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Mathematik: Über Beobachtungen an collatzähnlichen Folgen
Freigegeben von matroid am Sa. 19. März 2011 22:36:52
Verfasst von Hans-Juergen -   930 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

Über Beobachtungen an collatzähnlichen Folgen

Lothar Collatz (1910-90) war ein deutscher Mathematiker1. 1937 entdeckte er folgendes: man wählt als Startzahl eine beliebige natürliche Zahl. Ist sie gerade, wird sie halbiert, andernfalls mit 3 multipliziert, und zu dem Produkt wird 1 addiert. Mit der dadurch erhaltenen, neuen Zahl wird ebenso verfahren und desgleichen mit allen weiteren, die sich auf diese Weise ergeben. Es sieht so aus, als ob man bei jedem Versuch am Ende die 1 erhält. Hierzu zwei Beispiele:
 
13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1;
75, 226, 113, 340, 170, 85, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1.

Vermutet wird, daß das für alle natürlichen Startzahlen gilt, doch konnte diese Vermutung bisher nicht bewiesen werden. Auch die mit Computerhilfe durchgeführte Suche nach einem Gegenbeispiel blieb ohne Erfolg. (Einem Internethinweis zufolge sollen dabei Startzahlen bis in die Größenordnung 1016 gewählt worden sein.)



Statt selber über einen allgemeinen Beweis der Collatz-Vermutung nachzugrübeln oder mich an der Suche nach einem Gegenbeispiel zu beteiligen (wofür im Internet geworben wird; Stichwort: verteiltes Rechnen), habe ich das ursprüngliche Collatz-Verfahren ein wenig variiert, um zu sehen, was sich dabei ergibt.

Naheliegend ist es, die 3, mit der multipliziert werden soll, durch eine andere Zahl zu ersetzen und damit zu experimentieren. Wird bei ungeradem n statt 3⋅n+1 zum Beispiel 5⋅n+1 gerechnet, können am Ende auch andere Zahlen als die 1 stehen.

Zunächst erhält man sie, wenn als Startzahl die 1, 2, 3 oder 4 gewählt wird:
 
1, 6, 3, 16, 8, 4, 2, 1;      2, 1;      3, 16, 8, 4, 2, 1;     4, 2, 1.

Dann aber liefert die Startzahl 5:
 
5, 26, 13, 66, 33, 166, 83, 416, 208, 104, 52, 26.

Als nächstes ergäbe sich wieder die 13, dann die 66 usw.; ein Weg zur 1 besteht nicht. So ist es auch bei diesem Beispiel:

17, 86, 43, 216, 108, 54, 27, 136, 68, 34, 17.

Wählen wir dagegen als Startzahl die 51, kommen wir zur 1:

51, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1.
 
Das gilt auch für die Startzahlen 819, 13107, d. h. solche, deren 5-faches um 1 kleiner als eine auf 6 endende Zweierpotenz ist.
 
Aber auch die 15, obwohl sie nicht diese Eigenschaft besitzt, führt zur 1:

15, 76, 38, 19, 96, 48, 24, 12, 6, 3, 16, 8, 4, 2, 1.

Ihr sieht man das nicht ohne Weiteres an.

Im Gegensatz zu den vorstehenden Beispielen erweist sich die Folge mit der Startzahl 7 als "harter Brocken": es ergeben sich ziemlich schnell große Zahlen. Dies sind die ersten hundert:

7, 36, 18, 9, 46, 23, 116, 58, 29, 146, 73, 366, 183, 916, 458, 229, 1146, 573, 2866, 1433, 7166, 3583, 17916, 8958, 4479, 22396, 11198, 5599, 27996, 13998, 6999, 34996, 17498, 8749, 43746, 21873, 109366, 54683, 273416, 136708, 68354, 34177, 170886, 85443, 427216, 213608, 106804, 53502, 26701, 133506, 66753, 333766, 166883, 834416, 417208, 208604, 104302, 52151, 260756, 130378, 65189, 325946, 162973, 814866, 407433, 2037166, 4074332, 2037166, 1018583, 5092916, 2546458, 1273229, 6366146, 313073, 15915366, 7957683, 39788416, 19894208, 9947104, 4973552, 2486776, 1243388, 621694, 310847, 1554236, 777118, 388559, 1942796, 971398, 485699, 2428496, 1214248, 607124, 303562, 151781, 758906, 379453, 1897266, 948633, 4743166, 2371583, 11857916, 5928958.

Die Zahlen wachsen bis etwas über 300 Schritte weiter an. Was danach kommt, ob und wann sie wieder kleiner werden und mit welcher Zahl die Folge (vermutlich) endet, ließ sich mit meinem einfachen Programm, das keine Langzahlarithmetik verwendet, und bei der "natürlichen", 15-stelligen Computeranzeige nicht feststellen. Vielleicht hat jemand ein besseres Programm, um die angefangene Folge weiter zu untersuchen. –

Anstatt nun als nächstes in der (5⋅n+1)-Folge die 5 durch die 7 zu ersetzen, was noch schneller zu sehr großen Zahlen führen kann, betrachtete ich die collatzähnlichen Folge (3⋅n-1).

Wiederum liefern bei ihr die Startzahlen 1, 3 und 4 am Ende die 1. Dagegen erhält man mit s=5 (s soll "Startzahl" bedeuten):

5, 14, 7, 20, 10, 5 und mit s=9:
9, 26, 13, 38, 19, 56, 28, 14, 7, 20, 10, 5, 14.

Die in der letzten Folge enthaltene Teilfolge 26, 13, 38, 19, 56, 28, 14, 7, 20, 10, 5, 14  erscheint in vielen anderen collatzähnlichen Folgen der Form (3⋅n-1), die nicht mit 1 enden, wie z. B. in dieser:

1000, 500, 250, 125, 374, 187, 560, 280, 140, 70, 35, 104, 52, 26, 13, 38, 19, 56, 28, 14, 7, 20, 10, 5, 14. –


Zusammenfassung:
Die vorstehenden Beispiele zeigen, daß collatzähnliche Folgen der Form (k⋅n±1), wobei k eine natürliche, ungerade Zahl bedeutet, periodisch sind. Dies trifft auch auf die Collatz-Folge (3⋅n+1) selbst zu, was leicht übersehen wird, wenn man bei Versuchen mit ihr nur gespannt darauf achtet, ob am Ende die 1 erscheint.

Bei den collatzähnlichen Folgen treten außer der Periode 4,2,1 der Collatz-Folge bei jeweils gleichem k mehrere verschiedene Perioden auf, abhängig von der gewählten Startzahl. Die Folgen sind, ähnlich wie bei der Dezimaldarstellung von Brüchen, sofortperiodisch (obiges Beispiel k=5, s=17) oder nicht-sofortperiodisch. Manche Perioden sind lang und enthalten sehr hohe Zahlen wie in dem Beispiel (5⋅n+1) mit s=7, welches ich nicht abschließend klären konnte.

Hans-Jürgen

1 Buri kannte ihn persönlich und schätzte ihn sehr, vgl. hier, Beitrag No. 5



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" Mathematik: Über Beobachtungen an collatzähnlichen Folgen" | 7 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Über Beobachtungen an collatzähnlichen Folgen
von Bernhard am So. 20. März 2011 00:58:52


Hallo Hans-Jürgen!

Interessanter Artikel! Ich habe auch schon mal öfters so ähnlich mit Zahlenfolgen gespielt, ohne davon zu kennen.

fed-Code einblenden

Ob das weiterhilft?

Viele Grüße, Bernhard


 [Bearbeiten]

Re: Über Beobachtungen an collatzähnlichen Folgen
von freeclimb am So. 20. März 2011 18:38:10


Hallo!

Als bekennender SAGE Benutzer hab ich mal einen Test gestartet. smile
Folgendes Programm (Python) hab ich verwendet und sollte selbsterklärend sein:
SAGE/Python
x=7
for i in xrange(100000):
    if x % 2==0:
        x=x/2;
    else:
        x=x*5+1;
 
    if i % 1000==0:
        print x;
        print;
 
    if x==7 or x==1:
        break;
 
print x;

Die letzte Zahl, die das Programm liefert lautet:

4030671457944533010841733519688632985635351710271239696879796260598791043225
6850158238264707835198233210087521215926434287136910300116087317122414048055
8229049817084321555638217455506796533116191609635573925898050361084751604954
2710229596642909971102260511602201379812908399117582899196401894814955936147
5388322407439314423615767951428507722424244472159400232592650941089358987778
9084413096374737005322564303231979724405717535249427515969418030688563622184
3340884021527583889140294712303229469930650459952765376826682378526390697840
8410150332914843567116561404117375513507277465364862957840272802650533416021
2082777128598253820643229756211035485658276381515343536078780795813184705346
6674590153338603155407438912934949741598520689113137650440453204152684893565
4271615558696146405230880609186175266399280466308457908820237634765326904340
3260044278453710684658788414737848591941809781850425298648142911075777311478
6405477576396601486492077692148101857680868745592585043908719465694292250749
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4156061089317850578310688456701110043

mfg, freeclimb

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Re: Über Beobachtungen an collatzähnlichen Folgen
von buh am So. 20. März 2011 22:13:35


Danke, Hans-Jürgen.

Schön, dass mal wieder hieran erinnert wird.

Gruß von buh2k+11


 [Bearbeiten]

Re: Über Beobachtungen an collatzähnlichen Folgen
von Martin_Infinite am Mo. 21. März 2011 02:16:12


Die (5n+1)-Folge ist bei Sloane oeis.org/A028389.

Weitere Informationen bei stackexchange.

 [Bearbeiten]

Re: Über Beobachtungen an collatzähnlichen Folgen
von Loesungsmenge am Mo. 21. März 2011 08:14:54


Liebe Collatz-Fans,

nur so ein Gedanke, der vielleicht in die Richtung von Bernhards Gedanken geht:
Wenn die Collatz-Folge für alle natürlichen Startwerte bei 1 enden soll - genauer: bei 4-2-1 periodisch -, dann müsste doch von 4 oder 2 oder 1 ausgehend der Algorithmus umgekehrt angewandt letztendlich Folgen liefern, die insgesamt alle natürlichen Zahlen enthalten, s. demonstrations.wolfram.com/ReverseCollatzPaths/

Gruß,
Lösungsmenge

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Re: Über Beobachtungen an collatzähnlichen Folgen
von Wally am Mo. 21. März 2011 15:03:18


Tja, Loesungsmenge,

man muss eben beweisen, dass man damit alle natürlichen Zahlen erreicht.

Man kann auch alle Summen von Primzahlen nehmen und nachsehen, ob dann alle geraden Zahlen dabei sind (ich weiß, dass das stimmt, das Eingabefeld hier ist aber für einen Beweis zu klein).

Wally

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Re: Über Beobachtungen an collatzähnlichen Folgen
von buh am Mo. 21. März 2011 15:57:04


@Wally:

Man kann auch alle Summen von Primzahlen nehmen und nachsehen, ob dann alle geraden Zahlen dabei sind (ich weiß, dass das stimmt, das Eingabefeld hier ist aber für einen Beweis zu klein).

Das ist eine sehr sehr schöne Neuintonation des "Fermatschen Satzes". wink

Gruß von buh2k+11


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