Fortsetzungssätze:

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\\mixon\\darkred\\ll(1)Ist L\\|K eine normale, algebraische Körpererweiterung mit Zwischenkörper E, so lässt sich jeder K\\-Homomorphismus \\a:E->L zu einem Homomorphismus L->L fortsetzen.

\\blue\\ Beweis:
Wir betrachten die Menge
Z:=menge((M,\\phi) | M ist Zwischenkörper von L\\|E, \\phi\\el\\ Hom_K(M,L), \\phi_\\|E=\\a),
die sich mittels
((M,\\phi) <= (N,\\psi)) :<=> (M\\subseteq\\ N \\and \\psi_\\|M=\\phi)
partiell ordnen lässt.
(E,\\a) ist offensichtlich das kleinste Element dieser Ordnung.

Hat man nun eine Kette S bezüglich dieser Ordnung, so ist (M,\\psi) mit M:=union(N,N\\el\\ S) eine obere Schranke, sofern man den Homomorphismus \\psi so wählt, dass \\psi(x)=\\phi(x) für alle x\\el\\ N mit (N,\\phi)\\el\\ S ist.
Zorns Lemma liefert uns also ein maximales Element (\\Omega,\\Xi). Wir müssen nun noch \\Omega=L zeigen.



Sei dazu a\\el\\ L. Wir wollen nun \\Xi auf \\Omega(a) fortsetzen.
Bezeichne \\mue_K das Minimalpolynom von a über K und \\mue_\\Omega das über \\Omega. \\mue_\\Omega ist dabei insbesondere ein Teiler von \\mue_K. Da L\\|K normal ist, zerfallen beide Polynome in Linearfaktoren.
Wir erhalten einen Ringhomomorphismus \\Omega||[X]->L[X], welchen wir mit \\Xi^\\* bezeichnen, indem wir X auf X abbilden und Koeffizienten mit \\Xi abbilden.
\\Xi^\\* bildet \\mue_K auf sich selbst ab, da \\Xi ein K\\-Homomorphismus ist. \\mue_\\Omega wird deshalb auf einen Teiler von \\mue_K abgebildet. Indem wir a auf eine Nullstelle von \\Xi^\\*(\\mue_\\Omega) abbilden \\(deren Existenz durch das Zerfallen in Linearfaktoren gesichert ist\\), können wir auf \\Omega(a) fortsetzen.
Da \\Omega maximal ist, folgt \\Omega=\\Omega(a) => a\\el\\Omega => \\Omega=L.
\\\blue\\ q.e.d.

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\\mixon\\darkred\\ll(2)Ist L algebraisch abgeschlossen mit Teilkörper E, so lässt sich jeder Homomorphismus \\a:E->L zu einem Endomorphismus von L fortsetzen.

\\blue\\ Beweis:
Betrachte wie unter \\ref(1) die Menge
menge((M,\\phi) | M ist Zwischenkörper von L\\|E, \\phi\\el\\ Hom(M,L), \\phi_\\|E=\\a)

mit der analogen Ordnung und dem maximalen Element (\\Omega,\\Xi).

Sei nun a\\el\\ L\\\\||\\Omega.
Fall 1: a ist algebraisch über \\Omega. Dann betrachten wir das MiPo \\mue und dessen Bild \\Xi^\\*(\\mue) analog zu oben. Da L als algebraisch abgeschlossen vorrausgesetzt war, zerfällt \\Xi^\\*(\\mue) in Linearfaktoren und wir können \\Xi auf \\Omega(a) fortsetzen, indem wir a auf eine Nullstelle von \\Xi^\\*(\\mue) abbilden.

Fall 2: a ist transzendent über \\Omega. Angenommen L\\|\\Xi(\\Omega) ist algebraisch. Dann gäbe es ein \\mue^-\\el\\Xi(\\Omega)[X] und ein \\mue\\el\\Omega||[X] mit \\mue^-(a)=0 und \\mue^-=\\Xi^\\*(\\mue).
=> 0=\\Xi^(-1)(0)=(\\Xi^(-1)\\circ\\mue^-)(a)=\\mue(a). a wäre dann aber nicht mehr transzendent, also kann L\\|\\Xi(\\Omega) nicht algebraisch sein, enthält also ein transzendentes Element a\', womit die Zuordnung a\\mapsto\\ a\' eine Fortsetzung von \\Xi auf \\Omega(a) liefert.


In jedem Fall erhält man einen Widerspruch zur Maximalität von \\Omega, also ist \\Xi\\el\\ Hom(L,L).
\\\blue\\ q.e.d.

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\\mixon\\darkred\\ll(3)Ist L separabel abgeschlossen mit Teilkörpern E, so lässt sich jeder Homomorphismus \\a:E->L zu einem Endomorphismus von L fortsetzen.

\\blue\\ Beweis:
Analog zu \\ref(2):

Sei alles wie gehabt. Es gilt nun
\\mue\\el\\Omega||[X] separabel
<=> \\exists\\ f,g\\el\\Omega||[X]: 1=f\\mue+g\\mue||\'
<=> \\exists\\ f,g\\el\\Omega||[X]: 1><=\\Xi^\\*(f)\\Xi^\\*(\\mue)+\\Xi^\\*(g)\\Xi^\\*(\\mue||\')
$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ =\\Xi^\\*(f)\\Xi^\\*(\\mue)+\\Xi^\\*(g)(\\Xi^\\*(\\mue))\'
<=> \\exists\\ f,g\\el\\Xi(\\Omega)[X]: 1=f\\Xi^\\*(\\mue)+g(\\Xi^\\*(\\mue))\'
<=> \\Xi^\\*(\\mue) separabel.

Fall 1 und 2 kann man also analog zu \\ref(2) erledigen, da alle auftretenden Polynome separabel sind.
\\\blue\\ q.e.d.

Einbettungssätze:

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\\mixon\\darkred\\ll(1) Jeder über K algebraische Körper L lässt sich in K^- einbetten

\\blue\\ Beweis:
Die Argumentation ist wieder ähnlich. Wir beginnen mit der Menge
menge((M,\\phi) | M ist Zwischenkörper von L\\|K, \\phi\\el\\ Hom_K(M,K^-))

die wir mit
((M,\\phi)<=(N,\\psi)) :<=> (M\\subseteq\\ N \\and\\ \\psi_\\|M=\\phi)
partiell ordnen. Dasselbe Prozedere ergibt ein maximales Element (\\Omega,\\Xi) sowie den Ring\\-Homomorphismus \\Xi^\\*: \\Omega||[X]->K^-\\.[X].

Ist a\\el\\ L\\\\||\\Omega mit MiPo \\mue_a\\el\\Omega||[X], so können wir \\Xi auf \\Omega(a) fortsetzen, indem wir a auf eine Nullstelle von \\Xi^\\*(\\mue_a) abbilden, die aufgrund der algebraischen Abgeschlossenheit existiert.
\\\blue\\ q.e.d.

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\\mixon\\darkred\\ll(2) Jeder über K algebraisch-separable Körper L lässt sich in K^sep einbetten.

\\blue\\ Beweis:
Wir können \\ref(1) anwenden, indem wir wie vorhin beachten, dass mit \\mue_a auch \\Xi^\\*(\\mue_a) separabel ist.
\\\blue\\ q.e.d.