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Mathematik: Analysis I - §4 Folgen
Freigegeben von matroid am Di. 24. Februar 2009 23:15:02
Verfasst von FlorianM -   16242 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Analysis

\(\begingroup\)
da_bounce und FlorianM schreiben:
         

§4 Folgen




Nachdem der letzte Teil Nummer 3 sehr abstrakt war, wird es jetzt wieder etwas anschaulicher werden. In diesem Artikel tauchen wir eigentlich erst richtig in die Analysis I ein. Wir werden hier das erste Mal Kontakt mit dem Unendlichen und den Grenzwertbegriffen von Folgen haben. Folgen werden euch im ersten Semester sehr oft begegnen. Es ist wichtig, dass ihr begreift, was man darunter versteht, wenn eine Folge konvergiert. Wie man entscheiden kann, ob eine Folge konvergiert und wie man ihren Grenzwert ausrechnet, werden wir ebenfalls beschreiben.
Als einen wichtigen Satz werden wir den Satz von Bolzano-Weierstraß beweisen, der besagt, dass jede beschränkte Folge mindestens einen Häufungspunkt besitzt.
Was wir unter Beschränktheit einer Folge oder unter einem Häufungspunkt verstehen, werdet ihr gleich sehen.

Eine Anwendung findet sich in §5, wenn wir dann Reihen betrachten. Dies sind einfach Folgen von Partialsummen, also "besondere Folgen". Aber soweit sind wir noch nicht.

Wir wünschen viel Spaß!

Alles zur Analysis 1 und Linearen Algebra 1 in dem Buch "Tutorium Analysis 1 und Lineare Algebra 1".


§4 Folgen



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4.1 Was ist eine Folge?

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4.2 Folgenkonvergenz

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Wem das immer noch nicht ganz zusagt, den verweisen wir auf diesen Link hier:

 Limits: Formal definition and proof using epsilon-delta syntax

Leute, die eher in die Ingenieursrichtung gehen wollen, werden diese Definition wohl nur einmal kurz hören und dann später mit einer anderen Methode die Grenzwerte von Folgen untersuchen.

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Folgenkonvergenz

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Das ist anschaulich auch sehr klar, denn der Abstand zwischen den Folgengliedern und dem Grenzwert wird ja beliebig klein; im Grenzfall halt Null.
           4.2.1 Ein paar Beispiele

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           4.2.2 Eindeutigkeit des Grenzwertes

Wer sagt uns, dass eine Folge nicht zwei, drei oder sogar unendlich viele Grenzwerte besitzen kann? Der folgende Satz.

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Der letzte Teil folgt direkt aus unser äquivalenten Definition der Folgenkonvergenz.
           4.2.3 Beschränktheit von Folgen

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4.3 Grenzwertsätze

Nun zu wichtigen Grenzwertsätzen, mit denen wir den Grenzwert von Folgen sehr leicht berechnen können. Diese Sätze gelten natürlich nur für konvergente Folgen.
Was passiert, wenn man diese Grenzwertsätze auch für divergente Folgen anwendet, werden wir gleich sehen.
           4.3.1 Die Grenzwertsätze

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           4.3.2 Zeit für die ersten Beispiele

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4.4 Teilfolgen und Häufungspunkte

            4.4.1 Was ist eine Teilfolge?

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           4.4.2 Was versteht man unter einem Häufungspunkt?

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           4.4.3 Der Satz von Bolzano-Weierstraß

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Für einen Beweis verweisen wir auf einschlägige Analysisbücher. :)
4.5 Konvergenzkriterien für Folgen

In diesem Abschnitt wollen wir einige Sätze und Hilfestellungen geben, um zu entscheiden, ob eine Folge konvergiert oder divergiert.

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           4.5.1 Beschränktheit als notwendiges Kriterium

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           4.5.2 Satz der monotonen Konvergenz

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           4.5.3 Cauchy-Folge

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           4.5.4 Konvergenzkriterium nach Cauchy

Nun zu einem notwendigen und hinreichenden Kriterium für die Konvergenz einer Folge:

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4.6 Rekursiv definierte Folgen

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4.7 Abschätzungskatalog

In diesem Abschnitt wollen wir einige Abschätzungen angeben, die man vor allem beim Epsilon-Delta-Beweis immer wieder mal verwenden kann. Natürlich gibt es kein Rezept für Abschätzungen, vor allem Erfahrung und Übung helfen meistens weiter. Dennoch soll euch dieser kleine "Katalog" helfen, bei der einen oder anderen Aufgabe vielleicht Ähnlichkeiten zu entdecken. :-)

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Geht die einzelnen Schritte nochmal durch. Versteht ihr alles?
4.8 Lösungen der Übungsaufgaben

Hier nun die Lösungen zu den Übungsaufgaben:

Zunächst zum Abschnitt 4.3:

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Abschluss und Literatur

AAlles zur Analysis 1 und Linearen Algebra 1 in dem Buch "Tutorium Analysis 1 und Lineare Algebra 1".

Das war wieder mal ein relativ langes Kapitel. Aber wir hoffen, es ist deutlich geworden, wie wichtig der Konvergenzbegriff doch ist. Wie zum Abschluss eines jeden Kapitels wollen wir auch jetzt wieder eine "Literaturempfehlung" geben: Lest so viel zu Folgen, wie ihr finden könnt, UND rechnet eine Menge an Aufgaben! Schnappt euch Bücher oder alte Übungsaufgaben oder auch Klausuren, und geht die Aufgaben durch! Es lohnt sich, versprochen. ;)

Den Ausblick für das nächste Kapitel haben wir schon am Anfang gegeben. Es wird um Reihen gehen.
Also, wir sehen uns demnächst wieder.

Zum Schluss sei noch ein sehr großes Dank an unsere Testleser Wauzi, Wally und vor allem fru ausgesprochen, die unermütlich den Artikel Korrektur gelesen haben. Vielen Dank dafür. :)


Trennlinie
-> §1 Einführung und Grundlagen
-> §2 Die Beweisverfahren
-> §3 Die reellen Zahlen
-> §4 Folgen
-> §5 Reihen
-> §6 Grenzwerte und Stetigkeit
-> §7 Differenzierbarkeit
-> §8 Integration
-> §9 Besondere Reihe
-> §10 Funktionenfolgen (punktweise und gleichmäßige Konvergenz)


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Analysis I - §4 Folgen [von FlorianM]  
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" Mathematik: Analysis I - §4 Folgen" | 11 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Analysis I - §4 Folgen
von Xerdon am Mi. 25. Februar 2009 00:50:51

\(\begingroup\)
Heute Abend konnte ich nur noch kurz darüberfliegen, aber schonmal vielen Dank für die Mühe, die ihr beide euch macht!
Ein paar Tricks sind auch neu für mich, sodass ich zu einer lernfähigeren Tageszeit mir den Artikel nochmal genauer ansehen werde.

Gruß
Xerdon\(\endgroup\)

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Re: Analysis I - §4 Folgen
von Curufin am Mi. 25. Februar 2009 01:21:31

\(\begingroup\)
Hallo,

ich habe es auch nur überflogen.
Erst einmal ein Lob: Ihr habt viele Beispiele und Rechentricks hineingepackt.
Meine Kritik: Schaut euch einmal die Kommentare zum Kapitel über die reellen Zahlen an. Dort waren sie vielleicht verfrüht, da es schwer ist die reellen Zahlen vernünftig einzuführen, ohne vorher einiges an Arbeit in die Herleitung einiger Sätze der Analysis und Algebra hineinzustecken
Aber spätestens in diesem Artikel hättet ihr auf die Bedeutung der Vollständigkeit für die Konvergenz einer Folge eingehen müssen:

Es gilt doch folgender Satz:
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Die Liste ist natürlich bei weitem nicht erschöpft. Man könnte noch Dedekinsche Schnitte aufnehmen oder den Zwischenwertsatz (der zugegeben thematisch hier nicht reinpasst) und bestimmt noch andere Sätze, die mir gerade nicht einfallen.

Und hier hättet ihr auch ganz klar zeigen müssen, was bei Fehlen der Vollständigkeit schief geht.
Z.B. existieren in der Menge der rationalen Zahlen nicht konvergente Cauchyfolgen.
Im Übrigen ist die Vollständigkeit auch der Grund, wieso man problemlos Analysis auch in den komplexen Zahlen betreiben kann.


\(\endgroup\)

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Re: Analysis I - §4 Folgen
von PeterTheMaster am Mi. 25. Februar 2009 07:44:21

\(\begingroup\)
du redest bei der collatz folge von einer "schleife", um das zu verdeutlichen, sollte man vielleicht noch ein paar folgenglieder angeben.\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Analysis I - §4 Folgen
von Diophant am Mi. 25. Februar 2009 08:22:12

\(\begingroup\)
Hi Florian,

euch ist wieder ein sehr anschaulicher und reichhaltiger Artikel gelungen. Einige Dinge fehlen mir jedoch:

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- In 4.7 könnte man noch die AGM-Ungleichung mit aufnehmen. Dann wäre die "Trias" der Standard-Ungleichungen komplett.

- Ebenfalls in 4.7 könnte man noch das Sandwich-Lemma erwähnen.

Vielen Dank aber für einen insgesamt gelungenen Artikel, der sich auch gut dazu eignet, um ihn im Forum zu verlinken, gerade wegen der reichhaltigen Beispiele.

Gruß, Johannes

\(\endgroup\)

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Re: Analysis I - §4 Folgen
von Ex_Mitglied_24847 am Mi. 25. Februar 2009 11:48:02

\(\begingroup\)
Hab's zwar noch nicht ganz gelesen, finde es aber toll, dass mal wieder was über Analysis I kommt, ein Thema, das eigentlich so einfach und trotzdem manchmal so schwierig ist. Wer kennt das nicht aus seiner Anfängerzeit, man sitzt ewig vor einer Aufgabe, kriegt sie nicht hin und dann ist die Lösung so ersichtlich...
Da freut man sich sehr über Aufgaben mit Lösungen.
Außerdem ist das ein Thema, was auch für Schüler gut geeignet ist!

Auf jeden Fall ein großes Dankeschön!\(\endgroup\)

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Re: Analysis I - §4 Folgen
von owk am Mi. 25. Februar 2009 15:34:39

\(\begingroup\)
Im "1. Beispiel" in 4.3.2 steht: "Wir müssen dies nochmals mit unserer Definition nach weisen." Wieso? owk\(\endgroup\)

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Re: Analysis I - §4 Folgen
von da_bounce am Mi. 25. Februar 2009 21:09:46

\(\begingroup\)
Guten Abend, vielen Dank erstmal für die positiven Kommentare aber auch für die Hinweise. wir haben versucht Ana I eben nicht so ganz nach Schema f wie in der volresung zu presentieren und haben bewusst manche Dinge erstmal weg gelassen. Klar man könnte auch Folgen über Metrische Räume und so herleiten aber wir wollten es so einfach wie möglich halten. Der Artikel ersetzt natürlich keine Vorlesung und auch nicht das selbstständige bearbeiten von anderen Aufgaben. Über die Vollständigkeit werden wir nochmal nachdenken ob wir das noch nachreichen.

@owk ja das ist wirklich ein wenig unverständlich. Wir wollten einfach nachdem wir den GW mittels der Grenzwertsätze berechnet haben nochmal den Epsilon-Beweis führen. Da viele Studienanfänger sich immer fragen woher das n_0 kommt jedenfalls hab ich mich das anfangs häufiger gefragt,denn es fällt in der Vorlesung meist aus heiterem Himmel und für den einen oder anderen ist das eben unverständlich.

@Diophant "Ebenfalls in 4.7 könnte man noch das Sandwich-Lemma erwähnen." Mal schauen wink

lg George
\(\endgroup\)

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Re: Analysis I - §4 Folgen
von Anne123 am Fr. 13. März 2009 15:04:00

\(\begingroup\)
Wahnsinn, der Artikel ist einfach super. Sehr, sehr gut. DAmit kann ich einfach super lernen.
Dankeschön für eure Mühe.\(\endgroup\)

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Re: Analysis I - §4 Folgen
von maschi am Sa. 28. März 2009 11:02:54

\(\begingroup\)
Sehr schöner Artikel! Vielen Dank smile\(\endgroup\)

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Re: Analysis I - §4 Folgen
von John_K12 am Mi. 13. Dezember 2017 19:50:32

\(\begingroup\)
Hallo,

erst einmal vielen Dank fuer diese Kurzskripte! Da ist wirklich alles Notwendige enthalten. Ich habe jedoch leider keine Fortsetzung der Serie gefunden!
Sprich nach: §5 Reihen war Schluss. Habe ich die Links dafuer nur nicht gefunden oder wurden keine weiteren Kurzskripte mehr geschrieben?

Viele Gruesse
John\(\endgroup\)

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Re: Analysis I - §4 Folgen
von matroid am Mi. 13. Dezember 2017 21:30:15

\(\begingroup\)
Hallo John,

ja, es gibt noch einen Teil 5 über Reihen article.php?sid=1307
Dann ist aber Schluss.

Gruß
Matroid\(\endgroup\)

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