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Vorschau:
4. Anwendung in der Darstellungstheorie

4. Anwendung in der Darstellungstheorie

In der Darstellungstheorie kann GAP seine Stärken gut demonstrieren. Man sehe sich einmal Janas Artikelserie über die Darstellungstheorie endlicher Gruppen an, wie rechenintensiv es vor allem im 3. Teil wird.
Bei der Arbeit mit Darstellungen von Gruppen sind Charaktere ein wichtiges Hilfsmittel. Für GAP gibt es Bibliotheken sowohl von vorberechneten Charaktertafeln als auch mit Algorithmen für deren Bestimmung.

In Darstellungstheorie: Teil 2 kann man nachlesen, daß Charaktere von Darstellungen auf Konjugationsklassen der zugehörigen Gruppe konstant sind, und daß es insbesondere exakt soviele irreduzible Charaktere wie Konjugationsklassen der Gruppe gibt. Die Untersuchung von Darstellungen erfordert somit auch Wissen über die Konjugationsklassen der betreffenden Gruppe.

In Darstellungstheorie: Teil 3 werden die Darstellungen der Symmetrischen Gruppe S6 untersucht. Wieviele irreduzible Darstellungen gibt es? Fragen wir kurz GAP:

    gap> S6:=SymmetricGroup(6);;
    gap> Size(ConjugacyClasses(S6));
    11

Wie man sich auch rasch überlegt, ist die Anzahl der Konjugationsklassen der Symmetrischen Gruppen gleich der Anzahl möglicher Zykelstrukturen, da Permutationen mit gleicher Zykelstruktur konjugiert sind, also gleich der Partitionszahl der Anzahl der permutierten Elemente. Doch die Bestimmung der Konjugationsklassen kann bei anderen Gruppen schwieriger sein.
Schauen wir mal auf die oben untersuchte 4. Gruppe der Ordnung 2002:

    gap> Size(ConjugacyClasses(G2002[4]));
    511

Oha, da mußte der Computer schon ein bißchen rechnen. Mit der Untersuchung des letzten Abschnitts hätten wir es auch über

    gap> Size(ConjugacyClasses(DirectProduct(DihedralGroup(286),CyclicGroup(7))));
    511

bestimmen können. Für die Diedergruppe gibt es ja Formeln für die Anzahl der Konjugationsklassen, die auch hier im Forum besprochen wurden, für die Diedergruppe mit 286 Elementen erhalten wir 73. Theoretisch ist klar, daß die Zahl der Konjugationsklassen eines direkten Produkts gleich dem Produkt der entsprechenden Anzahlen der beteiligten Gruppen ist, und daß die Konjugationsklassen abelscher Gruppen nur aus je einem Element bestehen, somit muß die anfänglich gesuchte Anzahl der Konjugationsklassen der 4. Gruppe der Ordnung 2002 ja gleich 73*7=511 sein. Aber warum sich nicht mit GAP kontrollieren.

Kehren wir zur S6 zurück. Wir wollen sämtliche irreduzible Charaktere bestimmen. Im 3. Darstellungstheorie-Artikel wird dies ausführlich demonstriert. Wie wir in jenem Artikel sehen, brauchen wir die Ordnungen der Konjugationsklassen und der Zentralisatoren von Repräsentanten. Bestimmen wir zunächst ein Repräsentantensystem, die Größen der zugehörigen Zentralisatoren und die Klassengrößen:

    gap> List(ConjugacyClasses(S6),i->Elements(i)[1]);
    [ (), (5,6), (3,4)(5,6), (1,2)(3,4)(5,6), (4,5,6), (2,3)(4,5,6),
      (1,2,3)(4,5,6), (3,4,5,6), (1,2)(3,4,5,6), (2,3,4,5,6), (1,2,3,4,5,6) ]
    gap> List(last,i->Size(Centralizer(S6,i)));
    [ 720, 48, 16, 48, 18, 6, 18, 8, 8, 5, 6 ]
    gap> List(ConjugacyClasses(S6),Size);
    [ 1, 15, 45, 15, 40, 120, 40, 90, 90, 144, 120 ]
    gap> List(last,i->Size(S6)/i);
    [ 720, 48, 16, 48, 18, 6, 18, 8, 8, 5, 6 ]

Letzteres soll nur kurz zeigen, daß wir uns das Rechnen mit den Zentralisatoren auch hätten sparen können, wenn wir an den Satz von Lagrange denken, und daran, daß die Ordnung des Zentralisators gleich dem Index der zugehörigen Konjugationsklasse ist...

Vonnöten ist weiterhin theoretisches Vorwissen über lineare Charaktere, Permutationscharakter und Tensorprodukte, sowie das Rechnen mit den Orthogonalitätsrelationen. Wenn wir das alles durchgezogen haben, können wir uns mit GAP kontrollieren:

    gap> c:=CharacterTable(S6);
    CharacterTable( Sym( [ 1 .. 6 ] ) )
    gap> Display(c);
    CT1
          2  4  4  4  4  1  1  1  3  3  .  1
          3  2  1  .  1  2  1  2  .  .  .  1
          5  1  .  .  .  .  .  .  .  .  1  .
    
            1a 2a 2b 2c 3a 6a 3b 4a 4b 5a 6b
         2P 1a 1a 1a 1a 3a 3a 3b 2b 2b 5a 3b
         3P 1a 2a 2b 2c 1a 2a 1a 4a 4b 5a 2c
         5P 1a 2a 2b 2c 3a 6a 3b 4a 4b 1a 6b
    
     X.1     1 -1  1 -1  1 -1  1 -1  1  1 -1
     X.2     5 -3  1  1  2  . -1 -1 -1  .  1
     X.3     9 -3  1 -3  .  .  .  1  1 -1  .
     X.4     5 -1  1  3 -1 -1  2  1 -1  .  .
     X.5    10 -2 -2  2  1  1  1  .  .  . -1
     X.6    16  .  .  . -2  . -2  .  .  1  .
     X.7     5  1  1 -3 -1  1  2 -1 -1  .  .
     X.8    10  2 -2 -2  1 -1  1  .  .  .  1
     X.9     9  3  1  3  .  .  . -1  1 -1  .
     X.10    5  3  1 -1  2  . -1  1 -1  . -1
     X.11    1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1


zeigt uns die gesamte Charaktertafel an. Auf irreduzible Charactere können wir zugreifen mit Irr:

    gap> Irr(c)[2];
    Character( CharacterTable( Sym( [ 1 .. 6 ] ) ),
    [ 5, -3, 1, 1, 2, 0, -1, -1, -1, 0, 1 ] )

Bestimmen wir einmal manuell den Permutationscharakter und konstruieren aus ihm einen irreduziblen:

    gap> p:=Character(c,[6,4,2,0,3,1,0,2,0,1,0]);
    Character( CharacterTable( Sym( [ 1 .. 6 ] ) ),
    [ 6, 4, 2, 0, 3, 1, 0, 2, 0, 1, 0 ] )
    gap> ScalarProduct(p,p);
    2
    gap> q:=p-TrivialCharacter(S6);
    VirtualCharacter( CharacterTable( Sym( [ 1 .. 6 ] ) ),
    [ 5, 3, 1, -1, 2, 0, -1, 1, -1, 0, -1 ] )
    gap> ScalarProduct(q,q);
    1


Nach Irreduzibilitätskriterium ist also p reduzibel, q irreduzibel und entspricht X.10.

Rechnen mit Charakteren erfordert oft Summierungen von Ausdrücken über Gruppenelemente (Orthogonalitätsrelationen), was GAP durch u.a. Listenoperationen erleichtert, wie man z.B. bei der obigen Berechnung des skalaren Produkts von Charakteren sehen kann:

         fed-Code einblenden

ScalarProduct(p,q) entspricht hier abkürzend

    gap> Sum([1 .. Size(ConjugacyClasses(c))], i->SizesConjugacyClasses(c)[i]*p[i]
        *ComplexConjugate(q[i]))/Size(S6);
    1

Im Dokument: Character Tables in GAP wird erläutert, wie man Charaktertafeln durch Charakter-Arithmetik unter Hilfe von GAP berechnen kann, wenn sie nicht bereits in der GAP-Bibliothek nachschlagbar wären.
 
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