lässt sich schon erahnen, dass ein Extremum wohl dann vorliegt, wenn der Gradient gerade der Nullvektor ist. Vorher aber noch eine kleine, aber wichtige Bemerkung:


fed-Code einblenden



Dies soll erstmal als kleine Grundlage zur Ableitung von Skalarfeldern genügen und wir wollen endlich loslegen Extrema zu bestimmen...

3. Extrema


Wie schon im letzten Abschnitt vermutet gilt folgender Satz:


fed-Code einblenden



Wie in der Schule schon die Art des Extremums mit Hilfe der 2. Ableitung untersucht wird, können wir bei diesem Problem analog vorgehen. Dafür definieren wir die 2. Ableitungsmatrix:


fed-Code einblenden



Die Hesse-Matrix ist stets eine symmetrische Matrix, wenn eine zweimal stetig-differenzierbare Funktion zu Grunde liegt, d.h. sie ist gleich ihrem Transponierten (soll hier nicht bewiesen werden). Das ist hilfreich, da man nicht alle Einträge explizit berechnen muss. Hier nun ein Beispiel:


fed-Code einblenden



Nun ist unsere 2. Ableitung eine nxn Matrix, also lässt sich erstmal nicht viel über die Art des Extremums aussagen. Wir brauchen also eine Verallgemeinerung, den Begriff der Definitheit:


fed-Code einblenden



Anhand dieser Definition kann man einer Matrix leider nicht direkt ansehen, welche Definitheit sie hat. Daher benötigen wir ein Verfahren, um dies systematisch zu überprüfen. Eine Möglichkeit bietet folgendes Lemma:


fed-Code einblenden



Sicherlich ist vielen Schülern nicht geläufig, was ein Eigenwert einer Matrix überhaupt ist. Da hier nur das Berechnen dieser nötig ist, werde ich kurz beschreiben wie man vorgehen kann, um die Eigenwerte eine reellen Matrix zu bestimmen. Ich rate jedoch an sich den sehr guten Artikel über Diagonalisierbarkeit von Siah durchzulesen, um tieferes Verständnis zu bekommen (LINK).
Da die hier behandelten Hesse-Matrizen von kleiner Dimension sind, kann man die Eigenwerte als Nullstellen des charakteristischen Polynoms bestimmen:


fed-Code einblenden



Nun können wir endlich zu dem Kriterium gelangen, wann ein lok. Extremwert ein Minimum, Maximum, oder Sattelpunkt ist. Dafür hat sich doch das lange vorgeplänkel gelohnt!


fed-Code einblenden



Als Bemerkung möchte ich noch hinzufügen, dass die Hesse-Matrix natürlich auch semi-definit werden kann. Ist dies der Fall, lässt sich mit Hilfe obiger Methode KEINE Aussage über die Art der Extremums machen. Dann ist der kreative Kopf gefragt eine individuelle Lösung für das Problem zu finden, was in den meisten Fällen durchaus schwer ist, doch das ist gerade die Herausforderung.
Im nächsten Abschnitt wollen wir einige Beispielaufgaben rechnen, um das Schema zu verinnerlichen.

4. Beispiele: Extremwertbestimmung


fed-Code einblenden


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5. Extrema unter Nebenbedingungen


Was bedeutet genau Extrema unter Nebenbedingungen?
Problem: Wir betrachten z.B. ein Polynomfunktion f(x,y) vom Grad 4. Nun interessiert uns das Verhalten der Funktion auf dem Einheitskreis. Also genau: Wo nimmt f auf dem Einheitskreis ihre Extremwerte an?
Nun gut, denkt man sich schnell: Dann nehme ich halt die Kreisgleichung K und betrachte das System aus K und f.
Sicherlich ist dies eine Möglichkeit, doch dies verkompliziert in vielen Fällen die Rechnung und macht das Problem unnötig schwer.
Daher möchte ich kurz die Methode der Lagrangschen Multiplikatoren erläutern (ohne Beweis) und Beispiele dazu vorführen. Vorher muss allerdings geklärt sein, was der Rang eine Matrix ist:


fed-Code einblenden



Da wir nun wissen was der Rang einer Matrix ist, können wir den Satz formulieren. Hier werden Funktionen mit mehreren Komponenten auftauchen. Das rührt daher, da wir beispielsweise eine Funktion f unter mehreren Nebenbedingungen untersuchen können. Beim Differenzieren derartiger Funktionen geht man einfach komponentenweise vor. Hier aber nun der Satz:


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Extrema reellwertiger Funktionen mehrerer Veränderlicher [von Simon-schlesi]  
In der Schule wird häufig auf das systematische Behandeln von Funktionen mehrerer Veränderlicher verzichtet, daher möchte ich dieses Thema hier auch für Schüler verständlich behandeln. Auch wenn vielleicht nicht alles im kleinsten D
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" Mathematik: Extrema reellwertiger Funktionen mehrerer Veränderlicher" | 20 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Extrema reellwertiger Funktionen mehrerer Veränderlicher
von kostja am Mi. 01. August 2007 18:17:15


Hallo Simon,

schöne Bilder.

Wozu Lemma 1? Ist das hier nicht völlig fehl am Platz? Es ist doch wesentlich einfacher die Determinanten der Hauptminore zu berechnen um auf Definitheit zu prüfen.

MfG Konstantin

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Re: Extrema reellwertiger Funktionen mehrerer Veränderlicher
von Simon-schlesi am Mi. 01. August 2007 18:23:32


Hallo Konstantin,
ich habe länger überlegt, welches Verfahren ich zum Definitheit-Test hier beschreibe. Mir schon das dahintersteckende Schema am leichtesten. Daher habe ich diese Möglichkeit gewählt.

MfG
Simon

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Re: Extrema reellwertiger Funktionen mehrerer Veränderlicher
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 01. August 2007 20:06:37


Hallo Simon!

Erstmal: Ein klasse Artikel. Kommt genau zur rechten Zeit. Eine Anmerkung habe ich trotzdem.
Du schreibst fed-Code einblenden ist die sogenannte Eulersche Glockenkurve. Ich kenne diese Kurven fed-Code einblenden nur unter der Bezeichnung Gaußsche Glockenkurven. Ist die Eulersche Glockenkurve ein Spezialfall für a=b=1? Habe den Begriff in diesem Zusammenhang noch nie gehört.

Martin

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Re: Extrema reellwertiger Funktionen mehrerer Veränderlicher
von Simon-schlesi am Mi. 01. August 2007 20:37:23


Hallo Martin!

Vielen Dank erstmal; es freut mich wenn Dir der Artikel gefällt. Wenn fragen auftauchen, dann stell sie ruhig - ich beantworte sie gerne.
Zur Glokenkurve: Meines Wissens nach gibt es nicht "die" Gaußsche Glockenkurve, sondern man bezeichnet eine ganzen Schar mit diesem Namen undzwar diese von der Form, wie Du sie gepostet hast. Dies wäre also ein Spezialfall.
Hier nochmehr zu Gauß-Verteilung, falls intresse besteht:
de.wikipedia.org/wiki/Gaussverteilung#Definition

MfG
Simon

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Re: Extrema reellwertiger Funktionen mehrerer Veränderlicher
von HansHaas am Mi. 01. August 2007 21:04:45


Hi Simon,

der Artikel sieht super aus, ich hab in angelesen und werde ihn, wenn ich mal mehr Zeit habe (muss momentan noch BWM-Aufgaben fertig ausformulieren) systematisch durcharbeiten.
Was du aber meines Erachtens beim Kommentar von Martin (anonymus) falsch verstanden hast, ist, dass sich dieser nicht an der Speziellheit (Spezialität?) deiner Funtkionsgleichung, sondern an der Bezeichnung aufgehängt hat: Du schriebst EULERSCHE Glockenkurve, obwohl es GAUSSSCHE heißen müsste.
Aber egal, ein kleiner Fehler der inhaltlich nichts zur Sache tut und den Wert des Artikels keineswegs schmälert (alle Achtung für den Haufen Mühe).

Ein sich auf weitere Artikel freuender
Hans

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Re: Extrema reellwertiger Funktionen mehrerer Veränderlicher
von Simon-schlesi am Do. 02. August 2007 00:45:37


@Hans & Martin
*uups* Das ist mir jetzt aber unangenhem. Was so eine Nachtschicht alles anrichten kann smile
Natürlich Gauß - Entschuldigung!

MfG
Simon

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Re: Extrema reellwertiger Funktionen mehrerer Veränderlicher
von Grim am Do. 02. August 2007 04:44:22


Sorry,
ich muss sagen, dass ich den Artikel zu schwer finde für Schüler, da fehlt auch eine Menge Theorie meiner Meinung nach.

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Re: Extrema reellwertiger Funktionen mehrerer Veränderlicher
von da_bounce am Do. 02. August 2007 10:42:33


Hi Simon,

schöner Artikel als Einführung in dieses große Thema.
Ich habe ihn erstmal überflogen, werde später mich nochmal ransetzen.

Wie heißt das Programm mit dem du diese Graphen plotest?

lg George


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Re: Extrema reellwertiger Funktionen mehrerer Veränderlicher
von Simon-schlesi am Do. 02. August 2007 12:58:48


@Grim:
Nunja, es ist vielleicht wirklich nicht leicht. Aber ich denke, wenn ein Schüler wirklich interesse am Thema hat, kann er sich da sicher durchbeißen. Auch in der Einführung sagte ich, dass der Artikel Lust auf die Theorie dahinter machen soll.
@da_bounce:
Danke erstmal. Diese Graphen habe ich mit Scientific Workplace geplottet.

MfG
Simon

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Re: Extrema reellwertiger Funktionen mehrerer Veränderlicher
von FlorianM am Do. 02. August 2007 13:43:40


Hi Simon,
auch ich kann mich George nur anschließen und muss sagen: Der Artikel gefällt mir sehr, vor allem inhaltlich als auch äußerlich.
Freue mich auf weitere interessante Artikel von dir!

Gruss Florian

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Re: Extrema reellwertiger Funktionen mehrerer Veränderlicher
von cow_gone_mad am Do. 02. August 2007 19:49:07


Hallo Simon smile

Ich muss mich Grim anschliessen. Ich finde, dass der erste Teil, wo erklärt wird was eine Ableitung ist, zu schwer und meines Erachtens auch unnötig ist. Man könnte den Artikel genausogut bei der partiellen Ableitung beginnen ohne etwas einzubüsen. wink [Sogar inhaltlich, da es im Fall C^2 das Gleiche ist!]

Dies würde vermutlich ausserdem das Lesen deutlich leichter machen, da man gleich zum Thema kommt, und sich nicht durch lang Vorbereitungen quälen muss.

Ausserdem hatte zumindest ich, während meiner Schulzeit nie etwas von normen || x || und Matrizen gehört. wink

Liebe Grüsse,
cow_

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Re: Extrema reellwertiger Funktionen mehrerer Veränderlicher
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 02. August 2007 19:58:46


Eine gute Zusammenfassung, das was man nach 2 Semsetern Mathematik in einem "nicht" Mathematikstudium unbedingt gelernt haben sollte, steht hier nochmal kurz und prägnant zusammengefasst!

(klar lernt man noch andere Sachen, aber Extremwertbestimmung unter Nebenbedingungen war zumindest bei uns ein beliebtes Prüfungsthema)

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Re: Extrema reellwertiger Funktionen mehrerer Veränderlicher
von Simon-schlesi am Do. 02. August 2007 22:40:57


@cow:
Du magst teilweise sicherlich Recht haben; ich habe mich selbst nach Fertigstellung gefragt, ob es nicht ein wenig zu schwer für einen Schüler ist - und ich glaube, dass es das ist.
Dennoch denke ich, dass bei genug Interesse große Teile nachvollzogen werden können. Zudem war es ja nicht nur für Schüler ^^

MfG
Simon

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Re: Extrema reellwertiger Funktionen mehrerer Veränderlicher
von akz1on am Fr. 03. August 2007 12:36:48


Ein wirklich sehr guter Artikel, aber ich denke für Oberstufenschüler eher minder verständlich, da schon einiges Wissen vorausgesetzt wird, was sich nicht unbedingt in einem Satz(im nichtmath. Sinne) erklären lässt.
Dennoch denke ich, daß dein Ziel erreicht wurde einen greifbaren Überblick zu geben und Intresse, "für mehr", zu wecken.
Wirklich gute Arbeit.

Gruß Alex

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Re: Extrema reellwertiger Funktionen mehrerer Veränderlicher
von Jockel am Fr. 03. August 2007 12:51:26


Hallo,

ich finde den Artikel gut gelungen. Eine Kleinigkeit:

"4. Beispiele: Extremwertbestimmung
...
Notwendige Bedingung für Extremum Hf(x,y)=0"

Muss Jf(x,y)=0 heissen.

Gruss,
Jockel

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Re: Extrema reellwertiger Funktionen mehrerer Veränderlicher
von freeclimb am Sa. 04. August 2007 21:10:38


Hallo!

Sehr schöner Artikel, freut mich, dass du dich so aktiv beteiligst!
Unnötige Anmerkung: In Abschnitt 4, 1. Beispiel sollte es wohl "liefert" lauten und nicht "liegert". smile

lg, freeclimb

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Re: Extrema reellwertiger Funktionen mehrerer Veränderlicher
von gilgamash am Mo. 20. August 2007 14:47:59


Grüße,

ich glaube es wäre gut, wenn Du den lapidar erwähnten Satz 'Der Gradient zeigt immer in die Richtung...' erläuern würdets, vielleicht sogar mit einem Bild und mathematischer Herleitung; denn ich finde gerade dies eine wichtige Tatsache, die oftmals zu wenig dargelegt wird.

Gruß,
G.

 [Bearbeiten]

Re: Extrema reellwertiger Funktionen mehrerer Veränderlicher
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 31. August 2007 19:26:42


@G.
also ich finde 'Der Gradient zeigt immer in die Richtung...' kann so stehen bleiben, denn sobald man sich mit der theorie beschäftigt sieht man, dass es sich hierbei um ein relativ kleines Zwischenergebnis handelt (Richtungsableitung ist doch ein skalarprodukt und dieser wird doch nur maximal wenn die skalar multiplizierten vektoren linear abhängig sind, also ist die richtungsableitung in richtung des gradienten am größten und damit zeigt der gradient tatsächlich in die richtung größten anstieges)
finde den artikel auch gut, wenn ich aber erlich bin (beabsichtige keineswegs jemandem auf den schlips zu treten, es handelt sich hierbei  nur um meine persönliche meinung): fand früher auf jeden fall solche sachen die ich nicht ganz verstehe und mit welchen man ziemlich tolle sachen anstellen kann (z.B. extremwerte berechnen) super faszinierend,aber nach einer weile hat es mich gestört nicht zu wieso es denn so ist, da finde ich die beweise an der ganzen sache am interessantesten, da sollte man auf jeden fall die vorraussetzungen der beweise klar stellen (beim diagonalisieren sollte man z.B. die hier notwendigen rechenregeln für determinanten aufschreiben, wir hatten nämlich keine in der schule), es ist aber nur meine persönliche meinung

gruß

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Re: Extrema reellwertiger Funktionen mehrerer Veränderlicher
von Hans-im-Pech am Mo. 12. November 2007 16:59:07


Hi Simon,


ein schöner Artikel.

Ich würde nur irgendwo hinter (3.1.) noch einen Satz zu einer nicht-offenen Menge verlieren und den möglichen Randextrema verlieren.

Viele Grüße,
HiP

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Re: Extrema reellwertiger Funktionen mehrerer Veränderlicher
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 16. Januar 2008 15:34:27


Hallo!
Super artikel, hat mir sehr geholfen! Wüsste nun noch gerne die Lösungen der Übungsaufgaben! Wo kann ich diese finden???

Vielen Dank im Vorraus!

MfG

Till

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