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Mathematik: Regelmäßiges Siebeneck: neue Näherungskonstruktion
Freigegeben von matroid am Sa. 10. Juni 2017 14:10:22
Verfasst von Yakob - (254 x gelesen)
Mathematik 

Regelmäßiges   7 - Eck :
                    eine neue Näherungskonstruktion


Nachdem ich mich vor längerer Zeit einmal mit einer vereinfachten Darstellung einer (exakten) Konstruktion des regelmäßigen Siebzehnecks beschäftigt hatte http://matheplanet.com/default3.html?article=1766, steckte ich mir nun ein etwas anderes Ziel:  Ich wollte eine möglichst gute Näherungskonstruktion für das regelmäßige Siebeneck finden, und zwar unabhängig von den schon bekannten Approximationen.

Nun ist mir dies (nachdem ich die Idee dazu vor einigen Tagen hatte) innert eines Tages gelungen, indem ich zuerst ein numerisches Suchprogramm schrieb und laufen ließ und dann vom besten Approximationswert aus eine dazu passende Konstruktion entwarf und mittels Geogebra realisierte.

Das Ergebnis:  Die relative Abweichung der konstruierten Streckenlänge (einer Diagonalen) vom exakten Wert im regulären Siebeneck beträgt nur etwa  0.17  Promille.  Damit ist die Konstruktion genauer als die im Wikipedia-Artikel zum Siebeneck angegebenen Alternativen (https://de.wikipedia.org/wiki/Siebeneck#N.C3.A4herungskonstruktionen).  
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Mathematik: Martins Axiom
Freigegeben von matroid am Mo. 05. Juni 2017 10:33:27
Verfasst von Triceratops - (292 x gelesen)
Mathematik 

Martins Axiom

Die Kontinuumshypothese besagt, dass es keine Kardinalzahlen zwischen <math>\omega</math> und <math>2^{\omega}</math> gibt. Diese Hypothese lässt sich nicht aus den üblichen Axiomen der Mengenlehre ableiten. Man kann sich also fragen, was passiert, wenn es doch solche Kardinalzahlen <math>\kappa</math> mit <math>\omega<\kappa<2^\omega</math> gibt: Verhalten diese sich wenigstens genauso gut wie <math>\omega</math>? Gilt zum Beispiel der Bairesche Kategoriensatz auch für <math>\kappa</math> viele Mengen? Und ist die Vereinigung von <math>\kappa</math> vielen Lebesgue-Nullmengen ebenfalls eine Lebesgue-Nullmenge? Martins Axiom, benannt nach Donald Martin, ist eine Aussage aus der unendlichen Kombinatorik, mit der dieser Wunsch in Erfüllung geht. In diesem Artikel stellen wir dieses Axiom vor und beweisen einige interessante Folgerungen aus der Mengenlehre, der Kombinatorik, der Analysis sowie der Topologie. Einige von ihnen stellen sich zudem als äquivalent zu Martins Axiom heraus.
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Mathematik: Klassifikation beschränkter Torsionsmoduln
Freigegeben von matroid am Do. 04. Mai 2017 09:52:26
Verfasst von Triceratops - (342 x gelesen)
Mathematik 

Klassifikation beschränkter Torsionsmoduln

Eine abelsche Gruppe <math>A</math> heißt beschränkt, wenn es eine natürliche Zahl <math>n > 0</math> gibt mit <math>n \cdot A = 0</math>. Es hat also jedes Element eine endliche Ordnung, und diese endlichen Ordnungen können beschränkt werden. Zum Beispiel ist jede endliche abelsche Gruppe beschränkt (man kann <math>n=\mathrm{ord}(A)</math> nehmen), aber es ist auch jede (unendliche) direkte Summe <math>A = \bigoplus_{i \in I} \mathds{Z}/n_i </math> endlicher zyklischer Gruppen beschränkt, solange <math>\{n_i : i \in I\}</math> beschränkt ist. Tatsächlich hat jede beschränkte abelsche Gruppe diese Form; das beweisen wir in diesem Artikel. Es handelt sich um eine Verallgemeinerung des Struktursatzes für endliche abelsche Gruppen. Die Eindeutigkeit der Zerlegung im Falle von Primpotenzen beweisen wir mithilfe der Ulm-Invarianten. Allgemeiner gilt dies alles auch für beschränkte Moduln über einem Hauptidealring.
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Mathematik: Einladung zum MPCT 2017
Freigegeben von matroid am So. 09. April 2017 21:49:01
Verfasst von MontyPythagoras - (1384 x gelesen)
Matroids Matheplanet 
 
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Mathematik: Ableitungen mit dualen Zahlen
Freigegeben von matroid am Di. 04. April 2017 16:19:13
Verfasst von Triceratops - (638 x gelesen)
Mathematik 

Ableitungen mit dualen Zahlϵn

In diesem Artikel geht es um den Ring der dualen Zahlen <math>R[\varepsilon]</math> und wie sich mit ihm elegant ohne einen Limesprozess Ableitungen von Polynomen, rationalen Funktionen und Potenzreihen definieren und berechnen lassen. Grundlage dafür ist die Gleichung <math>f(T+\varepsilon)=f(T) + f'(T) \varepsilon</math>. Dieses Vorgehen hat Anwendungen auf das automatische Differenzieren und kann zugleich als elementarer Einstieg in die glatte infinitesimale Analysis gesehen werden.
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Mathematik: Zappa-Szép-Produkte - Teil 2
Freigegeben von matroid am So. 12. März 2017 14:46:21
Verfasst von Triceratops - (153 x gelesen)
Mathematik 

Zappa-Szép-Produkte

Im 1. Teil haben wir uns mit dem Zappa-Szép-Produkt von Gruppen bzw. Monoiden befasst, einer naheliegenden Verallgemeinerung des semidirekten Produktes. Insbesondere haben wir gesehen, dass jedes Distributivgesetz zwischen zwei Monoiden ein Zappa-Szép-Produkt liefert, und umgekehrt. In diesem 2. Teil werden wir nun dasselbe für Monoidobjekte in monoidalen Kategorien beweisen. Es werden daher auch Grundkenntnisse der Kategorientheorie vorausgesetzt. An die Stelle von Rechnungen mit Elementen treten dann kommutative Diagramme. Der Vorteil dieser Allgemeinheit besteht unter anderem darin, dass man für jede konkrete Wahl der monoidalen Kategorie ein eigenes Zappa-Szép-Produkt bekommt. Für die monoidale Kategorie der Moduln bedeutet das etwa, dass man ein Zappa-Szép-Produkt für Algebren bekommt, das üblicherweise schiefes oder veschränktes Produkt genannt wird. Für die monoidale Kategorie der Endofunktoren einer Kategorie bekommt man ein Zappa-Szép-Produkt für Monaden, welches üblicherweise die Komposition von Monaden genannt wird. Wir beweisen zudem eine universelle Eigenschaft des Zappa-Szép-Produktes. Wir beenden den Artikel mit einer 2-kategoriellen Interpretation von Distributivgesetzen und Zappa-Szép-Produkten von Monaden.
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Mathematik: Elemente von Euklid - eine brandneue Online Version mit CC BY-SA 3.0 Lizenz
Freigegeben von matroid am Sa. 25. Februar 2017 18:40:12
Verfasst von bookofproofs - (521 x gelesen)
Bildung 
Liebe Geometriefreunde und Freunde der axiomatischen Methode,

diese wurde von den Alten Griechen erfunden und das erste Meisterstück, in der sie ausgiebig angewendet wurde, waren die "Elemente" von Euklid.

Ich möchte Euch auf eine neue, englischsprachige, online-gestellte Version dieses epochalen Werkes aufmerksam machen, die sich unter

http://www.bookofproofs.org/branches/euclids-elements/

befindet. Was ich persönlich hilfreich finde, ist die Möglichkeit, dass auf jeder Seite, die einen Satz bzw. eine Definition enthält, gleichzeitig zu sehen ist, welche Sätze aus diesem Satz bzw. dieser Definition folgen (Logical Successors) bzw. welche ihr logisch vorangehen (Logical Predecessors). Auch die Liste der zugrunde liegenden Axiome ist dort zu sehen. Auf diese Weise ist es z.B. einfach, zu erkennen, ab wann im Gesamtwerk das 5. Parallelenpostulat zum ersten Mal verwendet wird, oder zu erkennen, in welchen Beweisen Begriffe wie "circle" oder "straight-line" verwendet werden.
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Mathematik: Zappa-Szép-Produkte - Teil 1
Freigegeben von matroid am Di. 21. Februar 2017 21:24:56
Verfasst von Triceratops - (571 x gelesen)
Mathematik 

Zappa-Szép-Produkte

Eine Gruppe heißt semidirektes Produkt von einer Untergruppe und einem Normalteiler, wenn sich jedes Gruppenelement eindeutig als ein Produkt von einem Element der Untergruppe mit einem Element des Normalteilers schreiben lässt. Lässt man anstelle eines Normalteilers eine Untergruppe zu, gelangt man zum Begriff eines Zappa-Szép-Produktes. Genau wie semidirekte Produkte durch eine Wirkung der Untergruppe auf den Normalteiler bestimmt sind, gibt es bei Zappa-Szép-Produkten eine Art gegenseitige Wirkung der beiden Untergruppen aufeinander. Diese Wirkungen werden Distributivgesetze genannt. In diesem 1. Teil soll es um die Korrespondenz zwischen Zappa-Szép-Produkten und Distributivgesetzen gehen. Die genaue Beziehung zu semidirekten Produkten wird ebenfalls besprochen. Weil die Inversenbildung in Gruppen für die Konstruktionen irrelevant sind, werden wir uns stattdessen mit Monoiden befassen, also Mengen zusammen mit einer assoziativen Verknüpfung und einem neutralen Element. Außerdem werden wir die Axiome eines Distributivgesetzes kompakt anhand von kommutativen Diagrammen umformulieren. Das ist zugleich die Voraussetzung für den 2. Teil, in dem wir das Zappa-Szép-Produkt in einem kategorientheoretischen Rahmen einführen und damit auch eine Brücke zu Distributivgesetzen von Algebren und Monaden schlagen werden.
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