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Mathematik: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
Freigegeben von matroid am Do. 07. August 2014 02:00:10
Verfasst von cis -   3090 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Analysis

\(\begingroup\)

Der Logarithmus - Einführung, Verwendung



Bei der google-Suche nach "Logarithmenregeln" o.ä. wurde ich nicht glücklich. So waren oft ungünstige Symbole gewählt, davon einmal abgesehen, wurden die Rechengesetze sehr oft nur teilweise oder gar nicht hergeleitet bzw. bewiesen.
  Bei Grundaufgaben wie Bruchrechnung, Potenzrechnung, Wurzelrechnung, scheint insbesondere der Umgang mit dem Logarithmus vielen Neuanwendern Schwierigkeiten zu bereiten.

  Es handelt sich dementsprechend um eine Einführung für Schüler ca. Klasse 8ff., zu Not auch für Studenten des 1. Semesters; mit, nach Möglichkeit, eingeschränktem  theoretischem Balast.

Übersicht:
·Einleitung
·Definition
·Rechenregeln
·Zusammenfassung
·Besondere Logarithmen
·Anwendungsbeispiele


In der Grundarithmetik, also der elementaren Rechenpraxis, unterteilt man gelegentlich:

· Rechenoperationen 1. Stufe
Das ist Rechnen mit Summen und Differenzen.

· Rechenoperationen 2. Stufe
Das ist Rechnen mit Produkten und Quotienten.

   Die Stufen 1. und 2. schließen entsprechend auch die Bruchrechnung mit ein.

· Rechenoperationen 3. Stufe
Das ist 3a. Rechnen mit Potenzen, 3b. Rechnen mit Wurzeln, 3c. Rechnen mit Logarithmen.

Inhalt der Stufe 3b. sowie geringerer Stufen werden hier -ohne Einschränkung- vorausgesetzt. Sollte dem interessierten Leser hiervon teilweise etwas unbekannt sein, braucht er er im Grunde nicht weiterlesen und weiß, was er als erstes zu tun hat.


<math>\hline</math>

Einleitung




·Was ist ein Logarithmus?

Formal definieren läßt sich der Logarithmus so:
fed-Code einblenden

·Der Logarithmus bedeutet demnach inhaltlich:

Man gibt eine Zahl vor (a) und fragt nun: Mit welcher Zahl ist eine andere Zahl (b) zu potenzieren, um die vorgegebene Zahl zu erhalten. Lautet die Antwort z, darf  logb(a) = z (siehe oben) geschrieben werden.

Beispiel:
Gibt man die Zahl 8 = a vor und fragt: Mit welcher Zahl ist die Zahl 2 = b zu potenzieren, so lautet die Antwort 3 = z; denn bekanntlich ist: 23 = 8.
Formal kann man also aufschreiben:
fed-Code einblenden

Weitere Beispiele:
fed-Code einblenden

Man erkennt:

·Der Logarithmus kann also positive und negative Werte annehmen; insb. kann sein Wert zwischen Null und Eins liegen (einschließlich).
 
·Wie man auch z.B. fed-Code einblenden ausrechnet, wissen wir an dieser Stelle noch nicht, darauf werden wir später, im Abschnitt "Anwendungsbeispiele",  zurückkommen.

<math>\hline</math>

Definition des Logarithmus



Wir führen den Logarithmus formal ein:

fed-Code einblenden

· Gelesen fed-Code einblenden "Logarithmus zur Basis b von a"

· Hierbei bezeichnet man
fed-Code einblenden


Definitionsbereich der Argumente / zulässige Basen



Welche Werte der Logarithmus annehmen kann wurde bereits im vorherigen Abschnitt angedeutet.
Es bleibt also die Frage:
  Welche Werte dürfen für den Logarithmanden a bzw. die Basis b gewählt werden?

· Zunächst ist klar, daß fed-Code einblenden bzw. fed-Code einblenden als Basis auscheiden; denn fed-Code einblenden bzw. fed-Code einblenden (sofern z positiv ist).

· Eine Potenz mit negativer Grundzahl, etwa fed-Code einblenden  liefert im allgm. keine reelle Zahl, z.B. fed-Code einblenden  Damit läßt sich die Basis schonmal auf positive Werte ungleich 1 einschränken: fed-Code einblenden - man sagt, die Basis sei zulässig.

· Für beliebige Hochzahlen fed-Code einblenden  bleibt dann die Potenz fed-Code einblenden positiv, man darf also, hinsichtlich fed-Code einblenden auch den Logarithmanden fed-Code einblenden als positiv voraussetzen: fed-Code einblenden


Bezüglich des zweiten Punktes genügt es sogar, die Basis auf fed-Code einblenden einzuschränken; denn: Wählt man für fed-Code einblenden   einen Wert zwischen (ausschließlich) 0 und 1, etwa
fed-Code einblenden

Beweis (aus der Definition):
fed-Code einblenden

Das heißt also, Basen wie z.B. fed-Code einblenden oder fed-Code einblenden oder fed-Code einblenden oder ... lassen sich (bei Bedarf) ganz vermeiden.



Nach dem Gesagten läßt sich der Logarithmus also wie folgt definieren:
<math>\hline</math>
<math>\hline</math>
fed-Code einblenden
<math>\hline</math>
<math>\hline</math>
Aus dieser Definition wollen wir vier Hilfsregeln mitnehmen:
fed-Code einblenden

Beweis:

fed-Code einblenden


<math>\hline</math>

Rechenregeln




Übersicht:
· Logarithmus eines Produkts
· Logarithmus eines Quotienten
· Logarithmus einer Potenz
· Logarithmus einer Summe bzw. einer Differenz
· Umrechnung zwischen Logarithmen verschiedener Basen


Bemerkung:
fed-Code einblenden


· Logarithmus eines Produkts:
fed-Code einblenden

Beweis:
fed-Code einblenden


· Logarithmus eines Quotienten:
fed-Code einblenden

Beweis:
fed-Code einblenden


· Logarithmus einer Potenz:
fed-Code einblenden

Beweis:
fed-Code einblenden

Anwendungsbeispiel:
fed-Code einblenden



· Logarithmus einer Summe bzw. einer Differenz:

Naheliegend gelten natürlich die Regeln log(x+y) = log(x) + log(y) entsprechend bei der Differenz.
Nein! Das gilt natürlich nicht! Wer glaubt, solche Eigenkreationen erfinden zu müssen,  hat das Vorangehende nicht gelesen bzw. auch die ganze Beweisidee nicht verstanden.
Nun gilt aber auch in der Mathematik die Faustregel "Die Aussage 'gibt es nicht' gibt es nicht", insofern einigen wir uns hier auf Folgendes:

fed-Code einblenden




· Umrechnung zwischen Logarithmen verschiedener Basen:
fed-Code einblenden

Beweis:
fed-Code einblenden


- Zwei Folgerungen aus dem Basiswechsel:

fed-Code einblenden


fed-Code einblenden

- Was verspricht der Basiswechsel im engeren Sinne?

·Einerseits können wir damit Aufgaben des folgenden Typs lösen:
fed-Code einblenden

·Zum anderen bangt uns schon die ganze Zeit die Frage, wie man das ganze auf "Taschenrechnerformat" bekommen kann, so hat man dort häufig nicht Tasten für Logarithmen beliebiger zulässiger Basen.
    Diese Frage sei dem übernächsten Abschnitt übergeben.

·Interpretieren können wir die Basiswechsel-Formel dennoch auch schon hier.
fed-Code einblenden

<math>\hline</math>
<math>\hline</math>
Zusammenfassung:
<math>\hline</math>







fed-Code einblenden

fed-Code einblenden



 
 


 

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

<math>\hline</math>
<math>\hline</math>


Besondere Logarithmen



(1) Zehnerlogarithmus
(Dekadischer Logarithmus, Briggscher Logarithmus)


fed-Code einblenden

·Der 10er-Logarithmus spielte historisch für das praktische Rechnen wohl die größte Rolle ("Zehnersystem", siehe auch im nächsten Abschnitt). "lg" von "logarithmus generalis", svw. "Hauptlogarithmus". Henry Briggs (1561–1630, englischer Mathematiker) gilt als Einführer des Logarithmus.

(2) Zweierlogarithmus
(Binärer Logarithmus, Dualer Logarithmus)


fed-Code einblenden

·Der 2er-Logarithmus spielt in der Nachrichtentechnik bzw. der Datentechnik eine Rolle ("Binäres Zahlensystem"). Meist wird die Schreibung "lb" verwendet.

(3) Natürlicher Logarithmus
(Neperscher Logarithmus, Hyperbolischer Logarithmus)


fed-Code einblenden

·Der natürliche Logarithmus dürfte den Namen seiner Basis, der Eulerschen Zahl, verdanken, welche mitunter auch "Naturkonstante" genannt wird, da sie bei vielen Vorgängen in der Natur bzw. im Universum eine Rolle spielt. Der interessierte Leser möchte zur Eulerzahl die Forensuche bemühen.



Welcher rechnerische Zusammenhang besteht zwischen diesen Logarithmen?

fed-Code einblenden



Allgemeine Anmerkung:

Die o.g. offiziellen Schreibweisen (nach DIN 1302-12) werden mehr oder weniger streng gehandhabt. Die  Bezeichnung <math>\log</math> kann folgendes widerspiegeln:

1. Auf Taschenrechnern findet man meist eine Taste <math>\text{LOG}</math>, diese steht dort für den Zehnerlogarithmus (also egtl. "lg").
2. Im angelsächsischen Sprachraum wird für den natürlichen Logarithmus praktisch immer <math>\log(x)</math>, statt  <math>\ln(x)</math>,  geschrieben. Von daher kommend wird diese Sitte hier häufig kopiert.  
3. In Formelwerken (z.B. Bronstein) oder ähnlichem kann <math>\log</math> auch für einen allgemeinen Logarithmus, mit zulässiger Basis, stehen,  also etwa <math>\log(x) = \log_b(x)</math>. So hätte man bei der "Zusammenfassung" im voherigen Abschnitt die Basis b auch überall weglassen können und stattdessen als Überschrift schreiben können: "Für jede zulässige Basis b gilt: ..."
4. In einer jüngsten Entwicklung erachten manche Pädagogen die gedankliche Assoziation <math>\text{LN} \rightarrow \ln</math> bzw. <math>\text{LOG} \rightarrow \lg</math> für nicht mehr zumutbar und verwenden daher <math>\text{LN}</math> und <math>\text{LOG}</math>, jene übliche Bezeichnung auf den Taschenrechnertasten.  

<math>\hline</math>

Anwendungsbeispiele



·Der Logarithmus war früher, d.h. vor Einführung elektronischer Taschenrechner,  für das praktische Rechnen von besonderer Bedeutung. So zeigt bspw. die o.g. Formel fed-Code einblenden
daß sich 'logarithmisch' die Berechnung einer Wurzel auf diejenige  eines Produkts reduziert (beachte die Reduzierung der Rechenoperation um eine Stufe bei allen o.g. Rechenregeln!).
Dazu wurden die Werte der Logarithmen, wie auch die ihrer Umkehrungen (siehe fed-Code einblenden ),  in Tabellenwerken zusammengetragen.
Insbesondere spielten Umrechnungsfaktoren eine Rolle, etwa
fed-Code einblenden
Heute sind Logarithmen vornehmlich von theoretischem Interesse.


·Aufgabe
fed-Code einblenden

·Aufgabe  
fed-Code einblenden


·Aufgabe
fed-Code einblenden



·Aufgabe
fed-Code einblenden



·Aufgabe
fed-Code einblenden

·Aufgabe
fed-Code einblenden

·Aufgabe
fed-Code einblenden

fed-Code einblenden


·Aufgabe
fed-Code einblenden


·Aufgabe
fed-Code einblenden


·Aufgabe
fed-Code einblenden


·Aufgabe
fed-Code einblenden


­·Aufgabe
fed-Code einblenden


·Aufgabe
fed-Code einblenden


·Aufgabe
fed-Code einblenden


·Aufgabe
fed-Code einblenden

·Aufgabe
fed-Code einblenden

·Aufgabe
fed-Code einblenden


·Aufgabe
fed-Code einblenden

fed-Code einblenden


·Beispiel
fed-Code einblenden


·Aufgabe  
fed-Code einblenden



· Aufgabe
fed-Code einblenden


fed-Code einblenden



· Aufgabe
fed-Code einblenden

fed-Code einblenden



· Aufgabe
fed-Code einblenden


fed-Code einblenden

fed-Code einblenden


fed-Code einblenden


fed-Code einblenden
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Bei der google-Suche nach "Logarithmenregeln" o.ä. wurde ich nicht glücklich. So waren oft ungünstige Symbole gewählt, davon einmal abgesehen, wurden die Rechengesetze sehr oft nur teilweise oder gar nicht hergeleitet bzw. bewiesen. Bei Grundaufgaben w
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" Mathematik: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung" | 39 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
von ZetaX am Do. 07. August 2014 02:24:13

\(\begingroup\)
Kann man :<=> im fed irgendwie schöner bekommen¿ Ich sehe auch nicht, wie, aber die Definition im Artikel sieht dadurch unschön aus.\(\endgroup\)

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Re: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
von cis am Do. 07. August 2014 03:50:02

\(\begingroup\)
Ich hatte mir eben gedacht, diesmal konsequent mit fed, dem fed-Editor zu Ehren.
@Zaos: Du ver'tikz'eist.... :()\(\endgroup\)

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Re: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
von gaussmath am Do. 07. August 2014 09:24:01

\(\begingroup\)
Hallo,

ein Hinweis auf so etwas hätte nicht geschadet.

Grüße,
Marc\(\endgroup\)

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Re: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 07. August 2014 12:36:51

\(\begingroup\)
Bei den Anwendungen vermisse ich logarithmische Diagramme (findet man in jedem technischen Handbuch) und logarithmische Einheiten (etwa die allseits bekannten dB)

\(\endgroup\)

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Re: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
von PhysikRabe am Do. 07. August 2014 13:28:51

\(\begingroup\)
@gaussmath: Das ist doch wohl nicht dein Ernst. Dir ist schon klar, dass der Artikel eine Einführung sein soll?\(\endgroup\)

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Re: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
von gaussmath am Do. 07. August 2014 13:37:02

\(\begingroup\)
Doch, das ist mein Ernst. Inwiefern widerspricht es einer Einführung zu erwähnen, wie man den Logarithmus einer bel. Zahl numerisch effizient berechnen kann?\(\endgroup\)

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Re: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
von gaussmath am Do. 07. August 2014 13:44:48

\(\begingroup\)
cis schreibt: "Wie man auch z.B. fed-Code einblenden ausrechnet wissen an dieser Stelle noch nicht, darauf werden wir später zurückkommen."

Wo wird das (später) erläutert? Habe ich das übersehen im Artikel?\(\endgroup\)

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Re: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
von fru am Do. 07. August 2014 13:56:16

\(\begingroup\)
Ja, die erste Aufgabe im letzten Kapitel "Anwendungsbeispiele".\(\endgroup\)

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Re: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
von gaussmath am Do. 07. August 2014 14:05:34

\(\begingroup\)
Ok, danke fru.\(\endgroup\)

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Re: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
von Hans-Juergen am Do. 07. August 2014 14:40:49

\(\begingroup\)
Zu "Logarithmus einer Summe"

Eine immer noch "einfache" Regel lautet:

fed-Code einblenden

Begründung:

fed-Code einblenden

Ergänzend möchte ich noch auf einen früheren Artikel von mir über Logarithmen hinweisen: hier.

Mit freundlichen Grüßen,
Hans-Jürgen
\(\endgroup\)

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Re: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
von cis am Do. 07. August 2014 16:42:42

\(\begingroup\)
·"Einführung" bedeutet nicht "Hiermit ist alles gesagt, was es zum Log. hätte zu sagen gegeben". Ich hatte mir noch überlegt, auf die Frage "Aha, und wie berechnet egtl. der Taschenrechner den ln (lg)?" einzugehen. Aber das sprengt m.E. den Rahmen einer Einführung und sollte in einem eigenen Artikel stehen.

·"Ich" wurde mit der google-Suche nicht glücklich, heißt nicht, daß niemand jemals mit der google-Suche glücklich wurde.
Hier ( de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchiv:_Arithmetik:_Erweiterte_Rechenarten:_Logarithmus:_Logarithmengesetze ) fehlt mir z.B. der Basiswechsel. Hier ( www.brinkmann-du.de/mathe/gostpdf/p0_logarithmen_01.pdf ) hat er alles mit einem Wasserzeichen vollgesudelt.
 Insb. heißt es nicht, daß ich auch mit allen Büchern zum Thema unglücklich bin (ich weiß nicht warum das jmd. da rauslesen mußte).

·Den Artikel von Hans-Jürgen ( article.php?sid=1364 )
kenne ich, auch den von FlorianM ( article.php?sid=962 ).
Dann kenne ich auch noch den wikipedia-Artikel.
 Diese Artikel sind für sich genommen alle o.k., nur steht mir da die Rechenpraxis zu wenig im Vordergrund.  
Dann kenne ich auch noch die Umschreibung fed-Code einblenden
ne, gefällt mir, im Rahmen einer Einführung, nicht.

---> €dit: Meinung geändert / Vorschlag angenommen -  bei den "Anwendungsbeispielen" aufgenommen. (Muß noch freigegeben werden....) Danke @ Hans-Jürgen.\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
von cis am Do. 07. August 2014 22:16:41

\(\begingroup\)
Es wurden bei den Anwendungsbeispielen einige Ergänzungen vorgenommen, auch wurden (wenn alles geklappt hat) die Korrekturvorschläge aufgenommen.\(\endgroup\)

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Re: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
von Wauzi am Do. 07. August 2014 23:30:08

\(\begingroup\)
Bei den Definitionen von Zehner-, Zweier- und natürlichem Logarithmus sollten die Definitionsdoppelpunkte die Seite wechseln, da die Abkürzungen definiert werden.
Ich finde die Zusammenstellung recht schön, lediglich die amerikanische Dezimalschreibweise mit Punkt statt Komma gefällt mir nicht, auch wenn der Taschenrechner dies in die Schülerköpfe drückt.\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
von Wauzi am Fr. 08. August 2014 00:42:07

\(\begingroup\)
\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
von cis am Fr. 08. August 2014 00:59:52

\(\begingroup\)
@Wauzi:
a. Änderungsvorschlag eingereicht.

b. Je mehr man mit Programmcode arbeitet, umso mehr gewöhnt man sich den Punkt an. Von Hand würde ich es wahrscheinlich nicht machen.
  Viel nerviger finde ich den Umstand, den Punkt und das Komma als Tausendertrennzeichen, obwohl es doch die schweizer Universallösung gibt 1'234'567.

ABER: Gerade von Dir hätte ich hier diesen Einwand nicht erwartet, denn es bestand in der Logarithmenrechnung ein Brauch (ich weiß nicht, wie weit verbreitet),  '5.321' statt '5,321' zu schreiben, um anzudeuten, daß 5.321 aus einer Logarithmentabelle stammt.
 \(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
von susi0815 am Fr. 08. August 2014 14:49:06

\(\begingroup\)
Netter Artikel. Nur -- meine Erstsemester kommen ja schon mit den Potenzgesetzen nicht klar :(.

Susi\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
von cis am Fr. 08. August 2014 17:48:40

\(\begingroup\)
Also über "Potenzgesetze" schreib ich nicht auch noch einen Artikel. Das kann man sich schon klar machen :|.\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
von Martin_Infinite am Fr. 08. August 2014 18:32:09

\(\begingroup\)
Nein, ich glaube, über Potenzgesetze wurde bisher
   keine vernünftige Einführung fed-Code einblenden \(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
von cis am Fr. 08. August 2014 18:41:24

\(\begingroup\)
Kannst ja Du dann nachholen.\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
von cis am Fr. 08. August 2014 19:04:39

\(\begingroup\)
@ susi0816 (15 schien mir nicht angemessen):
fed-Code einblenden
\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
von ZetaX am Fr. 08. August 2014 21:16:23

\(\begingroup\)
Man sollte sich schon einmal fragen, was hier Leute eher vom Artikelschreiben abhält: ehrliche Kritik oder cis dämliche Kommentare...\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
von cis am Fr. 08. August 2014 21:33:22

\(\begingroup\)
@ZeTaX: Wenn mir einer schreibt: "... erschließt sich mir der Sinn deines Artikels nicht ...", dann ist das für mich eine blöde Mail. Das war hier zwar mechanische Arbeit, keine geistige; dennoch hat es schon ein paar Stunden gedauert, und es gibt hier Leute, die nehmen es sich unbekümmert raus, sowas mal eben zu nullifizieren. Wenn Du da geil drauf abfährst, Deine Sache, die meisten tun es vermutlich nicht.\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
von ZetaX am Fr. 08. August 2014 21:55:06

\(\begingroup\)
Er wird hoffentlich auch erläutert haben, wieso er das denkt. Es gibt hier auch Leute wie dich, die jedwege Kritik "nullifizieren" wollen...\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
von cis am So. 10. August 2014 09:46:31

\(\begingroup\)
Ich habe noch die "Anzahl der Ziffern einer natürlichen Zahl" ergänzt, das durfte bei den Anwendungsbeispielen einfach nicht fehlen.

\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
von Gerhardus am So. 10. August 2014 16:41:26

\(\begingroup\)
Hallo cis,
ich glaube, Anfänger - und für die ist ja dein Artikel geschrieben - haben ein Problem mit deiner Definition in der Einleitung, weil sie die Funktion (Abbildung, Operation) nicht erkennen. Was du danach als inhaltliche Bedeutung aus der Defintion folgerst (mit welchem Grund eigentlich?), benötigt der Anfänger als Voraussetzung, um die Definition zu verstehen. Anders gesagt: Der Anfänger sieht die angegebene Definition zunächst nur als Buchstabensalat und interpretiert deine Art des Folgerns als Anmaßung.
Ich würde mit dem Problem, eine Exponentialgleichung zu lösen, beginnen und daraus die neue Funktion (Rechenoperation) Logarithmus erklären.
Gerhardus  \(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
von cis am So. 10. August 2014 18:39:25

\(\begingroup\)
\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
von cis am So. 10. August 2014 21:13:40

\(\begingroup\)
@Gerhardus: · Ich gebe Dir insofern recht, daß man den Log. als Kurve so noch nicht begreifen wird. Hier lag der Fokus erstmal auf "Log. als Rechenmittel". Eine saubere Kurvendiskussion erfordert aber m.E. einen weiteren Artikel (jener von FlorianM mag diese Lücke -teilweise- füllen).
·Dann gäbe es noch die Frage nach einem Algorithmus zu ln-Berechnung, wie sie im 1. Kommentar gestellt wurde. Hier vermittelt der Artikel von Hans-Jürgen einen Eindruck, wenngleich der TR nochmal anders rechnet.
·Was mir hier, bei einer Einführung "Log. als Rechenmittel",  vielmehr fehlt ist ein Eingehen darauf, daß der Wert des log im allgm. transzendent ist (und dann auch der Beweis dazu [Satz von Hermite-Lindemann]). So,  wie es dahsteht, könnte der Fehleindruck entstehen: Es kommen halt mal ein paar Brüche vor.

Für alle diese Punkte müßte man aber nochmal gut ausholen - und das ist halt immer die Frage, ob das bereits alles in einer Einführung stehen sollte. Nach meiner Zählung wären das jetzt wenigstens drei weitere Artikel.


PS: So, die "Anzahl der Ziffern einer natürlichen Zahl" ist jetzt vollständig.\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 13. August 2014 12:09:24

\(\begingroup\)
Hi,
die Hilfsregel "H2a" scheint mir angesichts von H3 etwas überflüssig?

Grüße

\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
von cis am Mi. 13. August 2014 12:52:06

\(\begingroup\)
@Anonym: So, was war da jetzt nochmal was :()
Jo pff, prinzipiell ist alles überflüssig bis auf die Regel (H1) oder auch einfach die Definition. wink

PS: Viel alberner finde ich, daß z.B. das 3. Anwendungsbeispiel unter "Log. einer Potenz" in sehr vielen Formelwerken immer noch als quasi eigene Regel mit eigener Nummer usw. aufgeführt wird. Das spiegelt eben, den Log. als DAS Mittel des praktischen Rechnens wieder - das sitzt bei vielen noch tief.\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
von Martin_Infinite am Mo. 01. September 2014 17:10:53

\(\begingroup\)
Hier noch eine katzenfreundliche Version des Artikels.\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
von cis am Sa. 01. November 2014 05:52:58

\(\begingroup\)
Es wurden einige weitere Aufgaben im Abschnitt Anwendungsbeispiele ergänzt.\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
von cis am Fr. 14. November 2014 17:34:14

\(\begingroup\)
Aufgabe
fed-Code einblenden
ergänzt.

Damit scheint sich aber auch eine ÜBERBREITE reingeschmuggelt zu haben - ich sehe leider nicht wo. Kann das ein MOD beheben?
\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
von cis am Fr. 21. November 2014 20:28:04

\(\begingroup\)
(Bis auf Freischaltung)

fed-Code einblenden

ergänzt.\(\endgroup\)

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Re: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
von cis am So. 23. November 2014 18:21:46

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ergänzt.\(\endgroup\)

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Re: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
von cis am Fr. 02. Januar 2015 14:06:58

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(Bis auf Freischaltung)
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ergänzt.\(\endgroup\)

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Re: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
von cis am So. 04. Januar 2015 07:45:27

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(Bis auf Freischaltung)


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ergänzt.\(\endgroup\)

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Re: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
von cis am Di. 06. Januar 2015 07:34:50

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(Bis auf Freischaltung)

Kleinere Ergänzungen in den Abschnitten

·Rechenregeln,  "(L4a), (L4b)"
·Besondere Logarithmen,  "rechnerischer Zusammenhang"

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Re: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
von cis am Di. 27. Oktober 2015 18:14:40

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(Bis auf Freischaltung)

· Aufgabe
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ergänzt.\(\endgroup\)

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Re: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
von cis am Di. 19. Januar 2016 19:35:23

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Bis auf Freischaltung

· Aufgabe
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und

· Aufgabe
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ergänzt.


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