Sei R ein kommutativer Ring mit 1 und genau einem max. Ideal \calM. Sei weiterhin K der Körper R\/\calM.

\darkred\ abs(GL_n(R))=abs(\calM)^n^2*abs(GL_n(K))

\blue\ Beweis:
Sei \pi: R->K: r\mapsto\ r^- die kanonische Abbildung. Die Abbildung R^(n\cross\ n)->K^(n\cross\ n): ((a_ij))\mapsto(\pi(a_ij)) ist dann ein unitärer Ringhomomorphismus, den wir ebenfalls mit \pi bezeichnen wollen. Da die Determinante ein Polynom in den Matrixeinträgen ist, gilt \det\circ\pi=\pi\circ\det.

Der Kern dieses Ringhomomorphismus ist \calM^(n\cross\ n)

Das Bild von GL_n(R) eine Untergruppe von GL_n(K), d.h. GL_n(R)\subseteq\pi^(-1)(GL_n(K)). Es ist aber vor allem auch GL_n(R)\supseteq\pi^(-1)(GL_n(K)):
Sei nämlich A\el\ GL_n(K), d.h. \det(A)=d+\calM mit d\notel\calM. Dann ist jedes Element von \pi^(-1)(A) eine Matrix mit Determinante d+m mit m\el\calM. Wegen d\notel\calM ist d+m\el\ R\\||\calM. Da \calM das einzige maximale Ideal von R sein soll, ist aber R\\||\calM=R^x. Also ist die Determinante d+m invertierbar, also ist jedes Urbild von A invertierbar.

Daher ist GL_n(R)=\pi^(-1)(GL_n(K)). Jedes Element von GL_n(K) hat genau abs(M^(n\cross\ n))=abs(\calM)^n^2 Urbilder.
\blue\ q.e.d.

Daraus folgt für endliche R auch sofort
\darkred\ abs(SL_n(R))=abs(GL_n(R))/abs(R\\||\calM)=abs(GL_n(R))/(abs(\calM)*(abs(K)-1))=abs(\calM)^(n^2-1)*abs(SL_n(K))