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Mathematik: Vorsichtslemma oder Großes Gegenbeispiel
Freigegeben von matroid am Fr. 08. Februar 2002 20:17:20
Verfasst von matroid -   3549 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

 
Frage: "Warum muss ich noch beweisen, dass eine Aussage A(n) für alle n gilt, wenn ich durch probieren mich schon überzeugt habe, dass die Aussage für alle n bis 1.000.000 gilt? Es kann doch nur so weiter gehen."

Antwort: Leider nein. Ohne Beweis ist nichts sicher.

Frage: Was gilt denn als Beweis?

Antwort: Kommt darauf an, wen Du fragst.
Ganz allgemein ausgedrückt, verstehen Juristen unter Beweis den Nachweis für eine Behauptung. Die Beweisführung soll dem Gericht die Überzeugung von der Wahrheit oder Unwahrheit einer Tatsachenbehauptung verschaffen.
Mag sein, dass Juristen aufgrund einer überwältigenden Anzahl von Indizien ein Urteil fällen. Die Indizien für die Aussage A(n) mögen A(1) bis A(1.000.000) sein, aber mathematische Aussagen müssen vor einem Gericht aus Mathematikern bestehen.
Mathematiker akzeptieren keine Indizienbeweise - nicht aus Gemeinheit, sondern aus Erfahrung. Zur positiven Bestätigung einer Behauptung muss die Aussage allgemein - das ist: für alle möglichen Fälle - nachgewiesen werden bzw. sein.

Mein letzter Satz ist auch eine Aussage, und diese Aussage, die ich als Vorsichtslemma bezeichne, kann man mit einem einzigen Beispiel beweisen!

fed-Code einblenden

Der Beweis des Vorsichtslemmas



Definition: Eine positive ganze Zahl heißt 'von geradem Typ', wenn ihre Primfaktorzerlegung eine gerade Anzahl von Primzahlen enthält.
Sonst heißt sie 'von ugeradem Typ'.

Beispiel: 4 = 2² ist von geradem Typ. 18 = 2*3² ist von ungeradem Typ.
Der 'Typ' bestimmt sich also aus der Summe der Primzahlexponenten in der Primfaktorzerlegung.
Weil 1 das Produkt von 0 Primzahlen ist, ist die 1 somit von geradem Typ.
Mit E(n) werde die Anzahl der positiven ganzen Zahlen von geradem Typ bezeichnet, die kleiner oder gleich n sind.

Mit O(n) werde die Anzahl der positiven ganzen Zahlen von ungeradem Typ bezeichnet, die kleiner oder gleich n sind.
Was kann man über die relative Größe von E(n) und O(n) sagen?
Ist E(n) größer als O(n)? fed-Code einblenden

Beispiele: Es ist E(2) = 1 = O(2), denn die 2 ist selbst von ungeradem Typ und die einzige kleiner Zahl (die 1) ist von geradem Typ. Weiter ist fed-Code einblenden

Stellen wir eine Tabelle auf:

nPrimfaktorzerlegungTypE(n)O(n)
1-gerade--
22ungerade11
33ungerade12
4gerade22
55ungerade23
62*3gerade33
77ungerade34
8ungerade35
9gerade45
102*5gerade55
1111ungerade56
122²*3ungerade57


Es sieht so aus, dass O(n) "früher" wächst als E(n). Dazu tragen die Primzahlen bei, die immer vor größeren Zahlen stehen, die diese Primzahl als Faktor enthalten.
Das berechtigt zu der fed-Code einblenden

Diese Behauptung ist unter dem Titel "Polyas Vermutung" bekannt. Sie stammt aus dem Jahre 1919. Nachdem man nachgerechnet hatte, dass sie für fed-Code einblenden gilt, waren viele überzeugt, dass Polyas Vermutung wahr wäre.
Aber eine Überzeugung ist kein Beweis - und tatsächlich hat sich die Vermutung als falsch herausgestellt.

1962 wurde ein Gegenbeispiel gefunden (Lehman):
Für n = 906.180.359 ist zum ersten* Mal
O(n) = E(n) - 1.


Wer Lust hat, kann es nachrechnen. Dazu braucht man einen Computer und ein Faktorisierungprogramm.

Soweit das Große Gegenbeispiel als Beweis des Vorsichtslemmas.

Methodische Anmerkung:

Selbstverständlich sollen Studenten auch Vermutungen äußern. Sie mögen diese für sich selbst durch einige Beispielen bestätigen oder widerlegen. Aber noch so viele positive Einzelfälle (heute, mit Computern, sind Millionen kein Problem) bedeuten einen Beweis. Die Aussage ist dann immer noch unsicher.



Quelle für das Gegenbeispiel: Math Fun Facts. Ins Deutsche übertragen von Matroid.

*) Siehe Kommentar vom 11. November 2010

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Vorsichtslemma oder Großes Gegenbeispiel [von matroid]  
 Frage: "Warum muß ich noch beweisen, daß eine Aussage A(n) für alle n gilt, wenn ich durch probieren mich schon überzeugt habe, daß die Aussage für alle n bis 1.000.000 gilt? Es kann doch nur so weiter gehen."
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" Mathematik: Vorsichtslemma oder Großes Gegenbeispiel" | 2 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Vorsichtslemma oder Großes Gegenbeispiel
von freeclimb am Do. 11. November 2010 15:52:32


Wirklich sehr hübscher Artikel, der mal endgültigt zeigt, dass nichts "offensichtlich" stimmt, wenn es nicht bewiesen worden ist.
Ich habs als Programmierübung nachprogrammiert und nachprogrammieren lassen, mit SAGE (sagemath.org). Dauert zwar eine halbe Woche, aber jetzt ist er beim Gegenbeispiel angekommen.

Es lautet 906150257. Also schon früher, als hier im Artikel angegeben. Wikipedia bestätigt meine Berechnungen auch. Vielleicht sollte die Zahl im Artikel dementsprechend geändert werden.

mfg, freeclimb

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Re: Vorsichtslemma oder Großes Gegenbeispiel
von freeclimb am Do. 11. November 2010 15:55:04


Nachtrag: Mein Ergebnis ist die ERSTE Zahl, bei der die Ungleichung nicht mehr gilt. Ich habe nicht behauptet, dass bei der im Artikel angegebenen Zahl, die Ungleichung nicht auch verletzt wird.
Das niedrigste Gegenbeispiel ist sie aber nicht.

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