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Re: Kombinatorik in der Sommerpause: Pflasterungen mit Rechtecken

1) Ich habe nur "horizontal irreduzibel" definiert und zu "irreduzibel" abgekürzt. Es soll dabei keine vertikalen Trennlinien geben. Bei der 2. Pflasterung gibt es zwar eine horizontale Trennlinie (das hast du richtig beobachtet), aber keine vertikale Trennlinie. Sie ist also "horizontal irreduzibel", aber "vertikal reduzibel".

2) Die Bestimmung von <math>P_{3,3}=322</math> findet sich im Artikel. Man schaut sich im Prinzip an, wieviele Möglichkeiten es gibt, zwei gegebene Konfigurationen <math>v,w</math> von horizontalen Strichen ("Knoten") mit einer Konfiguration <math>e</math> von vertikalen Strichen ("Kanten") zu verbinden. Die Anzahl ist <math>2^{m(v,w)}</math>, wenn <math>m(v,w)</math> die Zahl der Matching-Abschnitte zwischen <math>v</math> und <math>w</math> ist. Bei einer <math>3 {\times} 3</math>-Pflasterung hat man zwei solche Verbindungen, sodass

<math>\displaystyle P_{3,3} = \sum_{u,v,w} 2^{m(u,v)} \cdot 2^{m(v,w)},</math>
 
wobei sich die Summe über alle <math>3</math>-Tupel von Knoten erstreckt. Es gibt insgesamt <math>4</math> Knoten, also <math>4^3=64</math> solche <math>3</math>-Tupel (wobei man sich einige wegen der Symmetrie <math>m(u,v)=m(v,u)</math> schenken kann). Ich würde diese Summe daher nicht per Hand ausrechnen, sondern einmal die Adjazenzmatrix <math>A=(2^{m(u,v)})_{u,v}</math> (per Hand) berechnen und dann die Summe der Einträge ihres Quadrates <math>A^2</math> von einem Computer berechnen lassen, denn das ist gerade die obige Summe.

Oder meintest du <math>P_{2,3}=34</math>? Was ist an dem Vorgehen im Artikel unklar?
 
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