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Mathematik: Eine ungewöhnliche Identität von Zeta(2)
Freigegeben von matroid am Mo. 11. Dezember 2017 21:20:41
Verfasst von Marbin - (338 x gelesen)
Mathematik 
Im folgenden Artikel zeigen wir die Identität \[ -\frac{4}{3}\cdot \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}\cdot \left ( \psi^{(0)} \left (k+\frac{1}{2} \right)+\gamma +\ln(4) \right)}{k}=\zeta (2). \]
\(\psi^{(0)}\) ist hier die Digamma-Funktion und \(\gamma\) die Euler-Mascheroni-Konstante.
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Mathematik: Ein kleines Programm zum Zeichnen des Apfelmännchens in Java
Freigegeben von matroid am So. 03. Dezember 2017 21:19:56
Verfasst von Delastelle - (195 x gelesen)
Software 
Leider wurden das DOS-Programm Fractint und das Windows-Programm Winfract nicht mehr weiterentwickelt. Um trotzdem Fraktale zu erzeugen, habe ich hier ein Java-Programm zur Erzeugung des Apfelmännchens. Im Anschluss noch einige Fraktale, die mit Fractint erzeugt wurden.
mehr... | 7432 Bytes mehr | 1 Kommentar | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel aufmerksam machen


Mathematik: Mathematik als moderner "Stein von Rosetta"
Freigegeben von matroid am Di. 24. Oktober 2017 14:07:11
Verfasst von trunx - (593 x gelesen)
Bildung 
Hallo Freunde der Zahlenkunst,

seit langem, vielleicht auch altersbedingt, beschäftigt mich der Gedanke, wie bei einem Zusammenbruch der menschlichen Zivilisation unser bisheriges Wissen archiviert und für sehr lange Zeiträume aufbewahrt werden könnte (als Einstieg siehe hier).
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Mathematik: Wie man einfache Beweise ohne Mühe finden kann
Freigegeben von matroid am Sa. 07. Oktober 2017 10:11:20
Verfasst von Triceratops - (2121 x gelesen)
Mathematik 

Wie man einfache Beweise ohne Mühe finden kann

Wenn man mit dem Studium der Mathematik beginnt, kommt es einem manchmal so vor, als ob Beweise sehr schwierig zu finden sind und ein hohes Maß an Kreativität und Talent erfordern. Selbst wenn man die Musterlösung sieht, denkt man sich manchmal "Darauf wäre ich nie gekommen", "Ich bin zu blöd dafür" oder "Das ist total schwierig". Viele Beweise in den ersten Semestern lassen sich aber ohne Mühe finden. Die Beweisschritte sind regelrecht erzwungen. Man muss sich dabei nur ein paar universelle Denkmethoden oder -muster aneignen, die oft zum Ziel führen. Dieser Artikel richtet sich an Studienanfänger und stellt diese Methoden anhand von einigen Beispielen vor.
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Mathematik: Kombinatorik im Spätsommer: Hamiltonsche Gitterwege
Freigegeben von matroid am Do. 24. August 2017 08:26:14
Verfasst von Triceratops - (514 x gelesen)
Mathematik 

Kombinatorik im Spätsommer: Hamiltonsche Gitterwege


In diesem Artikel zählen wir die Wege, die durch ein endliches Gitter von unten links nach oben rechts laufen und sich nicht selbst schneiden. Dabei betrachten wir auch die Option, dass jeder Gitterpunkt genau einmal besucht wird. Solche Gitterwege werden selbstmeidend bzw. Hamiltonsch genannt.
 
<math>\begin{tikzpicture}[line width=0.2ex,scale=0.6]
\draw [lightgray] (0,0) grid (7,6);
\draw [rounded corners=0.3ex,black!50!blue] (0,0) to (3,0) to (3,3) to (1,3) to (1,2) to (2,2) to (2,1) to (0,1) to (0,4) to (2,4) to (2,5) to (0,5) to (0,6) to (5,6) to (5,5) to (3,5) to (3,4) to (4,4) to (4,2) to (6,2) to (6,1) to (4,1) to (4,0) to (7,0) to (7,3) to (5,3) to (5,4) to (7,4) to (7,5) to (6,5) to (6,6) to (7,6);
\end{tikzpicture}
\hspace{10ex}
\begin{tikzpicture}[line width=0.2ex,scale=0.6]
\draw [lightgray] (0,0) grid (7,6);
\draw [rounded corners=0.3ex,black!50!blue] (0,0) to (0,4) to (4,4) to (4,3) to (3,3) to (3,2) to (2,2) to (2,3) to (1,3) to (1,0) to (2,0) to (2,1) to (3,1) to (3,0) to (4,0) to (4,2) to (5,2) to (5,5) to (0,5) to (0,6) to (6,6) to (6,1) to (5,1) to (5,0) to (7,0) to (7,6);
\end{tikzpicture}</math>
 
Wir benutzen die Transfer-Matrix-Methode, um die erzeugenden Funktionen der gesuchten Anzahlen effizient zu bestimmen. Ein Programm nimmt uns die Rechnungen ab.
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Mathematik: Regelmäßiges Neuneck: neue Näherungskonstruktion
Freigegeben von matroid am Sa. 12. August 2017 14:41:09
Verfasst von Yakob - (285 x gelesen)
Mathematik 

Regelmäßiges  9 - Eck :

Näherungskonstruktion


Gerade hatte ich eine Näherungskonstruktion für das regelmäßige Siebeneck entworfen und hier eingebracht
    http://matheplanet.com/default3.html?article=1798  
Anschließend fragte ich mich, ob ich mit denselben Mitteln (also mit dem einfachen Suchprogramm für gute Approximationswerte) auch z.B. eine analoge Konstruktion für andere Vielecke, zum Beispiel für das reguläre Neuneck, finden könne. Dazu änderte ich einfach das vorherige Suchprogramm etwas ab für die Suche nach einfachen Approximationen etwa für Werte wie <math>2*sin\left(\frac{\pi}{9}\right)\, ,\ cos\left(\frac{2\,\pi}{9}\right)\, ,\ tan\left(\frac{\pi}{9}\right)</math>  usw.
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Mathematik: Kombinatorik in der Sommerpause: Pflasterungen mit Rechtecken
Freigegeben von matroid am So. 30. Juli 2017 21:09:52
Verfasst von Triceratops - (871 x gelesen)
Mathematik 

Kombinatorik in der Sommerpause: Pflasterungen mit Rechtecken

Auf wieviele verschiedene Weisen lässt sich ein \(3 {\times} 4\)-Gitter mit Rechtecken pflastern? Hier ein paar Beispiele dafür:

<math>\begin{tikzpicture}[line width=0.18ex,scale=0.5]
\draw [thin,lightgray,step=1] (0,0) grid (4,3);
\draw (0,0) to (4,0) to (4,3) to (0,3) -- cycle;
\draw (0,1) to (2,1) to (2,0);
\draw (2,1) to (2,2) to (4,2);
\draw (2,2) to (1,2);
\draw (1,1) to (1,3);
\end{tikzpicture}
\hspace{7mm}
\begin{tikzpicture}[line width=0.18ex,scale=0.5]
\draw [thin,lightgray,step=1] (0,0) grid (4,3);
\draw (0,0) to (4,0) to (4,3) to (0,3) -- cycle;
\draw (0,1) to (4,1);
\draw (3,0) to (3,1);
\draw (2,1) to (2,2) to (4,2);
\draw (2,3) to (2,2);
\draw (1,1) to (1,3);
\end{tikzpicture}
\hspace{7mm}
\begin{tikzpicture}[line width=0.18ex,scale=0.5]
\draw [thin,lightgray,step=1] (0,0) grid (4,3);
\draw (0,0) to (4,0) to (4,3) to (0,3) -- cycle;
\draw (2,0) to (2,2) to (0,2);
\draw (2,2) to (2,3);
\draw (2,1) to (3,1);
\draw (3,2) to (4,2);
\draw (3,0) to (3,3);
\end{tikzpicture}
\hspace{7mm}
\begin{tikzpicture}[line width=0.18ex,scale=0.5]
\draw [thin,lightgray,step=1] (0,0) grid (4,3);
\draw (0,0) to (4,0) to (4,3) to (0,3) -- cycle;
\draw (1,0) to (1,1) to (0,1);
\draw (0,2) to (3,2) to (3,1) to (1,1);
\draw (2,2) to (2,3);
\draw (3,2) to (3,3);
\draw (3,1) to (4,1);
\end{tikzpicture}</math>

Tatsächlich gibt es \(3164\) solcher Pflasterungen. Um solche Anzahlen rekursiv zu bestimmen, betrachten wir allgemeiner die Zahl der Pflasterungen eines \(n {\times m}\)-Gitters durch Rechtecke. In diesem Artikel schauen wir uns besonders die Fälle \(n=1,2,3\) an. Dabei lernen wir verschiedene Methoden kennen, insbesondere die Transfer-Matrix-Methode, die sogar für jedes feste \(n\) funktioniert. Wir bekommen sowohl erzeugende Funktionen als auch Rekursionsgleichungen für die gesuchten Anzahlen.
mehr... | 32003 Bytes mehr | 19 Kommentare | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel aufmerksam machen


Mathematik: Regelmäßiges Siebeneck: neue Näherungskonstruktion
Freigegeben von matroid am Sa. 10. Juni 2017 14:10:22
Verfasst von Yakob - (512 x gelesen)
Mathematik 

Regelmäßiges   7 - Eck :
                    eine neue Näherungskonstruktion


Nachdem ich mich vor längerer Zeit einmal mit einer vereinfachten Darstellung einer (exakten) Konstruktion des regelmäßigen Siebzehnecks beschäftigt hatte http://matheplanet.com/default3.html?article=1766, steckte ich mir nun ein etwas anderes Ziel:  Ich wollte eine möglichst gute Näherungskonstruktion für das regelmäßige Siebeneck finden, und zwar unabhängig von den schon bekannten Approximationen.

Nun ist mir dies (nachdem ich die Idee dazu vor einigen Tagen hatte) innert eines Tages gelungen, indem ich zuerst ein numerisches Suchprogramm schrieb und laufen ließ und dann vom besten Approximationswert aus eine dazu passende Konstruktion entwarf und mittels Geogebra realisierte.

Das Ergebnis:  Die relative Abweichung der konstruierten Streckenlänge (einer Diagonalen) vom exakten Wert im regulären Siebeneck beträgt nur etwa  0.17  Promille.  Damit ist die Konstruktion genauer als die im Wikipedia-Artikel zum Siebeneck angegebenen Alternativen (https://de.wikipedia.org/wiki/Siebeneck#N.C3.A4herungskonstruktionen).  
mehr... | 5129 Bytes mehr | 2 Kommentare | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel aufmerksam machen


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