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Re: Kombinatorik in der Sommerpause: Pflasterungen mit Rechtecken

@digerdiga: Zu deinen Fragen:
1) Die Wege der Länge <math>m</math> in <math>\Gamma_n</math> entsprechen den <math>n {\times} (m{+}1)</math>-Pflasterungen, nicht den <math>n {\times m}</math>-Pflasterungen. Diese "Verschiebung" wird dann z.B. bei (15) benötigt.
2) Die Frage "Ist P_{n,0) in Analogie zur leeren Pflasterung einer n x m (m,n>0) Pflasterung zu sehen?" verstehe ich leider nicht.
3) Die Variante wäre entweder, <math>P_{n,m}</math> nur für <math>n,m \geq 1</math> zu definieren, und dann so wie im Artikel, oder aber <math>P_{n,m}</math> als die Zahl der <math>n {\times} (m{+}1)</math>-Pflasterungen zu definieren, also als die Zahl der Wege der Länge <math>m</math> in <math>\Gamma_n</math>. Dann würde <math>P_{1,m} = 2^m</math> für alle <math>m \geq 0</math> ohne spezielle Anfangsbedingung gelten, und die erzeugende Funktion <math>f_1</math> wäre ganz einfach <math>\frac{1}{1-2z}</math>. Aber diese Varianten stellen nur eine Spielerei dar und bringen keine inhaltliche Einsicht; ich hoffe ich habe dich damit nicht unnötig verwirrt.
4) Wenn <math>X,Y</math> endliche Mengen sind, dann gilt bekanntlich <math>\# \mathrm{Abb}(X,Y) = {\# Y}^{\# X}</math>. Das verwende ich für <math>X=\{1,\dotsc,m-1\}</math> und <math>Y=\{0,1,2\}</math>. Die Korrespondenz zwischen disjunkten Teilmengen <math>A,B \subseteq X</math> und den Abbildungen <math>f_{A,B} : X \to \{0,1,2\}</math> geht so: <math>f_{A,B}</math> ist konstant <math>1</math> auf <math>A</math>, konstant <math>2</math> auf <math>B</math>, und <math>0</math> überall sonst.
5) Deinen Satz "Es gibt die Möglichkeit n=1 zu benutzen" verstehe ich nicht, die Rechnung danach aber schon: Man schaut sich erst an, was <math>A</math> sein kann, etwa eine <math>k</math>-elementige Teilmenge von <math>X</math>, und dann muss <math>B</math> eine beliebige Teilmenge von <math>X \setminus A</math> sein. Das ist auch ein guter Beweis.
6) Für <math>n=1</math> und <math>n=2</math> ist <math>I_{n,m}</math> einfacher zu bestimmen als <math>P_{n,m}</math>, oder? Für <math>n \geq 3</math> gebe ich dir aber recht. Übrigens kann (4) auch als Rekursionsformel für <math>I_{n,-}</math> gesehen werden, sobald man <math>P_{n,-}</math> bestimmt hat, und das ist im Artikel gemacht worden. Man kann die Gleichung also als eine "gekoppelte" Rekursion sehen. Und mit (7) kann man dann die erzeugende Funktion der irreduziblen Pflasterungen ausrechnen: <math>g_n(z) = 1 - 1/f_n(z).</math>
7) Bei dem letzten Absatz steige ich leider gar nicht durch. Kannst du bitte präzise Sätze formulieren? Dann werde ich dir gerne weiterhelfen. Mit der Frage "Warum ist die Anzahl der Wege insgesamt 4?" kann ich nichts anfangen, weil ich nirgendwo behauptet habe, dass es 4 Wege gibt; es gibt unendlich viele Wege, wenn man keine Bedingungen stellt.
 
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