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Mathematik: Lineare Algebra über endlichen Körpern
Freigegeben von matroid am Fr. 20. Juli 2012 08:53:22
Verfasst von Martin_Infinite -   5337 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

Lineare Algebra über endlichen Körpern

Dieser Artikel richtet sich an Studenten in den ersten Semestern. Was unterscheidet lineare Algebra über endlichen Körpern von linearer Algebra über beliebigen Körpern? Nichts. Und daher sollte es eigentlich gar keinen Artikel zu diesem Thema geben. Doch vielen macht es trotzdem Probleme, wenn sie nun etwa Determinanten über endlichen Körpern und nicht mehr z.B. über <math>\mathbb{R}</math> berechnen sollen. Die speziellen Eigenschaften von endlichen Körpern - wie etwa die Gleichung <math>1+1=0</math> in <math>\mathbb{F}_2</math> - führen leider oft zu dem Vorurteil, dass man hier besonders aufpassen muss oder irgendwelche neuen Techniken erlernen muss. Mit solchen Vorurteilen möchte ich in diesem kurzen Artikel aufräumen.


1. Wiederholung

Wiederholen wir kurz, wovon lineare Algebra eigentlich handelt, und was in diesem Zusammenhang ein Körper ist. Ich werde dabei die Umgangssprache benutzen; die präzisen Definitionen findet ihr in der Literatur.
 
Ein Körper ist grob gesagt eine Rechenstruktur, in der man addieren, subtrahieren, multiplizieren und invertieren kann. Genauer gesagt handelt es sich um eine Menge <math>K</math> zusammen mit zwei binären Verknüpfungen <math>+ : K \times K \to K</math> (Addition) und <math>* : K \times K \to K</math> (Multiplikation) sowie Konstanten <math>0 \in K</math> (Null) und <math>1 \in K</math> (Eins), die den Körperaxiomen genügen. Diese Axiome fassen einfach genau das ein, was man schon in der Schule als Rechengesetze benutzt hat. Um Konstruktionen mit Körpern besser zu verstehen, lohnt es sich, den Begriff des kommutativen Ringes zu kennen. Das ist dasselbe wie ein Körper, bloß dass man die Existenz von multiplikativen Inversen nicht mehr fordert. Zum Beispiel sind <math>\mathbb{Z},\mathbb{Q}</math> mit den üblichen Rechenoperationen kommutative Ringe, allerdings ist davon nur <math>\mathbb{Q}</math> ein Körper. Der Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ist wohl für die Vorstellung der analytischen Geometrie am wichtigsten.

In jedem Körper <math>K</math>, oder sogar kommutativem Ring, sind zumindest die Elemente <math>0,1,2:=1+1,3:=1+1+1, \dotsc</math>, allgemeiner <math>z \cdot 1 := \underbrace{1+\dotsc+1}_{z}</math> für <math>z \in \mathbb{Z}</math> enthalten (für <math>z < 0</math> ist damit das Inverse gemeint). Das liefert einen Ringhomomorphismus <math>\mathbb{Z} \to K</math>. In den uns vertrauten Körpern <math>\mathbb{Q},\mathbb{R}</math> ist diese Abbildung injektiv. Es gibt dann also keinen Unterschied zwischen einer ganzen Zahl und ihrer Version in dem Körper. Für endliche Körper wird es hingegen einen Unterschied geben; siehe unten. Trotzdem wollen wir die Notation nicht unnötig aufblähen und schreiben <math>z</math> anstelle von <math>z \cdot 1</math>.
 
Ein Vektorraum ist ein geometrisches Gebilde, dessen Bestandteile man Vektoren nennt. Dabei lassen sich zwei Vektoren addieren, und jeden Vektor kann man mit Elementen aus einem vorab fixierten Körper <math>K</math> skalieren. Genauer gesagt handelt es sich um eine Menge <math>V</math> zusammen mit zwei Verknüpfungen <math>+ : V \times V \to V</math> (Addition von Vektoren) und <math>\cdot : K \times V \to V</math> (Skalierung), sodass wieder gewisse Rechenregeln gelten. Um Vektorräume miteinander in Beziehung zu setzen, gibt es den Begriff der linearen Abildung. Das ist einfach eine Abbildung, welche sowohl die Addition von Vektoren als auch die Skalierung erhält. Die Lineare Algebra ist das Studium von Vektorräumen und linearen Abbildungen zwischen ihnen. Typische Fragestellungen sind etwa: Wie lassen sich Vektorräume klassifizieren? Wie lassen sich lineare Abbildungen unter dieser Klassifikation darstellen? Wann sind zwei lineare Abbildungen ähnlich? Kennst du die Antworten?
 
Bei der Klärung dieser Fragen wird niemals auch nur einmal der Körper <math>K</math> verändert. Dieser ist ein und für allemal fixiert. Die ganze Theorie funktioniert also über jeden Körper <math>K</math>.

2. Endliche Körper

Neben den bereits genannten Körpern <math>\mathbb{Q},\mathbb{R}</math>, welche ja unendlich sind, gibt es auch endliche Körper. Zu jeder Primzahlpotenz <math>q</math> gibt es einen Körper <math>\mathbb{F}_q</math> mit genau <math>q</math> Elementen. Beschränken wir uns hier einmal auf den Fall einer Primzahl <math>p</math>. Dann definieren wir

<math>\displaystyle \mathbb{F}_p := \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}.</math>
 
Dies ist also der Quotient des kommutativen Ringes <math>\mathbb{Z}</math> nach dem Ideal <math>p\mathbb{Z}</math>. Jedes Element von <math>\mathbb{F}_p</math> hat die Form

<math>z := z \cdot 1 := \underbrace{1 + \dotsc + 1}_{z}, </math>

wobei genau dann <math>z \cdot 1 = z' \cdot 1</math> gilt, wenn <math>z - z'</math> durch <math>p</math> teilbar ist. Man nennt <math>z</math> einen Repräsentanten. Insbesondere gilt <math>p \cdot 1 = 0</math>. Daraus folgt nun leicht per Division mit Rest durch <math>p</math>: Jedes Element von <math>\mathbb{F}_p</math> kann auf die Form <math>u \cdot 1</math> mit <math>0 \leq u < p</math> gebracht werden. Diese ist sogar eindeutig. Daraus folgt, dass <math>\mathbb{F}_p</math> genau <math>p</math> Elemente besitzt, nämlich <math>\mathbb{F}_p = \{0,1,2,\dotsc,p-1\}</math>.
 
Beispiel: Es ist <math>\mathbb{F}_2 = \{0,1\}</math> mit <math>2=1+1=0</math>, <math>3 = 2+1=1</math>, etc. Aus <math>1+1=0</math> folgt <math>-1 = 1</math>. Es ist ein Vorurteil, dass <math>2 \notin \mathbb{F}_2</math>. Es gilt <math>2 := 2 \cdot 1 := 1 + 1 \in \mathbb{F}_2</math> nach Definition. Dass bereits <math>2 = 0</math> gilt, ändert an dieser Feststellung überhaupt nichts.
 
Für viele Berechnungen ist zwar das Repräsentantensystem <math>\{0,\dotsc,p-1\}</math> nützlich, allerdings sollte man nicht die allgemeine Definition des endlichen Körpers <math>\mathbb{F}_p</math> vergessen. Er enthält für jede ganze Zahl <math>z</math> das Element <math>z := z \cdot 1</math>, bloß es wird eben im Gegensatz zu <math>\mathbb{Z}</math> die Relation <math>p \cdot 1 = 0</math> gefordert. Das ist alles, was man darüber wissen muss. Konkrete Konstruktionen z.B. über Restklassen sind irrelevant (auch wenn man sie einmal gemacht haben muss). Meiner Erfahrung nach führt sie zu unnötigen Verwirrungen.

Eine weitere Bemerkung: Es gibt auch andere Repräsentantensysteme. Man sollte es von der Anwendung abhängig machen, welches man verwendet. Zum Beispiel kann auch <math>\mathbb{F}_p=\{1,\dotsc,p\}</math> nützlich sein. Im übrigen ist es natürlich fatal, wenn Lehrbuchautoren meinen, <math>\mathbb{F}_p</math> als die Teilmenge <math>\{0,\dotsc,p-1\} \subseteq \mathbb{N}</math> mit geeigneten Verknüpfungen definieren zu müssen.
 
Überlegen wir uns kurz, warum der kommutative Ring <math>\mathbb{F}_p</math> tatsächlich sogar ein Körper ist: Ein Element <math>\neq 0</math> hat die Form <math>u \cdot 1</math> mit einem <math>0 < u < p</math>. Dann sind <math>u,p</math> teilerfremd. Also gibt es <math>s,t \in \mathbb{Z}</math> mit <math>su+tp=1</math>. Damit ist <math>(s \cdot 1) * (u \cdot 1) = 1</math> und ein multiplikatives Inverses gefunden. Um das in konkreten Fällen hinzuschreiben, benutzt man den erweiterten euklidischen Algorithmus. Um etwa <math>2^{-1} \in \mathbb{F}_7</math> zu bestimmen, berechnet man <math>4 \cdot 2 -  1 \cdot 7 = 1</math>. Also ist <math>2^{-1} = 4</math>. Es sei hier aber gesagt, dass <math>2^{-1} \in \mathbb{F}_7</math> auch einfach so stehengelassen werden kann. Niemand zwingt uns, ein wohldefiniertes Element einem der Elemente in dem Repräsentantensystem des endlichen Körpers zuzuordnen!
 
Natürlich ist <math>0^{-1}</math> nicht wohldefiniert (in keinem Körper) und damit auch nicht <math>7^{-1}</math> in <math>\mathbb{F}_7</math>. Das ist aber eben nichts besonderes. In keinem Körper lässt sich die Null invertieren. Alle anderen Elemente lassen sich dagegen invertieren. Ob die Körper nun endlich sind oder unendlich, das spielt keine Rolle. Es ist lediglich ein Vorurteil, dass man bei endlichen Körpern auf noch mehr achten muss.
 
Die simple, aber wichtigste Feststellung für diesen Artikel lautet: Weil endliche Körper insbesondere Körper sind, und lineare Algebra über jeden Körper gleich betrieben werden kann, kann sie insbesondere über endlichen Körpern betrieben werden. Was die allgemeinen Phänomene angeht, ändert sich dabei überhaupt nichts.

3. Beispiele

3.1 Lineare Gleichungssysteme

Lösen wir einmal das lineare Gleichungssystem
 
<math>12x + 3y = 17</math>
<math>5x + 17y = 100</math>
 
über einem beliebigen Körper <math>K</math>. Sofern <math>3 \neq 0</math> in <math>K</math> gilt, können wir die erste Gleichung nach <math>y</math> auflösen und erhalten <math>y = \frac{17-12x}{3}</math>. Setzt man dies in zweite Gleichung ein und multipliziert mit <math>3</math>, so erhält man <math>289 - 189 x = 300</math>. Man hat die Primfaktorzerlegung <math>189 = 3^3 * 7</math>. Sofern auch <math>7 \neq 0</math> in <math>K</math> gilt, folgt dann <math>x = -\frac{11}{189}</math>, und weiter <math>y = \frac{1115}{189}</math>. Damit hat man die Lösung bestimmt, und zwar gleichzeitig in jedem Körper, in dem <math>3,7 \neq 0</math> gilt (d.h. die sogenannte Charakteristik ist <math>\neq 3,7</math>). Darunter fallen etwa <math>\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{F}_2,\mathbb{F}_{5},\mathbb{F}_{11},\dotsc</math>. Wenn man nun etwa die Aufgabe bekommt, ein solches Gleichungssystem über a) <math>\mathbb{R}</math> und b) <math>\mathbb{F}_{53}</math> zu lösen, so sollte man sich nicht durch Restklassen verwirren lassen, und lieber gleich a) und b) gleichzeitig erledigen. Ein wirklich anderes Beispiel wäre c) <math>\mathbb{F}_3</math>, hier hat bereits die erste Gleichung keine Lösung.
 
Auch für b) ist die Lösung <math>(x,y) = \left(-\frac{11}{189},\frac{1115}{189}\right)</math> völlig richtig. Leider werden trotzdem viele Aufgabensteller das noch nicht als Lösung anerkennen (obwohl es eine ist), sondern erwarten, dass man beide Brüche als Repräsentanten schreibt. Wie das prinzipiell funktioniert, habe ich im zweiten Abschnitt erklärt. In <math>\mathbb{F}_{53}</math> vereinfachen wir <math>189=189-3 \cdot 53 = 30</math>. Mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus finden wir <math>23 * 30 - 13 * 53 = 1</math>, also ist <math>189^{-1}=30^{-1} = 23</math> in <math>\mathbb{F}_{53}</math> und damit <math>x = -11 \cdot 23 = -253=-253 + 5 * 53 = 12</math>. Ähnlich rechnet man <math>y=46</math> nach.
 
Alternativ hätten wir zur Lösung des Gleichungssystem auch das Gauß-Verfahren heranziehen können (wir setzen wieder voraus, dass <math>3,7 \neq 0</math> und damit auch <math>189 \neq 0</math> in <math>K</math>):
 
<math>\begin{pmatrix} 12 & 3 &|& 17 \\ 5 & 17 &|& 100 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 3 & 12 &|& 17 \\ 17 & 5 &|& 100 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 3 & 12 &|& 17 \\ 0 & 5-\frac{17}{3} \cdot 12&|& 100-\frac{17}{3} \cdot 17 \end{pmatrix}</math>
 
<math>= \begin{pmatrix} 3 & 12 &|& 17 \\ 0 & -63 &|& \frac{11}{3} \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 3 & 12 &|& 17 \\ 0 & 1 &|& -\frac{11}{189} \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 3 & 0 &|& 17+12 \cdot \frac{11}{189} \\ 0 & 1 &|& -\frac{11}{189} \end{pmatrix}</math>
 
<math> \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 &|& \frac{1115}{189} \\ 0 & 1 &|& -\frac{11}{189} \end{pmatrix}</math>


3.2 Determinanten

Determinanten sind über jedem Körper definiert (sogar jedem kommutativen Ring). Es spielt keine Rolle, ob der Körper endlich ist oder nicht. Zum Beispiel ist die Koeffizientenmatrix des LGS oben <math>\begin{pmatrix} 12 & 3 \\ 5 & 17 \end{pmatrix}</math> mit Determinante <math>12 \cdot 17 - 5 \cdot 3 = 189</math>. Das gilt über jedem Körper. Im Falle von endlichen Körpern lässt sich aber noch manchmal vereinfachen. Zum Beispiel gilt <math>189=30</math> in <math>\mathbb{F}_{53}</math>. In <math>\mathbb{F}_{3}</math> gilt hingegen <math>189=0</math>. Was also vom Grundkörper in jedem Fall abhängt, ist ob die Determinante verschwindet, d.h. ob die Matrix singulär ist.

Charakteristische Polynome sind spezielle Determinanten und lassen sich entsprechend auch allgemein ausrechnen. Für das Beispiel oben ergibt sich

<math>\det \begin{pmatrix} x-12 & 3 \\ 5 & x-17 \end{pmatrix} = (x-12) \cdot (x-17)+3 \cdot 5 = x^2 - 29x + 189.</math>
 

3.3 Inverse Matrizen

Eng verknüpft mit Determinanten sind inverse Matrizen: Eine <math>n \times n</math>-Matrix <math>M</math> über einem Körper <math>K</math> ist genau dann invertierbar, wenn <math>\det(M) \in K^*</math>. Die Cramersche Regel sagt, dass in diesem Fall die inverse Matrix durch <math>M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \cdot \mathrm{adj}(M)</math> gegeben ist, wobei letzteres die Adjunkte von <math>M</math> ist. Für <math>n=2</math> ergibt sich
 
<math>\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1}= \dfrac{1}{ad-bc} \cdot \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}</math>.
 
Zum Beispiel ist, sofern <math>2 \neq 0</math> und damit <math>4 \neq 0</math> in <math>K</math>:
 
<math>\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}^{-1} = \dfrac{1}{4} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -3 & 5 \end{pmatrix}.</math>
 
In Körpern mit <math>2=0</math>, zum Beispiel <math>\mathbb{F}_2</math>, ist die Matrix hingegen nicht invertierbar.
 

3.4 Der Rang

Der Begriff des Ranges ist über einem beliebigen Körper definiert; es handelt sich um die maximale Anzahl von linear unabhängigen Spalten, oder in der Sprache der linearen Abbildungen die Dimension des Bildes. Wir haben das zwar bereits im Zusammenhang mit dem Gauß-Verfahren in 3.1 gesehen, aber berechnen wir zur Übung trotzdem einmal den Rang der folgenden <math>4 \times 4</math>-Matrix über einem beliebigen Körper <math>K</math>:
 
<math>\begin{pmatrix}0 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 & 2\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 & 2\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & -1 & -2\end{pmatrix}  \sim \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & -3 & -6\end{pmatrix}</math>
 
Falls <math>3=0</math> in <math>K</math>, also zum Beispiel wenn <math>K=\mathbb{F}_3</math>, so ist der Rang folglich <math>2</math>. Wenn dagegen <math>3 \neq 0</math>, so können wir weiter umformen:
 
<math>\sim \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix}</math>
 
Der Rang ist hier also <math>4</math>.
 

3.5 Allgemeine und Jordansche Normalform

Eine moderne, modultheoretische Abhandlung der Normalformentheorie findet sich in dem Buch Lineare Algebra von S. Bosch. Weitere Darstellungen gibt es auf dem Matheplaneten zum Beispiel in einem Artikel von Buri sowie in einem Artikel von calabi-yau.

Die allgemeine Normalform gibt es über jedem Körper <math>K</math>. Sie besagt, dass es für jeden Endomorphismus <math>f \in \mathrm{End}(V)</math> eines endlich-dimensionalen Vektorraumes <math>V</math> über <math>K</math> eine Zerlegung von <math>V</math> als direkte Summe von <math>f</math>-zyklischen Unterräumen gibt. Oder in der Sprache von Matrizen: Jede quadratische Matrix ist ähnlich zu einer Blockdiagonalmatrix, deren Blöcke die Gestalt
 
<math>\begin{pmatrix} 0 &  \cdots & 0 & * \\ 1 & \cdots & 0 & * \\ \vdots & & & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 & * \end{pmatrix}</math>
 
besitzen. Falls nun <math>K</math> algebraisch abgeschlossen ist, oder allgemeiner das charakteristische Polynom bereits über <math>K</math> zerfällt, so lassen sich diese Blöcke zu Jordan-Blöcken

<math>\begin{pmatrix} \lambda & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & \lambda & \cdots & 0 \\ \vdots & & & \vdots \\ 0 & 0 & \dotsc & \lambda \end{pmatrix}</math>
 
umwandeln und man erhält die Jordansche Normalform. Falls <math>K</math> nicht algebraisch abgeschlossen ist, arbeite man in einem algebraischen Abschluss <math>\overline{K}</math> (oder zumindest in einem Zerfällungskörper des charakteristischen Polynoms). Es gibt verschiedene Berechnungsmöglichkeiten. In dem folgenden Mini-Beispiel benutzen wir die Methode der Elementarteiler, wie sie etwa in dem Buch von Bosch dargestellt wird.
 
Sei <math>M=\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}</math>. Über <math>K[T]</math> formen wir um:
 
<math>T-M = \begin{pmatrix} T-3 & 1 \\ -1 & T-1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & T-3 \\ T-1 & -1 \end{pmatrix}</math>
<math> \sim \begin{pmatrix} 1 & T-3 \\ 0 & -1 - (T-1) \cdot (T-3) \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & (T-2)^2 \end{pmatrix}</math>
 
Also ist <math>M</math> ähnlich zum Jordan-Block <math>\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}</math>. Für <math>K=\mathbb{F}_2</math> lässt sich das vereinfachen zu <math>\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}</math>, und die Matrix ist nilpotent.
 
Dieses Beispiel war natürlich besonders gutartig, im allgemeinen können sich lästige Brüche wie etwa bei 3.1 ergeben. Bloß solche Rechnungen haben wir nun ja schon zu Genüge gesehen.
 
Ein interessanteres Beispiel ist die Matrix <math>M = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}</math>. Sie ist bereits in allgemeiner Normalform mit charakteristischen Polynom <math>T^2+1</math>. Wie sieht die Jordansche Normalform aus?
 
Für <math>K=\mathbb{R}</math> wissen wir, was zu tun ist: Wir adjungieren formal eine Lösung <math>i^2+1=0</math> und arbeiten somit in <math>\mathbb{C}:=\mathbb{R}(i)</math>. Genauer gesagt ist <math>\mathbb{C} := \mathbb{R}[T]/(T^2+1)</math> ein Quotientenring, welcher sich als Körper herausstellt. Aber dasselbe können wir für einen beliebigen Körper <math>K</math> machen, sofern <math>T^2+1 \in K[T]</math> irreduzibel ist, ansonsten zerfällt <math>T^2+1</math> bereits und wir können in <math>K</math> bleiben.
 
Zum Beispiel gilt <math>T^2+1=(T+1)^2=(T-1)^2</math> für <math>K=\mathbb{F}_2</math> und die Jordansche Normalform lautet einfach <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}</math>. Für <math>K=\mathbb{F}_3</math> ist dagegen <math>T^2+1</math> irreduzibel und folglich <math>\mathbb{F}_9 := \mathbb{F}_3[T]/(T^2+1)</math> ein Körper mit <math>9</math> Elementen. Das Bild von <math>T</math> bezeichnen wir wieder mit <math>i</math>. Über <math>\mathbb{F}_9</math> gilt nun <math>T^2+1=(T+i)(T-i)</math>. Also ist <math>M</math> ähnlich zu <math>\begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}</math>, d.h. die Matrix ist diagonalisierbar. Eine Basis aus Eigenvektoren lautet <math>\begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}</math>. Übrigens ist <math>T^2 + 1 \in \mathbb{F}_p[T]</math> genau dann irreduzibel, wenn <math>p \equiv 3</math> mod <math>4</math> (gute Übungsaufgabe; Tipp: <math>\mathbb{F}_p^*</math> ist zyklisch).

4. Besonderheiten

Wogegen das Motto der vorigen Abschnitte stets war, dass lineare Algebra über jedem Körper gleich funktioniert, ob nun endlich oder nicht, möchte ich hier kurz ein paar besondere Eigenschaften der linearen Algebra über endlichen Körpern <math>\mathbb{F}_q</math> nennen.
 
1) Jeder <math>n</math>-dimensionale Vektorraum über <math>\mathbb{F}_q</math> hat <math>q^n</math> Elemente (weil er zu <math>(\mathbb{F}_q)^n</math> isomorph ist). Insbesondere macht es Sinn, die Elemente von gewissen Teilmengen von <math>\mathbb{F}_q^n</math> zu zählen. Viele sehr interessante (teils offene) Probleme der additiven Zahlentheorie und der Kodierungstheorie gehören dazu.
 
2) Es gilt <math>x^{q-1}=1</math> für alle <math>x \in \mathbb{F}_q^*</math> (das ist ein Spezialfall des Satzes von Lagrange). Abgesehen von <math>0</math> sind also insbesondere sämtliche Eigenwerte einer Matrix über <math>\mathbb{F}_q</math> bereits Einheitswurzeln.
 
3) Die Gruppe <math>\mathrm{Aut}(\mathbb{F}_q^n) \cong \mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_q)</math> ist eine sehr interessante *endliche* Gruppe. Insbesondere sind spezielle Methoden aus der endlichen Gruppentheorie verfügbar. Es ist eine gute Übungsaufgabe, die Ordnung dieser Gruppe explizit auszurechnen.

4) Wenn <math>p</math> eine Primzahl ist, so ist ein <math>\mathbb{F}_p</math>-Vektorraum dasselbe wie eine abelsche Gruppe <math>A</math> mit <math>pA=0</math>. Man nennt diese auch elementarabelsche Gruppen. Für deren Studium lässt sich lineare Algebra über <math>\mathbb{F}_p</math> einsetzen: Zum Beispiel ist jede Untergruppe einer elementarabelschen Gruppe ein direkter Summand.
 


Für das Korrekturlesen bedanke ich mich bei Irrlicht.

Es gibt eine Fortsetzung: Algebra über endlichen Körpern


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2013.01 (17x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=p primzahl körper berechnen lösung gleich...
2015.07 (15x)http://google.pl/url?sa=t&rct=j&q=
2013.04 (14x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=matrix inverse endlicher körper
2013.12 (14x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=determinante matrix berechnen endliche kör...
2012.10 (13x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=normalform bilinearform endomorphismus buri
2014.04 (11x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=1&ved=0CCwQFjAA
2014.01 (11x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=anzahl matrizen über endlichen körper
2012.09 (10x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=scharlau grothendieck 4 bände
2013.03 (10x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=schnittgerade zwei ebenen matheplanet
2013.07 (8x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=rechnen in endlichen körpern
2012.08 (8x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=subtraktion in endlichen körpern
2013.02 (7x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=lineare gleichungssysteme über endliche kÃ...
2016.01 (6x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=1&rct=j&q=determinante endlicher kör...
2013.06 (6x)http://google.no/url?sa=t&rct=j&q=lineare algebra endliche körper
2012.11 (5x)http://search.conduit.com/Results.aspx?q=lineare algebra körper standard ope...
2013.09 (4x)http://google.is/url?sa=t&rct=j&q=
2015-2016 (4x)http://www.bing.com/search?q=algebra über körper&go=Senden&qs=n&form=QBRE&p...

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" Mathematik: Lineare Algebra über endlichen Körpern" | 18 Kommentare
 
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Re: Lineare Algebra über endlichen Körpern
von Schachus am Fr. 20. Juli 2012 11:13:34


189 ist aber nicht 3*3*31,sondern 3*3*3*7.

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Re: Lineare Algebra über endlichen Körpern
von Irrlicht am Fr. 20. Juli 2012 15:53:18


Da haben wirs: Das habe ich nicht Korrektur gelesen/gerechnet. biggrin
Ist ja letztlich auch nicht wesentlich. Bis zur Änderung muss der Leser nun ein wenig mitdenken und die 31 durch eine 7 ersetzen.

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Re: Lineare Algebra über endlichen Körpern
von OmmO am Fr. 20. Juli 2012 18:47:17


Für mich ist der Artikel gut zu lesen. smile

Eine kleine Sache ist mir aufgefallen: Ich bin mir nicht sicher, ob ein Erstsemester etwas mit dem Begriff "klassifizieren" anfangen kann. Eine kurze Erklärung könnte nicht schaden.

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Re: Lineare Algebra über endlichen Körpern
von freeclimb am Fr. 20. Juli 2012 19:24:08


Hat mir sehr gut gefallen!
Flüssig zu lesen und nie langatmig. Sehr schön. smile

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Re: Lineare Algebra über endlichen Körpern
von Ex_Mitglied_40174 am So. 22. Juli 2012 15:23:34


Hi, bin noch kein Erstsemester sondern nur interessierter Laie.
Ich bin bis zum Abschnitt Determinanten gut mitgekommen. Sehr verständlich und gut geschrieben meiner Meinung nach.

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Re: Lineare Algebra über endlichen Körpern
von Martin_Infinite am Mo. 23. Juli 2012 11:31:17


Danke für das Feedback.

@Schachus: Ist korrigiert. Sowas erinnert mich immer an die Grothendieck-Primzahl 57 (siehe hier).

@Ommo: Ich habe das Wort "Klassifikation" in der Schule gelernt (vermutlich im Biologie-Unterricht). Wie würdest du es an der Stelle formulieren?

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Re: Lineare Algebra über endlichen Körpern
von Hans-Juergen am Mo. 23. Juli 2012 20:53:09


Hallo Martin,

danke für Deinen Hinweis auf die lange PDF-Datei über Alexander Grothendieck – nicht wegen der ihm nachgesagten "Primzahl".

Die Wiedergabe seiner handschriftlichen, auf deutsch geschriebenen Bemerkungen auf S. 1199 und die letzten Absätze über G.'s Verhältnis zu Gott haben es mir besonders angetan.

Herzlichen Gruß,
Hans-Jürgen

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Re: Lineare Algebra über endlichen Körpern
von spitzwegerich am Mo. 23. Juli 2012 21:34:16


Eine schöne Idee für einen Artikel!

Bei dem Jordan-Block sollte in der unteren Zeile noch ein zweiter Einser hin, finde ich.

Noch ein paar Anregungen, das ganze Auszubauen:
* Wie invertiert man in einem endlichen Körper (bzw. sagen wir in einem endlichen Primkörper) -> erweiterter euklidischer Algorithmus.
* Unter 4) Punkt 1 könnte man stärker betonen, dass die Tatsache, dass alles endlich ist, die Tür zur *Kombinatorik* öffnet. Wieviele Unterräume gibt es? Wie groß ist die GL? Diese Fragen sind neu, bzw. für unendliche Körper ziemlich fad.
* Unter 4) Besonderheiten: Bilinearformen und quadratische Formen, insbesondere auch in Charakteristik 2.

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Re: Lineare Algebra über endlichen Körpern
von Martin_Infinite am Di. 24. Juli 2012 14:28:52


@Hans-Jürgen: Den ersten Teil dieser Biographie gibt es hier. Die definitive Biographie ist aber wohl die W. Scharlau in drei Bänden (wobei der mittlere leider noch nicht vollendet ist).

@spitzwegerich: Danke für die Anmerkungen. 0) Ich habe ja nicht geschrieben, dass dort eine Null hinkommt ;). Die Eins ergibt sich. 1) Das mit dem Invertieren habe ich erklärt. 2) Das habe ich auch angemerkt; siehe auch nächster Punkt. 3) Klar hätte man noch zu vielen Dingen etwas schreiben können ;). Aber dieser Artikel erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit, sondern soll Studenten in den ersten Semestern ein wenig die Hürde zum Verständnis von endlichen Körpern im Kontext von Grundbegriffen der linearen Algebra nehmen. Insofern gehörst du gar nicht zur Zielgruppe. Aber Gockel hat ein paar interessante Artikel zu quadratischen Formen etc. geschrieben, die dich mehr ansprechen werden: Teil 1 und Teil 2 und Teil 3.

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Re: Lineare Algebra über endlichen Körpern
von Waschtel am Mo. 20. August 2012 17:04:40


Hallo,

grundsätzlich ist es richtig, dass man auch Brüche stehen lassen kann - wenn man weiß, wie diese richtig zu interpretieren sind. Wenn man dies nicht kann, verleitet diese Darstellung zum Übergang von aus Q bekannten Umformungen: Man erweitert Brüche, aus Versehen mit Null, und in unserer Lineare Algebra II-Klausur wurden die Brüche sogar in Dezimalzahlen umgewandelt. Die kann man bei sorgfältiger Interpretation wahrscheinlich auch stehen lassen.
Allerdings wurde die Aufgabe bei diesem Vorgehen und gleichzeitigem Lösen für alle Primzahlen nahezu unlösbar, denn es ging darum, den größten gemeinsamen Teiler zweier Polynome über drei endlichen Körpern zu bestimmen.
Die Studenten rechneten über Seiten mit Brüchen, insbesondere ohne auf das Teilen durch Null zu achten, und kamen zu keinem Ergebnis - obwohl der EA in zwei der drei Fälle sofort zum Abbruch führte, wenn man reduzierte und den richtigen Repräsentanten wählte.
Aus diesem Grund scheint es mir durchaus sinnvoll zu sein, wenigstens am Anfang immer wieder auf ein mehr oder weniger kanonisches Repräsentantensystem zurückzurechnen - evtl. mit dem Hinweis, dass man dies nicht muss, dann aber auf jeden Fall wissen muss, wie man Brüche zu interpretierem hat. Wobei ich dann aber die Schreibweise 2^{-1} bevorzugen würde.
Übrigens wurden in unserer Klausur auch Inverse von Matrizen als Brüche dargestellt. Ist auch irgendwie vernünftig interpretierbar. Führt aber bei den Studenten zu nichts.

Und noch etwas: Ist die Schnittmenge zweier konkret gegebener Geraden g und h im R^2 zu bestimmen, so ist eine richtige Angabe der Lösung
fed-Code einblenden
Aber ist diese Lösung befriedigend? (Ich weiß, das ist ein wenig überspitzt formuliert.)
 

Viele Grüße

Waschtel

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Re: Lineare Algebra über endlichen Körpern
von Martin_Infinite am Di. 21. August 2012 10:47:42


Hallo Waschtel,
 
grundsätzlich ist es richtig, dass man auch Brüche stehen lassen kann - wenn man weiß, wie diese richtig zu interpretieren sind.
 
Hier gibt es nichts zu interpretieren. In einem Körper *definiert* man <math>\frac{a}{b} := a \cdot b^{-1}</math>. Dies ist das eindeutig bestimmte Element <math>q</math> mit <math>qb=a</math>. Diese Notation ist eindeutig und jeder kann damit umgehen, weil sämtliche aus der Schule bekannten Bruchrechenregeln wirklich gelten; zum Erweitern siehe auch unten. Vor allem wenn innerhalb einer längeren Rechnung solche Brüche vorkommen, halte ich es für unsinnig, sie in jedem Zwischenschritt zu Elementen aus einem vorab fixierten Repräsentantensystem umzuwandeln. Diesem Vorgehen möchte ich mit diesem Artikel ein wenig entgegenwirken.

verleitet diese Darstellung zum Übergang von aus Q bekannten Umformungen: Man erweitert Brüche, aus Versehen mit Null,
 
Das ist ein fundamentales Missverständnis, was du hier offenlegst. Die Rechenregel <math>\frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}</math> gilt für <math>b,c \in K^*</math> und *jedem* Körper <math>K</math>. Das kann man ruhig den Studenten zeigen, wie einfach sich das aus der obigen Definition des Bruchs ergibt (zumal es ziemlich erhellend ist, dass die Regeln, die einem in der Schule eingetrichtert worden sind, auch ganz leicht zu belegen sind). Natürlich sind für <math>b=0</math> oder <math>c=0</math> beide Seiten gar nicht definiert. Und diese Feststellung ist unabhängig vom Grundkörper. Wenn man nun doch diese Erweiterung mit <math>c=0</math> durchführt, dann hat man dieses grundlegende Prinzip nicht verstanden und sollte es wiederholen. Wenn man mit einem Element <math>c</math> erweitert und aufgrund der Struktur des Körpers nicht sofort sieht, dass <math>c=0</math>, dann besteht nicht Nachholbedarf bei der Bruchrechnung, sondern bei dem Körper selbst. Es versteht sich doch von selbst, dass man zunächst einmal die Definition von <math>\mathbb{F}_p</math> verstehen sollte, bevor man darin mit Brüchen rechnet. Der von dir genannte typische Fehler hat eine ganz andere Ursache als in der Bruchrechnung, die völlig unproblematisch ist. Vielmehr hat es einfach mit der grundlegenden Definition von <math>\mathbb{F}_p</math> zu tun. Man muss natürlich wissen, dass hier genau dann <math>z \cdot 1 = 0</math>, wenn <math>p | z</math>, was sich direkt aus der Definition ergibt. Und schon kann man feststellen, ob ein Element <math>=0</math> oder <math>\neq 0</math> ist. Und dieses Wissen ist natürlich nicht nur im Zusammenhang mit Bruchrechnung wichtig, sondern grundlegend für alles weitere und muss vorab geklärt werden.

[...] Aus diesem Grund scheint es mir durchaus sinnvoll zu sein, wenigstens am Anfang immer wieder auf ein mehr oder weniger kanonisches Repräsentantensystem zurückzurechnen
Ja, das kann sein. Dieses Repräsentantensystem darf aber auf keinen Fall die viel natürlichere Definition verdrängen. Zumal man mit letzterer auch arbeiten kann, wie ich in dem Artikel aufgezeigt habe.

Wobei ich dann aber die Schreibweise 2^{-1} bevorzugen würde.
 
Wieso? In jedem Körper ist <math>\frac{1}{a} = a^{-1}</math> ein Spezialfall der Definition des Bruches oben und kann überhaupt zu keinen Schwierigkeiten führen, oder nicht? Oder noch etwas anders formuliert: Das sind doch ohnehin nur Schreibweisen, man könnte in der Definition des Körpers die Existenz von inversen Elementen auch so formulieren:
 
Für jedes <math>0 \neq x \in K</math> gibt es ein <math>\frac{1}{x} \in K</math> mit <math>x \cdot \frac{1}{x} = 1.</math>
 
Du scheinst es irgendwie für gefährlich zu halten, diese für bekannte Zahlkörper bekannte Schreibweise auch in der Allgemeinheit zu benutzen. Ich sehe aber keinen Grund dafür.

Übrigens wurden in unserer Klausur auch Inverse von Matrizen als Brüche dargestellt. Ist auch irgendwie vernünftig interpretierbar.
 
In einem nicht-kommutativen Ring sollte man von der Bruchschreibweise absehen. Es ist nämlich nicht klar, ob <math>q = \frac{a}{b}</math> die Gleichung <math>qb=a</math> oder <math>bq=a</math> erfüllen soll. Und bevor man nun Links- und Rechtsbrüche einführt oder gar den Bruchstrich für eine (welche?) der beiden Möglichkeiten reserviert, bleibt man doch lieber bei <math>a b^{-1}</math> bzw. <math>b^{-1} a</math>. Für <math>a=1</math> und <math>qb=bq</math> gibt es allerdings keine Probleme; hier ist <math>q</math> eindeutig bestimmt und man schreibt <math>q=b^{-1}=\frac{1}{b}</math> wie gehabt. Das trifft insbesondere auf Matrizen zu. Für quadratische Matrizen endlicher Größe weiß man außerdem, dass <math>qb=1</math> bereits <math>bq=1</math> impliziert.

Und noch etwas: Ist die Schnittmenge zweier konkret gegebener Geraden g und h im R^2 zu bestimmen, so ist eine richtige Angabe der Lösung
{x \in \IR^2  \| x \in g, x \in h}. Aber ist diese Lösung befriedigend? (Ich weiß, das ist ein wenig überspitzt formuliert.)
 
Die Aufgabenstellung ist hier das, was unbefriegend und verbesserungswürdig ist. Was heißt schon Bestimmen? Und was meinst du eigentlich mit "konkret gegeben"? Ich könnte mir denken, dass die Geraden in Parameterform vorliegen. Dann wäre eine präzise Aufgabenstellung: "Bestimmen Sie das Schnittverhalten der Geraden g = ... und h = ..., indem sie entweder zeigen, dass sie sie nicht schneiden, oder aber die Koordinaten des Schnittpunktes explizit angeben." Das wirkt jetzt ein wenig holprig, aber klarer wird es zum Beispiel beim Schnittverhalten von zwei Ebenen. Was soll es heißen, die Schnittgerade zu bestimmen? Viel deutlicher ist die Aufgabenstellung, eine Parameterdarstellung der Schnittgeraden anzugeben.
 
Und noch ein Beispiel zum eigentlichen Thema: Wenn ein LGS über <math>\mathbb{F}_5</math> vorliegt und ich als Lösung <math>\langle (\frac{1}{3},\frac{2}{4}) \rangle</math> angebe, dann ist das eine richtige und auch konkrete Antwort, wie ich finde. Wenn der Aufgabensteller das vermeiden möchte, kann er zum Beispiel schreiben: "Geben Sie die Lösungsmenge des LGS ... an, indem Sie eine Basis angeben und die Koordinaten der Basisvektoren dem Repräsentantensystem <math>0,\dotsc,4</math> zuordnen." Der Schwachsinn ist hier aber wieder, dass hier eigentlich zwei Dinge miteinander vermischt werden und so getan wird, als ob dabei etwas neues entstehen würde, nämlich 1) Lineare Algebra allgemein, 2) Verständnis von endlichen Körpern. Meiner Meinung nach sollte man das getrennt vermitteln.
 
Viele Grüße,
Martin

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Re: Lineare Algebra über endlichen Körpern
von Hamilton-Tensor am Fr. 28. September 2012 18:39:43


Ist denn die Deteminante von <math>((12;3),(5;13))</math> nicht 12*13-5*3?

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Re: Lineare Algebra über endlichen Körpern
von Martin_Infinite am Fr. 28. September 2012 19:15:03


@Hamilton-Tensor: Ja, aber was hat das mit dem Artikel zu tun? Das LGS in 3.1 entspricht der Matrix (12,3;5,17).

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Re: Lineare Algebra über endlichen Körpern
von Kofi am So. 07. Oktober 2012 15:24:58


@MartinInfinite: Das Problem ist aber dennoch, dass ich so sehr gewöhnt bin, dass 7 nicht gleich 0 ist, ich also mit 7 erweitern darf, dass solche Fehler einfach immer wieder passieren. Da finde ich es nicht besonders hilfreich, wenn du die Keule vom "grundlegenden Missverständnis" herausholst, das sich bei mir eingeschlichen hat. Das sind einfach Flüchtigkeitsfehler, die vielen leicht passieren, die in endlichen Körpern Bruchschreibweise benutzen. Wie jeder damit umgeht, bleibt ihm dann natürlich selbst überlassen.

In einem ganz anderen Punkt muss ich dir entschieden wiedersprechen, nämlich wenn du es als "fatal" bezeichnest, die Körper F_p als Menge {0, ... , p-1} mit entsprechenden Operationen zu definieren. Im Gegenteil finde ich es fatal, dies im ersten Semester der linearen Algebra NICHT so zu machen, sondern den Studenten mit Faktorgruppen zu kommen. Man erzeugt hier eine extrem große Hürde, die dem eigentlichen Inhalt überhaupt nicht gerecht wird, und die mehr verwirrt als nützt.
Natürlich sollte man diese Definition später korrigieren, spätestens in der Algebra. An der Stelle der Vorlesung "Lineare Algebra", wo man Beispiele für Körper angibt, ist die Restklassendiskussion meiner Meinung nach allerdings völlig fehl am Platze.

So ist es doch meistens in der Mathematik: Die ganze Wahrheit hört man erst später. Oder auch dann ist es nur die halbe Wahrheit. Es würde doch auch keinem einfallen, in der linearen Algebra den Satz über die Jordansche Normalform mithilfe des Klassifikationssatzes von Moduln über Hauptidealringen zu beweisen.

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Re: Lineare Algebra über endlichen Körpern
von Gockel am So. 07. Oktober 2012 15:44:42


@Kofi:
Quotientenräume sind aber Teil jeder Standard-LA-Vorlesung. Es wird damit also überhaupt nichts erreicht, die eine Quotientenkonstruktion zu "tarnen", wenn die andere trotzdem drankommt. Im Gegenteil: Beide zu zeigen, hat den Vorteil, diese Konstruktion besser zu motivieren: "Schaut her, das ist keine Singularität, das kommt wirklich öfter vor."

Und natürlich gibt es auch LA-Vorlesungen, die die JNF über Moduln über HIRn beweisen. Das ist durchaus einer der Standardansätze, die JNF zu behandeln.

mfg Gockel.

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Re: Lineare Algebra über endlichen Körpern
von Martin_Infinite am So. 07. Oktober 2012 16:04:27


Kofi schreibt:
@MartinInfinite: Das Problem ist aber dennoch, dass ich so sehr gewöhnt bin, dass 7 nicht gleich 0 ist, ich also mit 7 erweitern darf, dass solche Fehler einfach immer wieder passieren. [...]
 
Das mag ja sein, ändert aber nichts an der Tatsache, dass Bruchrechnung in jedem Körper funktioniert (und zwar ohne irgendeine künstliche Unterscheidung zwischen endlichen Körpern bzw. Körpern positiver Charakteristik und Körpern der Charakteristik 0). Wenn man in diesem Zusammenhang aus Versehen mit 0 erweitert, dann ist nicht die Bruchrechnung dafür verantwortlich, sondern eben das eigene Versäumnis: Man muss natürlich vorher prüfen, ob das Element, mit dem man erweitert, 0 ist. Das muss man selbst dann tun, wenn man es meinetwegen mit rationalen Zahlen zu tun. Wenn man dort mit einem komplizierten Ausdruck erweitert, der noch Variablen enthält, so muss man ebenfalls aufpassen. Also um das noch einmal klar zu sagen: Wenn man in <math>\mathbb{F}_7</math> einen Bruch mit <math>7</math> erweitert, dann sollte man nicht an der Bruchrechnung zweifeln, sondern am eigenen Verständnis dieses Körpers.
 
In einem ganz anderen Punkt muss ich dir entschieden wiedersprechen, nämlich wenn du es als "fatal" bezeichnest, die Körper F_p als Menge {0, ... , p-1} mit entsprechenden Operationen zu definieren. Im Gegenteil finde ich es fatal, dies im ersten Semester der linearen Algebra NICHT so zu machen, sondern den Studenten mit Faktorgruppen zu kommen. Man erzeugt hier eine extrem große Hürde, die dem eigentlichen Inhalt überhaupt nicht gerecht wird, und die mehr verwirrt als nützt.
 
Die Konstruktion spielt keine so große Rolle. Vielmehr ist die folgende Eigenschaft des endlichen Körpers <math>\mathbb{F}_p</math> von Bedeutung (und auch das einzig relevante für konkrete Rechnungen wie in diesem Artikel): Jedes Element hat die Form <math>z \cdot 1</math>, und es gilt <math>z \cdot 1 = 0</math> genau dann, wenn <math>p|z</math>. Folglich gilt <math>z \cdot 1 = z' \cdot 1</math> genau dann, wenn <math>p | z - z'</math>.

Anschaulich gesagt (vielleicht sollte das in den Artikel mit rein) bedeutet das Folgendes: Wir haben die "Linie" der ganzen Zahlen ...,-2,-1,0,1,2,3,... , welche wir mit einem Abstand von p Zahlen "aufrollen". Jede ganze Zahl <math>z</math> ist immer noch da, allerdings wird sie eben mit <math>z\pm p, z \pm 2 p, \dotsc</math> durch das Aufrollen identifiziert.
 
Zwar kann man das mit der "Definition" <math>\mathbb{F}_p := \{0,\dotsc,p-1\}</math> mit Verknüpfungen mod p herleiten, aber das wird nie gemacht. Noch schlimmer: Die meisten Studenten denken dann, dass <math>-1</math> nicht dazugehört, dass <math>1+1 \notin \mathbb{F}_2</math>, dass <math>\mathbb{F}_2</math> ein Teilring von <math>\mathbb{Z}</math> ist, und dergleichen (ich habe das alles schon erlebt). Aus diesen Gründen finde ich es besser, gleich die korrekte Definition <math>\mathbb{F}_p := \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math> zu wählen; die obige Eigenschaft folgt sofort. Das bisschen Abstraktion kann man doch wohl aufbringen. Und Quotienten von Vektorräumen (die Bezeichnung Faktorräume ist unlogisch und veraltet) kommen sowieso in der linearen Algebra vor, da sind Quotienten von Ringen nicht viel schwieriger.

Natürlich sollte man diese Definition später korrigieren, spätestens in der Algebra. An der Stelle der Vorlesung "Lineare Algebra", wo man Beispiele für Körper angibt, ist die Restklassendiskussion meiner Meinung nach allerdings völlig fehl am Platze.
 
Wieso soll man denn die Studenten hinters Licht führen? Wieso macht man es nicht gleich richtig? Übrigens hast du genau das kürzlich bei zwei anderen Artikeln im Zusammenhang mit Infinitesimalen in der Physik geäußert. Warum siehst du das denn hier auf einmal anders?
 
So ist es doch meistens in der Mathematik: Die ganze Wahrheit hört man erst später. Oder auch dann ist es nur die halbe Wahrheit.
 
Mir ist nicht klar, was du damit genau meinst. Von welchen Erfahrungen sprichst du hier? Kann es sein, dass du das hier damit verwechselt, dass man nicht von Anfang an alles möglichst allgemein macht? Das ist jedenfalls etwas anderes.
 
Es würde doch auch keinem einfallen, in der linearen Algebra den Satz über die Jordansche Normalform mithilfe des Klassifikationssatzes von Moduln über Hauptidealringen zu beweisen.

Bosch, Lineare Algebra. Und an der Uni hat er es auch so gelehrt. Natürlich fanden das die meisten Studenten ziemlich schwierig. Das heißt aber noch lange nicht, dass es nicht richtig war. Okay aber das ist eigentlich sowieso Offtopic.

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Re: Lineare Algebra über endlichen Körpern
von Ex_Mitglied_40174 am So. 16. Dezember 2012 10:49:07


sollte es in Kapitel 3.2 nicht heissen "...12*13-5*3....?

Gruss Stefan


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Re: Lineare Algebra über endlichen Körpern
von Martin_Infinite am So. 16. Dezember 2012 14:57:40


Danke, ich habe die Matrix korrigiert.

Das kommt davon, wenn man einen Artikel voller Zahlen hat - es geht alles schief  biggrin

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