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Mathematik: Systeme von Skalen
Freigegeben von matroid am Mo. 22. März 2010 23:56:17
Verfasst von hsiebler -   2371 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

\(\begingroup\) 

Systeme von Skalen, gebildet aus einer Oktave,
die in 12 gleiche Schritte eingeteilt ist.


Die Naturtonreihe, die aus Grund- und Oberschwingungen einer schwingenden Saite entsteht, teilt die Oktave in 5 Ganz- und 2 Halbtonschritte ein. Diese Ganztonschritte lassen sich in jeweils zwei Halbtonschritte teilen. Werden die so entstehenden 12 Halbtonschritte, deren Frequenzverhältnisse alle in guter Näherung um den Wert schwanken, durch diesen Wert ersetzt, so erhält man eine Einteilung der Oktave in 12 gleiche Schritte – die Grundlage der „Temperierten Stimmung“.

Im Folgenden soll nun theoretisch untersucht werden, wie viele Skalen sich aus dieser Einteilung der Oktave ergeben. Dazu wird unterschieden in Systeme und deren Modi. Die Systeme werden nach der Anzahl von Tönen pro Oktave unterschieden. Dabei stellt sich im Verlauf meiner Überlegungen heraus, dass der musikalisch häufigste Fall - die Systeme mit 7 Tönen innerhalb einer Oktave - 462 Modi erzeugt. Ebenso viele ergeben sich für 6 Töne pro Oktave. Wegen der großen musikalischen Relevanz wird mit den Systemen mit 7 Tönen pro Oktave begonnen. Auf die Betrachtung des trivialen Falls mit 0 Tönen pro Oktave wird verzichtet.

Es sollen also die folgenden Fragen untersucht werden:

  • Wie viele verschiedene Systeme mit 7 Tönen aus 12 Halbtönen gibt es?
  • Wie viele verschiedene Systeme mit 1 - 12 Tönen aus 12 Halbtönen gibt es?
  • Wie viele Modi können insgesamt gebildet werden?


Systeme von Skalen, die 7 Töne aus einer Oktave, die in 12 gleiche Schritte eingeteilt ist, enthalten.

Das verbreitetste System der genannten Art ist das System der „Natural Modes“ (Kirchentonarten). Das System basiert auf der ionischen Tonleiter mit der ihr eigenen Lage der Halbtöne. Es ist hier so gezeichnet, dass der Grundton des ionischen Modus oben ist:

                          
  

Ein solches System gleicht einem runden Tisch mit 12 nicht unterscheidbaren Plätzen, an dem 7 nicht unterscheidbare Personen sitzen. Dreht man es um zwei Halbtöne nach links, so steht der Grundton des dorischen Modus oben:

                          
  

Wie man sieht, ist es dasselbe System, es wurde lediglich gedreht. Dreht man es weiter, entstehen alle 7 „Natural Modes“ (Kirchentonleitern).

Ein weiteres, sehr verbreitetes System basiert auf melodisch Moll:

                          
  

Es erzeugt die im Jazz üblichen „Artificial Modes“, wenn seine 7 Töne jeweils als Grundtöne betrachtet werden.

Neben den genannten Systemen gibt es nur noch ein System, das nur aus Ganz- und Halbtonschritten besteht, also keine kleinen Terzen oder größere Intervalle enthält:

                          
  

Es entspricht der in der Jazzimprovisation in mixolydischen Zusammenhängen häufig verwendeten Ganztonleiter mit hinzugefügter reiner Quinte.



Systeme mit einer kleinen Terz (übermäßigen Sekunde)

Das bekannteste System, das eine kleine Terz enthält, basiert auf Harmonisch Moll. Auch dieses System erzeugt im Jazz „Artificial Modes“:

                          
  

Eine der Leitern des folgenden Systems wird gelegentlich als Harmonisch Dur bezeichnet:

                          
  

 
Hier die übrigen Systeme, die eine kleine Terz enthalten:

                                                     
  
  

Hier die Systeme, die zwei kleine Terzen enthalten:

                                                     
  
  

Hier die Systeme, die eine große Terz enthalten:

                                                             
  
  

Hier die Systeme, die eine Quarte enthalten:

                                                     
  
  

Und schließlich das einzige System, das eine verminderte Quinte enthält:

                          
  

Es gibt also, völlig in Einklang mit der mathematischen Theorie, die allerdings nur gilt, wenn die Anzahl n der Tonschritte pro Oktave und die Anzahl k der Töne der Skala teilerfremd sind,


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66 mögliche Systeme, die musikalisch von sehr unterschiedlicher Bedeutung sind. Eine große Anzahl von Systemen und damit von Modi ergibt sich bei Skalen, die in 12 gleiche Schritte unterteilt sind, nur für Systeme mit 5,6 oder 7 Tönen.



Hier die per Computer [1.] berechnete Anzahl Modi bei Systemen mit 1 -12 Tönen pro Oktave:

Anzahl Töne Anzahl Systeme Anzahl Modi pro System gesamte Anzahl Modi (unkorrigiert)
1 1 1 1
2 6 2 12
3 19 3 57
4 43 4 172
5 66 5 330
6 80 6 480
7 66 7 462
8 43 8 344
9 19 9 171
10 6 10 60
11 1 11 11
12 1 12 12

Interessant ist, dass der musikalisch sehr relevante Fall mit 7 Tönen pro Oktave scheinbar weniger Modi als der musikalisch weniger wichtige Fall mit 6 Tönen pro Oktave anbietet.

Gesamtzahl der Systeme

Es gibt also insgesamt 80 + 2 · 66 + 2 · 43 + 2 · 19 + 2 · 6 + 2 · 1 = 350 Systeme bei einer Unterteilung der Oktave in 12 gleiche Schritte.

Gesamtzahl der Modi

Diese lässt sich nun leider nicht durch Addition der rechten Spalte ermitteln:

1 + 12 + 57 +172 + 330 + 480 + 462 + 344 + 171 + 60 + 11 = 2100

Das liegt daran, dass Systeme mit 2 bzw. 10 aus 12 Tönen, 3 bzw. 9 aus 12 Tönen, 4 bzw. 8 aus 12 Tönen und 6 aus 12 Tönen auch Modi bilden, die sich nicht unterscheiden. In der Jazztheorie werden diese Modi als „Symmetrische Skalen“ bezeichnet. Dies soll hier an zwei Beispielen gezeigt werden:

1. Beispiel: Ein System mit 8 aus 12 Tönen, im Jazz bekannt als Halbton-Ganztonleiter:

                          
  

Wie man sieht, erzeugt dieses System nur zwei Modi, den auf der 12-Uhr-Position beginnenden und den auf der 1-Uhr-Position (im Jazz bekannt als Ganzton-Halbtonleiter).

Die Modi, die auf der 3-Uhr-Position und den folgenden beginnen, sind mit den ersten zwei Modi identisch, da die hier entstehenden Tonleitern die gleichen Folgen von Ganz- und Halbtönen aufweisen.

2. Beispiel: Ein System mit 6 aus 12 Tönen, im Jazz bekannt als Ganztonleiter:

                          
  

Wie man sieht, erzeugt dieses System nur einen Modus, da die entstehende Tonleiter stets die gleichen Schritte aufweist.

Diese Phänomen tritt bei Systemen mit 7 aus 12 (oder 5 aus 12) nicht auf, da 7 und 12
(oder 5 und 12) teilerfremd sind, also keinen gemeinsamen Teiler aufweisen. Im Folgenden wird versucht, die tatsächliche Anzahl Modi zu bestimmen.

Rotationssymmetrische Modi

Bei 2 aus 12 Tönen:

                                                     
  
 (ein Modus statt zwei) 

Bei 3 aus 12 Tönen:

                                                     
  
 (ein Modus statt drei) 

Bei 4 aus 12 Tönen:

                                                     
(ein Modus)(zwei Modi)(zwei Modi)

System 1/4 entspricht dem völlig vermindertem Akkord

Bei 5 aus 12 Tönen, den Pentatoniken gibt es keine rotationssymmetrischen Modi.

Bei 6 aus 12 Tönen:

                                                              
  
 (ein Modus statt sechs)

Die bereits erwähnte Ganztonleiter
(zwei Modi statt sechs) 
                                            
(drei Modi)(drei Modi)(drei Modi)

Bei 7 aus 12 Tönen gibt es keine rotationssymmetrischen Modi.

Bei 8 aus 12 Tönen

                                                     
(zwei Modi)(vier Modi)(vier Modi)

System 1/8 ist die bereits erwähnte Halbton-Ganztonleiter

Bei 9 aus 12 Tönen

                                                     
  
(drei Modi)

Bei 10 aus 12 Tönen

                                                     
  
(fünf Modi)

 
Hier die tatsächliche Anzahl Modi bei Systemen mit 1 – 12 Tönen pro Oktave

Anzahl Töne Anzahl Systeme Anzahl Modi pro System gesamte Anzahl Modi (unkorrigiert) Wegen Symmetrie fehlende Modi korrigierte Anzahl Modi
1 1 1 1 0 1
2 6 2 12 1 11
3 19 3 57 2 55
4 43 4 172 7 165
5 66 5 330 0 330
6 80 6 480 18 462
7 66 7 462 0 462
8 43 8 344 14 330
9 19 9 171 6 165
10 6 10 60 5 55
11 1 11 11 0 11
12 1 12 12 11 1
      Summen: 49 2048

Die Summe der Modi entspricht also der Zahl 211.

Gesamtzahl der Modi

Nun lässt sich die Zahl der Modi durch Addition der rechten Spalte ermitteln:

1 + 11 + 55 + 165 + 330 + 462 + 462 + 330 + 165 + 55 + 11 + 1 = 2048

Es gibt also 2048 Modi von Systemen, die aus einer Oktave, die nach dem Prinzip der „Temperierten Stimmung“ in 12 gleiche Schritte eingeteilt ist, gebildet werden können. Natürlich sind diese Modi von musikalisch völlig unterschiedlicher Bedeutung.

Probe

Dass die Summe der Modi 2048 beträgt, ist ein wichtiger Hinweis darauf, dass alle rotations­sym­metri­schen Systeme berücksichtigt wurden, da die Summe der korrigierten Anzahl der Modi auf wesentlich einfachere Art berechnet werden kann:

Jede Skala mit k Tönen aus n Halbtönen pro Oktave beginnt mit dem Grundton. Es verbleiben also so viele Möglichkeiten, wie es eben gibt, die k Töne auf den n - 1 Plätzen anzuordnen. Für alle Möglichkeiten für k von 0 bis 11 gibt das: 211.

Gesamtzahl der Skalen

Jeder Modus kann in 12 Tonarten gespielt werden. Es gibt also bei der Unterteilung der Oktave in 12 gleiche Schritte 12 · 2048 = 24576 mögliche Skalen.

Ich danke meinen KollegInnen Helga Krüger, Gerhard Zobel, Jens Rindermann und Thomas Pfisterer aus der Fachschaft M/Ph für ihre tatkräftige fachliche Unterstützung.

Vielen Dank an Christoph Menzel für die Korrektur und das vergessene symmetrische System.

Herbert Siebler

Quellen:

[1.] Berechnung der Anzahl Systeme:   http://theory.cs.uvic.ca/gen/neck.html


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Systeme von Skalen [von hsiebler]  
  , gebildet aus einer Oktave, die in 12 gleiche Schritte eingeteilt ist. Die Naturtonreihe, die aus Grund- und Oberschwingungen einer schwingenden Saite entsteht, teilt die Oktave in 5 Ganz- und 2 Halbtonschritte ein. Diese Ganztonschritte lassen sich in jeweils zwei
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" Mathematik: Systeme von Skalen" | 10 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Systeme von Skalen
von matroid am Di. 23. März 2010 00:04:04

\(\begingroup\)
Ich freue mich, diese interessante Anwendung der Kombinatorik veröffentlichen zu können. Es ist faszinierend, dass die Musiker "instinktiv" die Tonanzahl und Skalen gefunden haben, die ihnen die größte Variablilität und Freiheit bieten müssen.
Der Kontakt zu Herbert ist vor einigen Monaten entstanden, weil - nachdem er www.mathe-online.at/materialien/matroid/files/sitz/sitz.html gefunden hatte - mich nach der "Lösung für das, was Sie Halsbandproblem nennen" gefragt hat.

Beste Grüße
Matroid

\(\endgroup\)

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Re: Systeme von Skalen
von kostja am Di. 23. März 2010 14:37:12

\(\begingroup\)
Fand ich sehr interessant. Auch mir ist die Bemerkung wie Matroid eingefallen. Schade nur, dass ich fast nichts von Musik verstehe. frown\(\endgroup\)

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Re: Systeme von Skalen
von Diophant am Di. 23. März 2010 18:56:37

\(\begingroup\)
Hallo,

ich möchte eines anmerken:

hsiebler schreibt:
Jeder Modus kann in 12 Tonarten gespielt werden.

das ist so - zumindest auf die Musik bezogen - nicht richtig. Um überhaupt von Tonart sprechen zu können, braucht es sog. Leittöne, welche den Grundton der Tonart definieren. Dies ist beispielsweise in einer Dur-Tonleiter die Septim, also der siebte Ton. Bei einer Dur-Tonleiter liegt er einen Halbton unter dem Grundton und legt, zusammen mit der ersten großen Terz oberhalb des Grundtons fest, welcher Ton Grundton ist. In allen Tonleitern mit gleichen Abständen, insbesondere in der Ganztonleiter (die im Impressionismus übrigens eine herausragende Rolle spielt) und der Zwölftonmusik, gibt es daher keine Tonarten (nicht umsonst spricht man hier von atonaler Musik); es macht daher aus Sicht der Musiktheorie keinen Sinn, von unterschiedlichen Tonarten zu sprechen, nur weil der 'Grundton' wechselt, so wie es oben gemacht wurde.

Ansonsten hat mir der Artikel auch sehr gut gefallen.

Gruß, Diophant\(\endgroup\)

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Re: Systeme von Skalen
von SarahTUBerlin am Mi. 24. März 2010 15:21:23

\(\begingroup\)
Hallo,

Der Artikel hat mir gut gefallen!

LG,
Sarah\(\endgroup\)

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Re: Systeme von Skalen
von Yog-Sothoth am Fr. 26. März 2010 16:00:38

\(\begingroup\)
Sehr schöner Artikel, mit dem Thema hatte ich mich auch mal in ähnlicher Form befasst. Ich hätte allerdings noch ein paar Bemerkungen:

1) Der erste Satz lautet:

"Die Naturtonreihe, die aus Grund- und Oberschwingungen einer schwingenden Saite entsteht, teilt die Oktave in 5 Ganz- und 2 Halbtonschritte ein."

Das ist ziehmlicher Humbug, so etwas würde die Obertonreihe niemals tun. Man könnte schreiben, dass der 4., 5. und 6. Teilton den Durdreiklang bilden. Legt man drei Dur-Dreiklänge (als S, T, D interpretierbar) übereinander und verschiebt die Töne um so viele Oktaven, dass alle Töne in einer Oktave liegen, so ergeben sich die 2 Halbtöne 16:15 und die (unterschiedlich großen) 5 Ganztöne 9:8 und 10:9 (Kontrollrechnung: (16/15)^2 * (9:8)^3 * (10:9)^2 = 2). Bei entsprechendem Grundton erhält man also die Dur-Tonleiter. Bis dahin sind aber einige nicht-triviale Entscheidungen getroffen worden. Es mag zwar einen Bezug zwischen Dur-Tonleiter und Obertonreihe geben, aber es ist äußerst bedenklich / falsch zu behaupten, die Dur-Tonleiter ergäbe sich automatisch aus der Obertonreihe, oder die Obertonreihe teile die Oktave in 5 Ganztöne und 2 Halbtöne ein.

2) Ich finde es äußerst missverständlich, wenn du schreibst "Systeme mit kleiner Terz" etc., und das (scheinbar, wenn ich das richtig verstehe) damit gleichsetzt, dass es zwei Töne gibt, die auf dem Quintenzirkel 3 Schritte auseinander liegen (-3 Quinten mod Oktave = kleine Terz) und zwischen denen im Quintenzirkel kein anderer Ton liegt. Damit besitzen zwar alle Systeme eine kleine Terz, aber wegen der zweiten Einschränkung lässt du manche Systeme mit kleiner Terz wegfallen, z.B. das System der Kirchentonarten (inkl. Dur und Moll). Das fiel mir insbesondere auf als du schriebst "das einzige System, das eine verminderte Quinte enthält", obwohl es eine ganze Menge mehr Systeme mit verminderter Quinte gibt.

Edit: Entschuldigt, mein Fehler - ich war von einer Quintenzirkeldarstellung ausgegangen, dabei handelt es sich hier offensichtlich um eine chromatische Darstellung.

3) Ich würde in der Tabelle noch hinzufügen, dass sich die Gesamtzahl der Systeme auf 351 aufaddiert. Die 2048 Skalen verteilen sich also auf 351 Systeme.


Nun zu dir, Diophant:

Eine Tonleiter benötigt keinen Leitton, um als Tonleiter durchzugehen; nehmen wir als einfaches Beispiel einfach mal Dorisch, oder Pentatoniken. Dein Argument ist somit falsch, deine Behauptung selbst aber durchaus diskutierenswert. Ich persönlich denke es ist schwieriger, bei einer chromatischen oder Ganztonleiter ein Grundtonempfinden zu erzeugen (was sich in atonaler Musik durchaus als Vorteil erweist), aber durchaus machbar. Man kann immer noch Gebrauch von Basstönen, betonten und unbetonten Zählzeiten, Tonlängen, Begleitakkorden, und - im Falle der chromatischen Leiter - von Leittönen machen.

Grüße\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Systeme von Skalen
von Yog-Sothoth am Fr. 26. März 2010 17:33:46

\(\begingroup\)
Noch eine kurze Bemerkung zu deinem Beitrag, Matroid:

"Es ist faszinierend, dass die Musiker "instinktiv" die Tonanzahl und Skalen gefunden haben, die ihnen die größte Variablilität und Freiheit bieten müssen."

Hier finde ich es noch wichtig hinzuzufügen, dass dies nicht zutrifft wenn man auch andere musikalische Stimmungen neben der 12-Stufigen Stimmung zulässt. Eine Einteilung der Oktave in 31 Teile z.B. ergibt eine gute Annäherung an die mitteltönige Stimmung, und auch dort ist eine Dur-/ Moll-Tonalität möglich (und klingt m.M.n. wesentlich harmonischer). Und hier würde man bei einer höheren Anzahl von Tönen die größte Zahl der Skalen (und somit die größte Freiheit) erhalten. Dazu ist zu erwähnen, dass auch so gut wie alle (wenn nicht alle) Stufen der 31-Stufigen Stimmung "brauchbar" sind, wenn man die (hier sehr gut angenäherte) Naturseptime in das Tonsystem integriert.

Bei Voraussetzung des in der westlichen Welt verbreiteten 12-Tondenkens stimme ich dir allerdings zu, deine Beobachtung ist durchaus interessant.

Ich hoffe ich mache mich hier nicht durch meine "Erbsenzählerei" unbeliebt, aber ich halte es für gefährlich, wenn man mathematische Methoden in der Musik anwendet, und sich dabei unpräzise ausdrückt.\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Systeme von Skalen
von Diophant am Di. 30. März 2010 14:55:21

\(\begingroup\)
Hi,

@Yog-Sothoth:
ja, du hast Recht damit, dass es auch Tonarten gibt, die ohne Leittöne auskommen. Vielleicht sollte ich mich mal wieder mehr mit Alter Musik befassen...

Gruß, Diophant\(\endgroup\)

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Re: Systeme von Skalen
von Bernhard am Mi. 31. März 2010 19:55:39

\(\begingroup\)
Hallo!

"Es ist faszinierend, dass die Musiker "instinktiv" die Tonanzahl und Skalen gefunden haben, die ihnen die größte Variablilität und Freiheit bieten müssen."
und
Bei Voraussetzung des in der westlichen Welt verbreiteten 12-Tondenkens stimme ich dir allerdings zu, deine Beobachtung ist durchaus interessant.

Ist das wirklich so ein Zufall? Schon die alten Griechen erkannten, daß sich unter den möglichen hörbaren akustischen Frequenzen diejenigen, die besonders einfach zueinander im Verhältnis stehen, als besonders eingänging - eben harmonisch - auszeichneten.
Man muß sich jetzt einmal genauer fragen, warum wir gerade so darauf geprägt sind.
Drei Möglichkeiten gibt's:
  • reiner Zufall

  • eine übergeordnete, übersinnliche o.ä. Fügung, wie es die Griechen sahen

  • ein Zusammenhang mit dem menschlichen Ohr, daß eben als sensibles Organ für akustische Reize mit seinen Resonanzräumen denselben physikalischen Gesetzen unterliegt
Ich plädiere für letzteres.

Bernhard\(\endgroup\)

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Re: Systeme von Skalen
von mathehorn am Mi. 31. März 2010 22:32:53

\(\begingroup\)
@Bernhard:
Nach aktueller Lehrmeinung liegt es daran, dass die Fourierspektren von solchen Tönen recht "ähnlich" sind und das bei der Verarbeitung im Ohr "erkannt" wird.\(\endgroup\)

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Re: Systeme von Skalen
von Yog-Sothoth am Do. 01. April 2010 18:21:18

\(\begingroup\)
Ich denke, wir haben vor allem den alten Griechen mit ihren Tetrachorden die 7-Tönigkeit zu verdanken.

Grundlage war die Tetraktys, eine Art "tonales Grundgerüst", das aus Grundton, Quarte, Quinte und Oktave besteht. Die beiden so entstehenden Quartintervalle (Grundton - Quarte und Quinte - Oktave) werden jeweils als Rahmenintervall eines Tetrachordes verwendet, der zusätzlich zu diesen beiden "festen" Tönen noch zwei "bewegliche" Töne enthält. Innerhalb einer Oktave erhält man so also 8 Töne, 7 wenn man von Oktavgleichheit ausgeht (-> man spricht dabei auch von 7 Tonigkeiten).

Dieses Konzept war scheinbar so populär, dass es auch im europäischen, arabischen und asiatischen Raum verbreitet ist, denn auch dort spielen Tetrachorde eine wichtige Rolle (wobei man im japanischen Raum eigentlich eher von "Trichorden" sprechen sollte, deshalb hat man dort auch eher pentatonische Leitern). Auch die indischen Raga bestehen aus 7 Tonigkeiten, ich weiß allerdings nicht ob man auch dort in Tetrachorden denkt. Das Tetrachorddenken könnte dabei mit dem sogenannten Chunking zusammenhängen; der Mensch teilt also zwecks besserer Merkfähigkeit die Oktave in 2 Tetrachorde ein, und die beiden Tetrachorde wiederum in 4 Töne (oder 3 bei "Trichorden").

Ich denke hieran sieht man gut, dass die Popularität von 7-tönigen Skalen nicht (allein) aus der Freiheit des Musikers resultiert, denn auch bei den alten Griechen und im arabischen / indischen Raum spielen 7-tönige Skalen eine große Rolle, obwohl man dort nicht 12-stufig denkt. Weiterhin ist noch zu erwähnen, dass wir von der Freiheit der 7-Tönigkeit kaum Gebrauch machen, nur etwa 3 bis 5 der 66 möglichen 7-tönigen Skalensysteme sind in der westlichen Musik relativ verbreitet.

Auch interessant finde ich, dass bei 7-tönigen Skalen der durchschnittliche Schritt zwischen zwei Tönen klar in der kritischen Bandbreite liegt, womit eine gewisse "Rauhheit" verbunden ist, die für die Melodik (und Leittönigkeit) sicher eine wichtige Rolle spielt.

P.S.: Mit "7-tönigen Skalen" meine ich Skalen, die aus 7 Tonigkeiten bestehen, ob man in der jeweiligen Kultur nun von Oktavgleichheit ausgeht, oder nicht.\(\endgroup\)

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