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Vorschau:
Die fünf platonischen Körper


Das Oktaeder mit 6 Ecken, 12 Kanten und 8 Flächen:

Bild

Das Ikosaeder mit 12 Ecken, 30 Kanten und 20 Flächen:

Bild

Der Würfel mit 8 Ecken, 12 Kanten und 6 Flächen:

Bild

Und das Dodekader mit 20 Ecken, 30Kanten und 12 Flächen:

Bild

Die platonischen Körper zeichnen sich dadurch aus, dass alle Flächen regelmäßige Polygone sind, alle Flächen dieselbe Eckenanzahl haben und in jeder Ecke dieselbe Anzahl an Kanten ankommt.

Warum gibt es aber nur diese fünf platonischen Körper? Könnte es nicht noch mehr geben?

Für jedes Polyeder mit E Ecken, K Kanten und F Flächen gilt die Eulersche Polyederformel:

E+F-K = 2

Wir suchen nun alle Polyeder, bei denen

-        in jeder Ecke dieselbe Zahl n an Kanten ankommen
-        alle Flächen dieselbe Zahl s an angrenzenden Ecken haben

Für ein Dodekaeder ist z.B. n = 3 und s = 5.

Jetzt kann man neben der Eulerformel noch mehr Zusammenhänge zwischen E, F und K aufstellen.

Erstmal kann man die Ecken noch mal von einem anderen Blickwinkel aus zählen:

Jede Fläche hat s anliegende Ecken, zählt man diese für alle Flächen zusammen, so kommt man auf sF Ecken.
Dabei zählt man aber jede Ecke n-fach, da jede Ecke an n Flächen angrenzt.

Es gilt daher

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Ähnliches gilt für die Kanten:

In jeder Ecke treffen n Kanten zusammen, und jede Kante trifft auf 2 Ecken.

Also gilt:

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Mit diesen beiden Gleichungen elimiert man jetzt F und K aus der Polyederformel:

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2s+2n-ns muss natürlich positiv sein, da sowohl E als auch s positiv ist:

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Jetzt kann man noch nutzen, dass n mindestens 3 ist – in jeder Ecke müssen drei oder mehr kanten aufeinander treffen:

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Da jede Fläche zumindest ein Dreieck ist, gilt sogar

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Als Flächen kommen also nur Dreiecke, Vierecke und Fünfecke in Frage.
Jetzt kann man die einzelnen Möglichkeiten durchprobieren:

1.s = 3 (also Dreiecke als Flächen)

E(2s+2n-ns) = 4s
E(6-n) = 12

Für n sind also 3,4 oder 5 möglich, erstmal probieren wir es mit 3:

3E = 12
E = 4

Als erster Kandidat für einen platonischen Körper kommt also ein Körper mit Dreiecksflächen, mit 4 Ecken und, wie man mit den oben hergeleiteten Zusammenhängen zwischen E,F und K sieht, K = 6 und F = 4 und mit 3 Kanten an jeder Ecke in Betracht. Dieser Körper ist das Tetraeder.

Mit n = 4:

2E = 12
E = 6

Zweiter Kandidat: Ein Körper mit 6 Ecken, 12 Kanten und 8 Flächen, die alle Dreiecke sind, und mit 4 Kanten an jeder Ecke; das ist das Oktaeder.

Mit n = 5:

E = 12

Also 12 Ecken, 30 Kanten und 20 Flächen, die alle Dreiecke sind, außerdem mit 5 Kanten an jeder Ecke; das ist das Ikosaeder.

Jetzt schauen wir mal, was mit Vierecken als Seitenflächen anfangen lässt:

2. s = 4

E(8-2n) = 16

Einzige Möglichkeit für n ist 3 – kleinere n gibt es nicht, und bei größeren wird die linke Seite 0 oder sogar negativ.

Also n = 3:

2E = 16
E = 8

Das ist also eine weitere Möglichkeit für einen platonischen Körper: 8 Ecken, dementsprechend 6 Flächen und 12 Kanten, alle Flächen sind Vierecke und an jeder Ecke liegen 3 Kanten.. Auch diese Möglichkeit findet sich unter den 5 bekannten platonischen Körpern, nämlich als Würfel.

Zu guter letzt die Fünfecke:

3. s = 5

E(10-3n) = 20

Da bleibt nur n = 3 und damit E = 20, also 20 Ecken, 12 Flächen und 30 Kanten, alle Flächen Fünfecke und je drei Kanten an einer Ecke, also das Dodekaeder.


Und mehr Möglichkeiten für einen potenziellen sechsten platonischen Körper gibt es nicht, es gibt also tatsächlich nur diese 5 platonischen Körper.
 
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