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Mathematik: Zappa-Szép-Produkte - Teil 2
Freigegeben von matroid am So. 12. März 2017 14:46:21
Verfasst von Triceratops - (77 x gelesen)
Mathematik 

Zappa-Szép-Produkte

Im 1. Teil haben wir uns mit dem Zappa-Szép-Produkt von Gruppen bzw. Monoiden befasst, einer naheliegenden Verallgemeinerung des semidirekten Produktes. Insbesondere haben wir gesehen, dass jedes Distributivgesetz zwischen zwei Monoiden ein Zappa-Szép-Produkt liefert, und umgekehrt. In diesem 2. Teil werden wir nun dasselbe für Monoidobjekte in monoidalen Kategorien beweisen. Es werden daher auch Grundkenntnisse der Kategorientheorie vorausgesetzt. An die Stelle von Rechnungen mit Elementen treten dann kommutative Diagramme. Der Vorteil dieser Allgemeinheit besteht unter anderem darin, dass man für jede konkrete Wahl der monoidalen Kategorie ein eigenes Zappa-Szép-Produkt bekommt. Für die monoidale Kategorie der Moduln bedeutet das etwa, dass man ein Zappa-Szép-Produkt für Algebren bekommt, das üblicherweise schiefes oder veschränktes Produkt genannt wird. Für die monoidale Kategorie der Endofunktoren einer Kategorie bekommt man ein Zappa-Szép-Produkt für Monaden, welches üblicherweise die Komposition von Monaden genannt wird. Wir beweisen zudem eine universelle Eigenschaft des Zappa-Szép-Produktes. Wir beenden den Artikel mit einer 2-kategoriellen Interpretation von Distributivgesetzen und Zappa-Szép-Produkten von Monaden.
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Mathematik: Elemente von Euklid - eine brandneue Online Version mit CC BY-SA 3.0 Lizenz
Freigegeben von matroid am Sa. 25. Februar 2017 18:40:12
Verfasst von bookofproofs - (462 x gelesen)
Bildung 
Liebe Geometriefreunde und Freunde der axiomatischen Methode,

diese wurde von den Alten Griechen erfunden und das erste Meisterstück, in der sie ausgiebig angewendet wurde, waren die "Elemente" von Euklid.

Ich möchte Euch auf eine neue, englischsprachige, online-gestellte Version dieses epochalen Werkes aufmerksam machen, die sich unter

http://www.bookofproofs.org/branches/euclids-elements/

befindet. Was ich persönlich hilfreich finde, ist die Möglichkeit, dass auf jeder Seite, die einen Satz bzw. eine Definition enthält, gleichzeitig zu sehen ist, welche Sätze aus diesem Satz bzw. dieser Definition folgen (Logical Successors) bzw. welche ihr logisch vorangehen (Logical Predecessors). Auch die Liste der zugrunde liegenden Axiome ist dort zu sehen. Auf diese Weise ist es z.B. einfach, zu erkennen, ab wann im Gesamtwerk das 5. Parallelenpostulat zum ersten Mal verwendet wird, oder zu erkennen, in welchen Beweisen Begriffe wie "circle" oder "straight-line" verwendet werden.
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Mathematik: Zappa-Szép-Produkte - Teil 1
Freigegeben von matroid am Di. 21. Februar 2017 21:24:56
Verfasst von Triceratops - (473 x gelesen)
Mathematik 

Zappa-Szép-Produkte

Eine Gruppe heißt semidirektes Produkt von einer Untergruppe und einem Normalteiler, wenn sich jedes Gruppenelement eindeutig als ein Produkt von einem Element der Untergruppe mit einem Element des Normalteilers schreiben lässt. Lässt man anstelle eines Normalteilers eine Untergruppe zu, gelangt man zum Begriff eines Zappa-Szép-Produktes. Genau wie semidirekte Produkte durch eine Wirkung der Untergruppe auf den Normalteiler bestimmt sind, gibt es bei Zappa-Szép-Produkten eine Art gegenseitige Wirkung der beiden Untergruppen aufeinander. Diese Wirkungen werden Distributivgesetze genannt. In diesem 1. Teil soll es um die Korrespondenz zwischen Zappa-Szép-Produkten und Distributivgesetzen gehen. Die genaue Beziehung zu semidirekten Produkten wird ebenfalls besprochen. Weil die Inversenbildung in Gruppen für die Konstruktionen irrelevant sind, werden wir uns stattdessen mit Monoiden befassen, also Mengen zusammen mit einer assoziativen Verknüpfung und einem neutralen Element. Außerdem werden wir die Axiome eines Distributivgesetzes kompakt anhand von kommutativen Diagrammen umformulieren. Das ist zugleich die Voraussetzung für den 2. Teil, in dem wir das Zappa-Szép-Produkt in einem kategorientheoretischen Rahmen einführen und damit auch eine Brücke zu Distributivgesetzen von Algebren und Monaden schlagen werden.
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Mathematik: Allgemeine Darstellung einer nichtlinearen Rekursionsgleichung
Freigegeben von matroid am Di. 24. Januar 2017 00:01:06
Verfasst von trunx - (473 x gelesen)
Mathematik 

Allgemeine Darstellung einer nichtlinearen Rekursionsgleichung



Von rekursiv gegebenen Zahlenfolgen <math>c_{n+1} = f(c_0,\cdots,c_n;n)</math> ist oft eine allgemeine Darstellung <math>c_n =g(n)</math> gesucht. Diese ist für lineare Rekursionsgleichungen, also für <math>f(c_0,\cdots,c_n;n)</math> - linear, berechenbar, ich habe dies hier ausführlich besprochen.

Ist dagegen <math>f(c_0,\cdots,c_n;n)</math> nichtlinear, so ist in aller Regel eine allgemeine Darstellung nicht möglich. Mehr noch, ich bin erstaunt, dass es tatsächlich nichtlineare Rekursionen gibt, die allgemein darstellbar sind. Darum soll es in diesem Artikel gehen.

Konkret geht es um folgende Klasse von Rekursionen (dem altbekannten Heron-Verfahren zur Ermittlung von <math>\sqrt{a}</math>):
<math>\displaystyle c_{n+1} = \frac{1}{2} \Bigl(c_n +\frac{a}{c_n}\Bigr)</math> mit <math>a, c_i \neq 0 \in \mathds{Q}</math>.
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Mathematik: Eine Methode zur Berechnung von Galoisgruppen
Freigegeben von matroid am Fr. 20. Januar 2017 17:00:33
Verfasst von Triceratops - (584 x gelesen)
Mathematik 

Eine Methode zur Berechnung von Galoisgruppen


Dieser Artikel stellt eine Standard-Methode vor, mit der man einfache Beispiele von Galoisgruppen (und allgemeiner von Automorphismengruppen von endlichen Körpererweiterungen) gut berechnen kann, wie sie etwa im Rahmen einer Algebravorlesung auftreten. Die Idee ist, eine endliche Erweiterung durch einfache Erweiterungen sukzessive auszuschöpfen, und dann eine Beschreibung der Homomorphismen auf einfachen Erweiterungen mit Hilfe von Minimalpolynomen zu geben. Es werden einige Beispiele von Galoisgruppen berechnet.
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Mathematik: Relativitätstheorie: Rückstoßgetriebene Raumschiffe reisen relativ ruinös
Freigegeben von matroid am Mi. 18. Januar 2017 18:01:36
Verfasst von MontyPythagoras - (524 x gelesen)
Physik 

Relativitätstheorie: Rückstoßgetriebene Raumschiffe reisen relativ ruinös


In meiner Artikelreihe "Physikalisches Wissen, das keiner braucht" beschäftige ich mich diesmal mit der speziellen Relativitätstheorie. Zu diesem Thema gibt es ohne Zweifel schon unzählige Artikel, Aufsätze, Threads und Internetseiten, von Wissenschaftlern wie auch von Laien, die sämtliche Aspekte schon von allen Seiten gründlich beleuchtet haben. Na also, kommt es auf einen Artikel mehr oder weniger auch nicht an...
In der Mehrzahl dieser Werke geht es darum, die Massenzunahme, die Längenkontraktion und die Zeitdilatation herzuleiten, manchmal noch die berühmte Masse-Energie-Äquivalenz E=mc². Auch ein sehr beliebtes Thema sind Zeitreisen, Zwillingsparadoxon und so weiter, sprich: alles, was das Herz des Science-Fiction-Fans höher schlagen lässt. Oft liest man dann Sätze wie "Nehmen wir an, der Astronaut reist mit seinem Raumschiff mit 90% der Lichtgeschwindigkeit...". Ich habe mir mal Gedanken darüber gemacht, was an Aufwand notwendig ist, um die Tachonadel auf 0,9c zu bekommen und - genauso wichtig - wieder anzuhalten, denn welcher Astronaut möchte schon mit 90% der Lichtgeschwindigkeit am Ankunftsort aufschlagen. Gut, man würde der Redewendung "einen bleibenden Eindruck hinterlassen" eine ganz neue Bedeutung geben, aber man wäre ziemlich tot und könnte sich über seine vielen neuen Follower auf Spacebook nicht mehr richtig freuen.
Betrachten wir also die bekannte Raketengrundgleichung von Ziolkowski mal relativistisch und überlegen uns die Konsequenzen. Wir untersuchen dabei den Beschleunigungsvorgang, den Bremsvorgang, den Kurven"flug", und überlegen anschließend, wie ein energiesparendes Flugmanöver aussehen muss. Zum Abschluss berechnen wir den Energiebedarf für eine Runde auf einem intergalaktischen Ovalkurs.
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Mathematik: Calculation of the torsion subgroup of Abelian varieties over number fields
Freigegeben von matroid am So. 15. Januar 2017 17:45:24
Verfasst von rofler - (274 x gelesen)
Mathematik 

4. Calculating the torsion subgroup of Abelian varieties over number fields



Wir beschreiben ein Verfahren, mit dem man die Torsionsuntergruppe Abelscher Varietäten über Zahlkörpern berechnen kann. Als Beispiel berechnen wir die Torsionsuntergruppe der elliptischen Kurven, die beim Kongruente-Zahlen-Problem auftreten.
Dies ist der dritte Teil meiner Artikelserie über rationale Punkte auf Abelschen Varietäten über globalen Körpern, siehe die Links ganz unten.
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Mathematik: Zahlentheorie und Kryptologie
Freigegeben von matroid am Mi. 30. November 2016 22:34:17
Verfasst von Gerhardus - (610 x gelesen)
Mathematik 
Zahlentheorie und Kryptologie

Im Anhang als pdf-Datei eine kurze Einführung für Einsteiger mit folgendem Inhalt

1. Extremalprinzip und Primfaktorzerlegung
2. Der größte gemeinsame Teiler (ggT) und euklidische Algorithmus
   - Lösung von Gleichungen in ganzen Zahlen
3. Die Kongruenzmethode und Modularrechnung
   - modularer Kehrwert (multiplikative Inverse)
   - Kleiner Satz von Fermat und chinesischer Restsatz
   - modulare Quadratwurzeln
4. Anwendungen in der Kryptologie
   - Begriffe Protokoll und Einwegfunktion
   - Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch
   - Public-Key-Kryptosysteme RSA und RABIN
5. Kleiner Satz von Fermat, anders bewiesen
   - Begriff zyklische Permutation (Zyklip)
   - Literaturhinweise
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