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Vorschau:
Übertragungsfunktion

Bodediagramme

Nun soll nicht nur eine Grösse in Abhängigkeit der Frequenz, sondern ein System mit Ein- und Ausgangsgrösse betrachtet werden. Oft ist dies ein Vierpol, hier mit der Spannung als Ein- und Ausgangsgrösse. (Es könnte natürlich ebenso gut der Strom oder eine noch eine andere Grösse sein.) Am Eingang werde nun eine sinusförmige Spannung einer gewissen Frequenz angelegt. Da wir hier nur lineare Systeme betrachten, wird am Ausgang wiederum eine sinusförmige Spannung gleicher Frequenz, aber möglicherweise anderer Amplitude und Phase anstehen. Das Verhältnis zwischen Ausgangs- und Eingangsamplitude wird im Bodediagramm aufgezeigt. Das Bodediagramm ist natürlich nicht das einzige graphische Hilfsmittel der Regelungstechnik oder Filtertheorie. Bei der Darstellung von Regelstrecken wird in den Kästchen oft nicht der Amplitudengang, sondern die Sprungantwort eingezeichnet.

Die Vorgehensweise

Will man ein Filter konstruieren, so gibt es eine bewährte Vorgehensweise. Zuerst kennt man normalerweise den gewünschten Frequenz- und Phasengang. Diese Verläufe kann man in Bodediagrammen skizzieren. Damit sich das Filter auch realisieren lässt, muss man natürlich einen gewissen Spielraum offen lassen. Nun vergleicht man das Gewünschte mit den Bodediagrammen von Filtern, welche in Frage kommen. Aus dem eigenen Entwurf kann man dann die entsprechenden Konstanten herauslesen und in die Übertragungsfunktion des gefundenen Filters eintragen. Dann hat man alles, um das Filter realisieren zu können. In diesem Artikel wird auf die grundlegenden Eigenschaften von Filtern ersten und zweiter Ordnung eingegangen. Darüber hinaus gibt es beispielsweise Tchebyshev-, Butterworth- oder Elliptische Filter. Dies ändert aber nicht an der grundlegenden Vorgehensweise.

Die dB-Skala

Das dezibel ist eine Hilfsgrösse und hat sich aus historischen Gründen durchgesetzt. Im internationalen Einheitensystem (SI) ist nicht das dezibel, sondern das Neper als Hilfsgrösse für Verhältnisse im logarithmischen Masstab festgeschrieben. Doch nicht immer setzt sich das SI durch. Das dezibel ist eine sehr praktische Einheit. Bei anderen Einheiten, welche sich bisher auch hartnäckig gegen das SI behaupten, kann man das nicht sagen. Oder kennt noch jemand die Stärke eines Pferdes aus eigener Erfahrung? Zurück zum dB: Die Grundeinheit, das Bel wird selten benutzt. Das dB hat den Vorteil, dass man für Verhältnisse, wie 2 eine (wenigstens beinahe) ganze Zahl erhält. Die Definition für das dezibel oder abgekürzt dB lautet:
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Das dB bezeichnet also die Verstärkung (dann wird L>0) beziehungsweise die Abschwächung (L<0). Die Definition bezieht sich auf Leistungen, also quadratische Grössen. Für Spannungen oder Ströme gilt dagegen:
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Der neue Faktor 20 (statt 10) kommt daher, dass es nun keine quadratischen Grössen mehr sind, welche logarithmiert werden:
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In der nachfolgenden Tabelle sind einige Werte der dB-Skala aufgeführt. Wie bereits erwähnt, stimmen die Werte nicht ganz genau. So liegt der Faktor 2 beispielsweise nicht bei 6 dB, sondern etwas höher (6.0205999...).

1 * sqrt(2) *2 /2 *10
Spannungs- oder Stromverhältniss 0dB +3dB +6dB -6dB +20dB
Leistungsverhältnisse 0dB +1.5dB +3dB -3dB +10dB

Bedingungen an die Übertragungsfunktion

Hier betrachten wir LTI (Linear, Time Invariant), bzw. auf deutsch LZI (Lineare, Zeit-Invariante) Systeme. Zeit-invariant bedeutet, dass sich das Übertragungsverhalten nicht mit der Zeit ändert. Das System könnte zum Beispiel altern, dann ist es nicht mehr Zeit-invariant. Mehr Probleme bereitet in der Praxis die Linearität. Technische Systeme geraten immer an irgendwelche Grenzen. Bei einem aktiven Filter sorgt die Betriebsspannung dafür, dass das System nicht linear ist. Zu grosse Signale werden einfach abgeschnitten. Daher muss man immer dafür sorgen, dass die Signale klein genug bleiben.
Nun aber zum eigentlichen Thema, den Übertragungsfunktionen:
Die Übertragungsfunktion muss in multiplikativer Form vorliegen, da die logarithmische Darstellung im Bodediagramm nur dann die Addition der Teilkurven erlaubt. Betrachtet man einen PID-Regler, so ist die additive Form zunächst naheliegend, da es sich schaltungstechnisch um die Parallelschaltung der drei Regler handelt:
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Die multiplikative Form, entspricht einer Serieschaltung der einzelnen Reglerelemente:
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Die Zeitkonstanten der multiplikativen Form kann man direkt ins Bodediagramm eintragen. Die Zeitkonstanden der additiven Form muss man aber zuerst umrechnen! Dies zeige ich dann in den entsprechenden Abschnitten.

Die hier betrachteten Übertragungsfunktionen sind gebrochen rationale Funktionen, wobei sowohl im Zähler, als auch im Nenner ein algebraischer Term mit Potenzen in s vorhanden ist. Das sieht dann zum Beispiel so aus wie weiter oben der PID-Regler, oder wie das folgende PT2-Glied:
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Der Nenner ist nun so formatiert, dass man Eckfrequenz und Dämpfung direkt herauslesen kann. Fügt man nun weitere Übertragungsglieder an, so multiplizieren sich die Übertragungsfunktionen einfach miteinander. Man soll die einzelnen Terme aber nicht ausmultiplizieren, sonst sieht man unter Umständen die im Bodediagramm umsetzbaren Daten nicht mehr.
Das PT2-Glied wird im nächsten Kapitel noch eingehend behandelt.

Was man aus dem Bodediagram ablesen kann

Eine der wichtigsten Angaben für das Bodediagramm sind die Eckfrequenzen. Bei diesen Frequenzen "knickt" die Übertragungskurve. Der Knick ist in Wirklichkeit stark abgerundet und wird nur in der doppelt logarithmischen Darstellung sichtbar. Zwei Diagramme, je eines in logarithmischer und eines in linearer Darstellung, zeigen dies in eindrücklicher Weise. Die abgebildete Funktion ist in beiden Fällen:
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BildBild
Im Bild rechts kann man die Verstärkung bei bei der Frequenz 0 und bei grossen Frequenzen ablesen. Wo sich die Eckfrequenzen befinden, sieht man aber nur im Diagramm links mit der doppelt logarithmischen Darstellung.
Der Übertragungsfunktion "sieht" man die Knicke ebenfalls an. Sie treten bei der Frequenz auf, bei der der Term mit der Frequenz gegenüber dem konstanten Term (hier normalerweise=1) zu dominieren beginnt.

Die Steilheit der Übertragungsstrecke wird oft in dB/Dekade(der Frequenz) angegeben. Terme erster Ordnung im Zähler steigen über der Eckfrequenz um 20dB pro Dekade an (Bei Spannungs- und Stromverhältnissen). Es handelt sich also um einen Hochpass. Terme 1. Ordnung im Nenner sinken hingegen um 20dB pro Dekade ab. Terme zweiter Ordnung haben eine Steilheit von 40dB / Dekade usw..

"s" oder "jw" ?

Der Parameter s stammt aus der Laplace-Transformation.
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Für das Bodediagramm wird allerdings nur der imaginäre Teil benutzt:
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Da das Laplace-Integral für eine viel grössere Klasse von Funktionen konvergiert, als das Fourierintegral, wird hier die Laplacetransformation verwendet, auch wenn der Unterschied für den Praktiker kaum von Bedeutung ist.
 
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