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Mathematik: 2-Kategorien - Einstieg in die höhere Kategorientheorie
Freigegeben von matroid am Sa. 23. Mai 2015 11:14:00
Verfasst von Martin_Infinite -   1173 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

2-Kategorien

Einstieg in die höhere Kategorientheorie

Kategorien bestehen aus Objekten und Morphismen zwischen den Objekten. Diese kann man sich als Punkte und Pfeile dazwischen vorstellen, die man miteinander verketten kann:

<math>\begin{tikzcd}[column sep=25pt, row sep=5pt] \bullet \ar[dashed,bend left]{rr} \ar{dr} && \bullet \\ & \bullet \ar{ur} & \end{tikzcd}</math>
 
Dieser Artikel gibt eine Einführung in 2-Kategorien. Diese bestehen aus Objekten, (1-)Morphismen sowie Morphismen zwischen 1-Morphismen, genannt 2-Morphismen:
 
<math>\begin{tikzcd}[row sep=10pt] & \ar[Rightarrow]{dd} & \\ \bullet \ar[bend left=45]{rr} \ar[bend right=45]{rr} &  & \bullet \\ & \phantom{.} & \end{tikzcd}</math>

Die Komposition der 1-Morphismen ist außerdem nur bis auf 2-Isomorphismen assoziativ, d.h. <math>(f * g) * h \cong f * (g * h)</math>. In diesem Artikel werden u.a. drei typische Beispiele ausführlich besprochen:

• Kategorien als Objekte mit Funktoren als 1-Morphismen und natürlichen Transformationen als 2-Morphismen.
• Topologische Räume als Objekte mit stetigen Abbildungen als 1-Morphismen und Homotopieklassen von Homotopien als 2-Morphismen.
• Algebren als Objekte mit Bimoduln als 1-Morphismen und Bimodulhomomorphismen als 2-Morphismen.
 
Als Spezialfall von <math>2</math>-Kategorien behandeln wir monoidale Kategorien; dies sind Kategorien mit einer Art Multiplikation. Ferner besprechen wir Adjunktionen in einer <math>2</math>-Kategorie, welche zum Beispiel adjungierte Funktoren, Dualitäten in monoidalen Kategorien sowie Morita-Kontexte vereinheitlichen. Schließlich geht es um Funktoren zwischen <math>2</math>-Kategorien und einer <math>2</math>-kategoriellen Version des Yoneda-Lemmas.

Inhalt

0. Vorbemerkung
1. Definition einer 2-Kategorie
2. Strikte 2-Kategorien
3. Die 2-Kategorie der Bimoduln
4. Die 2-Kategorie der Dächer
5. Die 2-Kategorie der topologischen Räume
6. Funktoren zwischen 2-Kategorien
7. Monoidale Kategorien
8. Adjunktionen in einer 2-Kategorie
9. Yoneda-Lemma für 2-Kategorien
10. Schluss

0. Vorbemerkung

In diesem Artikel wird die diagrammatische Reihenfolge der Komposition (engl. diagrammatic order) benutzt: Für Morphismen <math>f : A \to B</math> und <math>g : B \to C</math> einer Kategorie schreiben wir <math>f \ast g : A \to C</math> für ihre Komposition (üblich ist auch <math>f;g</math>). Dies bringt einige Vorteile beim Lesen mit sich, denn es steht links, wo wir in unserem Kulturkreis also mit dem Lesen beginnen, auch wirklich das, was zuerst in der Komposition vorkommt. Der Vorteil wird besonders beim Umsetzen von kommutativen Diagrammen in Gleichungen (oder umgekehrt) ersichtlich. (In einer ersten Version des Artikels wurde die übliche Reihenfolge benutzt und sie hat sich als verwirrend und unzweckmäßig erwiesen.) Aus dieser Konvention ergibt sich die Notwendigkeit der Postfixnotation, in der zum Beispiel <math>(a)f</math> (und nicht <math>f(a)</math>) für das Bild eines Elements <math>a</math> unter einer Funktion <math>f</math> steht. Für Funktionen <math>X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z</math> gilt also <math>(a)(f \ast g)=((a)f)g</math>. Analog verfahren wir mit Funktoren. Sind <math>F,G : A \to B</math> zwei Funktoren, so ordnet eine natürliche Transformation <math>\alpha : F \to G</math> jedem Objekt <math>a</math> von <math>A</math> einen Morphismus <math>(a)\alpha : (a)F \to (a)G</math> zu, sodass für alle Morphismen <math>f : a \to b</math> in <math>A</math> das Diagramm
 
<math>\begin{tikzcd}[row sep=28pt, column sep=28pt] (a)F \ar{r}{(a)\alpha} \ar{d}[swap]{(f)F} & (a)G \ar{d}{(f)G} \\ (b)F \ar{r}{(b)\alpha} & (b)G\end{tikzcd}</math>
 
kommutiert, d.h. es gilt <math>(a)\alpha \ast (f)G = (f)F \ast (b)\alpha</math>. Es braucht seine Zeit, sich an diese Schreibweisen zu gewöhnen, aber es zahlt sich aus. Man muss nämlich Kompositionen von Morphismen und analog Funktionsauswertungen nicht mehr von rechts nach links lesen!

<math>\begin{tikzcd}A \ar[bend left=60]{rr}{f \ast g}\ar{r}{f} & B \ar{r}{g}& C \end{tikzcd} \hspace{1cm} \begin{tikzcd}\{0\} \ar[bend left=60]{rr}{(x)f}\ar{r}{x} & X \ar{r}{f}& Y \end{tikzcd}</math>

In der Postfixnotation lassen sich Ausdrücke ganz natürlich von links nach rechts abarbeiten. Bei binären Operationen werden wir allerdings die vertraute Infixnotation benutzen, d.h. wir schreiben <math>f * g</math> anstelle von <math>(f,g)*</math>.
 

1. Definition einer 2-Kategorie

Idee. Eine gewöhnliche Kategorie <math>\mathcal{C}</math> enthält bekanntlich unter anderem eine Klasse <math>\mathrm{Ob}(\mathcal{C})</math> von Objekten (die man in der Postfixnotation wohl als <math>(\mathcal{C})\mathrm{Ob}</math> schreiben sollte) sowie für je zwei Objekte <math>A,B \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})</math> eine Klasse (oder sogar Menge; mit der Mengenlehre werden wir es in diesem Artikel nicht genau nehmen) <math>\mathrm{Hom}(A,B)</math> (bzw. <math>(A,B)\mathrm{Hom}</math> in der Postfixnotation) von Morphismen <math>A \to B</math>. Mit diesen Morphismen können wir Objekte in Beziehung setzen. Aber Morphismen können wir in einer Kategorie nicht besonders in Beziehung setzen; wir können lediglich sagen, ob zwei Morphismen gleich sind oder nicht. Um verschiedene Morphismen <math>A \to B</math> aufeinander abzubilden, müssen wir die Klasse <math>\mathrm{Hom}(A,B)</math> selbst durch eine Kategorie ersetzen. Schreibt man dann die Axiome einer Kategorie entsprechend ab, erhält man das Konzept einer strikten <math>2</math>-Kategorie. Es ist allerdings natürlich, die Gleichungen in den Axiomen einer Kategorie durch Isomorphismen in den Hom-Kategorien abzuschwächen. Diese sollten auch zum Datum dazugehören und außerdem in einem geeigneten Sinne miteinander verträglich sein. So gelangen wir zum folgenden Konzept einer <math>2</math>-Kategorie:
 
Definition. Eine <math>2</math>-Kategorie <math>\mathcal{C}</math> besteht aus den folgenden Daten (1)-(7) (zu denen wir parallel Erklärungen beisteuern):
(1) einer Klasse <math>\mathrm{Ob}(\mathcal{C})</math>;

Die Elemente von <math>\mathrm{Ob}(\mathcal{C})</math> heißen Objekte von <math>\mathcal{C}</math> oder auch <math>0</math>-Morphismen von <math>\mathcal{C}</math>. Sie werden oft mit Großbuchstaben <math>A,B,C,\dotsc</math> bezeichnet.

(2) für alle <math>A,B \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})</math> einer Kategorie <math>\mathrm{Hom}(A,B)</math>;
 
Die Objekte in <math>\mathrm{Hom}(A,B)</math> heißen <math>1</math>-Morphismen in <math>\mathcal{C}</math> von <math>A</math> nach <math>B</math>. Sie werden oft mit Kleinbuchstaben <math>f,g,h,\dotsc</math> bezeichnet. Man schreibt auch <math>f : A \to B</math> für einen <math>1</math>-Morphismus <math>f</math> von <math>A</math> nach <math>B</math>. Die Morphismen <math>f \to g</math> zwischen zwei <math>1</math>-Morphismen <math>f,g : A \to B</math> in <math>\mathrm{Hom}(A,B)</math> werden <math>2</math>-Morphismen in <math>\mathcal{C}</math> genannt. Sie werden oft mit griechischen Buchstaben <math>\alpha,\beta,\gamma,\dotsc</math> bezeichnet. Man stellt sich <math>2</math>-Morphismen so vor:
 
<math>\begin{tikzcd}[column sep=30pt,row sep=10pt]
\phantom{.} & \phantom{.} \ar[Rightarrow]{dd}{\alpha} & \\ A \ar[bend left=45]{rr}{f} \ar[bend right=45]{rr}[swap]{g} && B  \\ \phantom{.} & \phantom{.} & \end{tikzcd}</math>
 
Weil <math>\mathrm{Hom}(A,B)</math> eine Kategorie ist, haben wir für jeden <math>1</math>-Morphismus <math>f : A \to B</math> einen <math>2</math>-Morphismus <math>\mathrm{id}_f : f \to f</math>, die Identität von <math>f</math>, und für je zwei <math>2</math>-Morphismen <math>\alpha: f \to g</math>, <math>\beta: g \to h</math> zwischen <math>1</math>-Morphismen <math>f,g,h : A \to B</math> einen <math>2</math>-Morphismus <math>\alpha \ast \beta : f \to h</math>, die Komposition von <math>\alpha</math> mit <math>\beta</math>. Dabei ist <math>\ast</math> assoziativ und die Identitäten <math>\mathrm{id}_f</math> sind beidseitig neutral bezüglich <math>\ast</math>.

Die Komposition von Morphismen in der Kategorie <math>\mathrm{Hom}(A,B)</math> stellt man sich "vertikal" vor:

<math>\begin{tikzcd}[column sep=30pt,row sep=18pt]
& \ar[Rightarrow]{d}{\,\alpha} & &  & \ar[Rightarrow]{dd}{\,\alpha \ast \beta} & \\
A \ar[bend right=60]{rr}[swap]{h} \arrow{rr}[description]{g} \ar[bend left=60]{rr}{f} & \phantom{*} \ar[Rightarrow]{d}{\,\beta} & B  &  A \ar[bend right=60]{rr}[swap]{h}  \ar[bend left=60]{rr}{f} &  & B \\ & \phantom{.}   &  &   & \phantom{.} &  \end{tikzcd}</math>

Die Isomorphismen in der Kategorie <math>\mathrm{Hom}(A,B)</math> heißen <math>2</math>-Isomorphismen.

(3) für alle <math>A,B,C \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})</math> einem Funktor <math>* : \mathrm{Hom}(A,B) \times \mathrm{Hom}(B,C) \to \mathrm{Hom}(A,C)</math>;
 
Dieser Funktor heißt die Komposition von <math>\mathcal{C}</math>. Wir haben also für <math>1</math>-Morphismen <math>f : A \to B</math>, <math>g : B \to C</math> einen <math>1</math>-Morphismus <math>f \ast g : A \to C</math>, und auch für <math>2</math>-Morphismen <math>\alpha : f \to f'</math> zwischen <math>1</math>-Morphismen <math>f,f' : A \to B</math> bzw. <math>2</math>-Morphismen <math>\beta : g \to g'</math> zwischen <math>1</math>-Morphismen <math>g,g' : B \to C</math> einen induzierten <math>2</math>-Morphismus <math>\alpha \ast \beta : f \ast g \to f' \ast g'</math>. Diesen bezeichnen wir in der Regel mit <math>\alpha \bullet \beta</math>, um eine Verwechslung mit der Komposition aus (2) zu vermeiden (auch wenn es rein mathematisch nicht notwendig ist). Diese Komposition stellt man sich "horizontal" vor:

<math>\begin{tikzcd}[column sep=30pt,row sep=15pt] & \ar[Rightarrow]{dd}{\,\alpha} & & \ar[Rightarrow]{dd}{\,\beta} & &    &\ar[Rightarrow]{dd}{\,\alpha \bullet \beta} & \\
A \ar[bend right=60]{rr}[swap]{f'}  \ar[bend left=60]{rr}{f} & & B \ar[bend right=60]{rr}[swap]{g'}  \ar[bend left=60]{rr}{g} & & C  & A \ar[bend right=60]{rr}[swap]{f' \ast g'}  \ar[bend left=60]{rr}{f \ast g} &  & C \\ & \phantom{.} & & \phantom{.}  & && \phantom{.}  &  \end{tikzcd}</math>
 
Die Komposition ist dabei ein Funktor, das heißt: Erstens gilt <math>\mathrm{id}_f \bullet \mathrm{id}_g = \mathrm{id}_{f \ast g}</math> für zwei <math>1</math>-Morphismen <math>f : A \to B</math>, <math>g : B \to C</math>. Zweitens gilt für zwei <math>2</math>-Morphismen <math>\alpha : f \to f'</math>, <math>\gamma : f' \to f''</math> in <math>\mathrm{Hom}(A,B)</math> und für zwei <math>2</math>-Morphismen <math>\beta : g \to g'</math>, <math>\delta : g' \to g''</math> in <math>\mathrm{Hom}(B,C)</math> die Gleichung

<math>\displaystyle(\alpha \ast \gamma) \bullet (\beta \ast \delta) = (\alpha \bullet \beta) \ast (\gamma \bullet \delta)</math>

von <math>2</math>-Morphismen <math>f \ast g \to f'' \ast g''</math>. Man kann sich diese Gleichung so vorstellen, dass es im folgenden Diagramm egal ist, ob man die Kompositionen erst vertikal und dann horizontal, oder erst horizontal und dann vertikal bildet:

<math>\begin{tikzcd}[column sep=30pt,row sep=15pt] & \ar[Rightarrow]{d}{\,\alpha} & & \ar[Rightarrow]{d}{\,\beta} & &  \\
A \ar[bend right=60]{rr} \ar{rr} \ar[bend left=60]{rr} & \phantom{.} \ar[Rightarrow]{d}{\,\gamma} & B \ar{rr} \ar[bend right=60]{rr}  \ar[bend left=60]{rr} & \phantom{.} \ar[Rightarrow]{d}{\,\delta} & C   \\ & \phantom{.} & & \phantom{.}  &  \end{tikzcd}</math>

(4) für alle <math>A,B,C,D \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})</math> einem natürlichen Isomorphismus <math>\alpha_{A,B,C,D} : (\,?\, \ast \,?\,) \ast \,?\, \to \,?\, \ast (\,?\, \ast \,?\,)</math> von Funktoren von <math>\mathrm{Hom}(A,B) \times \mathrm{Hom}(B,C) \times \mathrm{Hom}(C,D)</math> nach <math>\mathrm{Hom}(A,D)</math>;

Für drei <math>1</math>-Morphismen <math>f : A \to B</math>, <math>g : B \to C</math>, <math>h : C \to D</math> haben wir demnach einen <math>2</math>-Isomorphismus (wir lassen die Indizes <math>A,B,C,D</math> weg)

<math>\begin{tikzcd}[column sep=50pt,row sep=18pt]
\phantom{.} & \phantom{.} \ar[Rightarrow]{dd}[description]{(f,g,h)\alpha} & \\ A \ar[bend left=45]{rr}{(f * g) * h} \ar[bend right=45]{rr}[swap]{f * (g * h)} && D.  \\ \phantom{.} & \phantom{.} & \end{tikzcd}</math>

Er wird Assoziator genannt. Dieser ist obendrein natürlich in <math>f,g,h</math>, d.h. für je drei <math>2</math>-Morphismen <math>\alpha : f \to f'</math>, <math>\beta : g \to g'</math>, <math>\gamma : h \to h'</math> kommutiert das folgende Diagramm:

<math>\begin{tikzcd}[column sep=80pt, row sep=35pt](f \ast g) \ast h \ar{r}{(f,g,h)\alpha} \ar{d}[swap]{(\alpha \bullet \beta) \bullet \gamma} & f \ast (g \ast h) \ar{d}{\alpha \bullet (\beta \bullet \gamma)} \\ (f' \ast g') \ast h' \ar{r}{(f',g',h')\alpha} & f' \ast (g' \ast h') \end{tikzcd}</math>

(5) für alle <math>A \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})</math> einem Morphismus <math>\mathrm{id}_A : A \to A</math>;

Es wird <math>\mathrm{id}_A</math> die Identität des Objektes <math>A</math> genannt.

(6) für alle <math>A,B \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})</math> einem natürlichen Isomorphismus <math>\rho_{A,B} : \,? \ast \mathrm{id}_B \to \,?\,</math> von Funktoren von <math>\mathrm{Hom}(A,B)</math> nach <math>\mathrm{Hom}(A,B)</math>.

Das bedeutet: Für alle <math>1</math>-Morphismen <math>f : A \to B</math> haben wir einen <math>2</math>-Isomorphismus (wir lassen die Indizes <math>A,B</math> weg)

<math>\begin{tikzcd}[column sep=35pt,row sep=12pt]
\phantom{.} & \phantom{.} \ar[Rightarrow]{dd}[description]{(f)\rho} & \\ A \ar[bend left=45]{rr}{f * \mathrm{id}_B} \ar[bend right=45]{rr}[swap]{f} && B.  \\ \phantom{.} & \phantom{.} & \end{tikzcd}</math>
 
Dieser wird Rechtseinheit genannt. Er ist obendrein natürlich in <math>f</math>, d.h. für <math>2</math>-Morphismen <math>\alpha : f \to f'</math> kommutiert das folgende Diagramm:

<math>\begin{tikzcd}[column sep=40pt, row sep=30pt] f \ast \mathrm{id}_B \ar{r}{(f)\rho} \ar{d}[swap]{\alpha \,\bullet\, \mathrm{id}_{\mathrm{id}_B}} & f \ar{d}{\alpha} \\ f' \ast \mathrm{id}_B \ar{r}{(f')\rho} & f' \end{tikzcd}</math>

(7) für alle <math>A,B \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})</math> einem natürlichen Isomorphismus <math>\lambda_{A,B} : \mathrm{id}_A \ast \,? \to \,?\,</math> von Funktoren von <math>\mathrm{Hom}(A,B)</math> nach <math>\mathrm{Hom}(A,B)</math>.

Das bedeutet: Für alle <math>1</math>-Morphismen <math>f : A \to B</math> haben wir einen <math>2</math>-Isomorphismus (wir lassen die Indizes <math>A,B</math> weg)

<math>\begin{tikzcd}[column sep=35pt,row sep=12pt]
\phantom{.} & \phantom{.} \ar[Rightarrow]{dd}[description]{(f)\lambda} & \\ A \ar[bend left=45]{rr}{\mathrm{id}_A * f} \ar[bend right=45]{rr}[swap]{f} && B.  \\ \phantom{.} & \phantom{.} & \end{tikzcd}</math>
 
Dieser wird Linkseinheit genannt. Er ist obendrein natürlich in <math>f</math>, d.h. für <math>2</math>-Morphismen <math>\alpha : f \to f'</math> kommutiert das folgende Diagramm:

<math>\begin{tikzcd}[column sep=40pt, row sep=30pt] \mathrm{id}_A \ast f \ar{r}{(f)\lambda} \ar{d}[swap]{\mathrm{id}_{\mathrm{id}_A} \bullet\, \alpha} & f \ar{d}{\alpha} \\ \mathrm{id}_A \ast f' \ar{r}{(f')\lambda} & f' \end{tikzcd}</math>

Wir verlangen nun für eine <math>2</math>-Kategorie neben den obigen Daten noch die folgenden beiden Axiome:
(K1) Für alle <math>1</math>-Morphismen <math>f : A \to B</math>, <math>g : B \to C</math> kommutiert das folgende Diagramm von <math>2</math>-Morphismen:

<math>\begin{tikzcd}[column sep=15pt, row sep=30pt] (f \ast \mathrm{id}_B) \ast  g \ar[bend left=60]{rr}{(f,\mathrm{id}_B,g)\alpha} \ar[bend right]{dr}[swap]{(f)\rho\, \bullet\, \mathrm{id}_g} && f \ast (\mathrm{id}_B \ast g) \ar[bend left]{dl}{\mathrm{id}_f \,\bullet\, (g)\lambda} \\  & f \ast g &  \end{tikzcd}</math>

Dieses Diagramm ist recht natürlich: Wenn bei einem Assoziator der mittlere <math>1</math>-Morphismus eine Identität ist, dann können wir sowohl die Linkseinheit als auch die Rechtseinheit benutzen, um zur Komposition der übrigen <math>1</math>-Morphismen zu kommen. Es ist wünschenswert, dass das Ergebnis jeweils dasselbe ist.

(K2) Für alle <math>1</math>-Morphismen <math>f : A \to B</math>, <math>g : B \to C</math>, <math>h : C \to D</math>, <math>i : D \to E</math> kommutiert das folgende Diagramm von <math>2</math>-Morphismen:

<math>\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
\node (ax_yz) at (0,5.2) {$(f \ast g) \ast (h \ast i)$};
\node (ax_y_z) at (-4.1,3) {$((f \ast g) \ast  h) \ast i$};
\node (a_x_yz) at (+4.1,3) {$f \ast (g  \ast (h \ast i))$};
\node (a_xy__z) at (-3.2,0) {$(f \ast (g \ast h)) \ast i$};
\node (a__xy_z) at (+3.2,0) {$f \ast ((g \ast h) \ast i)$};
\path[line width=0.55pt,->]
(ax_y_z)  edge [bend right=20] node[left,font=\scriptsize]{$(f,g,h)\alpha \bullet \mathrm{id}_i$} (a_xy__z)
(a_xy__z) edge [bend right=20] node[below,font=\scriptsize]{$(f,g \ast h,i)\alpha$} (a__xy_z)
(a__xy_z) edge [bend right=20] node[right,font=\scriptsize]{$\mathrm{id}_f \bullet (g,h,i)\alpha$} (a_x_yz)
(ax_y_z) edge [bend left=20] node[left,font=\scriptsize]{$(f \ast g,h,i)\alpha$\phantom{a}} (ax_yz)
(ax_yz) edge [bend left=20] node[right,font=\scriptsize]{\phantom{a}$(f,g,h \ast i)\alpha$} (a_x_yz);
\end{tikzpicture}</math>

Es geht bei diesem Diagramm darum, dass es zwei Möglichkeiten gibt, mittels der Assoziatoren von <math>((f \ast g) \ast h) \ast i</math> nach <math>f \ast (g  \ast (h \ast i))</math> zu kommen; diese Wege sollten übereinstimmen.

Die beiden Axiome (K1) und (K2) heißen Kohärenzaxiome. Sie stellen im Prinzip sicher, dass Assoziator, Linkseinheit und Rechtseinheit miteinander verträglich sind. Diese Kohärenz ist nicht automatisch, aber sehr angenehm und ist auch in den Beispielen später erfüllt; daher fordern wir sie. Tatsächlich kann man zeigen, dass "alle sinnvollen" aus den Daten gebildeten Diagramme kommutieren und das ist der eigentliche Sinn der Definition; wir werden das hier nicht beweisen, werden aber kurz in Abschnitt 9 darauf zurückkommen.
 
Damit ist die Definition einer <math>2</math>-Kategorie abgeschlossen.

Bemerkung. Das Motto der höheren Kategorientheorie lautet: Wenn zwei Dinge identifiziert werden können, identifiziere sie nicht! Merke dir stattdessen die Identifikation, denn sie ist ein eigenständiges höherdimensionales Objekt. So haben wir etwa in der Definition einer <math>2</math>-Kategorie nicht gesagt, dass <math>(f \ast g) \ast h</math> irgendwie zu <math>f \ast (g \ast h)</math> isomorph ist, sondern wir merken uns einen Isomorphismus und arbeiten damit.
 
Definition. Es sollte klar sein, wie man eine Unter-<math>2</math>-Kategorie einer <math>2</math>-Kategorie <math>\mathcal{C}</math> definiert: Dies ist eine <math>2</math>-Kategorie <math>\mathcal{D}</math>, sodass die ganze Struktur von <math>\mathcal{D}</math> die Einschränkung der Struktur von <math>\mathcal{C}</math> ist. Zum Beispiel ist <math>\mathrm{Ob}(\mathcal{D}) \subseteq \mathrm{Ob}(\mathcal{C})</math> und für alle Objekte <math>A,B</math> von <math>\mathcal{D}</math> ist <math>\mathrm{Hom}_{\mathcal{D}}(A,B)</math> eine Unterkategorie von <math>\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)</math>, etc.

Bemerkung. Wegen der diagrammatischen Reihenfolge der Komposition ist unsere Linkseinheit das, was in der Literatur immer die Rechtseinheit genannt wird; und natürlich umgekehrt.

Bemerkung. Man kann sich <math>2</math>-Kategorien auch mit Hilfe von String-Diagrammen veranschaulichen. Morphismen <math>f : X \to Y</math> werden hierbei in der Form

<math>\begin{tikzpicture}
\draw (1,0) to (1,1);
\draw node at (1,1.3) {$f$};
\draw node at (0.5,0.5) {$X$};
\draw node at (1.5,0.5) {$Y$};
\end{tikzpicture}</math>
 
dargestellt. Die Objekte sind also Regionen, die durch die Morphismen getrennt werden. Einen <math>2</math>-Morphismus <math>\alpha : f \to g</math> stellt man sich so vor:

<math>
\begin{tikzpicture}
\draw (1,0) to (1,1);
\draw node at (1,1.3) {$g$};
\draw node at (1,-0.3) {$f$};
\draw [black,fill=white] (0.8,0.7) to (1.2,0.7) to (1.2,0.3) to (0.8,0.3) to (0.8,0.7);
\draw node at (1,0.5) {$\alpha$};
\draw node at (0.4,0.5) {$X$};
\draw node at (1.6,0.5) {$Y$};
\end{tikzpicture}
</math>

Die vertikale Komposition von <math>\alpha : f \to g</math> mit <math>\beta : g \to h</math> wird als

<math>
\begin{tikzpicture}
\draw (1,0) to (1,2);
\draw node at (1,2.3) {$h$};
\draw node at (1,-0.3) {$f$};
\draw [black,fill=white] (0.8,0.7) to (1.2,0.7) to (1.2,0.3) to (0.8,0.3) to (0.8,0.7);
\draw [black,fill=white] (0.8,1.7) to (1.2,1.7) to (1.2,1.3) to (0.8,1.3) to (0.8,1.7);
\draw node at (1,0.5) {$\alpha$};
\draw node at (1,1.5) {$\beta$};
\draw node at (0.4,1) {$X$};
\draw node at (1.6,1) {$Y$};
\end{tikzpicture}
</math>
 
dargestellt; die horizontale Komposition von <math>\alpha : f \to f'</math> mit <math>\beta : g \to g'</math> sieht so aus:

<math>
\begin{tikzpicture}
\draw (1,0) to (1,1);
\draw (2.2,0) to (2.2,1);
\draw node at (2.2,1.3) {$g'$};
\draw node at (2.2,-0.3) {$g$};
\draw node at (1,1.3) {$f'$};
\draw node at (1,-0.3) {$f$};
\draw [black,fill=white] (0.8,0.7) to (1.2,0.7) to (1.2,0.3) to (0.8,0.3) to (0.8,0.7);
\draw node at (1,0.5) {$\alpha$};
\draw [black,fill=white] (2,0.7) to (2.4,0.7) to (2.4,0.3) to (2,0.3) to (2,0.7);
\draw node at (2.2,0.5) {$\beta$};
\draw node at (0.4,0.5) {$X$};
\draw node at (1.6,0.5) {$Y$};
\draw node at (2.8,0.5) {$Z$};
\end{tikzpicture}
</math>

Die Natürlichkeit des Assoziators kann man sich so vorstellen (das habe ich allerdings bisher in der Literatur nicht gefunden):

<math>
\begin{tikzpicture}[yscale=0.8]
\draw (0,0) to (0,2) to (0,4);
\draw (1,0) to [out=90,in=-90] (2,2) to (2,4);
\draw (3,0) to (3,2) to (3,4);
\draw [black,fill=white] (-0.2,3.2) to (0.2,3.2) to (0.2,2.8) to (-0.2,2.8) to (-0.2,3.2);
\draw node at (0,3) {$\alpha$};
\draw [black,fill=white] (1.8,3.2) to (2.2,3.2) to (2.2,2.8) to (1.8,2.8) to (1.8,3.2);
\draw node at (2,3) {$\beta$};
\draw [black,fill=white] (2.8,3.2) to (3.2,3.2) to (3.2,2.8) to (2.8,2.8) to (2.8,3.2);
\draw node at (3,3) {$\gamma$};
\draw (5,0) to (5,2) to (5,4);
\draw (6,0) to (6,2) to [out=90,in=-90] (7,4);
\draw (8,0) to (8,2) to (8,4);
\draw [black,fill=white] (4.8,1.2) to (5.2,1.2) to (5.2,0.8) to (4.8,0.8) to (4.8,1.2);
\draw node at (5,1) {$\alpha$};
\draw [black,fill=white] (5.8,1.2) to (6.2,1.2) to (6.2,0.8) to (5.8,0.8) to (5.8,1.2);
\draw node at (6,1) {$\beta$};
\draw [black,fill=white] (7.8,1.2) to (8.2,1.2) to (8.2,0.8) to (7.8,0.8) to (7.8,1.2);
\draw node at (8,1) {$\gamma$};
\draw node at (4,2) {$=$};
\end{tikzpicture}</math>
 
Wogegen in der üblichen Darstellungsweise <math>k</math>-Morphismen für <math>k=0,1,2</math> als <math>k</math>-dimensionale Objekte dargestellt werden, werden sie hier als <math>(2-k)</math>-dimensionale Objekte dargestellt. In vielen Situationen ist das Arbeiten mit String-Diagrammen viel einfacher und intuitiver als mit herkömmlichen Diagrammen. Wir wollen das in diesem Artikel aber nicht weiter verfolgen.

2. Strikte 2-Kategorien

Definition. Eine strikte <math>2</math>-Kategorie ist per Definition eine <math>2</math>-Kategorie, in der die Assoziatoren, Linkseinheiten und Rechtseinheiten Identitäten sind. Es gilt dann <math>(f \ast g) \ast h = f \ast (g \ast h)</math> für <math>1</math>-Morphismen <math>f : A \to B</math>, <math>g : B \to C</math>, <math>h : C \to D</math> und außerdem <math>f \ast \mathrm{id}_B = f = \mathrm{id}_A \ast f</math> für <math>1</math>-Morphismen <math>f : A \to B</math>. Die entsprechenden Gleichungen müssen auch für <math>2</math>-Morphismen gelten. Die Natürlichkeit in (4) besagt <math>(\alpha \bullet \beta) \bullet \gamma = \alpha \bullet (\beta \bullet \gamma)</math>. Die Natürlichkeit in (6) besagt <math>\alpha \bullet \mathrm{id}_{\mathrm{id}_B} = \alpha</math> und die Natürlichkeit in (7) besagt <math>\mathrm{id}_{\mathrm{id}_A} \bullet \alpha = \alpha</math>. Die Kohärenzaxiome (K1) und (K2) gelten automatisch.
 
Beispiel. Jede Kategorie lässt sich als eine strikte <math>2</math>-Kategorie auffassen, indem wir sagen, dass die Identitäten die einzigen <math>2</math>-Morphismen seien. Das heißt, die Kategorien <math>\mathrm{Hom}(A,B)</math> sind diskret. Das ist zwar nicht weiter spannend, passt aber sehr schön zur Aussage, man jede Menge (oder sogar Klasse) als eine Kategorie auffassen kann, nämlich als eine diskrete Kategorie. Wenn wir also definieren:

<math>0</math>-Kategorie := Klasse (oder Menge, je nach Fundierung)
<math>1</math>-Kategorie := Kategorie im üblichen Sinne
<math>2</math>-Kategorie := definiert wie in Abschnitt 1
 
Dann erkennen wir bereits den Anfang einer (unendlichen) Hierarchie von höheren <math>n</math>-Kategorien; auf die Details dieser in der Entwicklung befindlichen Theorie können wir an dieser Stelle aber gar nicht eingehen. Es sei nur gesagt, dass es nicht verkehrt ist, sich <math>2</math>-kategorielle Konstruktionen stets auch im Spezialfall von gewöhnlichen <math>1</math>-Kategorien anzuschauen.
 
Kommen wir nun zum "Paradebeispiel" einer strikten <math>2</math>-Kategorie.

Beispiel. Es sei <math>\mathsf{Cat}</math> die folgende <math>2</math>-Kategorie: Die Objekte seien die (kleinen) Kategorien. Die <math>1</math>-Morphismen seien die Funktoren. Die <math>2</math>-Morphismen seien die natürlichen Transformationen. Die Komposition von natürlichen Transformationen <math>\alpha: f \to g</math>, <math>\beta: g \to h</math> zwischen Funktoren <math>f,g,h : A \to B</math> ist die natürliche Transformation <math>\alpha \ast \beta : f \to h</math>, die bei einem Objekt <math>a \in \mathrm{Ob}(A)</math> durch <math>(a)(\alpha \ast \beta) = (a)\alpha \ast (a)\beta : (a)f \to (a)g \to (a)h</math> definiert ist. Jeder Funktor <math>f : A \to B</math> hat die identische natürliche Transformation <math>\mathrm{id}_f : f \to f</math>, die durch <math>(a)\mathrm{id}_f:=\mathrm{id}_{(a)f}</math> definiert ist. Das erklärt die (Funktor)Kategorie <math>\mathrm{Hom}(A,B)</math> für je zwei (kleine) Kategorien <math>A,B</math>.

Um die Komposition <math>\ast : \mathrm{Hom}(A,B) \times \mathrm{Hom}(B,C) \to \mathrm{Hom}(A,C)</math> möglichst ökonomisch zu erklären, benötigen wir Folgendes:
 
Lemma. Es seien <math>A,B,C</math> drei Kategorien. Dann gibt es eine natürliche Bijektion zwischen den Funktoren <math>A \times C \to B</math> und den Funktoren <math>C \to \mathrm{Hom}(A,B)</math>. Insbesondere gibt es einen natürlichen Funktor <math>A \times \mathrm{Hom}(A,B) \to B</math>.

Beweis. Sei <math>f : A \times C \to B</math> ein Funktor. Der zugehörige Funktor <math>\check{f} : C \to \mathrm{Hom}(A,B)</math> bildet ein Objekt <math>c</math> von <math>C</math> auf den Funktor <math>(-,c)f : A \to B</math> ab, der auf naheliegende Weise definiert ist. Ein Morphismus <math>c \to c'</math> wird auf die naheliegend definierte natürliche Transformation <math>(-,c')f \to (-,c')f</math> abgebildet. Es ist klar, dass <math>\check{f}</math> ein Funktor ist. Nun sei umgekehrt <math>g : C \to \mathrm{Hom}(A,B)</math> ein Funktor. Dann definieren wir einen Funktor <math>\check{g} : A \times C \to B</math> durch <math>(a,c)\check{g}=(a)(c)g</math> auf Objekten. Sind <math>a \to a'</math> und <math>c \to c'</math> zwei Morphismen, so kommutiert das folgende Diagramm, weil nämlich <math>(c)g \to (c')g</math> eine natürliche Transformation ist:
 
<math>\begin{tikzcd} (a)(c)g \ar{r} \ar{d} & (a)(c')g \ar{d} \\ (a')(c)g \ar{r} & (a')(c')g \end{tikzcd}</math>

Wir definieren <math>(a)(c)g \to (a')(c')g</math> als die Diagonale dieses Diagramms. Das erklärt <math>\check{g}</math> auf Morphismen. Man prüft ohne Schwierigkeiten nach, dass <math>\check{g}</math> ein Funktor ist. Außerdem prüft man problemlos nach, dass die beiden genannten Konstruktionen zueinander invers sind. <math>\checkmark</math>

Mit dem Lemma konstruieren wir nun für drei Kategorien <math>A,B,C</math> die Komposition von Funktoren

<math>A \times \mathrm{Hom}(A,B) \times \mathrm{Hom}(B,C) \to B \times \mathrm{Hom}(B,C) \to C</math>

und damit (wiederum nach dem Lemma) einen Funktor

<math>* : \mathrm{Hom}(A,B) \times \mathrm{Hom}(B,C) \to \mathrm{Hom}(A,C).</math>

Man kann diesen Funktor nun auch explizit hinschreiben, wenn man die Konstruktion im Detail durchgeht. Auf Objekten ist er die gewöhnliche Komposition von Funktoren <math>f : A \to B</math>, <math>g : B \to C</math> zu einem Funktor <math>f * g : A \to C</math>. Sind <math>\alpha : f \to f'</math> und <math>\beta : g \to g'</math> zwei natürliche Transformationen, so ist die horizontale Komposition <math>\alpha \bullet \beta : f * g \to f' * g'</math> nach obiger Konstruktion die natürliche Transformation, welche bei einem Objekt <math>a</math> die Diagonale des Diagramms

<math>\begin{tikzcd}[column sep=32pt, row sep=32pt] ((a)f)g \ar{r}{((a)\alpha)g} \ar{d}[swap]{((a)f)\beta} & ((a)f')g \ar{d}{((a)f')\beta} \\ ((a)f)g' \ar{r}{((a)\alpha)g'} & ((a)f')g' \end{tikzcd}</math>

ist. Wir haben diesen abstrakten Zugang gewählt, weil wir nun nicht mehr nachrechnen müssen, dass <math>*</math> ein Funktor ist, d.h. dass tatsächlich <math>\mathrm{id}_f \bullet \mathrm{id}_g = \mathrm{id}_{f \ast g}</math> und  <math>(\alpha \ast \gamma) \bullet (\beta \ast \delta) = (\alpha \bullet \beta) \ast (\gamma \bullet \delta)</math> gelten. (Wer mag, kann das einmal direkt nachrechnen!)

Damit wären (1),(2) und (3) erledigt. Für (4) müssen wir zeigen, dass die Komposition <math>\ast</math> von Funktoren und ebenfalls die Komposition <math>\bullet</math> von natürlichen Transformationen assoziativ ist. Ersteres trivial, das zweite rechnen wir nach: Für natürliche Transformationen <math>\alpha : f \to f'</math>, <math>\beta : g \to g'</math>, <math>\gamma : h \to h'</math> erkennt man <math>(\alpha \bullet \beta) \bullet \gamma = \alpha \bullet (\beta \bullet \gamma)</math> mit dem folgenden kommutativen Diagramm (wobei wir der besseren Lesbarkeit halber alle Klammern sowie das einzusetzende Objekt <math>a</math> weggelassen haben):

<math>\begin{tikzcd} fgh \ar{r}{\alpha gh} \ar{d}[swap]{f\beta h}& f'gh\ar{d}{f'\beta h}  \\ fg'h \ar{r}{\alpha g'h} \ar{d}[swap]{fg'\gamma} & f'g'h \ar{d}{f'g'\gamma} \\ fg'h' \ar{r}{\alpha g'h'} & f'g'h' \end{tikzcd}</math>
 
Bei (5) nehmen wir natürlich den Identitätsfunktor <math>\mathrm{id}_A : A \to A</math>. Die Natürlichkeiten für (6) und (7) sind ziemlich offensichtlich.

Beispiel. Ein Monoid (d.h. eine Menge mit einer assoziativen binären Verknüpfung mit Einselement) ist dasselbe wie eine Kategorie mit genau einem Objekt. Ein Homomorphismus von Monoiden ist dasselbe wie ein Funktor zwischen den zugehörigen Kategorien. Eine natürliche Transformation <math>\alpha : f \to g</math> zwischen Homomorphismen von Monoiden <math>f,g : A \to B</math> ist ein Element <math>b \in |B|</math> derart, dass <math>(a)f \cdot b  =  b \cdot (a)g</math> für alle <math>a \in |A|</math> gilt. Die Monoide bilden auf diese Weise ebenfalls eine strikte <math>2</math>-Kategorie, nämlich als Unter-<math>2</math>-Kategorie von <math>\mathsf{Cat}</math>. Wir erhalten analog die strikte <math>2</math>-Kategorie der Gruppen. Ein <math>2</math>-Morphismus zwischen zwei Gruppenhomomorphismen <math>f,g : A \to B</math> ist hier ein Element <math>b \in |B|</math> mit <math>f = g \ast c_b</math>, wobei <math>c_b : x \mapsto b \cdot x \cdot b^{-1}</math> die Konjugation mit <math>b</math> bezeichnet. Zwei Homomorphismen sind also genau dann isomorph, wenn sie zueinander konjugiert sind.

Bemerkung. Aus jeder <math>2</math>-Kategorie lässt sich eine <math>1</math>-Kategorie (d.h. Kategorie) konstruieren: Man nimmt dieselben Objekte, aber ein Morphismus sei eine <math>2</math>-Isomorphieklasse eines <math>1</math>-Morphismus. Es ist schnell klar, wie die Komposition zu erklären ist, und warum sie wohldefiniert und assoziativ ist. Es geht also die Information der <math>2</math>-Morphismen verloren. Man spricht daher auch von der <math>1</math>-Abschneidung (engl. truncation). In einem allgemeineren Rahmen heißt dieser Prozess Dekategorifizierung.

Beispiel. Aus der besprochenen <math>2</math>-Kategorie der Gruppen erhält man durch Abschneidung die <math>1</math>-Kategorie, deren Objekte die Gruppen sind und deren Morphismen die Konjugationsklassen von Gruppenhomomorphismen sind. Wenn <math>a,b</math> zwei Elemente einer Gruppe sind (die wir als Homomorphismen mit Start <math>\mathds{Z}</math> deuten können), so kann die <math>1</math>-Kategorie lediglich die Frage beantworten, ob <math>a</math> und <math>b</math> konjugiert sind, wohingegen die <math>2</math>-Kategorie die gesamte Menge <math>\hom(a,b)</math> der Gruppenelemente <math>g</math> mit <math>a = g \cdot b \cdot g^{-1}</math> kennt. Für <math>a=b</math> ist dies der Zentralisator von <math>a</math>.

Beispiel. Es gibt etliche Varianten der strikten <math>2</math>-Kategorie <math>\mathsf{Cat}</math>, etwa die strikte <math>2</math>-Kategorie <math>\mathsf{Cat}_c</math> der kovollständigen Kategorien zusammen mit kostetigen Funktoren und natürlichen Transformationen. Ein anderes Beispiel ist die strikte <math>2</math>-Kategorie <math>\mathsf{Cat}_k</math> der <math>k</math>-linearen Kategorien zusammen mit <math>k</math>-linearen Funktoren und natürlichen Transformationen. Diese beiden Beispiele lassen sich auch mischen: <math>\mathsf{Cat}_{c/k}</math> ist die strikte <math>2</math>-Kategorie der kovollständigen <math>k</math>-linearen Kategorien zusammen mit kostetigen <math>k</math>-linearen Funktoren und natürlichen Transformationen.

3. Die 2-Kategorie der Bimoduln

In diesem Abschnitt wollen wir ein typisches Beispiel für eine <math>2</math>-Kategorie besprechen, welche nicht strikt ist.
 
Definition. Es sei <math>k</math> ein fixierter kommutativer Ring. Die <math>2</math>-Kategorie <math>\mathsf{Bimod}_k</math> oder kurz <math>\mathsf{Bimod}</math> ist wie folgt definiert: Die Objekte seien die <math>k</math>-Algebren. Ein Morphismus von <math>A</math> nach <math>B</math> sei ein <math>(A,B)</math>-Bimodul (d.h. ein <math>k</math>-Modul mit einer <math>A</math>-Linksmodulstruktur und einer damit kompatiblen <math>B</math>-Rechtsmodulstruktur). Ein Morphismus zwischen <math>(A,B)</math>-Bimoduln sei eine <math>(A,B)</math>-lineare Abbildung (d.h. ein Homomorphismus der unterliegenden abelschen Gruppen, welcher sowohl <math>A</math>-linkslinear als auch <math>B</math>-rechtslinear ist). Es ist klar, wie man solche Morphismen komponiert; man bekommt also eine Kategorie <math>{}_A \mathsf{Mod}_B</math> der <math>(A,B)</math>-Bimoduln.

Sind <math>A,B,C</math> drei <math>k</math>-Algebren, so liefert das Tensorprodukt über <math>B</math> einen Funktor

<math>\otimes_B : {}_A \mathsf{Mod}_B \times {}_B \mathsf{Mod}_C \to {}_A \mathsf{Mod}_C.</math>
 
Wir schicken also einen <math>(A,B)</math>-Bimodul <math>M</math> und einen <math>(B,C)</math>-Bimodul <math>N</math> auf den <math>(A,C)</math>-Bimodul <math>M \otimes_B N</math>: Dieser wird frei von Symbolen <math>m \otimes n</math> mit <math>m \in |M|</math>, <math>n \in |N|</math> erzeugt mit den Relationen <math>(am) \otimes n = a(m \otimes n)</math>, <math>(m+m') \otimes n = m \otimes n + m' \otimes n</math>, <math>(mb) \otimes n = m \otimes (bn)</math>, <math>m \otimes (nc) = (m \otimes n)c</math> und <math>m \otimes (n+n')=m \otimes n + m \otimes n'</math>. Ist <math>\alpha : M \to M'</math> ein Morphismus von <math>(A,B)</math>-Bimoduln und <math>\beta : N \to N'</math> ein Morphismus von <math>(B,C)</math>-Bimoduln, so ist der Morphismus <math>\alpha \bullet \beta : M \otimes_B N \to M' \otimes_B N'</math> von <math>(A,C)</math>-Bimoduln durch <math>m \otimes n \mapsto (m)\alpha \otimes (n)\beta</math> definiert.

Damit sind (1),(2),(3) erledigt. Bei (4) wird es nun richtig interessant, weil wir es mit einem nichttrivialen Assoziator zu tun haben: Für <math>(A,B)</math>-Bimoduln <math>M</math>, <math>(B,C)</math>-Bimoduln <math>N</math> und <math>(C,D)</math>-Bimoduln <math>K</math> haben wir einen Isomorphismus (keine Gleichheit) von <math>(A,D)</math>-Bimoduln

<math>(M,N,K)\alpha : (M \otimes_B N) \otimes_C K \to M \otimes_B (N \otimes_C K),\\\phantom{\alpha_{A,B,C,D}(M,N,K) :} (m \otimes n) \otimes k \mapsto m \otimes (n \otimes k).</math>
 
Die Natürlichkeit in <math>M,N,K</math> ist leicht zu prüfen.

Bei (5) nehmen wir für jede <math>k</math>-Algebra <math>A</math> den, üblicherweise ebenfalls mit <math>A</math> bezeichneten, <math>(A,A)</math>-Bimodul, dessen unterliegende abelsche Gruppe die von <math>A</math> ist und dessen <math>A</math>-Linksmodul- wie <math>A</math>-Rechtsmodulstruktur von der Multiplikation von <math>A</math> herkommt. Bei (6) und (7) benutzen wir dann die natürlichen Isomorphismen

<math>(M)\rho : M \otimes_B B \to M,~ m \otimes b \mapsto mb\\
(M)\lambda : A \otimes_A M \to M,~ a \otimes m \mapsto am</math>

für <math>(A,B)</math>-Bimoduln <math>M</math>. Beim Kohärenzdiagramm (K1) hat man einen <math>(A,B)</math>-Bimodul <math>M</math> und einen <math>(B,C)</math>-Bimodul <math>N</math> gegeben. Es wird behauptet, dass das Diagramm

<math>\begin{tikzcd}[row sep=30pt, column sep=10pt] (M \otimes_B B) \otimes_B N \ar{rr}{\alpha} \ar{dr}[swap]{\rho} && M \otimes_B (B \otimes_B N) \ar{dl}{\lambda} \\ & M \otimes_B N & \end{tikzcd}</math>

kommutiert. Das lässt sich auf den reinen Tensoren direkt nachprüfen:

<math>\begin{tikzcd}[column sep=0pt, row sep=25pt] (m \otimes b) \otimes n \ar[mapsto]{rr}{\alpha} \ar[mapsto]{dr}[swap]{\rho} && m \otimes (b \otimes n) \ar[mapsto]{dl}{\lambda} \\ & (mb) \otimes n=m \otimes (bn) & \end{tikzcd}</math>
 
Das Kohärenzdiagramm (K2) prüft man genauso einfach nach. Man startet dabei mit einem reinen Tensor <math>((m \otimes n) \otimes u) \otimes v</math> und erkennt, dass er von beiden Kompositionen auf <math>m \otimes (n \otimes (u \otimes v))</math> geschickt wird.

Bemerkung. Für <math>k</math>-Algebren <math>A,B,C</math> gibt es eine natürliche Äquivalenz von Kategorien <math>{}_{A \times B} \mathsf{Mod}_C \simeq {}_B \mathsf{Mod}_C \times {}_A \mathsf{Mod}_C</math>. Dies bedeutet gerade, dass <math>A \times B</math> das (<math>2</math>-kategorielle) Koprodukt von <math>A,B</math> in der <math>2</math>-Kategorie <math>\mathsf{Bimod}</math> ist.

Bemerkung. Eine ähnliche <math>2</math>-Kategorie ist <math>\mathsf{Biset}</math>: Die Objekte sind die Monoide. Für zwei Monoide <math>M,N</math> sei <math>\mathrm{Hom}_{\mathsf{Biset}}(M,N)</math> die Kategorie der <math>(M,N)</math>-Mengen, d.h. Mengen versehen mit einer <math>M</math>-Linkswirkung und einer damit kompatiblen <math>N</math>-Rechtswirkung. Diese <math>2</math>-Kategorie kann man sich als das nichtlineare Analogon von <math>\mathsf{Bimod}</math> vorstellen.

4. Die 2-Kategorie der Dächer

Definition. Wir starten mit einer beliebigen Kategorie <math>\mathcal{C}</math> mit fixierten Faserprodukten, d.h. Pullbacks. Man kann sich hier aber ruhig der Einfachheit halber <math>\mathcal{C}=\mathsf{Set}</math> vorstellen. Wir konstruieren eine <math>2</math>-Kategorie <math>\mathsf{Dach}(\mathcal{C})</math> wie folgt:
 
Die Objekte von <math>\mathsf{Dach}(\mathcal{C})</math> seien die Objekte von <math>\mathcal{C}</math>. Ein Morphismus <math>X \to Y</math> in <math>\mathsf{Dach}(\mathcal{C})</math> ist ein Tripel <math>(R,f,g)</math> bestehend aus einem Objekt <math>R</math> von <math>\mathcal{C}</math>, einem Morphismus <math>f :R \to X</math> und einem Morphismus <math>g : R \to Y</math>. Man stellt sich dieses Tripel als ein Dach (engl. roof oder span) vor:
 
<math>\begin{tikzcd}\phantom{.}& R \ar{dr}{g} \ar{dl}[swap]{f} & \\  X &  & Y \end{tikzcd}</math>
 
Ein Morphismus von Dächern (d.h. ein <math>2</math>-Morphismus in <math>\mathsf{Dach}(\mathcal{C})</math>) sei ein kommutatives Diagramm:

<math>\begin{tikzcd} \phantom{.} & R \ar[bend left]{ddr} \ar[bend right]{ddl} \ar{d} & \\ & R' \ar{dl} \ar{dr} & \\  X &  & Y  \end{tikzcd}</math>
 
Es ist klar, wie man diese Morphismen komponiert. Die Dächer von <math>X</math> nach <math>Y</math> bilden damit eine Kategorie.
 
Die Identität eines Objektes <math>X</math> definieren wir durch das Dach

<math>\begin{tikzcd}\phantom{.}& X \ar{dr}{\mathrm{id}_X} \ar{dl}[swap]{\mathrm{id}_X} & \\ \phantom{.}X &  &X. \end{tikzcd}</math>

Hat man zwei Dächer von <math>X</math> nach <math>Y</math> bzw. von <math>Y</math> nach <math>Z</math>

<math>\begin{tikzcd}[sep={25pt,between origins}]\phantom{.}& R \ar{dr} \ar{dl} & & S \ar{dl} \ar{dr} & \\  X &  & Y && Z\end{tikzcd}</math>

gegeben, so bilden wir ein Faserprodukt über <math>Y</math> und erhalten damit ein Dach von <math>X</math> nach <math>Z</math>:

<math>\begin{tikzcd}[sep={25pt,between origins}]\phantom{.} & & R \times_Y S \ar{dl} \ar{dr} && \\ & R \ar{dr} \ar{dl} &  & S \ar{dl} \ar{dr} & \\  X &  & Y && Z\end{tikzcd}</math>
 
Diese Konstruktion ist funktoriell in <math>R</math> und <math>S</math>:

<math>\begin{tikzcd}[sep={25pt,between origins}]\phantom{.} && R \times_Y S \ar{dl} \ar{dr} \ar[dashed]{d}[description]{\exists !} && \\ & R \ar[bend right=20]{ddl} \ar[bend left=20]{ddr} \ar{d} & R' \times_Y S' \ar{dl}  \ar{dr} & S \ar{d} \ar[bend right=20]{ddl} \ar[bend left=20]{ddr}   & \\ & R' \ar{dl}  \ar{dr}  & & S'   \ar{dl} \ar{dr} & \\  X &  & Y &  & Z\end{tikzcd}</math>

Der Assoziator <math>(R \times_Y S) \times_Z T \xrightarrow{\cong} R \times_Y (S \times_Z T)</math> sei der eindeutige Morphismus, welcher mit den Projektionen nach <math>R</math>, <math>S</math> bzw. <math>T</math> verträglich ist. Die Linkseinheit <math>X \times_X R \xrightarrow{\cong} R</math> sei die natürliche Projektion und analog sei die Rechtseinheit <math>R \times_X X \xrightarrow{\cong} R</math> definiert. Den Nachweis der Axiome einer <math>2</math>-Kategorie überlassen wir dem Leser.
 
Bemerkung. Es gibt eine Variante von <math>\mathsf{Dach}(\mathsf{Set})</math>, nämlich die <math>2</math>-Kategorie <math>\mathsf{Rel}(\mathsf{Set})</math> der Relationen, welche aus den Dächern <math>X \xleftarrow{f} R \xrightarrow{g} Y</math> gebildet wird, für die <math>(f,g) : R \to X \times Y</math> injektiv ist. Die <math>2</math>-Morphismen sind wie bei Dächern definiert (sie stellen sich aber in diesem Fall als injektiv und außerdem als eindeutig bestimmt heraus, sofern sie existieren). Die Komposition der <math>1</math>-Morphismen sieht aber anders aus: Für <math>R \hookrightarrow X \times Y</math> und <math>S \hookrightarrow Y \times Z</math> definiert man <math>R \circ S \hookrightarrow X \times Z</math> als das Bild der Abbildung <math>R \times_Y S \to X \times Z</math> (welche nicht notwendig injektiv ist). Anstelle von <math>\mathsf{Set}</math> kann man übrigens eine beliebige reguläre Kategorie nehmen (Wiki). Ein anderes Beispiel wäre also <math>\mathsf{Rel}(\mathsf{Grp})</math> mit Gruppen als Objekten und injektiven Gruppenhomomorphismen <math>U \to G \times H</math> als <math>1</math>-Morphismen <math>G \to H</math>.

5. Die 2-Kategorie der topologischen Räume

Die Homotopiekategorie <math>\mathsf{hTop}</math> hat bekanntlich als Objekte die topologischen Räume und als Morphismen die Homotopieklassen von stetigen Abbildungen. Es sieht hier so aus, als ob es sich um die abgeschnittene <math>1</math>-Kategorie einer <math>2</math>-Kategorie handeln könnte, und das ist tatsächlich so:
 
Definition. Die strikte <math>2</math>-Kategorie <math>\mathsf{Top}_{\leq 2}</math> ist wie folgt definiert: Die Objekte sind die topologischen Räume. Die Morphismen sind die stetigen Abbildungen. Ein <math>2</math>-"Morphismus" <math>\alpha : f \to g</math> zwischen stetigen Abbildungen <math>f,g : X \to Y</math> sei eine Homotopie von <math>f</math> nach <math>g</math>, d.h. eine stetige Abbildung <math>\alpha : X \times [0,1] \to Y</math> mit <math>\iota_0 \ast \alpha=f</math> und <math>\iota_1 \ast \alpha=g</math>, wobei <math>\iota_0</math> durch <math>x \mapsto (x,0)</math> und <math>\iota_1</math> durch <math>x \mapsto (x,1)</math> gegeben ist. Man kann auch kurz <math>(-,0)\alpha=f</math> und <math>(-,1)\alpha=g</math> schreiben. Warum das noch nicht die richtigen <math>2</math>-Morphismen sind, werden wir später sehen.

Die Homotopie <math>\mathrm{id}_f : f \to f</math> sei gegeben durch <math>X \times [0,1] \xrightarrow{\mathrm{pr}_X} X \xrightarrow{f} Y</math>. Sind <math>\alpha : f \to g</math> und <math>\beta : g \to h</math> zwei Homotopien, so ist die Homotopie <math>\alpha\ast \beta : f \to h</math> dadurch definiert, dass man erst <math>\alpha</math> in der ersten Hälfte der Zeit und dann <math>\beta</math> in der zweiten Hälfte der Zeit durchläuft:
 
<math>(x,t)(\alpha\ast \beta) := \left\{\begin{array}{ll} (x,2t)\alpha & 0 \leq t \leq \frac{1}{2} \\ (x,2t-1)\beta & \frac{1}{2} \leq t \leq 1 \end{array}\right.</math>

Man kann sich das so vorstellen (dieses Bild nimmt man wie gesagt auch gerne für beliebige <math>2</math>-Kategorien):

<math>\begin{tikzcd}[column sep=30pt,row sep=14pt]
& \ar[Rightarrow]{d}{\,\alpha} & &  & \ar[Rightarrow]{dd}{\,\alpha \ast \beta} & & 0 \ar{dd}{\text{Zeit}} \\
X \ar[bend right=60]{rr}[swap]{h} \arrow{rr}[description]{g} \ar[bend left=60]{rr}{f} & \phantom{*} \ar[Rightarrow]{d}{\,\beta} & Y  &  X \ar[bend right=60]{rr}[swap]{h}  \ar[bend left=60]{rr}{f} &  & Y &  \\ & \phantom{.}   &  &   & \phantom{.} & & 1 \end{tikzcd}</math>
 
Ist diese Komposition assoziativ? Sei dazu <math>\gamma : h \to u</math> eine weitere Homotopie. Dann ist <math>(\alpha \ast \beta) \ast \gamma</math> die Homotopie, die <math>\alpha</math> im ersten Viertel der Zeit durchläuft, <math>\beta</math> im nächsten Viertel und <math>\gamma</math> in der verbleibenden Hälfte. Hingegen durchläuft <math>\alpha \ast (\beta \ast \gamma)</math> in der ersten Hälfte <math>\alpha</math>, im nächsten Viertel <math>\beta</math> und im verbleibenden Viertel <math>\gamma</math>. Diese Homotopien sind also in der Regel verschieden! Aber sie sind offenbar homotop vermöge einer linearen Umparametrisierung, die man sich so vorstellt:
 
<math>\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) to (2,0) to (2,2) to (0,2) to (0,0);
\draw (1,0) to (0.5,2);
\draw (1.5,0) to (1,2);
\draw node at (0.25,2.2) {\scriptsize $\alpha$};
\draw node at (0.75,2.2) {\scriptsize $\beta$};
\draw node at (1.5,2.2) {\scriptsize $\gamma$};
\draw node at (0.5,-0.2) {\scriptsize $\alpha$};
\draw node at (1.25,-0.2) {\scriptsize $\beta$};
\draw node at (1.75,-0.2) {\scriptsize $\gamma$};
\end{tikzpicture}</math>
 
Es scheint also tatsächlich <math>\mathrm{Hom}(X,Y)</math> selbst eine <math>2</math>-Kategorie zu sein: Die Objekte sind stetige Abbildungen, die Morphismen sind Homotopien und die <math>2</math>-Morphismen sind Homotopien von Homotopien. Letzteres sind stetige Abbildungen <math>\sigma : X \times [0,1] \times [0,1] \to Y</math>, für die <math>(-,-,0)\sigma</math> die Start-Homotopie <math>\alpha : f \to g</math> und <math>(-,-,1)\sigma</math> die Ziel-Homotopie <math>\beta : f \to g</math> ist, und für die <math>(-,-,t)\sigma</math> für jedes <math>t \in [0,1]</math> eine Homotopie von <math>f</math> nach <math>g</math> ist. Das ist aber auch nicht ganz richtig, weil es dann wiederum Probleme bei der Assoziativität der Komposition von Homotopien von Homotopien gibt. Auch diese gilt nur bis auf Homotopien von Homotopien von Homotopien.

Man kann diesen Prozess immer weiterführen und gelangt so zur <math>\infty</math>-Kategorie <math>\mathsf{Top}_{\leq \infty}</math>. Weil wir uns hier aber nur <math>2</math>-Kategorien anschauen möchten und <math>\infty</math>-Kategorien auch gar nicht so einfach zu definieren sind, betrachten wir lediglich ihre <math>2</math>-Abschneidung <math>\mathsf{Top}_{\leq 2}</math>, das heißt: Als <math>2</math>-Morphismen betrachten wir Homotopienklassen von Homotopien stetiger Abbildungen. Man muss sich dann klarmachen, dass sich die bereits definierte Komposition von Homotopien zu Homotopieklassen von Homotopien ausdehnt (d.h. wenn <math>\alpha \simeq \alpha'</math> und <math>\beta \simeq \beta'</math>, dann auch <math>\alpha \ast \beta \simeq \alpha' \ast \beta'</math>). Wie erläutert ist diese Komposition dann assoziativ. Außerdem ist die Homotopieklasse von <math>\mathrm{id}_f</math> wirklich neutral bezüglich der Komposition, d.h. für Homotopien <math>\alpha : f \to g</math> gilt <math>\alpha \ast \mathrm{id}_g \simeq \alpha \simeq \mathrm{id}_f \ast \alpha</math>. Das wird mit den folgenden Bildern klar:
 
<math>\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) to (2,0) to (2,2) to (0,2) to (0,0);
\draw (1,2) to (2,0);
\draw node at (1.5,2.2) {\scriptsize$\mathrm{id}$};
\draw node at (0.5,2.2) {\scriptsize$\alpha$};
\draw node at (1,-0.2) {\scriptsize$\alpha$};
\end{tikzpicture} \hspace{1cm}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) to (2,0) to (2,2) to (0,2) to (0,0);
\draw (1,2) to (0,0);
\draw node at (0.5,2.2) {\scriptsize$\mathrm{id}$};
\draw node at (1.5,2.2) {\scriptsize$\alpha$};
\draw node at (1,-0.2) {\scriptsize$\alpha$};
\end{tikzpicture}</math>
 
Wir haben damit die Kategorie <math>\mathrm{Hom}(X,Y)</math> konstruiert. Die Komposition <math>\mathrm{Hom}(X,Y) \times \mathrm{Hom}(Y,Z) \to \mathrm{Hom}(X,Z)</math> bildet ein Paar aus stetigen Abbildungen <math>f : X \to Y</math>, <math>g : Y \to Z</math> auf die übliche Komposition <math>f \ast g : X \to Z</math> ab, welche natürlich eine stetige Abbildung ist. Sind nun <math>\alpha : f \to f'</math>, <math>\beta : g \to g'</math> zwei Homotopien, so definieren wir die Homotopie <math>\alpha \bullet \beta : f \ast g \to f' \ast g'</math> durch:

<math>(x,t)(\alpha \bullet \beta) := ((x,t)\alpha,t)\beta</math>

Man überlegt sich: Wenn <math>\alpha \simeq \alpha'</math> und <math>\beta \simeq \beta'</math>, so folgt <math>\alpha \bullet \beta \simeq \alpha' \bullet \beta'</math>. Daher liftet <math>\bullet</math> zu einer Abbildung auf den Homotopienklassen von Homotopien, d.h. den <math>2</math>-Morphismen. Alternativ könnte man eine Homotopie <math>f \ast g \to f' \ast g'</math> auch so definieren, dass man zuerst in der ersten Hälfte der Zeit <math>g</math> auf die Homotopie <math>\alpha</math> anwendet, sodass man bei <math>f' \ast g</math> landet, und in der zweiten Hälfte der Zeit <math>f'</math> bei der Homotopie <math>\beta</math> vorschaltet, um schließlich zu <math>f' \ast g'</math> zu gelangen. Alternativ könnte man auch über <math>f \ast g'</math> gehen. Die drei erklärten Homotopien <math>f \ast g \to f' \ast g'</math> sind allesamt homotop.
 
Die Axiome einer strikten <math>2</math>-Kategorie rechnen sich nun problemlos nach. Die Hauptarbeit lag darin, die richtigen Definitionen zu finden.
 
Bemerkung. Die <math>2</math>-Kategorie <math>\mathsf{Top}_{\leq 2}</math> besitzt eine besondere Eigenschaft: Weil man Homotopien "umdrehen" kann, ist jeder <math>2</math>-Morphismus bereits ein <math>2</math>-Isomorphismus, d.h. für jedes Paar von Räumen <math>X,Y</math> ist die Kategorie <math>\mathrm{Hom}(X,Y)</math> ein Gruppoid. Die abgeschnittene <math>1</math>-Kategorie ist nach Konstruktion die übliche Homotopiekategorie <math>\mathsf{hTop}</math>.

Bemerkung. Das Gruppoid <math>\mathrm{Hom}(\{\star\},X)</math> ist das Fundamentalgruppoid <math>\Pi(X)</math> von <math>X</math>, dessen Objekte die Punkte von <math>X</math> sind und dessen Morphismen die Homotopieklassen von Pfaden in <math>X</math> sind. Auch dies ist eigentlich die Abschneidung einer (nicht-strikten!) <math>2</math>-Kategorie <math>\Pi_{\leq 2}(X)</math>, dem Fundamental-<math>2</math>-gruppoid von <math>X</math>: Die Objekte sind hierbei die Punkte von <math>X</math>, die Morphismen sind die Pfade und die <math>2</math>-Morphismen sind die Homotopieklassen von Homotopien von Pfaden. Und auch hier ist es eigentlich so, dass man Homotopien von Homotopien von Homotopien von ... betrachten kann und so zu einem sog. <math>\infty</math>-Gruppoid <math>\Pi_{\leq \infty}(X)</math> gelangt, dem Fundamental-<math>\infty</math>-gruppoid von <math>X</math>. Es gibt verschiedene Vorschläge, <math>\infty</math>-Gruppoide präzise zu definieren. Die wohl einfachste Definition ist, dass ein <math>\infty</math>-Gruppoid eine Kan-Menge ist (d.h. eine simpliziale Menge mit Hornfüllungen). Dann ist das Fundamental-<math>\infty</math>-gruppoid eines topologischen Raumes ganz einfach seine singuläre Menge.

6. Funktoren zwischen 2-Kategorien

Definition. Es seien <math>\mathcal{C}</math> und <math>\mathcal{D}</math> zwei <math>2</math>-Kategorien. Ein laxer Funktor <math>F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}</math> besteht aus den folgenden Daten:

(1) einer Zuordnung <math>\mathrm{Ob}(\mathcal{C}) \to \mathrm{Ob}(\mathcal{D})</math>, die mit <math>A \mapsto (A)F</math> bezeichnet wird;

(2) für alle <math>A,B \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})</math> einem Funktor <math>F_{A,B} : \mathrm{Hom}(A,B) \to \mathrm{Hom}((A)F,(B)F)</math>;

(3) für alle <math>A \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})</math> einem <math>2</math>-Morphismus <math>\eta_A : \mathrm{id}_{(A)F} \to (\mathrm{id}_A)F_{A,A}</math>;

(4) für alle <math>A,B,C \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})</math> einer natürlichen Transformation <math>\mu_{A,B,C} : (?)F_{A,B} \ast (?)F_{B,C} \to (? \ast ?)F_{A,C}</math>, die also je zwei <math>1</math>-Morphismen <math>f : A \to B</math>, <math>g : B \to C</math> einen <math>2</math>-Morphismus <math>(f,g)\mu_{A,B,C} : (f)F_{A,B} \ast (g)F_{B,C} \to (f \ast g)F_{A,C}</math> wie in dem Bild

<math>\begin{tikzcd}[column sep=35pt, row sep=25pt] F(A) \ar[bend right=60]{rr}[swap]{(f \ast g)F_{A,C}} \ar{r}{(f)F_{A,B}} & F(B) \ar{r}{(g)F_{B,C}} \ar[Rightarrow]{d}{(f,g)\mu_{A,B,C}}& F(C) \\ & \phantom{.} & \end{tikzcd}</math>

zuordnet, der natürlich in <math>f,g</math> bezüglich <math>2</math>-Morphismen ist;
 
Dabei müssen drei Kohärenzaxiome gelten. Es ist eigentlich eine sehr gute Übungsaufgabe, diese selbständig herauszufinden. Tipp: Was ist mit <math>(\mathrm{id}_B,g)\mu_{B,B,C}</math>? Was ist mit <math>(f,\mathrm{id}_A)\mu_{A,B,B}</math>? Und was ist, wenn man <math>\mu</math> mit <math>\mu</math> "schachtelt"? Wer mag, kann aber auch beim nlab nachschauen.

Der Unterschied zum Begriff eines Funktors zwischen <math>1</math>-Kategorien ist also, dass wir die Erhaltung der Komposition und der Identität nicht als Gleichung, sondern bis auf <math>2</math>-Morphismen fordern, die wir obendrein zum Datum hinzufügen.

Es sollte klar sein, wie man laxe Funktoren miteinander verkettet.

Definition. Ein laxer Funktor heißt starker Funktor (bzw. strikter Funktor), wenn <math>\eta_A</math> und <math>\mu_{A,B,C}</math> jeweils Isomorphismen (bzw. Identitäten) sind. Unter einem Funktor zwischen <math>2</math>-Kategorien versteht man meistens einen starken Funktor, aber das ist leider nicht einheitlich. Man spricht oft von <math>2</math>-Funktoren, was aber überflüssig ist, weil <math>2</math>-Kategorien keine Kategorien sind und es daher keine Verwechslung mit dem üblichen Funktorbegriff geben sollte. Dreht man in der Definition eines laxen Funktors die Richtungen der Morphismen <math>\eta</math> und <math>\mu</math> um, bekommt man den Begriff eines oplaxen Funktors. In der Literatur werden die Attribute pseudo und (lustigerweise) schwach für Funktoren synonym für stark benutzt.
 
Beispiel. Wenn wir gewöhnliche Kategorien als strikte <math>2</math>-Kategorien auffassen (es gibt nur Identitäten als <math>2</math>-Morphismen), dann ist ein (laxer/oplaxer/starker/strikter) Funktor dasselbe wie ein gewöhnlicher Funktor zwischen den unterliegenden Kategorien.

Beispiel. Wir definieren einen starken Funktor <math>\mathsf{Bimod}_k \to \mathsf{Cat}_{c/k}</math>: Jeder <math>k</math>-Algebra <math>A</math> ordnen wir die kovollständige <math>k</math>-lineare Kategorie <math>\mathsf{Mod}_A</math> der <math>A</math>-Rechtsmoduln zu. Jedem <math>(A,B)</math>-Bimodul <math>M</math> ordnen wir den kostetigen <math>k</math>-linearen Funktor <math>- \otimes_A M : \mathsf{Mod}_A \to \mathsf{Mod}_B</math>, <math>N \mapsto N \otimes_A M</math> zu. Jedem Homomorpismus von <math>(A,B)</math>-Bimoduln <math>f : M \to M'</math> wird die natürliche Transformation <math>- \otimes_A M \to - \otimes_A M'</math> zugeordnet, die <math>n \otimes m</math> auf <math>n \otimes (m)f</math> schickt. Damit sind (1) und (2) geklärt. Bei (3) nehmen wir den Isomorphismus von Funktoren <math>\mathrm{id}_{\mathsf{Mod}_A} \to - \otimes_A A</math>, <math>n \mapsto n \otimes 1</math>. Bei (4) nehmen wir für <math>(A,B)</math>-Bimoduln <math>M</math> und <math>(B,C)</math>-Bimoduln <math>N</math> den Isomorphismus von Funktoren <math>(- \otimes_A M) \otimes_B N \to - \otimes_A (M \otimes_B N)</math>, <math>(u \otimes m) \otimes n \mapsto u \otimes (m \otimes n)</math>. Die Kohärenzaxiome lassen sich problemlos prüfen. Übrigens besagt der Satz von Eilenberg-Watts gerade, dass dieser Funktor <math>\mathsf{Bimod}_k \to \mathsf{Cat}_{c/k}</math> im folgenden Sinne volltreu ist:
 
Definition. Ein laxer Funktor <math>F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}</math> heißt volltreu, wenn für alle Objekte <math>A,B \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})</math> der Funktor <math>F_{A,B} : \mathrm{Hom}(A,B) \to \mathrm{Hom}((A)F,(B)F)</math> eine Äquivalenz von Kategorien ist.

Definition. Sind <math>F,G : \mathcal{C} \to \mathcal{D}</math> zwei laxe Funktoren zwischen <math>2</math>-Kategorien, so ist eine laxe natürliche Transformation <math>\eta : F \to G</math> eine Familie von <math>1</math>-Morphismen <math>\eta_A : (A)F \to (A)G</math> für Objekte <math>A \in \mathrm{Ob}(\mathcal{A})</math> zusammen mit <math>2</math>-Morphismen <math>\eta_f : \eta_A \ast (f)G_{A,B} \to (f)F_{A,B} \ast \eta_B</math>, die natürlich in <math>f : A \to B</math> sind, sodass zudem zwei naheliegende Kohärenzdiagramme kommutieren. (Tipp: Man denke an <math>\eta_{\mathrm{id}}</math> und <math>\eta_{f \ast g}</math> und schreibe jeweils das einzige Diagramm von <math>2</math>-Morphismen hin, welches einem in den Sinn kommt.) Man kann sich <math>\eta_f</math> so vorstellen:

<math>\begin{tikzcd}[row sep=30pt,column sep=30pt] (A)F \ar{r}{\eta_A} \ar{d}[swap]{(f)F_{A,B}} &  (A)G \ar{d}{(f)G_{A,B}} \ar[shorten >=3mm,shorten <=3mm,Rightarrow]{dl}[description]{\eta_f} \\ (B)F \ar{r}[swap]{\eta_B} & (B)G\end{tikzcd}</math>
 
Das ist das übliche Natürlichkeitsdiagramm, bloß wir verlangen dessen Kommutativität sozusagen nur bis auf ausgezeichnete <math>2</math>-Morphismen.

Wie zuvor gibt es hier noch die folgenden Varianten: Eine laxe natürliche Transformation heißt stark (bzw. strikt), wenn <math>\eta_f</math> jeweils ein <math>2</math>-Isomorphismus (bzw. eine Identität) ist. Den Begriff der oplaxen natürlichen Transformation bekommt man durch Umdrehen der Richtung von <math>\eta_f</math>.

In der <math>1</math>-Kategorientheorie gibt es keine Möglichkeit, nichttriviale Morphismen zwischen natürlichen Transformationen zu betrachten. In der <math>2</math>-Kategorientheorie geht es schon:
 
Definition. Seien <math>F,G : \mathcal{C} \to \mathcal{D}</math> zwei laxe Funktoren zwischen <math>2</math>-Kategorien und seien <math>\eta,\eta': F \to G</math> zwei laxe natürliche Transformationen. Eine Modifikation <math>\pi : \eta \to \eta'</math> ordnet jedem Objekt <math>A \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})</math> einen <math>2</math>-Morphismus <math>\pi_A : \eta_A \to \eta'_A</math> zu, sodass für alle <math>1</math>-Morphismen <math>f : A \to B</math> in <math>\mathcal{C}</math> das Kohärenzdiagramm

<math>\begin{tikzcd}[row sep=30pt,column sep=30pt]  \eta_A \ast (f)G_{A,B} \ar{d}[swap]{\eta_f} \ar{r}{\pi_A \bullet \mathrm{id}} & \eta'_A \ast (f)G_{A,B} \ar{d}{\eta'_f} \\ (f)F_{A,B} \ast \eta_B \ar{r}{\mathrm{id} \bullet \pi_B } & (f)F_{A,B} \ast \eta'_B \end{tikzcd}</math>

kommutiert.
 
Bemerkung. Auf diese Weise erhält man für je zwei <math>2</math>-Kategorien <math>\mathcal{C},\mathcal{D}</math> die strikte <math>2</math>-Kategorie <math>\mathrm{Hom}_{\mathrm{lax}}(\mathcal{C},\mathcal{D})</math> der laxen Funktoren, laxen natürlichen Transformationen und Modifikationen; mit entsprechenden Versionen für "stark", "strikt" und "oplax". Lässt man nun auch die <math>2</math>-Kategorien "laufen", erhält man eine <math>3</math>-Kategorie <math>\mathsf{Cat}_2</math> der <math>2</math>-Kategorien (Objekte), starken Funktoren (<math>1</math>-Morphismen), starken natürlichen Transformationen (<math>2</math>-Morphismen) und Modifikationen (<math>3</math>-Morphismen). Es gibt verschiedenste Vorschläge, <math>n</math>-Kategorien zu definieren, aber in jedem Falle sollte die Gesamtheit der <math>n</math>-Kategorien eine <math>(n+1)</math>-Kategorie bilden. Die Fälle <math>n=0,1</math> hatten wir ja bereits gut verstanden, und hier ist nun der Fall <math>n=2</math> angedeutet worden.

7. Monoidale Kategorien

Definition. Eine monoidale Kategorie ist eine <math>2</math>-Kategorie mit genau einem Objekt.

Diese ultrakompakte Definition ist analog zur Definition eines Monoids als eine <math>1</math>-Kategorie mit genau einem Objekt, nur eine Stufe höher auf der Leiter der Kategorientheorie. Wir können diese Definition wie folgt ausschreiben:

Definition. Eine monoidale Kategorie <math>\mathcal{M}</math> besteht aus einer Kategorie <math>\mathcal{C}</math> zusammen mit einem Funktor <math>\otimes : \mathcal{C} \times \mathcal{C} \to \mathcal{C}</math>, der auf Objekten und Morphismen mit <math>(A,B) \mapsto A \otimes B</math> bzw. <math>(f,g) \mapsto f \otimes g</math> notiert wird und Tensorprodukt genannt wird, einem Objekt <math>1 \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})</math>, genannt Einsobjekt, sowie in <math>A,B,C \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})</math> natürlichen Isomorphismen

<math>(A,B,C) \alpha: (A \otimes B) \otimes C \to A \otimes (B \otimes C),\\
(A)\rho : A \otimes 1  \to A,\\
(A)\lambda : 1 \otimes A \to A,</math>

welche die Kohärenzaxiome (K1) und (K2) erfüllen:

<math>\begin{tikzcd}[row sep=25pt, column sep=15pt] (A \otimes 1) \otimes B \ar{rr}{\alpha} \ar{dr}[swap]{\rho} & & A \otimes (1 \otimes B) \ar{dl}{\lambda} \\ & A \otimes B \end{tikzcd}</math>


<math>\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
\node (ax_yz) at (0,5) {$(A\otimes B)\otimes(C\otimes D)$};
\node (ax_y_z) at (-4.1,3) {$((A\otimes B)\otimes C)\otimes D$};
\node (a_x_yz) at (+4.1,3) {$A\otimes (B \otimes(C\otimes D))$};
\node (a_xy__z) at (-3.2,0) {$(A\otimes (B\otimes C))\otimes D)$};
\node (a__xy_z) at (+3.2,0) {$A\otimes ((B\otimes C)\otimes D))$};
\path[line width=0.55pt,->]
(ax_y_z) edge node[left,font=\scriptsize]{$\alpha$} (a_xy__z)
(a_xy__z) edge node[below,font=\scriptsize]{$\alpha$} (a__xy_z)
(a__xy_z) edge node[right,font=\scriptsize]{$\alpha$} (a_x_yz)
(ax_y_z) edge node[above,font=\scriptsize]{$\alpha$} (ax_yz)
(ax_yz) edge node[above,font=\scriptsize]{$\alpha$} (a_x_yz);
\end{tikzpicture}</math>
 
Formal ist eine monoidale Kategorie also ein Tupel <math>\mathcal{M}=(\mathcal{C},\otimes,1,\alpha,\rho,\lambda)</math>, auch wenn die meisten Autoren einfach <math>\mathcal{C}</math> schreiben und die restlichen Daten implizit lassen.

Jede monoidale Kategorie in diesem Sinne ist eine <math>2</math>-Kategorie mit genau einem Objekt <math>\star</math> mit <math>\mathrm{Hom}(\star,\star)=\mathcal{C}</math>, Komposition <math>\otimes</math>, Assoziator <math>\alpha</math>, Rechtseinheit <math>\rho</math> und Linkseinheit <math>\lambda</math>. Die <math>0</math>-Morphismen von <math>\mathcal{C}</math> werden also zu den <math>1</math>-Morphismen der zugehörigen <math>2</math>-Kategorie, und die <math>1</math>-Morphismen von <math>\mathcal{C}</math> werden zu den <math>2</math>-Morphismen der zugehörigen <math>2</math>-Kategorie. Die beiden Definitionen sind also äquivalent.

Bemerkung. Hat man umgekehrt eine beliebige <math>2</math>-Kategorie gegeben und ein Objekt <math>A</math> fixiert, so trägt die Kategorie <math>\mathrm{Hom}(A,A)</math> eine monoidale Struktur (d.h. ist die unterliegende Kategorie einer monoidalen Kategorie): Das Tensorprodukt ist die Komposition, das Einsobjekt ist die Identität von <math>A</math>. Assoziator, Links- wie Rechtseinheiten werden von der <math>2</math>-Kategorie vererbt, indem wir uns auf das Objekt <math>A</math> fixieren. Diese Konstruktion kategorifiziert die Beobachtung, dass die Endomorphismen eines Objektes einer Kategorie ein Monoid bilden. Hier ist es eben so, dass die Endomorphismen eines Objektes einer <math>2</math>-Kategorie eine monoidale Kategorie bilden.

Beispiel. Wenden wir diese Einsicht etwa auf die Bikategorie <math>\mathsf{Bimod}_k</math> der Bimoduln an, so folgt: Ist <math>A</math> eine beliebige <math>k</math>-Algebra, so trägt die Kategorie der <math>(A,A)</math>-Bimoduln eine monoidale Struktur. Das Tensorprodukt ist gerade <math>\otimes_A</math> und das Einsobjekt ist der <math>(A,A)</math>-Bimodul "<math>A</math>".

Beispiel. Wenn <math>A</math> kommutativ ist, so besitzt diese monoidale Kategorie eine sehr wichtige monoidale Unterkategorie, nämlich der <math>(A,A)</math>-Bimoduln <math>M</math>, für welche <math>a \cdot m=m \cdot a</math> für alle <math>a \in |A|</math> und <math>m \in |M|</math> gilt, also die <math>A</math>-Linksmodulstruktur mit der <math>A</math>-Rechtsmodulstruktur übereinstimmt. Solche Bimoduln lassen sich dann einfach mit <math>A</math>-Linksmoduln identifizieren. So entsteht also die monoidale Kategorie der <math>A</math>-Linksmoduln. Das Tensorprodukt ist nach wie vor das Tensorprodukt über <math>A</math>, bloß dass wir es nun anders interpretieren, nämlich die natürliche Bimodulstruktur vergessen, und lediglich die Linksmodulstruktur betrachten.
 
Bemerkung. Natürlich kann man die monoidale Kategorie der <math>A</math>-Linksmoduln für eine kommutative Algebra <math>A</math> auch direkt beschreiben; aber mittlerweile glaube ich aus verschiedenenen Gründen, dass man dieses Beispiel erst mit Hilfe von Bimoduln wirklich systematisch verstehen kann. Und die monoidale Kategorie der Bimoduln entsteht auf ganz natürliche Weise aus der <math>2</math>-Kategorie der Bimoduln, welche in dem Sinne freier ist, dass keine Algebra fixiert wird.
 
Definition. Die Begriffe von laxen, oplaxen, schwachen und strikten Funktoren zwischen <math>2</math>-Kategorien lassen sich insbesondere auf monoidale Kategorien anwenden. So ist etwa ein laxer Funktor <math>\mathcal{M} \to \mathcal{N}</math> zwischen monoidalen Kategorien ein Funktor <math>F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}</math> zwischen den unterliegenden Kategorien zusammen mit einem Morphismus <math>\eta : 1 \to (1)F</math> und natürlichen Morphismen <math>(A,B)\mu : (A)F \otimes (B)F \to (A \otimes B)F</math>, sodass drei Kohärenzdiagramme kommutieren. Achtung: Ein laxer Funktor ist kein Funktor mit einer besonderen Eigenschaft, sondern ist eigentlich ein Tupel <math>(F,\eta,\mu)</math> und darf keinesfalls mit dem unterliegenden Funktor <math>F</math> verwechselt werden.
 
Definition. Ein Monoidobjekt in einer monoidalen Kategorie <math>\mathcal{M}</math> lässt sich als ein laxer Funktor <math>\{1\} \to \mathcal{M}</math> definieren. Dies ist also ein Objekt <math>X</math> in der unterliegenden Kategorie <math>\mathcal{C}</math> von <math>\mathcal{M}</math> zusammen mit Morphismen <math>\eta : 1 \to X</math> und <math>\mu : X \otimes X \to X</math> in <math>\mathcal{C}</math>, welche drei Kohärenzdiagramme erfüllen, welche ausdrücken, dass <math>\mu</math> assoziativ ist und <math>\eta</math> beidseitig neutral für <math>\mu</math> ist.

Mit dem Begriff eines Monoidobjektes einer monoidalen Kategorie lassen sich etliche Begriffe und Konstruktionen damit vereinheitlichen. Unter anderem sind dies: Monoide, Monoide mit Null, Halbringe, Ringe, graduierte Ringe, Algebren, Banachalgebren, Garben von Ringen, assoziative H-Räume. Man muss nur jeweils die monoidale Kategorie geeignet wählen.

Bemerkung. Zu monoidalen Kategorien und deren zentrale Bedeutung für die Mathematik und die Physik kann (und muss) man noch viel mehr sagen, aber ich wollte in diesem Abschnitt lediglich umreißen, inwiefern ihre elementare Theorie eigentlich ein Spezialfall der <math>2</math>-Kategorientheorie ist. Umgekehrt kann man sich <math>2</math>-Kategorien als monoidale Kategorien mit mehreren "Objekten" (die sozusagen noch tiefer als die eigentlichen Objekte einer monoidalen Kategorie angeheftet werden) vorstellen. In der höheren Kategorientheorie gibt es für diese "mehrere Objekte"-Versionen das sprachliche Anhängsel "oid". Ein Gruppoid ist etwa eine Gruppe mit mehreren Objekten, d.h. eine Kategorie, in der jeder Morphismus ein Isomorphismus ist. Ein <math>k</math>-Algebroid ist eine <math>k</math>-Algebra mit mehreren Objekten, d.h. einfach eine <math>k</math>-lineare Kategorie. Ein Monoidoid ist eine Kategorie. Eine monoidoidale Kategorie ist eine <math>2</math>-Kategorie. ;-)

8. Adjunktionen in einer 2-Kategorie

Definition. Es sei <math>\mathcal{C}</math> eine <math>2</math>-Kategorie. Eine Adjunktion in <math>\mathcal{C}</math> ist ein Tupel <math>(f,g,\eta,\varepsilon)</math> bestehend aus:

• einem <math>1</math>-Morphismus <math>f : A \to B</math>;
• einem <math>1</math>-Morphismus <math>g : B \to A</math>;
• einem <math>2</math>-Morphismus <math>\eta : \mathrm{id}_A  \to f \ast g</math>;
• einem <math>2</math>-Morphismus <math>\varepsilon : g \ast f \to \mathrm{id}_B</math>.
 
Dabei müssen die folgenden beiden Diagramme kommutieren:

<math>\begin{tikzcd}[row sep=30pt]  g \ast (f \ast g) \ar{rr}{\alpha^{-1}} && (g \ast f) \ast g \ar{d}{\varepsilon \bullet \id_f} \\ g \ast \mathrm{id}_A \ar{u}{\id_g \bullet \eta}  \ar{r}[swap]{\rho} & g \ & \mathrm{id}_B \ast g \ar{l}{\lambda} \end{tikzcd} \hspace{8mm}\begin{tikzcd}[row sep=30pt] (f \ast g) \ast f  \ar{rr}{\alpha} && f \ast (g \ast f) \ar{d}{\id_f \bullet \varepsilon} \\  \mathrm{id}_A \ast f  \ar{u}{\eta \bullet \id_f} \ar{r}[swap]{\lambda} &  f  & f \ast \mathrm{id}_B \ar{l}{\rho} \end{tikzcd}</math>

Man nennt <math>f</math> linksadjungiert zu <math>g</math> bzw. <math>g</math> rechtsadjungiert zu <math>f</math>. Es heißt <math>\eta</math> die Einheit der Adjunktion und <math>\varepsilon</math> die Koeinheit der Adjunktion. Eine adjungierte Äquivalenz ist eine Adjunktion, für die Einheit und Koeinheit <math>2</math>-Isomorphismen sind. Wenn es eine adjungierte Äquivalenz zwischen zwei Objekten <math>A,B</math> gibt, dann heißen <math>A,B</math> äquivalent und man schreibt <math>A \simeq B</math>.

Beispiel. In der <math>2</math>-Kategorie <math>\mathsf{Cat}</math> erhalten wir den üblichen Begriff einer Adjunktion von Funktoren (welcher bekanntlich in der Kategorientheorie eine zentrale Rolle einnimmt).

Beispiel. In einer monoidalen Kategorie <math>\mathcal{M}=(\mathcal{C},\otimes,1,\alpha,\rho,\lambda)</math>, aufgefasst als <math>2</math>-Kategorie mit genau einem Objekt, besteht eine Adjunktion zwischen zwei Objekten <math>X,Y</math> von <math>\mathcal{C}</math> und zwei Morphismen <math>\eta : 1 \to X \otimes Y</math>, <math>\varepsilon : Y \otimes X \to 1</math>, sodass die entsprechenden beiden Diagramme kommutieren. Man nennt eine Adjunktion in diesem Setting auch eine Dualität. Man nennt entsprechend <math>X</math> linksdual zu <math>Y</math> bzw. <math>Y</math> rechtsdual zu <math>X</math>. In vielen monoidalen Kategorien ist es interessant, die dualisierbaren Objekte zu bestimmen, weil diese nämlich oftmals nützliche Endlichkeitsbedingungen erfüllen. Wenn zum Beispiel <math>A</math> eine kommutative Algebra ist, so sind die dualisierbaren Objekte der monoidalen Kategorie der <math>A</math>-Linksmoduln gerade die endlich-erzeugten projektiven <math>A</math>-Linksmoduln. Wenn <math>A</math> ein Körper ist, sind das gerade die endlich-dimensionalen Vektorräume über <math>A</math>.

Beispiel. In der <math>2</math>-Kategorie <math>\mathsf{Bimod}_k</math> ist eine Adjunktion als Morita-Kontext bekannt. Die adjungierten Äquivalenzen heißen Morita-Äquivalenzen. Die Volltreuheit von <math>\mathsf{Bimod}_k \to \mathsf{Cat}_{c/k}</math> impliziert, dass zwei <math>k</math>-Algebren <math>A,B</math> genau dann Morita-äquivalent sind, wenn die zugehörigen <math>k</math>-linearen kovollständigen Kategorien <math>\mathsf{Mod}_A</math> und <math>\mathsf{Mod}_B</math> äquivalent sind.
 
Wir können die in den Beispielen genannten Begriffe nicht nur mit Hilfe der <math>2</math>-Kategorientheorie vereinheitlichen, sondern sogar ihre grundlegenden Eigenschaften völlig allgemein nachweisen:

Satz. Es sei <math>(f,g,\eta,\varepsilon) : A \to B</math> eine Adjunktion in einer <math>2</math>-Kategorie. Sind dann <math>x : T \to A</math> und <math>y : T \to B</math> zwei <math>1</math>-Morphismen, so gibt es eine Bijektion <math>\mathrm{Hom}(x \ast f,y) \cong \mathrm{Hom}(x,y \ast g)</math>. Diese ist natürlich in <math>x</math> und <math>y</math>.

Beweis. Eine natürliche Transformation <math>\mathrm{Hom}(x \ast f,-) \to \mathrm{Hom}(x,- \ast g)</math> entspricht nach dem gewöhnlichen Yoneda-Lemma einem <math>2</math>-Morphismus <math>x \to (x \ast f) \ast g</math>. Wir nehmen natürlich

<math>x \xrightarrow{\rho} x \ast \mathrm{id}_A \xrightarrow{\id_x \bullet\, \eta} x \ast (f \ast g) \xrightarrow{\alpha^{-1}} (x \ast f) \ast g.</math>

Dieser ist natürlich in <math>x</math>, liefert also sogar eine in <math>x</math> und <math>y</math> natürliche Transformation <math>\mathrm{Hom}(x \ast f,y) \to \mathrm{Hom}(x,y \ast g)</math>.
 
Analog können wir mit Hilfe von <math>\varepsilon</math> einen Morphismus <math>(y \ast g) \ast f \to y</math> und damit eine natürliche Transformation <math>\mathrm{Hom}(x,y \ast g) \to \mathrm{Hom}(x \ast f,y)</math> konstruieren. Man muss sich jetzt überlegen, dass diese beiden Transformationen zueinander invers sind. Das liegt natürlich an den beiden Diagrammen in der Definition einer Adjunktion; die Details seien dem Leser überlassen. <math>\checkmark</math>

Satz. Es seien <math>(f,g,\eta,\varepsilon)</math> und <math>(f',g',\eta',\varepsilon')</math> zwei Adjunktionen in einer <math>2</math>-Kategorie, wobei <math>f,f' : A \to B</math> und damit <math>g,g' : B \to A</math> parallel seien. Dann gibt es für jeden <math>2</math>-Morphismus <math>\delta: f \to f'</math> genau einen <math>2</math>-Morphismus <math>\widetilde{\delta} : g' \to g</math> (genannt Partner von <math>\delta</math>) derart, dass das Diagramm
 
<math>\begin{tikzcd}[row sep=30pt, column sep=30pt] g' \ast f \ar{r}{\widetilde{\delta} \bullet \mathrm{id}_f} \ar{d}[swap]{\id_{g'} \bullet \delta} & g \ast f \ar{d}{\varepsilon} \\ g' \ast f' \ar{r}{\varepsilon'} & \mathrm{id}_B\end{tikzcd}</math>

kommutiert. Dabei gilt <math>\widetilde{\delta \circ \gamma} = \widetilde{\gamma} \circ \widetilde{\delta}</math>.

Beweis. Das folgt aus dem vorherigen Satz, weil die <math>2</math>-Morphismen <math>f \to f'</math> nach dem Yoneda-Lemma gerade den in <math>x</math> und <math>y</math> natürlichen Transformationen <math>\mathrm{Hom}(x \ast f',y) \to \mathrm{Hom}(x \ast f,y)</math> entsprechen. <math>\checkmark</math>

Korollar. In jeder <math>2</math>-Kategorie gilt: Der zu einem <math>1</math>-Morphismus <math>f : A \to B</math> rechtsadjungierte <math>1</math>-Morphismus <math>g : B \to A</math> ist, sofern er existiert, bis auf <math>2</math>-Isomorphie eindeutig bestimmt.

9. Yoneda-Lemma für 2-Kategorien

Wir definieren zunächst darstellbare Funktoren im Kontext von <math>2</math>-Kategorien.

Definition. Es sei <math>\mathcal{C}</math> eine <math>2</math>-Kategorie und <math>A \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})</math> ein festes Objekt. Wir definieren einen starken Funktor <math>\mathrm{Hom}(A,-) : \mathcal{C} \to \mathsf{Cat}</math> wie folgt:

Ein Objekt <math>B \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})</math> wird auf die Kategorie <math>\mathrm{Hom}(A,B)</math> geschickt. Ein <math>1</math>-Morphismus <math>f :B \to C</math> wird auf den Funktor <math>f_* : \mathrm{Hom}(A,B) \to \mathrm{Hom}(A,C)</math> geschickt, der <math>g : A \to B</math> auf <math>g \ast f</math> und <math>\alpha : g \to g'</math> auf <math>\alpha \bullet \mathrm{id}_f</math> schickt. Ein <math>2</math>-Morphismus <math>\alpha : f \to f'</math> wird auf die natürliche Transformation <math>\alpha_* : f_* \to f'_*</math> geschickt, die bei <math>g : A \to B</math> der Morphismus <math>(g)\alpha_* := \mathrm{id}_g \ast \alpha : g \ast f \to g \ast f'</math> ist. Es ist klar, dass <math>\alpha \mapsto \alpha_*</math> mit der vertikalen Komposition von <math>2</math>-Morphismen verträglich ist, d.h. dass wir soeben einen Funktor

<math>\mathrm{Hom}(A,-)_{B,C} : \mathrm{Hom}(B,C) \to \mathrm{Hom}\bigl(\mathrm{Hom}(A,B),\mathrm{Hom}(A,C)\bigr)</math>

erklärt haben. Die <math>2</math>-Isomorphismen <math>(h)\rho_{A,B}^{-1} : h \to h \ast \mathrm{id}_B</math> liefern einen Isomorphismus von Funktoren <math>\mathrm{id}_{\mathrm{Hom}(A,B)} \to (\mathrm{id}_B)_* </math>. Für <math>f : B \to C , g : C \to D</math> liefert der Assoziator <math>(h,f,g)\alpha^{-1} : (h \ast f) \ast g \to h \ast (f \ast g)</math> einen Isomorphismus von Funktoren <math>f_* \ast g_* \to (f \ast g)_*</math>.

Den Nachweis der Kohärenzdiagramme für einen starken Funktor lassen wir weg. Man benutzt dabei im Wesentlichen die Kohärenzdiagramme (K1) und (K2) in der Definition einer <math>2</math>-Kategorie; außerdem braucht man noch das folgende Diagramm (K3):

<math>\begin{tikzcd}[column sep=15pt, row sep=30pt] (f \ast g) \ast  \mathrm{id} \ar[bend left=60]{rr}{(f,g,\mathrm{id})\alpha} \ar[bend right]{dr}[swap]{(f \ast g)\rho} && f \ast (g \ast \mathrm{id}) \ar[bend left]{dl}{\mathrm{id}_f \bullet (g)\rho} \\  & f \ast g &  \end{tikzcd}</math>
 
Dieses lässt sich aus den Diagrammen (K1) und (K2) gewinnen: eine gute Übungsaufgabe. Es gibt ein analoges Diagramm (K4), welches von der Identität "vorne" handelt; hier kommen <math>\lambda</math> und <math>\alpha</math> vor.

Satz. (Yoneda) Es sei <math>\mathcal{C}</math> eine <math>2</math>-Kategorie und es sei <math>F : \mathcal{C} \to \mathsf{Cat}</math> ein starker Funktor. Ist <math>A \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})</math> ein Objekt, so ist die Kategorie <math>\mathrm{Hom}\bigl(\mathrm{Hom}(A,-),F)</math> der starken natürlichen Transformationen <math>\mathrm{Hom}(A,-) \to F</math> zusammen mit starken Modifikationen zur Kategorie <math>(A)F</math> äquivalent.
 
Der Beweis dieses Satzes - als Lemma kann man es eigentlich nicht mehr bezeichnen! - ist relativ lang, auch wenn letztendlich jeder Schritt erzwungen ist. Man muss sich nur an den Beweis des Yoneda-Lemmas für <math>1</math>-Kategorien orientieren. Es ist nur relativ mühselig, alle Kohärenzdiagramme zu prüfen. Aus diesen Gründen geben wir hier nur eine sehr grobe Skizze an:
 
Skizze. Eine starke natürliche Transformation <math>\mathrm{Hom}(A,-) \to F</math> beinhaltet u.a. einen Funktor <math> \mathrm{Hom}(A,A) \to (A)F</math>. Werten wir diesen beim Objekt <math>\mathrm{id}_A</math> aus, so erhalten wir ein Objekt von <math>(A)F</math>. Jede Modifikation führt dabei zu einem Morphismus in der Kategorie <math>(A)F</math>. Ist umgekehrt <math>X</math> ein Objekt von <math>(A)F</math>, so wird die starke natürliche Transformation <math>\eta : \mathrm{Hom}(A,-) \to F</math> wie folgt definiert: Einem Objekt <math>B \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})</math> wird der Funktor <math>(B)\eta : \mathrm{Hom}(A,B) \to (B)F</math> zugeordnet, welcher <math>f : A \to B</math> auf das Objekt <math>(X)((f)F_{A,B})</math> von <math>(B)F</math> schickt. Alle weiteren Details bleiben dem Leser überlassen. "<math>\checkmark</math>"
 
Bemerkung. Aus dem "Yoneda-Satz" und der resultierenden Yoneda-Einbettung lässt sich folgern, dass jede <math>2</math>-Kategorie zu einer strikten <math>2</math>-Kategorie äquivalent ist (insbesondere ist jede monoidale Kategorie zu einer strikten monoidalen Kategorie äquivalent). Daraus folgt wiederum ein Kohärenzsatz, welcher im Wesentlichen besagt, dass alle "sinnvollen" Diagramme wie zum Beispiel (K3) und (K4) tatsächlich in jeder <math>2</math>-Kategorie kommutieren. Für <math>3</math>-Kategorien ist das interessanterweise nicht mehr der Fall! Und das liegt daran, dass für gewisse Homotopie-<math>3</math>-Typen <math>X</math> (wie zum Beispiel <math>S^2</math>) das sog. Whitehead-Produkt <math>\pi_2(X) \otimes \pi_2(X) \to \pi_3(X)</math> (Wiki) nicht trivial ist; siehe dazu arXiv:math/9810059. Kohärenzdiagramme haben also eine tiefe geometrische Bedeutung.

10. Schluss

Dieser Artikel ist nun schon sehr lang geworden, obwohl ich bisher tatsächlich nur an der Oberfläche gekratzt habe und längst nicht alle Grundbegriffe oder gar Anwendungen von <math>2</math>-Kategorien vorgestellt habe. Es scheint andererseits auch so zu sein, dass die Komplexität und der Umfang der Theorie der <math>n</math>-Kategorien mindestens exponentiell mit <math>n</math> zunimmt, jedenfalls wenn man konkrete <math>n</math> betrachtet. Schon die Definition einer <math>3</math>-Kategorie von Nick Gurski (hier) ist 4 Seiten lang. Und die Definition einer <math>4</math>-Kategorie von Todd Trimble (hier) ist unglaubliche 51 Seiten lang! Die verschiedenen Vorschläge, <math>n</math>-Kategorien allgemein zu definieren, sind eng mit Konzepten aus der algebraischen Topologie, speziell der Homotopietheorie, verwoben.

Ich hoffe, ich habe den Leser davon überzeugen können, dass <math>2</math>-Kategorien noch in einem viel erheblicheren Maße als gewöhnliche Kategorien dazu in der Lage sind, Mathematik zu vereinheitlichen und Querverbindungen herzustellen. Vielleicht kann man zusammenfassen, dass gewöhnliche <math>1</math>-Kategorientheorie die mengentheoretische Mathematik, d.h. <math>0</math>-Kategorientheorie abstrahiert und dass entsprechend <math>2</math>-Kategorientheorie die <math>1</math>-Kategorientheorie abstrahiert.
 
Ich möchte mich bei meinen Korrekturlesern KidinK und Gockel ganz herzlich bedanken.

Schließlich noch ein paar Quellen zum Weiterlesen:

• J. C. Baez, J. Dolan, Categorification
• J. Bénabou, Introduction to bicategories
• S. Lack, A 2-categories companion
• T. Leinster, Basic Bicategories
• T. Leinster, Higher Operads, Higher Categories
• R. Street, Categorical structures
• R. Street, G. M. Kelly, Review of the elements of 2-categories



Artikel zur Kategorientheorie
Teil 1 (von Zaos): Kategorientheorie
Teil 2 (von Zaos): Kategorien und Diagrammjagd
Teil 3: Ja Mono Epi Iso
Teil 4: Universelle Eigenschaften
Teil 5: Limites und Kolimites
Teil 6: Wie universelle Eigenschaften einem das Leben erleichtern
Teil 7: Fixpunkte in der Kategorientheorie
Teil 8: Adjunktionen: Wie man zwischen zwei Kategorien eine Brücke baut
Teil 9: Koenden ohne Ende - Integrale in der Kategorientheorie
Teil 10: 2-Kategorien - Einstieg in die höhere Kategorientheorie

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" Mathematik: 2-Kategorien - Einstieg in die höhere Kategorientheorie " | 6 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: 2-Kategorien - Einstieg in die höhere Kategorientheorie
von PhysikRabe am Sa. 23. Mai 2015 11:38:11


Vielen Dank für diesen ausführlichen Artikel, den ich eingehend studieren werde! smile

Eine kleine Bemerkung zur Begrifflichkeit: Das was du "strikte 2-Kategorie" nennst kenne ich unter dem Namen "2-Kategorie", und die allgemeinere Definition, in der das Assoziativgesetz der horizontalen Komposition bis auf 2-Isomorphismen erklärt ist, wird üblicherweise als "Bikategorie" bezeichnet. Vielleicht sind die von dir verwendeten Begriffe aber sogar besser, denn das Wort "strikt" drückt eindeutig aus, dass diese 2-Isomorphie eine strikte Gleichheit ist. Weiterer Vorteil: Diese Benennung lässt sich auf n-Kategorien erweitern, was mit griechischen Präfixen "Bi-", "Tri-",... nicht beliebig möglich ist.

Und noch eine Frage: Kennst du irgendwelche strikten 2-Kategorien, die nicht Varianten von Cat sind?

Grüße,
PhysikRabe

 [Bearbeiten]

Re: 2-Kategorien - Einstieg in die höhere Kategorientheorie
von Martin_Infinite am Sa. 23. Mai 2015 12:14:07


@PhysikRabe: Danke für deinen Kommentar. Ich hatte schon überlegt, ob ich dazu eine Bemerkung im Artikel mache. Es ist genau so, wie du es gesagt hast, nur mit der kleinen Ergänzung, dass es meiner Einschätzung nach moderner ist und von immer mehr Autoren so gehandhabt wird, das Begriffspaar "strikte <math>n</math>-Kategorie / <math>n</math>-Kategorie" zu benutzen anstelle des historisch bedingten Paares "<math>n</math>-Kategorie / schwache <math>n</math>-Kategorie"; erst recht für <math>n=\infty</math>. Es scheint nämlich so zu sein, dass der "natürliche" Begriff von <math>n</math>-Kategorie der nicht-strikte ist, man hier also eigentlich nicht ständig ein Adjektiv setzen müssen möchte. Das Adjektiv "schwach" deutet zudem an, dass man es mit einem Begriff zu tun hat, der noch nicht die volle gewünschte Stärke aufweist (ähnlich wie Prä-Hilbertraum); es ist aber genau das Gegenteil der Fall. Und schließlich finde ich es sehr umständlich, von Bikategorien, Trikategorien, Tetrakategorien, ... (wie geht es eigentlich weiter?) sprechen zu müssen anstelle von <math>2</math>-Kategorien, <math>3</math>-Kategorien, <math>4</math>-Kategorien, ... Übrigens schreibt Tom Leinster in der Einleitung zu seinem Buch Higher Operads, Higher Categories:

Leinster schreibt:
A few words on terminology are needed. There is a distinction between ‘weak’ and ‘strict’ n-categories, as will soon be explained. For many years only the strict ones were considered, and they were known simply as ‘n-categories’. More recently it came to be appreciated that weak n-categories are much more abundant in nature, and many authors now use ‘n-category’ to mean the weak version.
 
Zu deiner Frage: In Abschnitt 5 geht es um die strikte <math>2</math>-Kategorie <math>\mathsf{Top}_{\leq 2}</math>. Man hat übrigens strikte <math>2</math>-Funktoren <math>\Pi=\mathrm{Hom}(\{\star\},-) : \mathsf{Top}_{\leq 2} \to \mathsf{Cat}</math> (Fundamentalgruppoid) und <math>R : \mathsf{Cat} \to \mathsf{Top}_{\leq 2}</math> (geometrische Realisierung). Hieran wird sehr schön die Analogie

<math>\begin{tabular}{c|c} Topologischer Raum & Kategorie \\ stetige Abbildung & Funktor \\ Homotopie & natürliche Transformation \end{tabular}</math>

verdeutlicht.

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Re: 2-Kategorien - Einstieg in die höhere Kategorientheorie
von PhysikRabe am Sa. 23. Mai 2015 13:02:34


Herzlichen Dank für deine Antwort. Jenseits von Tetrakategorie ginge es wohl mit Penta-, Hexa-, Hepta-,... weiter. Aber abgesehen davon, dass das nicht schön klingt und nur wenige die griechischen Zahlwörter parat haben, taucht spätestens bei der n-Kategorie die Schwierigkeit auf eine Bezeichnung zu finden, die in dieses Schema passt. Insofern gefällt mir "strikte 2-Kategorie / 2-Kategorie" besser als "2-Kategorie / Bikategorie".

Der Artikel ist ja recht lang, ich muss mich in Ruhe hinsetzen und ihn lesen.  smile

Grüße,
PhysikRabe

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Re: 2-Kategorien - Einstieg in die höhere Kategorientheorie
von undertow am Di. 26. Mai 2015 12:15:42


Interessanter Artikel, der da anfängt, wo Mac Lane beginnt aufzuhören. Die Beispiele sind gut gewählt, hätten aber vielleicht noch zahlreicher sein können; gibt es etwa einfachere Anwendungen des 2-Yoneda-Lemmas, die die klassische Version nicht kann und die ebenso nervige Rechnungen überflüssig macht?

Ich hätte noch ein Beispiel anzubieten, das mich (in seiner <math>\displaystyle \infty</math>-kategoriellen Variante) immer wieder verfolgt:
Eine Wirkung einer Gruppe <math>\displaystyle G</math> auf einem topologischen Raum <math>\displaystyle X</math> ist ein Funktor <math>\displaystyle G \to \mathrm{Top}</math>, der das einzige Objekt von <math>\displaystyle G</math> auf <math>\displaystyle X</math> schickt (wir fassen <math>\displaystyle G</math> hierbei als Kategorie mit einem Objekt auf). Da wir jetzt dank Martin wissen, was die 2-Kategorie der topologischen Räume ist, drängt es sich auf, eine (laxe) Homotopiewirkung von <math>\displaystyle G</math> als 2-Funktor <math>\displaystyle G \to \mathrm{Top}_{\leq 2}</math> zu definieren. Man mache sich klar, das eine solche durch stetige Abbildungen <math>\displaystyle \varphi_g\colon X \to X</math> sowie (Homotopieklassen von) Homotopien <math>\displaystyle \varphi_{g,h}\colon \varphi_g \ast \varphi_h \to \varphi_{g \ast h}</math> und <math>\displaystyle \eta\colon \id_X \to \varphi_1</math> gegeben ist (das sind genau Bedingungen (3) und (4) in Martins Definition von 2-Funktor).
Warum sollte man solche betrachten? Ist <math>\displaystyle Y</math> ein topologischer Raum, auf dem eine Gruppe <math>\displaystyle G</math> operiert (im klassischen Sinne) und sind <math>\displaystyle f\colon Y \to X</math>, <math>\displaystyle f^{-1}\colon X \to Y</math> zueinander inverse Homotopieäquivalenzen mit Homotopien <math>\displaystyle H\colon \id_X \to f^{-1} \ast f</math> und <math>\displaystyle K\colon \id_Y \to f \ast f^{-1}</math>, so können wir folgendermaßen eine Homotopiewirkung auf <math>\displaystyle X</math> bauen: Die stetigen Abbildungen sind gegeben durch <math>\displaystyle \varphi_g := f^{-1} \ast g \ast f</math> (wir identifizieren hierbei <math>\displaystyle g</math> mit der induzierten Selbstabbildung von <math>\displaystyle Y</math>), die Homotopien durch <math>\displaystyle \varphi_{g,h}(t,-) := f^{-1} \ast g \ast K(1-t,-) \ast h \ast f</math> und <math>\displaystyle \eta := H</math>.
Wir können also die Symmetrien, die unsere Gruppenwirkung auf <math>\displaystyle Y</math> sieht, als "Symmetrien bis auf Homotopie" auf <math>\displaystyle X</math> wiederfinden.

(Ich habe der Konsistenz halber probiert, die Postfixnotation zu verwenden; ich hoffe, das ist halbwegs gelungen.)

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Re: 2-Kategorien - Einstieg in die höhere Kategorientheorie
von Martin_Infinite am Fr. 05. Juni 2015 21:10:51


@undertow: Ich habe ja schon im Artikel geschrieben, dass ich lediglich an der Oberfläche gekratzt habe! Der Artikel kann und möchte auch die Literatur nicht ersetzen. Ich möchte aber versuchen, deine Frage zu beantworten:
 
Sobald man nicht mehr mit "konkreten Objekten", sondern zum Beispiel mit Kategorien arbeitet und diese als Gegenstand der Untersuchung ansieht, befindet man sich eigentlich in der 2-Kategorientheorie und das 2-kategorielle Yoneda-Lemma kommt ins Spiel, wenn die Kategorien 2-kategorielle universelle Eigenschaften erfüllen.

Hier ein sehr einfaches Beispiel: Seien <math>\mathcal{C},\mathcal{D}</math> zwei Kategorien und <math>S \subseteq \mathrm{Mor}(\mathcal{C})</math>, <math>T \subseteq \mathrm{Mor}(\mathcal{D})</math> zwei Klassen von Morphismen. Die Lokalisierungen <math>S^{-1} \mathcal{C}</math>, <math>T^{-1} \mathcal{D}</math> mögen existieren. Dann existiert auch die Lokalisierung <math>(S \sqcup T)^{-1} (\mathcal{C} \sqcup \mathcal{D})</math> und es gibt eine Äquivalenz von Kategorien <math>(S \sqcup T)^{-1} (\mathcal{C} \sqcup \mathcal{D}) \simeq S^{-1} \mathcal{C} \sqcup T^{-1} \mathcal{D}</math>. Mit dem 2-kategoriellen Yoneda-Lemma ist dies offensichtlich. Wenn man das nicht benutzen möchte, müsste man das alte Hin-und-Her-Spiel wiederholen. Noch umständlicher wäre es, eine Äquivalenz anhand der expliziten Konstruktion der Lokalisierung direkt zu konstruieren.

In meiner Dissertation habe ich i.W. das Zusammenspiel zwischen zwei 2-Kategorien untersucht: Die 2-Kategorie der (nicht notwendig algebraischen) Stacks bez. der fpqc-Topologie und die 2-Kategorie der kovollständigen symmetrisch monoidalen Kategorien. In beiden 2-Kategorien konstruiert man universelle Objekte, welche sich in gewisser Weise entsprechen, und die formalen Eigenschaften beweisen sich am einfachsten mit dem 2-kategoriellen Yoneda-Lemma. Zum Beispiel sind projektive Tensorfunktoren unter Kobasiswechsel stabil. Das ist die tensorkategorielle Entsprechung der geometrischen Aussage, dass projektive Morphismen unter Basiswechsel stabil sind.

In diesem Zusammenhang ist vielleicht erwähnenswert, dass man den projektiven Raum nicht nur als Modulraum, sondern auch als Modulstack auffassen kann, und sich seine Beschreibung dann vereinfacht: Sei allgemein <math>S</math> ein Schema und <math>\mathcal{E}</math> ein quasikohärenter Modul auf <math>S</math> (für den projektiven Raum der Dimension <math>n</math> nehme man einfach <math>\mathcal{E}=\mathcal{O}_S^{n+1}</math>). Dann wird das projektive Bündel <math>\mathds{P}(\mathcal{E})</math> in der funktoriellen Sichtweise auf die algebraische Geometrie (EGA I (1971), §9) üblicherweise als ein <math>S</math>-Schema mit der universellen Eigenschaft

<math>\hom_S(X,\mathds{P}(\mathcal{E})) \cong \{(\mathcal{L},s) : \mathcal{L} \in \mathrm{Pic}(X),~ s : f^*(\mathcal{E}) \twoheadrightarrow \mathcal{L}\}/{\sim}</math>
 
für <math>S</math>-Schemata <math>f : X \to S</math> verstanden. Hierbei muss man also die Äquivalenzklassen der Paare <math>(\mathcal{L},s)</math> betrachten. Diese Paare <math>(\mathcal{L},s)</math> bilden aber tatsächlich eine Kategorie auf naheliegende Weise, und <math>\hom_S(X,\mathds{P}(\mathcal{E}))</math> ist (als diskrete Kategorie) zu dieser Kategorie äquivalent. Wenn wir also <math>\mathds{P}(\mathcal{E})</math> als (diskreten) Stack auffassen, so vereinfacht sich die universelle Eigenschaft: Es gilt nämlich

<math>\hom_S(X,\mathds{P}(\mathcal{E})) \simeq \{(\mathcal{L},s) : \mathcal{L} \in \mathrm{Pic}(X),~ s : f^*(\mathcal{E}) \twoheadrightarrow \mathcal{L}\}.</math>
 
Vielleicht gibt es auch "kanonische" Anwendungen des 2-kategoriellen Yoneda-Lemmas, aber damit kenne ich mich nicht so gut aus.

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Re: 2-Kategorien - Einstieg in die höhere Kategorientheorie
von Triceratops am Di. 11. Juli 2017 14:16:52


Einen ausführlichen Beweis des <math>2</math>-kategoriellen Yoneda-Lemmas hat Igor Bakovic aufgeschrieben: Link.

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